03a - Questões de Provas antigas de tensões em vigas

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Coleção de questões antigas de provas sobre tensões em vigas 
Prof. Ney Augusto Dumont 
 
1) [P32002a_2] Uma viga é construída em aço e madeira, com seção transversal mostrada na figura abaixo. O 
módulo de elasticidade da madeira é 
GPaEmad 5,10
e do aço 
.210GPaEaço 
 Sabendo-se que as tensões 
admissíveis de tração e de compressão para o aço e a madeira são, respectivamente, 
MPaaçoadm 120
 e 
MPamadadm 10
, pede-se determinar o momento fletor admissível 
admM
 para a viga. 
 
 
 
 
 
 


A
x
dAEy
MEy
2
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Momento de inércia I em relação ao eixo neutro z: 
431 InII2I 
 com I1 = I2 
42
3
2
323
680.597.210)2052,140(1090
12
1090
20
)1002,140(20090
12
20090
3
200
2,140
2
20030
36
20030
2
mm
I






























 
c) Momento admissível 
Para a madeira: 
I
yMmad
admmad
adm


 
12
3
6
10210597680
)102,140(
1010





mad
adm
M
 
kNmM mad
adm
02,15
 (Resposta) 
Para o aço: 
I
nyM
aço
admaço
adm


 
12
3
6
10210597680
2010)2,140210(
10120





aço
adm
M
 
kNmM aço
adm
10,18
 
 
 
 
200mm 
10 mm 
90mm 30mm 30mm 
aço 
madeira 
Área retangular 
12
3bh
I 
 
Área triangular 
36
3bh
I 
 
a) Posição do eixo neutro (a partir do topo) 
n = Eaço / Emadeira = 210 / 10,5 = 20 
431
443311
nAAA2
nAy~AyAy~2
y



 com A1 = A2 
10902020090
2
20030
2
10902020520090100
2
20030
3
200
2
y







 
mm2,140y 
 
200mm 
10 mm 
90mm 30mm 30mm 
aço 
madeira 
A1 A2 
A3 
A4 
z’ 
z 
 
2) [P32002b_2] Uma viga é construída com três materiais distintos (
,2001 GPaE  GPaE 402 
, 
GPaE 803 
), 
conforme figura abaixo. Pede-se determinar o valor mínimo da largura b da viga, sabendo-se que o momento fletor 
que deve suportar é 
kNmM 30
 e que as tensões admissíveis, para tração e compressão, são: 
MPamatadm 120
1 
, 
MPamatadm 10
2 
, 
MPamatadm 80
3 
. 
 
 
 
2x
A
MEy
Ey dA
 

 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de inércia I da seção transversal em relação ao eixo neutro z: 
33211 InIInI 
 


















 2
3
2
3
2
3
)1486,6(4
12
4
2)786,6(10
12
10
)186,6(2
12
2
5 b
b
b
b
b
b
I
 = 848,76 b cm4 
Largura da seção transversal 
a) Considerando o material 1: 
8
23
6
1076,848
)1086,6(51030
10120





b
 
cmb 1,10
 
b) Considerando o material 2: 
8
23
6
1076,848
1014,51030
1010





b
 
cmb 2,18
 (resposta) 
c) Considerando o material 3: 
8
23
6
1076,848
1014,921030
1080





b
 
cmb 1,8
 
 
 
material 2 
material 3 
material 1 2 cm 
10 cm 
4cm 
b 
Posição do eixo neutro (a partir do topo) 
540/2001 n
 e 
240/803 n
 
