Quadrilátero

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Quadrilátero
  Definição:
	Quadrilátero é um polígono de quatro lados.
 
	
Quadrilátero ABCD
	   Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não-consecutivos são chamados opostos.
 
  Elementos
   Na figura abaixo, temos:
	
Quadrilátero ABCD
	Vértices:  A, B, C, e D.
Lados: 
Diagonais: 
Ângulos internos ou ângulos do 
quadrilátero ABCD: .
   Observações
Todo quadrilátero tem duas diagonais.
O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.
 
   Côncavos e Convexos
    Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.
    Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.
	
Quadrilátero convexo
	
Quadrilátero côncavo
Quadrilátero
  Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo
	A soma do ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.
   Podemos provar tal afirmação decompondo o quadrilátero ABCD nos triângulos ABD e BCD.
 Do triângulo ABD, temos :
                 a + b1 + d1 = 180º.      1
   Do triângulo BCD, temos:
                 c + b2 + d2 = 180º.       2
   Adicionando 1 com 2 , obtemos:
                 a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 180º + 180º
                 a + b1 + d1 + c + b2 + d2 = 360º
                 a + b + c + d = 360º
 
Observações
  1.Termos  uma fórmula geral para determinação da soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo:
	Si = (n - 2)·180º, onde n é o número de lados do polígono.
  2. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer é 360º.
	Se = 360º
 
Quadriláteros Notáveis
Paralelogramo
	Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
Exemplo:
	
	
h é a altura do paralelogramo.
	O ponto de intersecção das diagonais (E) é chamado  centro de simetria.
    Destacamos alguns paralelogramos:
Quadrilátero
  Retângulo
	Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos são congruentes (retos).
Exemplo:
	
	
 
  Losango
	Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.
Exemplo:
	
	
 
  Quadrado
	Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são congruentes.
Exemplo:
	
   É o único quadrilátero regular. É, simultaneamente retângulo e losango.
	
 
   Trapézio
	É o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.
  Exemplo:
       
	
	
Quadrilátero
  Destacamos alguns trapézios:
  Trapézio retângulo
	É aquele que apresenta dois ângulos retos.
Exemplo:
	
	
 
  Trapézio isósceles
	É aquele em que os lados não-paralelos são congruentes.
Exemplo:
 
  Trapézio escaleno
   
	É aquele em que os lados não-paralelos não são congruentes.
Exemplo:
	
	
Quadrilátero
 4ª Propriedade
	As diagonais de um paralelogramo interceptam-se mutuamente ao meio.
	
	H: ABCD é paralelogramo.
T: 
     
	Demonstração
	
	Afirmativa
	Justificativa
	 
	Ângulos alternos internos.
	 
	Lados opostos (1ª propriedade).
	
	Ângulos alternos internos.
	 
	Caso A.L.A..
	 
	Lados correspondentes em triângulos congruentes.
 
Resumindo:
     Num paralelogramo:
os lados opostos são congruentes;
cada diagonal o divide em dois triângulos congruentes;
os ângulos opostos são congruentes;
as diagonais interceptam-se em seu ponto médio.
 Propriedade característica do retângulo.
	As diagonais de um retângulo são congruentes.
 
	
	T: ABCD  é retângulo.
H: .