Questão resolvida - Determine a área da região contida abaixo da parábola y-x4 e acima da parábola yx - Cálculo II - ESTÁCIO

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• Determine a área da região contida abaixo da parábola e acima da y = -x² + 4
parábola .y = x²
 
a) 
4
3
2
 
b) 
11
3
2
 
c) 
16
3
2
 
d) 
14
3
2
 
e) 
17
3
2
 
Resolução:
 
Vamos difinir a região que desejamos achar a área, para isso, primeiro encontramos a 
interseção entre as curvas, como visto na sequência;
 
-x² + 4 = x² -x² + 4 - x = 0 -2x² + 4 = 0 -2x² = -4 x² = x = 2 x = ±→ 2 → → →
-4
-2
→
2
→ 2
Usando a parábola y = x² :
para x = y = = 2 2 → 2
2
 
e 
 
para x = - y = - = 2, com isso, as curvas se interceptam em P , e P - ,2 → 2
2
2 2 2 2
 
A parábola tem concavidade voltada para baixo , intercepta o em 4 e y = -x² + 4 a = -1( ) y
intercepta o em: x
 
-x² + 4 = 0 -x = - 4 × -1 x = 4 x = ± x = ±2→ 2 ( ) → 2 → 4 →
 
 
 
A parábola tem concavidade voltada para cima e é simétrica em relação aos eixos, y = x²
assim, podemos montar o gráfico com a área a ser rotacionada para encontrarmos o volume 
desejado, como visto na sequência;
 
Usando integrais duplas, temos que a área da região é;
 
A = dydx = y dx = -x² + 4 - x dx = -2x² + 4 dxR ∫
2
- 2
∫
-x²+4
x2
∫ 2
- 2
-x²+4
x2
∫ 2
- 2
2 ∫ 2
- 2
( )
 
A = 2 -x² + 2 dxR ∫
2
- 2
( )
Da simetria da figura, temos que;
 
A = 2 -x² + 2 dx = 2 ⋅ 2 -x² + 2 dx = 4 -x² + 2 dxR ∫
2
- 2
( )
0
∫ 2( )
0
∫ 2( )
 
A = 4 - + 2x = 4 - + 2 - 4 - + 2 ⋅ 0 = 4 - + 2 - 0R
x
3
3
0
2
3
2
3
2
0
3
( )3 2
3
3
1
2
2
 
 
 
A = 4 - + 2 = 4 - + 2 = 4 - + 2R
2 ⋅ 2
3
2
1
2
2
2 ⋅ 2
3
2
1
2
( )
1
2
2
2 ⋅ 2
3
2
2
1
2
2
 
A = 4 - + 2 = 4 - + 2 = 4 = 4R
2 ⋅
3
1 2
2
2
3
2
2
-2 + 6
3
2 2 4
3
2
 
A = u. a.R
16
3
2
 
 
(Resposta )