Equações de 2º grau
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Equações de 2º grau


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Portanto:
                  
Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.
 
 RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES
 Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.
   Logo:     
 
Observe as seguintes relações:
Soma das raízes (S)
          
	
     
Produto das raízes (P)
                    
 Como ,temos:
	
       Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.
Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2  + x - 2 = 0. 
Solução
Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.
A soma das raízes é igual a .     O produto das raízes é igual a 
Assim:                                    Assim: 
 
Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.
Solução
Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.
         S= x1 + x2 = 7
Logo, o valor de k é -2.
Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes seja igual a -2.
Solução
Nesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.
               P= x1. x2= -2
              
Logo, o valor de m é .
 Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a 8.
   
Solução
Considere x1 e x2 as raízes da equação.
A soma dos inversos das raízes corresponde a .
Assim:
                       
                       
Logo, o valor de k é -8.
 
Determine os valores de m  para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2 = 0 admita:
a) raízes simétricas;
b) raízes inversas.
 
Solução
Se as raízes são simétricas, então S=0.
                            
Se as raízes são inversas, então P=1.
	 COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES
 Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.
 Dividindo todos os termos por a , obtemos:
 
Como , podemos escrever a equação desta maneira.
	x2 - Sx + P= 0
                           
Exemplos:
Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.
Solução
A soma das raízes corresponde a:
S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5
O produto das raízes corresponde a:
P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14
A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.
Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.
 
Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é  .
Solução
Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz  , a outra raíz será  .
    Assim:
Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.
 
 FORMA FATORADA
 Considere a equação ax2 + bx + c = 0.
 Colocando a em evidência, obtemos:
Então, podemos escrever:
Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:
	a.(x - x') . (x - x'') = 0
 
Exemplos:
Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.
Solução
Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.
Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:
(x-2).(x-3) = 0
Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.
   
Solução
Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.
Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:
2.(x - 5) (x - 5) = 0  ou 2. (x - 5)2=0
 
Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.
Solução
Como o , a equação não possui raízes reais.
Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.
	 EQUAÇÕES BIQUADRADAS
 Observe as equações:
x4 - 13x2 + 36 = 0
9x4 - 13x2 + 4 = 0
x4 - 5x2 + 6 = 0
 
Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.
Denominamos essas equações de equações biquadradas.
Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:
 
	ax4 + bx2 + c = 0
 
Exemplos:
x4 - 5x2 + 4 = 0
x4 - 8x2 = 0
3x4 - 27 = 0
 
Cuidado!
      x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0               6x4 + 2x3 - 2x = 0            x4 - 3x = 0
As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.
 
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA
      Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.
      Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.
 
Seqüência prática
Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.
Resolva a equação ay2 + by + c = 0
Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.
       Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.
Exemplos:
Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
                   
                     y2 - 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
 
                  y'=4     e      y''=9
Como x2= y, temos:
                   
Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.
 
Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.
Solução
Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:
 
                       y2 + 4y - 60 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
 
                     y'=6   e  y''= -10
Como x2= y, temos:
   
Logo, temos para o conjunto verdade:.
Determine a soma das raízes da equação .
Solução
Utilizamos o seguinte artifício:
Assim:
             y2 - 3y = -2
            y2 - 3y + 2 = 0
           y'=1  e  y''=2
Substituindo y, determinamos:
Logo, a soma das raízes é dada por:
        
 
Resolução de equações da forma: ax2n  +  bxn  + c = 0
Esse tipo de equação pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.
Para isso, substituimos xn por y, obtendo:
        ay2 + by + c = 0, que é uma equação do 2º grau.
Exemplo:
resolva a equação x6 + 117x3 - 1.000 = 0.
Solução
Fazendo x3=y, temos:
                y2 + 117y - 1.000 = 0
Resolvendo a equação, obtemos:
              y'= 8  e  y''= - 125
Então:
             
Logo, V= {-5, 2 }.
	Composição da equação biquadrada
 Toda equação biquadrada de raízes reais x1, x2, x3 e x4 pode ser composta pela fórmula:
	(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0
Exemplo:
Compor a equação biquadrada cujas raízes são:
 
Solução
a) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0                      b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0
 x2(x2 -49) = 0                                                 (x2-a2) (x2-b2) = 0
 x4 - 49x2 = 0                                                   x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0
 
 
 PROPRIEDADES  DAS RAÍZES DA EQUAÇÃO BIQUADRADA
              Consideremos a equação ax4 + bx2 + c = 0, cujas raízes são x1, x2, x3 e x4 e a equação do 2º grau ay2 + by + c = 0, cujas raízes são y' e y''.
             De cada raiz da equação do 2º grau, obtemos duas raízes simétricas para a biquadrada. Assim:
 
Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:
 
 1ª Propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.
                            
	x1 + x2 + x3 + x4 = 0
 
 
 2ª Propriedade: A soma dos quadrados das raízes reais da equação biquadrada é igual a -.
	
 
 3ª Propriedade:O produto das raízes reais e não-nulas da equação biquadrada é igual a .
	
	EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Considere as seguintes equações:
Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações sãoirracionais.
Ou seja:
     
	                             Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.
 
 RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL
         A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos