P4 - 2012.1 - Gabarito (Solução)

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P4 - Probabilidade e Estatística – 2012.1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Grupo Internet: http://groups.yahoo.com/group/probest_puc-rio 
Professores: Reinaldo Castro Souza & Roxana C. Contreras 
 
Problema 1 (2,0 pts) 
1.1 (0.5pt) Descreva como se faz uma transformação de uma v.a. pelo método de Jacobiano? Qual a 
restrição para a utilização deste método? 
 
SOLUÇÃO 
 
O método do Jacobiano é a aplicação pela fórmula: 
 
,).()(
dy
dx
xfyg 
 “x “em função de “y” ∴ 
dy
dx
yfyg ).()( 
 
- A restrição é que a função seja injetora 
 
 
1.2 (0.5pt) Pelo que você aprendeu no curso, como você difere “probabilidade” e “estatística”? 
SOLUÇÃO 
 
Probabilidade- A densidade (ou função de probabilidade) era inteiramente conhecida. 
Em Estatística, teremos uma amostra aleatória de uma distribuição com certos parâmetros 
desconhecidos, e procuraremos descobrir alguma coisa sobre estes parâmetros (Inferência 
dos dados) 
 
1.3 (0,5pt) Seja “X”uma v.a. contínua com E(X)=6 e DP(X)=3, onde DP(X) é o desvio padrão 
de X. Se Y=4X+1, quem é E(Y) e DP(Y). 
 
SOLUÇÃO 
. E(Y) = E(4x+1) 
 = 4E(X) + E(1) 
 = 24 + 1 
 E(y) = 25 
 
 DP(Y) = 
 Var(Y) = Var(4x+1) 
 = 16(Var(X))-Var(1) 
 = 144 
 DP(Y) = = 12 
 
 
 
1.4 (0,5pt) Como você definiria formalmente uma v.a. que segue um modelo binomial e um modelo 
binomial negativa (em relação ao modelo Bernoulli). Dê um exemplo real onde você 
recomendaria a utilização de cada modelo. 
 
SOLUÇÃO 
 
DISTRIBUIUÇÃO BINOMIAL – É uma variável aleatória discreta que modela um experimento 
que mede a quantidade de sucesso nas “n” repetições de uma Bernoulli. 
Ex.: eleição entre 2 candidatos em n amostras. 
 
DISTRIBUIUÇÃO BINOMIAL NEGATIVA – É uma variável aleatória discreta que modela 
número de repetições de um experimento de Bernoulli até obter o r-esimo sucesso. 
Ex.: Venda de carros em uma determinada loja até atingir um determinado sucesso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 (2,0 pts) 
Suponhamos que o nível educacional de adultos de um certo país, apresenta distribuição normal 
com média de 11 anos e variancia de 4 anos2, determine: 
a) (0.6 pt) - A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre 8 e 12 anos de 
tempo de estudo. 
b) (0.7 pt) - Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta amostra ser 
menor que 10 anos? 
c) (0.7 pt) - Toma-se uma amostra de 7 adultos, qual a probabilidade do menos idoso na amostra 
exceder 12 anos de estudo? 
 
 
SOLUÇÃO 
 
X nível educacional de adulto 
X ~NORMAL (11,22) 
 
 
a) A probabilidade de que um adulto escolhido aleatoriamente, tenha entre 8 e 12 anos de 
tempo de estudo. 
 
 Pr(X>9) Pr(X>14) 
 Pr
)128(  X
 = Pr 




 




2
1112
2
11
2
118 X 
 
 = Pr 




 


2
1112
2
118
Z 
 8 12 
 7 11 15 
 Pela tabela: 
 = [Pr>-1,5 - Pr>0,5] = 1 – (0,0668+0,3085) = 0,6247 = 62,47% 
 
ou = [Pr<-1,5 - Pr>0,5] = (1 – 0,0668) -0,3085) = 0,6247 = 62,47% 
 
 
 
 
 
 
 Zo=-1,5 0 Zo=1,0 
 
 
 
 
 
 
 
b) Toma-se uma amostra de 8 adultos, qual a probabilidade da média desta amostra ser 
menor que 10 anos? 
 
