Apostila EST106 - Estatística I - UFV

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Esse material será usado como apostila-texto para a referida disciplina, com o objetivo 
de dar suporte às aulas teóricas. Não substitui a leitura de livros técnicos sobre o 
assunto. Está em constante atualização e correção de eventuais erros. Convém ressaltar 
que o presente material não está completo e os capítulos que não constam nessa 
apostila, ou que estão incompletos, serão liberados para serem copiados assim que 
estiverem prontos. 
 
No caso de correções e/ou sugestões, favor enviar e-mail para peternelli@ufv.br. 
 
 
 
 
 
Viçosa, Agosto de 2020. 
 
 
 
Prof. Luiz Alexandre Peternelli 
mailto:peternelli@ufv.br
EST 106 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 
CONTEÚDO 
 
 
CAPÍTULO 1 - CONCEITOS INTRODUTÓRIOS 1 
1. INTRODUÇÃO 1 
1.1. Conceitos de estatística, população e amostra 1 
1.2. Por que estudar estatística? 4 
1.3. O uso da estatística 5 
2. TÓPICO ESPECIAL 6 
2.1. SOMATÓRIO 6 
2.2. PRODUTÓRIO 16 
 
CAPÍTULO 2 - ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1 
1. ESTATÍSTICA INDUTIVA: (INFERÊNCIA ESTATÍSTICA) 1 
2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1 
3. APRESENTAÇÃO GRÁFICA E TABULAR 4 
4.1. Medidas de Posição 23 
4.2. Medidas de Dispersão 33 
 
CAPÍTULO 3 - TÓPICOS GERAIS DE PROBABILIDADE 1 
1. INTRODUÇÃO 1 
2. ALGUNS CONCEITOS 2 
2.1.Experimentos probabilísticos ou aleatórios 2 
2.2.Espaço amostral (S) 5 
2.3.Eventos 6 
2.4.Eventos Mutuamente Exclusivos 7 
3. NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE PROBABILIDADE - CONCEITOS 8 
3.1.Um conceito 9 
3.2.Outro Conceito 10 
3.3.Ainda outro conceito 13 
3.4.Uma definição – Probabilidade Geométrica 18 
4. PRINCIPAIS TEOREMAS PARA O CÁLCULO DE 
PROBABILIDADES 20 
5. PROBABILIDADE CONDICIONAL 25 
6. TEOREMA DO PRODUTO DAS PROBABILIDADES 30 
7. INDEPENDÊNCIA ESTOCÁSTICA (OU PROBABILÍSTICA) 31 
8. PARTIÇÃO DO ESPAÇO AMOSTRAL E O TEOREMA DE BAYES 34 
8.1. Teorema da Probabilidade Total 34 
8.2. Teorema de Bayes 36 
 
CAPÍTULO 4 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 
DE PROBABILIDADE 1 
1. CONCEITO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA 1 
2. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 7 
2.1. X é uma v.a.d. 7 
2.2. X é uma v.a.c. 11 
3. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA (OU FUNÇÃO DE 
DISTRIBUIÇÃO) 21 
3.1. F(x) para X v.a.d. 22 
3.2. F(x) para X v.a.c. 23 
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4. DISTRIBUIÇÕES EMPÍRICAS 28 
5. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONJUNTAS 37 
5.1. Definição 38 
5.2. Distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias, distribuições 
marginais e condicionais 39 
5.3. Variáveis aleatórias independentes 48 
6. CONCEITOS E PROPRIEDADES DE ESPERANÇA MATEMÁTICA 
E VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 55 
6.1. Esperança matemática (média ou valor esperado de uma v. a.) 55 
6.2. Variância de uma variável aleatória 60 
 
CAPÍTULO 5 - ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS 
ALEATÓRIAS DISCRETAS E CONTÍNUAS 1 
1. DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 1 
1.1. Uniforme 2 
1.2. Binomial (uma extensão da distribuição de Bernoulli) 5 
1.3. Multinomial 20 
1.4. Poisson 22 
1.5. Geométrica 33 
1.6. Binomial negativa 36 
1.7. Hipergeométrica 40 
2. DISTRIBUIÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 45 
2.1. Uniforme 45 
2.2. Exponencial 49 
2.3. Normal 54 
2.4. Lognormal 69 
2.5. Gamma 71 
2.6. Weibull 74 
2.7. Beta 76 
2.8. Qui-quadrado ( 2) 77 
2.9. F 79 
 
CAPÍTULO 6 - TESTES DE SIGNIFICÂNCIA 1 
1. INTRODUÇÃO 1 
1.1. Hipótese Estatística 2 
1.2. Hipótese de Nulidade e Hipótese Alternativa 3 
2. PROCEDIMENTOS PARA A REALIZAÇÃO DE UM TESTE DE 
HIPÓTESE 5 
3. TESTE Z 7 
3.1. Teste z para 1 média 7 
4. TESTE T 14 
4.2. Teste t para duas médias (2 amostras independentes) 19 
5. TESTE DE QUI-QUADRADO 28 
5.1. Teste de Aderência 29 
5.2. Teste para independência 36 
6. TESTE F 38 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 7 - INTERVALOS DE CONFIANÇA 1 
1. INTRODUÇÃO 1 
2. INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA MÉDIA E VARIÂNCIA 3 
2.1. Intervalo de confiança para a média, quando a variância é conhecida 3 
2.2. Intervalo de confiança para média, quando a variância populacional 
é desconhecida 6 
2.3. Intervalo de confiança para a variância de uma população normal 9 
3. INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO 11 
4. DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA 13 
4.1.Baseado no I.C. para a média, quando 2 é conhecida 13 
4.2. Baseado no I.C. para a média, quando não conhecemos a 2 16 
 
CAPÍTULO 8 - NOÇÕES DE TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM 1 
1. INTRODUÇÃO 1 
2. QUESTIONÁRIO 2 
3. AMOSTRAGEM 3 
3.1. Amostragem Aleatória Simples 4 
3.2. Amostragem Sistemática 5 
3.3. Amostragem Aleatória Estratificada 6 
 
CAPÍTULO 9 - REGRESSÃO LINEAR E CORRELAÇÃO 1 
1. CORRELAÇÃO AMOSTRAL 2 
1.1. O Diagrama de dispersão 3 
1.2. O coeficiente de correlação 5 
2. REGRESSÃO LINEAR 7 
2.1. Modelo linear de 1º grau (REGRESSÃO LINEAR SIMPLES) 9 
2.2. Coeficiente de determinação 12 
2.3. Teste de hipótese na regressão linear simples 14 
2.4. Regressão linear múltipla 22 
 
ANEXO 1 – EXERCÍCIOS EXTRAS 1 
 
ANEXO 2 – TABELAS 1 
 
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 1 
CAPÍTULO 1 - Conceitos introdutórios 
1. Introdução 
1.1. Conceitos de estatística, população e amostra 
 
(V.M.11) Estatística é uma área da ciência ligada com a extração de informação de dados 
numéricos e a sua utilização na tomada de decisões (estabelecimento de inferências) sobre uma 
população da qual os dados foram obtidos. 
 
(M.G.1) Estatística corresponde ao campo da ciência que trata da coleção, apresentação, análise 
e uso de dados numéricos para a tomada de decisões e solução de problemas. 
 
 
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 2 
População: o conjunto de elementos que têm, em comum, determinada característica. As 
populações podem ser finitas ou infinitas. Além disso, existem populações que, embora finitas, 
são consideradas infinitas para qualquer finalidade prática. 
 
Amostra: qualquer conjunto de elementos retirado da população, desde que esse conjunto seja 
não-vazio e tenha menor número de elementos do que a população. 
 
Exemplos 
 
 
 
 
 O que seria, então, de interesse primário? A amostra ou a população? 
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 3 
outros conceitos importantes 
 Parâmetro: uma medida da população 
 
 Estimador: uma fórmula ou função dos elementos amostrais, usado para estimar um 
parâmetro 
 
 
 Estimativa: valor numérico associado ao estimador, obtido com base na amostra. 
 
 
Exemplo 
 
 
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 4 
1.2. Por que estudar estatística? 
 
