Equações de 2º grau
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Equações de 2º grau


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os membros da equação a uma potência conveniente.
         Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).
       É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.
Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.
Solução
                  
Logo, V= {58}.
 
Solução
                
Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
 
Solução
Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
 
Solução
          
Logo, V={9}; note que  é uma raiz estranha a essa equação irracional.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
 Observe o seguinte problema:
 Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 64
2x . ( 2x + 2y) = 192   4x2 + 4xy = 192
Simplificando, obtemos:
2x + y = 16                 1
x2 +xy = 48                 2
 
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:
Assim:    2x + y = 16        1
                        y = 16 - 2x
Substituindo y em  2 , temos:
               x2 + x ( 16 - 2x) = 48
              x 2 + 16x - 2x2 = 48
                - x2  + 16x - 48 = 0  Multiplicando ambos os membros por -1.
                  x2 - 16x + 48 = 0
x'=4       e        x''=12
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'=16 - 2 . 4 = 8
y''=16 - 2 . 12 = - 8
 
As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).
desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:
                    Comprimento    =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m
                    Largura              =2x = 2. 4 = 8m
Verifique agora a solução deste outro sistema:
 
   
Isolando y em 1
               y - 3x = -1  y = 3x - 1
Substituindo em  2
           x2  - 2x(3x - 1)  = -3
           x2 - 6x2 + 2x    = -3   
          -5x2 + 2x + 3    = 0    Multiplicando ambos os membros por -1.
           5x2 - 2x - 3     = 0
x'=1       e    x''=-
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
                                            
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e  .
Logo, temos para conjunto verdade: 
PROBLEMAS DO 2º GRAU
 Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:
Sequência prática
Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
Resolva a equação ou o sistema de equações.
Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.
Observe agora, a resolução de alguns problemas do 2º grau:
Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja .
Solução
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por .
Temos estão a equação: .
Resolvendo-a:
                                    
Observe que a raiz  não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
Solução
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
Observe:
Número:                10x + y
Número com a ordem dos algarismos trocada:   10y + x.
Temos, então, o sistema de equações:
                                              
Resolvendo o sistema, temos:
                                               
Isolando y em   1 :
                    -x + y = 3   y= x + 3
Substituindo y em 2:
xy   =  18
x ( x + 3)      =   18
x2 + 3x     =   18
x2 + 3x - 18   =   0
x'= 3  e  x''= -6
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
                                 y'= 3 + 3 = 6
                                 y''= -6 + 3 = -3
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número
36 ( x=3  e y=6).
Resposta: O número procurado é 36.
Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.
Solução
Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:
                       
Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão  do tanque; observe a equação correspondente:
                       
Resolvendo-a, temos:
                      6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )
                      6x + 30 + 6x = x2 + 5x
                       x2 - 7x - 30 = 0
                       x'= - 3      e   x''=10
Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.
Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.
Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?
Solução
Podemos representar por:
   
Resolvendo-a:
   
Resposta:  Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.