Questão resolvida - 02) O volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pelas curvas y3x-x e yx gira ao redor do eixo x_ - Cálculo II - UNICEUMA

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• 02) O volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pelas curvas 
 e gira ao redor do eixo ?y = 3x - x² y = x x
 
a) 
54𝜋
15
 
b) 
56𝜋
15
 
c) 
46𝜋
16
 
d) 
80𝜋
3
 
e) 
36𝜋
15
 
Resolução:
 
Vamos difinir a região a ser girada em torno do eixo , para isso, primeiro encontramos a x
interseção entre as curvas, como visto na sequência;
 
3x - x² = x 3x - x² - x = 0 2x - x² = 0 x 2 - x = 0 x = 0 ou 2 - x = 0→ → → ( ) →
 -x = -2 × -1( ) ( )
 x = 2 
Usando a reta :
para x = 0 y = 0 e para x = 1 y = 1, com isso, as curvas se interceptam em P 0, 0 e P 2, 2→ → ( ) ( )
 
A parábola tem convaidade voltada para baixo , intercepta o em 0 e intercepta oa = -1( ) y
 em: x
 
3x - x² = 0 x 3 - x = 0 x = 0 ou 3 - x = 0→ ( ) →
 -x = -3 × -1( ) ( )
 x = 3 
 
 
A reta é crescente e simétrica em relação aos eixos, assim, podemos montar o gráfico com a 
área a ser rotacionada para encontrarmos o volume desejado, como visto na sequência;
A fórmula que fornece o volume de um sólido de revolução, girando em torno de , é;x
 
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
Perceba que o volume obtido ao girarmos essa região em torno do eixo equivale a subtrair x
o volume gerado pela curva, menos o volume gerado pela reta, ou seja;
 
V = 𝜋 3x - x² dx -𝜋 x dx V = 𝜋 3x - x² - -x dx
b
a
∫ [ ]2
b
a
∫ [ ]2 →
b
a
∫ ( )2 2 2
V = 𝜋 3x + 2 ⋅ 3x -x² + -x² - x dx = 𝜋 9x - 6x + x - x dx
b
a
∫ ( )2 ( ) ( )2 2
b
a
∫ 2 3 4 2
 
V = 𝜋 8x - 6x + x dx
b
a
∫ 2 3 4
 
 
O limite de integração em vai de 0 até 2, sendo estes valores as coordenadas dos x x
pontos de intercessão, com isso, o limite fica;
 
V = 𝜋 8x - 6x + x dx
2
0
∫ 2 3 4
Resolvendo;
V = 𝜋 8x - 6x + x dx V = 𝜋 - +
2
0
∫ 2 3 4 → 8x
3
3 6x
4
4 x
5
5 2
0
 
V = 𝜋 - + -𝜋 - + = 𝜋 - + - 0
8 2
3
( )3 6 2
4
( )4 2
5
( )5 8 0
3
( )3 6 0
4
( )4 0
5
( )5 8 ⋅ 8
3
6 ⋅ 16
4
32
5
 
V = 𝜋 - 6 ⋅ 4 + = 𝜋 - 24 + = 𝜋 = 𝜋64
3
32
5
64
3
32
5
320 - 360 + 96
15
56
15
 
 
 
V = u. v.
56𝜋
15
 
 
(Resposta )