 Possíveis razões para o estudo da Estatística: 
Atualização 
para facilitar o entendimento de artigos em revistas especializadas, que utilizam muito a 
estatística para a apresentação e interpretação dos resultados. 
Desenvolvimento de trabalhos 
É de fundamental importância para o auxílio no desenvolvimento de trabalhos científicos e no 
estabelecimento de posteriores conclusões. 
obs.: para quem tiver interesse no desenvolvimento de trabalhos de iniciação científica, ou 
mesmo, mais tarde, para quem pretender realizar um curso de pós-graduação. (podem ter 
certeza que farão, no mínimo, mais uma estatística na pós-graduação). 
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 5 
1.3. O uso da estatística 
 
 O método estatístico usado para 
o estimar a tensão de ruptura ou o coeficiente de dilatação térmica de um metal 
o estimar o tempo médio que leva uma secretária para executar uma tarefa 
o estimar a média do Q.I. (quociente de inteligência) dos alunos que pretendem 
ingressar em algum curso da UFV. 
É O MESMO! 
 O método estatístico usado para 
o comparar o trabalho de duas máquinas 
o comparar a efetividade de dois processos de ensino 
o comparar o mérito de dois fertilizantes 
o comparar a audiência de dois programas de rádio. 
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 6 
2. Tópico Especial 
2.1. SOMATÓRIO 
2.1.1. Introdução 
X i
i
n


1
 
Lê-se: somatório deX índice i, com i variando de 1 até n, onde: 
 
n, é a ordem da última parcela ou limite superior (LS) do somatório; 
i=1, é a ordem da primeira parcela da soma ou limite inferior do somatório (LI); 
i, é o índice 
 
 
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 7 
Principais representações: 
 1) X i
i
n


1
= X X Xn1 2   , soma simples 
 2) X X X Xi n
i
n
2
1
2
2
2 2
1
   

  , soma de quadrados (SQ) 
 3) ( )X i
i
n


1
2
= ( )X X Xn1 2
2   , quadrado da soma 
 4) X Y X Y X Y X Yi i n n
i
n
   

 1 1 2 2
1
 , soma de produtos (SP) 
 5) X Y X X X Y Y Yi j n m
j
m
i
n
      

 ( ).( ... )1 2 1 2
11
 , produto das somas 
 
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 8 
2.1.2. Número de Termos (Parcelas) do Somatório (NT) 
 
 NT = (LS - LI) + 1 – r, 
onde r é o número de restrições a que o somatório está sujeito. 
 
Exemplo 1.2.: 
Obter o número de termos para os seguintes somatórios: 
 a) X i
i

3
8
, NT = (8-3) + 1 = 6 
 b) Yk
k
k



1
9 11
15
,
, NT = (15 - 1) + 1 - 2 = 13 
 c) 


3
1
2 ,)4(
i
iX NT = 3-1+1 = 3 termos, 
que são: 
2
3
2
2
2
1 )4()4()4( XXX  
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 9 
 
2.1.3. Propriedades de Somatório 
 
P.1. Somatório de uma constante k 
 k
i
n


1
 = k + k +...+ k = nk 
Exemplo 1.3.: 
a) 5
1
10
i 
 → NT = [(10 - 1) + 1](5) = 10(5) = 50 
b) Yj
i

3
12
 → NT = [(12 -3) + 1] Yj = 10 Yj 
 
 
 
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 10 
 
P.2. Somatório do produto de uma constante por uma variável 
 kX i
i
n


1
 = kX kX kX k X X X k Xn n i
i
n
1 2 1 2
1
       

... ( ... ) 
 
Exemplo 1.4.: 
a) 
i
n
i
i
i
nX
X k
 
  
1 12
1
2
1
2
, 
b) 
3 3
1 1
j i j i
i i
Y X Y X
 
  no caso, jk Y 
 
 
 
 
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 11 
P.3. Somatório de uma soma ou subtração de variáveis 
 
 ( )X Y W X Y Wi i i i i i
i
n
i
n
i
n
i
n
    


1111
 
 
considere o seguinte exemplo: 
Se X1 = 2; X2 = 4; X3 = 8, calcule de duas maneiras o 


3
1
2)4(
i
iX 
 
- usando o conceito de somatório 
 
- usando as propriedades 
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 12 
2.1.4. Somatório Duplo 
 
 j = 1 j = 2 j = 3 
i = 1 X11 X12 X13 
i = 2 X21 X22 X23 
 
 
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 13 
Exercícios Propostos 
1) Considerando os seguintes valores: 
 