 Pr
)10( X
 = Pr 















8
2
1110
8
2
11X
 PR(X<10) 
 
 = Pr 














8
2
1110
Z 
 7 10 11 15 
 
Pela tabela: 
 Pr (X < 10) = 0,0787 = 0,0787 = 7,87% 
 
 
 
 
 
 
 
 Zo= -1,414 0 
 
 
 
c) Toma-se uma amostra de 7 adultos, qual a probabilidade do menos idoso na amostra 
exceder 12 anos de estudo? 
 
 
 U = Min 
),...,,,( 7321 XXXX
 
Pr 
)12( U
= ? 
 
 Pr 
)12,...,12,12,12( 7321  XXXX
 
 
sX i
 iid 
 
 Pr (U > 12) = Pr (U>12) 
 = [Pr
)12,...,12,12,12( 7321  XXXX
] 
 = [Pr
)12( iX
]7 
 
 
 
 
 
 Pr(X<13) 
 Pr
)12( iX
 = Pr 




 


2
1112
2
11iX 
 
 = Pr 





 

2
1112
Z 
 12 
 7 11 15 
 = Pr  5,0Z 
 
Pr (U > 12) = Pr (U>12) 
 
 Pela tabela: 
 Pr (V > 12) = [Pr
)12( iX
]7 
 
 = [0,3085]7 = 2,66 x10-04 = 0,027% 
 
 
 
 
 
 
 0,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 ( 1,5 pts ) 
Queremos modelar tempos de duração de equipamentos, esta propriedade indica que a vida 
restante de um equipamento não depende da idade atual deste equipamento. Pergunta-se: 
a) (0.5 pt) Qual o modelo probabilístico (paramétrico) que você adotaria para este 
experimento? 
b) (1,0 pt) Qual o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro deste modelo, mostrar 
todos os passos da solução. 
 
SOLUÇÃO a) 
 
X ~ Exponencial (θ) 
 
 
SOLUÇÃO b) 
 
X ~ Exponencial (θ) 
 
 
 
 
 
Obtenção da função de verossimilhança “

” 
 
L(

 ) = f(x1, x2,...xn) 
 
 = 
    
n
i
x
1
.exp. 
 
 
 
Obtenção do Log-verossimilhançal(

 ) = log[ L(

 )] 
 
 = log 
    
n
i
x
1
.exp. 
 
 = log







  

n
i
ixn e 1
)(
.


 
 = n log

 -
)(.
1


n
i
ix
.log.e 
 
 
 
 
  0 e 0 onde .exp.),(  xxxf i 
 
Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “

” 
 
1ª derivada - 



n
i
ix
nl
1

 
Iguala a zero - 
0

l
 
 
0
1
 

n
i
ix
nl

  

n
x
n
i
i 
1
 

 



n
i
ix
n
1

 
 Substituir 
MV
^
  então 
X
MV
1^

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 (2,5 pts) Distribuição conjunta 
Sejam e v.a.'s contínuas com densidade conjunta: 
 
 
 
a) (0.5 pt) Encontre a constante k que faz desta expressão uma densidade. 
b) (0.5 pt) Encontre a densidade marginal de . 
c) (0.5 pt) Encontre a densidade marginal de . 
d) (0.5 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
e) (0.5 pt) Ache a Média condicional de dado . 
 
 
 
 
 
a) (0.5 pt) Encontre a constante “k” que faz desta expressão uma densidade. 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
1.).,(),(
2
0
2
0
  




dydxyxfyxf
y
y
x
x
 
 
  1.3
2
0
2
0
2  




dydxyxyk
y
y
x
x
 

 
1.
3
3
2
0
2
0
3









dy
x
yykx
y
y
 
 
  182
2
0



dyyyk
y
y
 

 
1
2
8
2
2
2
0
22







yy
k
 

 
1164 k
 

 
4
15
k
 
 
 








 23
4
15
),( xyyxf
 
 
b) (0.5 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
 
dyyxfxf
y
y
.),()(
2
0




 , onde 0≤y≤2 
dyxyxf .3
4
15
)(
2
0
2
 








 

 2
0
2
2
2
2
.3
2
.
4
15
)( 








y
x
y
xf
 

 
2.6
2
15
)( xxf 


 
 