33211
33322111
~~~
AnAAn
AnyAyAny
y



 
cm
bbb
bbb
y 86,6
421025
4142107251




 
 
material 2 
material 3 
material 1 2 cm 
10 cm 
4cm 
b 
z´ 
z 
 
3) [P32002b_2] A figura ao lado esquematiza a seção 
transversal de uma viga, com as dimensões em cm. Os 
módulos de elasticidade dos materiais são E1 = 10 GPa e E2 = 
100 GPa. As peças estão coladas entre si. A tensão máxima 
admissível de cisalhamento da cola é 
adm
cola
 = 350 kPa. 
Sabendo que a seção está solicitada por um esforço 
cortante V = 4 kN, calcular o coeficiente de segurança da 
cola. 
 



A
y
y
xy
dAEyb
EydAV
máx
2

 
 
 
 
 
Resposta: 
Toma-se o material 1 como referência, 
10
12
 EEn
. 
a) Posição do eixo neutro z (distância yc a partir do topo 
da seção transversal): 
cm9
11010201091010
5,29110101920105,491010




c
y
b) Integral 
eq
A
IEdAEy 2
2 
 da seção em relação a z: 
















2
3
2
3
2 1020
12
20
105,49
12
9
1010
A
dAEy
 
 
eq
IEE
11
2
3
5,201
12
1
1010 









 onde 
484 109300093000 mcmI
eq

 
c) A cola entre as duas seções superiores passa exatamente na linha neutra e estará, portanto, submetida às 
maiores tensões de cisalhamento. Para o cálculo da tensão nesta seção, tem-se 
1
3
1
9
0
40505,4)910(10 EcmEEydA 
 
d) Tensão na cola: 
kPa
E
E
dAEyb
EydAV
A
cola
xy
174,193
10930001010
1040504000
1
82
1
6
2
9
0 







 
 

 Coeficiente de segurança da cola = 
0,2
193,174
350

 
 
 
 
9 
20 
cola 
1 
10 
E1 
E2 
E2 
cola 
9 
20 
cola 
1 
10 
E1 
E2 
E2 
cola L.N. 
4) [P32008b_2] A viga mostrada na figura (a) abaixo, confeccionada em aço com perfil em I da figura (b), suporta 
uma carga uniformemente distribuída w= 4,8 kN/m e 
uma carga P de 10 kN, que provocam no engaste o 
momento fletor de -51,6 kN.m e esforço cortante de 
24,4 kN. 
Sabe-se que o momento de inércia, Iz, em relação ao 
eixo z que passa no CG da seção é 211,77 x 106mm4. 
Determine a máxima e a mínima tensões cisalhantes 
que ocorrem na parte vertical (alma) da seção em I. 
 
 
(a) (b) 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) [P32008a_2] A viga mostrada na figura ao lado foi confeccionada de aço com 
perfil em U invertido e suporta uma carga uniformemente distribuída que provoca 
no apoio B um momento fletor de -173,1 kN.m. O perfil em U tem espessura t = 
50 mm. 
Determine a máxima tensão normal trativa e compressiva que ocorre nesta seção 
da viga, i.e., sobre o apoio B 


A
x
dAEy
MEy
2

 
 
 
 
 
 
Resposta 
O C.G. da seção está localizado a 
mm 75
do bordo superior. 
 
 
 
 
 
 
P 



yA
A
EydA
dAEyyb
V
 
)( 2

MPa540
10x7721110x10
10x424
MPa710
10x7721110x10
10x424
mm10x694EydA
mm10x226EydA
23
3
23
3
35
Ab
35
Ac
 ,0,47 
),(
,
 ,0,62 
),(
,
,
,
min
max








8 4
3 -3 3 -3
-4 -4
75 mm
2,604 10
173,1 x10 ( 75 10 ) 173,1 x10 (175 10 )
49,86 116,33
2,604 10 2,604 10
z
x x
y
I x mm
x x
MPa MPa
x x
 


  
    
6) [P32008a_1] Determinar a máxima tensão normal a que está submetido o material PVC de uma viga composta, 
cuja seção mostrada abaixo está submetida a um momento fletor M = 4 kNm. 
 


A
x
dAEy
MEy
2
 
 
 EPVC = 3 GPa 
 Eplástico = 1 GPa 
 Ebaquelite = 5,3 GPa 
 
Resposta: 
Tomando-se o módulo de elasticidade do PVC como referência, multiplica-se a largura da seção de plástico por 
1 3
 e 
a largura da seção de baquelitepor 
5,3 3
, para a obtenção das larguras equivalentes. 
Cálculo de yc (distância da linha neutra ao bordo superior da seção): 
0,048mcm8,4
5
3
3,5
82
3
1
818
5,55
3
3,5
822
3
1
85,018



cy
 
Cálculo de I para a seção equivalente (momento de inércia da seção em relação à linha neutra: 
 A
PVC
eq dAEy
E
I 2
1
 




















 2
3
2
3
2
3
)8,45,5(5
12
5
3
3,58
)28,4(2
12
2
3
8
)5,08,4(1
12
1
8
 
=
484 10034,374034,374 mcm 
 
Cálculo da tensão normal máxima, na fibra mais afastada do PVC: 
26
48)(
/10051349,0
10034,374
048,04
mkN
m
mkNm
PVCx 





 
MPaPVCx 349,51)( 
 
 
baquelite 
8 cm 
2 cm 
1 cm PVC 
5 cm 
plástico 
7) [P3207b_2] Uma viga é construída com três materiais distintos (
,2001 GPaE  GPaE 402 
, 
GPaE 803 
), 
conforme figura abaixo. Determinar o valor mínimo da largura b da viga, sabendo-se que o momento fletor que deve 
suportar é 
kNmM 30
 e que as tensões admissíveis, para tração e compressão, são 
MPamatadm 120
1 
, 
MPamatadm 10
2 
, 
MPamatadm 80
3 
. O eixo neutro está localizado a 6,86 cm a partir do topo da seção. 
 


A
x
dAEy
MEy
2

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momento de inércia I da seção transversal em relação ao eixo neutro z: 
33211 InIInI 
 


















 2
3
2
3
2
3
)1486,6(4
12
4
2)786,6(10
12
10
)186,6(2
12
2
5 b
b
b
b
b
b
I
 = 848,76 b cm4 
Largura da seção transversal 
a) Considerando o material 1: 
8
23
6
1076,848
)1086,6(51030
10120





b
 
cmb 1,10
 
b) Considerando o material 2: 
8
23
6
1076,848
1014,51030
1010





b
 
cmb 2,18
 (resposta) 
c) Considerando o material 3: 
8
23
6
1076,848
1014,921030
1080





b
 
cmb 1,8
 
 
material 2 
material 3 
material 1 2 cm 
10 cm 
4cm 
b 
Posição do eixo neutro (a partir do topo) 
540/2001 n
 e 
240/803 n
 
33211
33322111
~~~
AnAAn
AnyAyAny
y



 
cm
bbb
bbb
y 86,6
421025
4142107251




 
 
material 2 
material 3 
material 1 2 cm 
10 cm 
4cm 
b 
z´ 
z 
 
8) [P3207b_2] A figura ao lado esquematiza a seção transversal de uma viga, com as dimensões em cm. Os módulos 
de elasticidade dos materiais são E1 = 10 GPa e E2 = 100 GPa. As peças estão coladas entre si. Sabendo que a seção 
está solicitada por um esforço cortante V = 4 kN, 
a) calcular o coeficiente de segurança da cola, para uma tensão máxima admissível de cisalhamento 
adm
cola
 = 350 kPa; 
b) calcular o espaçamento dos pregos, sabendo que cada prego resiste a 0,5 kN de força de cisalhamento. (Este item 
não entra na P3 de 2012!) 
 
 
 
 



A
y
y
xy
dAEyb
EydAV
máx
2
 
 
 
bf xy
 
 
 
 
 
Resposta: 
Toma-se o material 1 como referência: 
10
12
 EEn
. 
a) Posição do eixo neutro z (distância yc a partir do topo da seção transversal): 
cm9
11010201091010
5,29110101920105,491010




c
y
b) Integral 
eq
A
IEdAEy 2
2 
 da seção em relação a z: 
















2
3
2
3
2 1020
12
20
105,49
12
9
1010
A
dAEy
 
 
eq
IEE
11
2
3
5,201
12
1
1010 









 onde 
484 109300093000 mcmI
eq

 
c) Cálculo da tensão na seção da cola (coincidente com a linha neutra): 
1
3
1
9
0
40505,4)910(10 EcmEEydA 
 
Tensão na cola: 
kPa
E
E
dAEyb
EydAV
A
cola
xy
174,193
10930001010
1040504000
1
82
1
6
2
9
0 







 
 

 Coeficiente de segurança da cola = 
0,2
193,174
350

 
d) Cálculo do espaçamento dos pregos (F = 0,5 kN) (Este item não entra na P3 de 2012!) 
1
3
1
21
20
20505,20)110(10 EcmEEydA 
 
Força na seção dos pregos 
cmkN
E
E
dAEy
EydAV
f
A
i /88170,0
93000
20504
1
1
2
21
20 



 
 

 Espaçamento entre pregos (2 fileiras) = 
cm
f
F
e
i
34,11
08817,0
5,022



 
 
9 
20 
2 fileiras de pregos 
1 
10 
E1 
E2 
E2 
cola 
q = 100 kN/m 
m3 m1
x
33,133
kN67,266kN33,133
67,166
100
33,1
89,88máxM
50
V
M
9) [P3207b_2] A viga da figura abaixo está bi-apoiada e submetida a um carregamento uniformemente distribuído. 
Conforme esquematizado à direita, a viga é composta por uma vigota de PVC e outra de plástico, coladas entre si. O 
plástico tem módulo de elasticidade Epl = 1 GPa. O PVC tem módulo de elasticidade EPVC = 3 GPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A linha neutra da seção transversal está a 11 cm do topo. A rigidez da seção à flexão foi calculada como 
pl
A
EcmdAEy 42 67,74616
. 
Calcular os valores das tensões máximas de flexão e de cisalhamento que atuam na viga. 


A
x
dAEy
MEy
2
 



A
y
y
xy
dAEyb
EydAV
máx
2
 
Resposta: 
No trecho 
30  x
: 
xxV 10033,133)( 
, 
25033,133)( xxxM 
 
kNVmáx 67,166
 no apoio direito. 
kNmMmáx 89,88
 para 
mx 33,1
. 
A tensão normal é máxima para 
13máxy
 cm: 
MPa
E
E
pl
PVC
máx 006,207
1067,16746
101389,88
8
2







 
A tensão de cisalhamento é máxima na linha neutra: 
plpl
y
y
EcmEAEy
máx 3
13
0
1014
2
13
1343d 


 
MPa
E
E
pl
pl
máx 229,25
1067,1674604,0
10101467,166
8
6






 
 
= 11cm 
20 cm 
20 cm 
4 cm 
4 cm 
cola 
plástico 
PVC 
q = 100 kN/m 
m3 m1
9 
1 
20 
2 
E2 
E1 
E1 
10 cm 
20 
10) [P3207b_1] Uma viga é composta por dois materiais, conforme esquematizado na figura, de módulos de 
elasticidade E1 = 50 GPa e E2 = 100 GPa. As tensões normais máximas admissíveis de tração e de compressão a que 
estes materiais resistem são, em módulo, 
4001 máx
 MPa para o material 1 e 
8002 máx
 MPa para o material 2. 
Calcular o valor do carregamento distribuído máximo, qmáx, a que esta viga pode ser submetida, para o esquema de 
apoios apresentado, com um vão de 3 m e um balanço de 2 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: 
Seja 
212  EEn
. Distância da linha neutra a partir do bordo superior: 
cm9
1202029102
5,29120192025,49102



cy
 
42
2
2
2
2
2
cm18600)5,299(
12
1
120
)199(
12
20
202)5,49(
12
9
9102



















eqI
 
Tensão máxima no material 1 (para y = 30 – 9 = 21 cm): 
kNm 29,543MPa 004
18600
21
4


máx
máx M
cm
cmM
 
Tensão máxima no material 2 (para y = 9 cm): 
kNm 67,268MPa 008
18600
92
4


máx
máx M
cm
cmM
 
Momento fletor máximo na viga: 
2m212 máxmáxmáx qqM 
 (sobre o apoiodireito). 
Portanto, 
kN/m 177,14529,3542  máxmáx qq
. 
 
12
3
2
hb
I
dAEy
MEy
A
x




3 m 2 m 
qmáx = ? 
11) [P3207b_1] Uma viga é construída com placas de madeira coladas, conforme mostra a seção transversal abaixo. 
Sabendo-se que para a cola a tensão cisalhante admissível é 
kPacolaadm 350
 e para a madeira 
MPamadadm 1
, pede-
se calcular o valor da máxima força cortante que pode atuar na viga. 
 