X X X X
Y Y
1 2 3 4
1 2 3 4
2 6 7 9
1 4 5 11
   
    Y Y 
 Calcular: 
a) ( )Yi
i


 2 2
1
3
 
b) ( )X Yi i
i


 4
1
4
 
c) 
i
i
j
X
 
  
1
3
2
4
2( ) 
d) 
i
i j
j
X Y
 
  
2
4
2
3
3( ) 
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 14 
e) Mostre, algebricamente, que 


3
1
3
1
)(
j
ji
i
yx = 


3
1
3
1 j
j
i
i yx 
f) Verifique a equivalência das expressões do item e numericamente. Para esse fim escolha 
um conjunto numérico qualquer. 
R: a) 14 b) -60 c) 63 d) 51 
 
2) Efetuar 
a) ( )i
ji
2
1
3
1

 
 b) (opcional)
i j
i j
i
i 
  

3
6
0
2 3
( ).( ) 
R: a) 5(3 + 1/j) b) 429/20 
 
 
 
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 15 
3) Expanda os somatórios dados abaixo, compare as equações obtidas e depois calcule X1 e X3 : 
 
X X
X X
i
i
i
i
i i
i
i
i
i
 
 
 




 

42 364
34 324
1
6
2
1
6
2
1
1 3
6
1
1 3
6
,,
 
R: X1 = 2 e X3 = 6 ou X1 = 6 e X3 = 2. 
 
4) Calcular: 
a) ( )i j
ji



2
4
1
5
b) i j
ij



1
6
5
9
 
R.: a) 90 b) 735 
 
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 16 
2.2. PRODUTÓRIO 
2.2.1. Introdução 
 
X X X X
i n
i
n


 1 2
1
. .....
 
Lê-se: produtório de X índice i, com i variando de 1 a n. 
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 17 
Fatos: 
1) b b b b b b
n fatores
i
n
n
. . ....
  
 


1
 
2) cX cX cX cX c X X X c Xi n
i
n
n
n
n
i
i
n
  
 
 1 2
1
1 2
1
. ..... . . ..... 
cuidado! Na verdade deveríamos pensar (ou escrever) 


LS
LIi
i
NT
LS
LIi
i XccX 
3)    











 

n
i
i
n
i
i
n
i
nnnnii YXYYYXXXYXYXYXYX
111
21212211 ............ 
4) i n n
i
n

  
1
12 3. . ..... ! útil para simplificar notações 
5)  log log . ... log log ... log logX X X X X X X Xi n
i
n
n i
i
n
     
 
 1 2
1
1 2
1
 útil para ... 
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 18 
Exercícios resolvidos: 
Exemplo 1.6. 
Seja Gi ={1,2,3} e Hj ={0,2,4}. Calcule 
 
a) 
 
   
0625,0
144
9
12
)3(
12
)1(
4)34(3
32
4)4(
2
4)4(
2
222
3
2
1
3
2
1
2
















G
I
G
Ii
iG
i
i
i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 19 
b) 
5
6
30
6
1011882
6
)23(
6
)22(
6
)21(
3
)03(
3
)02(
3
)01(
2.3
)(
2.3
)(
2.3
)(
1.3
)(
1.3
)(
1.3
)(
3
)(
222222
2
23
2
22
2
21
2
13
2
12
2
11
2
1
3
1
2




















 









 







 
HGHGHGHGHGHG
j
HG
j i
ji
 
 
 
 
 
 
 
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 20 
Calcular: 
a) 
X X X X
i
i 
   
1
3
1 2 3
2 3 5 30. . . .
 
b)
Y Y Y Y
i
i
  

 1 2 3
1
3
3 5 7 105. . . .
 
c) 3 3 27 30 810
3
1
3
1
3
. ( )X Xi i
ii
  

 
d)  





3
2
1
3
2
1
2 901093.3
i
i
i
i
ii XX 
e) 

3
1i
iiYX = (X1Y1).( X2Y2). (X3Y3) = (2.3).(3.5).(5.7) = 6.15.35 = 3150 
 
Exemplo 1.7. 
 Sabendo-se que: 
 
X X
Y Y
1 2 3
1 2 3
2 3 5
3 5 7
  
  
 X
 Y
 
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 21 
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Seja uma variável X, assumindo os seguintes valores: 
 X = {5, 2, 3, 0, 1, 2, 6, 9, 4, 8} n=10 
Calcule: 
a) 
X i
i