  2y0 e 2 x < 0 onde,3),( 2  xkyyxf
  2y0 e 2 x < 0 onde,3),( 2  xkyyxf
 
 
 
c) (0.5 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
 
dxyxfyf
x
x
.),()(
2
0




 , onde 0≤x≤2 
dxxyyf
x
x
.3
4
15
)(
2
0
2












 

 2
0
3
3
3
4
15
.)( 














x
xyyf
 

 








 8
2
15
.)( yyf
 
 
 
 
d) (0.5 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
 
 
)(
),(
)(
xf
yxf
xXYf 
 , onde 
]2,0(
]2,0(


y
x
 
 
2
2
.6
2
15
3
4
15
)(
x
xy
xXYf










  

















2
2
3
4
15
.2
3
4
15
.
)(
x
xy
xXYf  
2
)(
y
xXYf 
 
 
 
 
e) (0.5 pt) Ache a Média condicional de dado . 
SOLUÇÃO 
  dyxyfyxXYE ).(.
2
0

 , onde 
]2,0(
]2,0(


y
x
 
  dyyyxXYE .
2
2
0
 






 

 
  dyyxXYE .
2
2
0
2

 
 
 
2
0
3
3
.
2
1 y
xXYE 
 

 
3
4
 xXYE
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 5 ( 2.0 pts) 
Seja X uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média “μ” e Variância 
“σ2”, ambas desconhecidas. 
Seja X = (6, 11, 9, 10, 7, 8, 8, 12, 10), uma amostra aleatória de tamanho nove (n=9) desta 
população: 
 Pede-se: 
a)- (1.0 pt) O intervalo de confiança ao nível de significância de 95% , para a “Média da 
Normal”. 
b)- (1.0 pt) O intervalo de confiança ao nível de significância de 95%, para “Variância da 
Normal”. 
 
 
 
SOLUÇÃO a) 
 
VARIÂNCIA: 
 
 
 
DESVIO PADRÃO: 
2SS 
 
75,3 S
 
 
 
MÉDIA: 
 
 
 
 
a) O intervalo de confiança ao nível de significância de 95% , para a “Média da Normal”. 
 
X
= 9 
 S = 
75,3 
 n=9 
 
IC da Média de uma Normal com Desvio Padrão (α ) Desconhecido - Caso II 
 - TABELA “T” 
 
 
 
 
 
 
 
 




n
i
i XX
n
S
1
22
1
1






 
n
S
tX
n
S
tX
n
S
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; 
30.
19
12

 S 75,32  S



n
i
iX
n
X
1
1 81.
9
1
 X
9 X
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 
 Tabela “t” - 
306,22/1,1  nt 
 
 
 (1-α)=0,95 
 
 
 
 025,0
2


 
 
 306,221,1  nt 
 
 
 
 
 [ 7,511 ; 10,489] 
 
SOLUÇÃO b) 
 
b)- (1.0 pt) O intervalo de confiança ao nível de significância de 95%, para “Variância da Normal”. 
 
S
2
 = 3,75 
n=9 
 
IC para a Variância 
 
 - TABELA “χ2” 
- onde a e b são tirados da tabela qui- quadrado 
com (n-1) graus de liberdade 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 95% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








 
9
75,3
306,29;
9
75,3
306,2921,1
n
S
tXIC n 
 
n
S
tXIC n 2/1,1 
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
 
 
 
 
-Pela tabela “χ2” 
 
 
 
 
 
 (1-α)=0,95 
 
 
 
 025,0
2


 
 
 
 a= 2,18 b= 17,53 
 
 
 
 
 [1,711; 13,761] 
 
BOA SORTE!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   











 


18,2
75,38
53.17
75,3811
Pr 2
2
2
2 xx
a
Sn
b
Sn 
IC
  025,0Pr 2 1  bn
  975,0Pr 2 1  an
 
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








ppqxXxf x .p)-(1 .)Pr()( 1-x1  
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
Média e Variância: E(X) = 1/λ 
VAR(X) = 1/λ2 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = σ2 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- onde a e b são tirados da tabela qui- quadrado 
com (n-1) graus de liberdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ;






 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; 







 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
  1]/)1(/)1Pr[( 222 aSnbSn



n
i
iX
n
X
1
1
 




n
i
i XX
n
S
1
22
1
1
 
 
 
Tabelas