I
VQ
bf xy 
 
bI
VQ
xy 
 

máxy
y
dAyQ
1
 
 A dAyI
2
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
Devido à simetria, 
cmy 10
 
Momento de Inércia I 
 
 
4
33
992.12
12
88
12
2020
cmI 




 
Força Cortante: 
Q
bI
V


 
a) Na madeira, para 
01 y
 
3
~10
0
936)462620(
462620
46226207
cmAyydAQ 


 
 
kNV 66,16
10936
101299210)66(101
6
826





 
b) Na cola, para 
cmy 41 
 
3
10
4
~
8406207 cmAyydAQ  
 
kNV 5,6
10840
101299210)66(10350
6
823






 
c) Na cola, para 
cmy 71 
 
3
10
7
~
5103205,8 cmAyydAQ  
 
kNV 83,17
10510
1012992102010350
6
823






 
 
 
 
 
6cm 6cm 8cm 
3cm 
3cm 
8cm 
6cm 
cola 
Resposta do problema 
3cm 
3cm 
4cm 
 
z (eixo neutro) 
 
6cm 6cm 8cm 
12) [P32007a_2] Determinar o momento máximo que pode suportar a seção da viga composta de aço e latão 
mostrada abaixo. 
 


A
x
dAEy
MEy
2
 
 
GPaEaço 200
 
 
GPaElatão 100
 
 
MPaadmaço 120
 
 
MPaadmlatão 80
 
A posição da linha neutra é definida por y = 7 cm (por simetria). 
Resposta: 
A formula a ser aplicada é: 
2
max
max
A
adm
Ey dA
M
Ey
 
; resolvendo incialmente o numerador temos: 
 
3 3 3
2 4 4 214 14 10 10 10 10 5569,33
12 12 12
aço lat
A
Ey dA E cm E cm kN m
   
       
 

 
 
Usando o aço como critério: 2
max 2
6
2
5569,33
120000 47,73
200 10 0,07
KN KN m
M KN m
KNm
m
m
 
   
   
 
Usando o latão como critério: 2
max 2
6
2
5569,33
80000 89,1
100 10 0,05
KN KN m
M KN m
KNm
m
m
 
   
   
 
 
Assim sendo, o valor máximo admissível vale: 47,73 KN m. 
 
 
10 cm 
2 cm 
10 cm 2 cm 2 cm 
latão 
aço 
2 cm 
13) [P32007a_2] A viga da figura abaixo está bi-apoiada e submetida a um carregamento uniformemente distribuído. 
Conforme esquematizado à direita, a viga é construída com três materiais distintos. A relação entre os módulos de 
elasticidade dos materiais 1 e 2 é 
10211  EEn
 e entre os materiais 3 e 2 é 
5233  EEn
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A linha neutra da seção transversal está a 12,5 cm do topo. A rigidez da seção à flexão foi calculada como 
2
42 5,687.29 EcmdAEy
A

. 
Calcular os valores das tensões máximas de flexão e de cisalhamento que atuam na viga. 


A
x
dAEy
MEy
2
 



A
y
y
xy
dAEyb
EydAV
máx
2
 
Resposta: 
kN
q
Vmáx 200
2
4100
2




 nos apoios. 
kNm
q
Mmáx 200
8
4100
8
22



 no meio do vão. 
A tensão normal é máxima para 
5,12máxy
 cm, quando também o módulo de elasticidade é máximo: 
MPa
E
E
máx 1,842
105,29687
105,12200
8
2
2
1 






 
A tensão de cisalhamento é máxima na linha neutra. 
2
3
2
5,12
0
75,18361211210
2
5,11
5,116d EcmEAEy
máxy
y









 
 
6
2
8
2
200 1836,75 10
20,623
0,06 29687,5 10
máx
E
MPa
E
 

  
 
  
 
 
 
 
1 cm 
24 cm 
15 cm 
12 cm 
6 cm 
material 1 
3 cm 
material 2 
material 3 
yc=12,5 cm 
L. N. 
y 
z 
q = 100 kN/m 
m4