1
10
 b) 
X i
i
2
1
10

 c) X i
i







1
10
2
 d) 
X
X
i
i
i
i
2 1
10
2
1
10
10
10 1












 
e)  X i
i


 4
1
10
 f)  X i
i


 4
2
1
10
 g) 
 X i
i



 4
10 1
2
1
10
 h) 
X i
i

1
10
10 
R.: a) 40; b) 240; c) 1600; d) 8,88; e) 0; f) 80; g) 8,88; h) 4 
 
 
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 22 
2) Sabendo-se que X i
i
 

 6
1
5
 e X i
i
2
1
5
12

 , calcule: 
a)  4 5
1
5
X i
i


 b)  X Xi i
i


 2
1
5
 c)  X i
i


 3
2
1
5
 
R.: a) 1; b) 24; c) 93 
 
3) Desenvolver e calcular: 
a)  i bj
ji



2
6
1
3
 b)  i j
ij



1
5
1
2
 c)  i j
ji


 3
0
2
1
2 2
 
d) cb
ji 

0
8
1
7
 e) i
ji
2
1
5
1
4

 
 
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 23 
4) Utilizando os dados da tabela abaixo, referente aos valores Xij calcule o resultado numérico 
quando possível: 
 j 
i 
1 2 3 4 
1 8 7 5 9 
2 4 0 10 2 
 
a) X i
i
1
1
2

 b) X j
j
1
1
4

 c) X ij
ji 

1
4
1
2
 d) 
X ij
j
j



1
3
4
 
e) X j
j
2
2
3

 f) 
1
21
2
4
X jj
j


 g) 6 1
1
3
4
X j
j
j


 h) X j
j
j
2
1
2
4


 
R.: a) 12; b) 29; c) 45; e) 10; f) 17/20; g) 3024; h) 80 
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 24 
5) Considere o artigo intitulado “A nonparametric test for the general two-sample problem”, por 
Baumgartner, Weib e Schindler; Biometrics 54, 1129 – 1135, 1998. Lá os autores apresentam 
uma fórmula para a estatística do teste B, como:B  
2
1 (Bx + By) 
Onde, 
Bx  

 





n
i
i
n
nmm
n
i
m
i
i
n
nm
G
n 1
2
)(
)
1
1(
1
)(
1
 e 
 
By  

 





n
j
j
m
nmn
m
j
m
j
j
m
nm
H
m 1
2
)(
)
1
1(
1
)(
1
 
 
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 25 
OBS: Para o conjuntos dos dados X1, X2, ..., Xn e Y1, Y2, ..., Ym, o rank Gi (ou Hj) de cada 
elemento Xi (ou Yj) é definido como o número de dados em ambos os conjuntos que são 
menores ou iguais a Xi (ou Yj). 
 
Pede-se: Considerando as informações acima, calcule o valor de B para os conjuntos de dados: 
Xi (i = 1, 2, ..., n) = 166, 247, 295, 588, 642 
Yj (j = 1, 2, ..., m) = 178, 182, 202, 393, 906 
 
Resposta: Bx = 0,378 ; By = 0,500 ; B = 0,439 
Dica: Verifique, inicialmente, que m = n = 5 e 
 Gi (i = 1, 2, ..., n) = 1, 5, 6, 8, 9 
 Hj (j = 1, 2, ..., m) = 2, 3, 4, 7, 10 
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 1 
CAPÍTULO 2 - Estatística Descritiva 
 Estatística: estatística indutiva (inferência estatística) e estatística descritiva. 
1. Estatística Indutiva: (Inferência Estatística) 
 A ser tratado no final do curso 
2. Estatística Descritiva 
 Procura somente descrever e avaliar um certo grupo, seja ele a população ou a amostra. 
 
Obs.: Quais seriam as etapas de um trabalho científico? 
 
 
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 2 
Etapas de um trabalho científico: 
1. Definição do problema 
2. Planejamento (incluindo revisão de literatura) 
3. Coleta dos dados 
a. Crítica dos dados 
4. Apresentação dos dados 
a. tabelas 
b. gráficos 
5. Descrição dos dados 
6. Análise e estabelecimento de inferências. Esta parte estaria além da simples “Estatística 
Descritiva”. Na verdade essa etapa caracterizaria a “Estatística Indutiva”, ou também 
chamada “Estatística Inferencial”, ou “Inferência Estatística”. 
Exemplos: 
Estatística Descritiva 
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 3 
 
Veremos: Apresentações (e descrições resumidas) dos dados. 
 
 métodos gráficos 
o envolvendo apresentação gráfica e/ou 
o tabular 
 
 métodos numéricos 
o envolvendo apresentações de medidas de posição e/ou 
o de dispersão 
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 4 
3. Apresentação gráfica e tabular 
 
 Gráficos: uma das formas mais eficientes de apresentação de dados. 
o Um gráfico é, essencialmente, uma figura constituida a partir de uma tabela. 
 
