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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449 • Determine a área da região contida abaixo da parábola e acima da y = -x² + 4 parábola .y = x² a) 4 3 2 b) 11 3 2 c) 16 3 2 d) 14 3 2 e) 17 3 2 Resolução: Vamos difinir a região que desejamos achar a área, para isso, primeiro encontramos a interseção entre as curvas, como visto na sequência; -x² + 4 = x² -x² + 4 - x = 0 -2x² + 4 = 0 -2x² = -4 x² = x = 2 x = ±→ 2 → → → -4 -2 → 2 → 2 Usando a parábola y = x² : para x = y = = 2 2 → 2 2 e para x = - y = - = 2, com isso, as curvas se interceptam em P , e P - ,2 → 2 2 2 2 2 2 A parábola tem concavidade voltada para baixo , intercepta o em 4 e y = -x² + 4 a = -1( ) y intercepta o em: x -x² + 4 = 0 -x = - 4 × -1 x = 4 x = ± x = ±2→ 2 ( ) → 2 → 4 → A parábola tem concavidade voltada para cima e é simétrica em relação aos eixos, y = x² assim, podemos montar o gráfico com a área a ser rotacionada para encontrarmos o volume desejado, como visto na sequência; Usando integrais duplas, temos que a área da região é; A = dydx = y dx = -x² + 4 - x dx = -2x² + 4 dxR ∫ 2 - 2 ∫ -x²+4 x2 ∫ 2 - 2 -x²+4 x2 ∫ 2 - 2 2 ∫ 2 - 2 ( ) A = 2 -x² + 2 dxR ∫ 2 - 2 ( ) Da simetria da figura, temos que; A = 2 -x² + 2 dx = 2 ⋅ 2 -x² + 2 dx = 4 -x² + 2 dxR ∫ 2 - 2 ( ) 0 ∫ 2( ) 0 ∫ 2( ) A = 4 - + 2x = 4 - + 2 - 4 - + 2 ⋅ 0 = 4 - + 2 - 0R x 3 3 0 2 3 2 3 2 0 3 ( )3 2 3 3 1 2 2 A = 4 - + 2 = 4 - + 2 = 4 - + 2R 2 ⋅ 2 3 2 1 2 2 2 ⋅ 2 3 2 1 2 ( ) 1 2 2 2 ⋅ 2 3 2 2 1 2 2 A = 4 - + 2 = 4 - + 2 = 4 = 4R 2 ⋅ 3 1 2 2 2 3 2 2 -2 + 6 3 2 2 4 3 2 A = u. a.R 16 3 2 (Resposta )
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