 Tabelas: idéia mais precisa; possibilitam uma inspeção mais rigorosa aos dados. 
 
 Gráficos: mais indicados em situações que objetivam dar uma visão mais rápida e fácil. 
 
Cuidado com as regras gerais para confecção de tabelas e gráficos 
 
Obs.: as tabelas (e figuras) devem ter significado próprio, ou seja, devem ser entendidas mesmo 
quando não se lê o texto em que estão apresentadas → títulos bem escritos. 
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 5 
Veremos: 
 
 Diagrama de pontos 
 
 Diagrama de ramos-e-folhas 
 
 Tabela de distribuição de frequências 
 
 Histograma (e Ogiva) 
 
 Outros (eventualmente) 
 
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 6 
Diagrama de pontos (dot diagram) (ou diagrama uniaxial de variação) 
 
Útil para apresentar um pequeno conjunto de dados (até algo em torno de 20 observações). 
 podemos ver, de uma maneira rápida e fácil: 
o a tendência central dos dados 
o sua distribuição ou variabilidade. 
 
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 7 
Exemplo 2.1.: 
Considere o seguinte resultado de um experimento no qual o engenheiro testa adição de uma 
substância em cimento de construção para determinar seu efeito na força da tensão de aderência 
(em determinada unidade/cm2): 
Dados: 16,85 16,40 17,21 16,35 16,52 17,04 16,96 17,15 16,59 16,57 
 
 Observe que os dados estão centrados num valor próximo de 16,8 e que os valores da 
tensão de aderência caem no intervalo de cerca de 16,3 até 17,2 ud/cm2. 
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 8 
Obs.: pode também ser usado para se comparar dois ou mais conjuntos de dados. 
 
Exemplo: suponha ter sido também verificado a tensão de aderência em cimentos não 
modificados com o aditivo. 
 
Dados: 
17,00 17,13 17,75 17,50 17,36 17,25 17,72 17,40 17,46 17,65 
 
 
Faça a comparação e conclua. 
 
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 9 
Diagrama de ramos e folhas (stem-and-leaf diagram) 
 
 Quando número de observações é relativamente grande 
 quando se quer manter os detalhes informativos dos dados 
 nos dá uma idéia da distribuição dos valores originais. 
 
Exemplo 2.2.: (no R) 
 Barulho é medido em decibéis, representado por dB. Um decibel corresponde ao nível do 
som mais fraco que pode ser ouvido em um local silencioso por alguém com boa audição. Um 
sussurro corresponde a cerca de 30 dB; a voz humana em conversação normal corresponde a 
cerca de 70dB; um rádio em volume alto cerca de 100 dB; Desconforto para os ouvidos 
geralmente ocorre a cerca de 120 dB. Os dados abaixo correspondem aos níveis de barulho 
medidos em 36 horários diferentes em um determinado local. 
scripts/exemplo%202.2%20no%20cap%202%20-%20ramos%20e%20folhas.R
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 10 
82 89 94 110 74 122 112 95 100 78 65 60 
90 83 87 75 114 85 69 94 124 115 107 88 
97 74 72 68 83 91 90 102 77 125 108 65 
 
6 0,5,5,8,9 
7 2,4,4,5,7,8 
8 2,3,3,5,7,8,9 
9 0,0,1,4,4,5,7 
10 0,2,7,8 
11 0,2,4,5 
12 2,4,5 
Figura 2.2: Níveis de barulho (em decibéis) medido em 36 horários diferentes em um 
determinado local. 
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 11 
 Distribuição de frequência (forma tabular) 
 
Organização dos dados em classes de ocorrência, ou não, segundo suas frequências absolutas. 
 
Obs.: util quando o número de valores distintos da variável em estudo é muito grande. Em tais 
casos seria útil dividir os valores em grupos, ou intervalos de classe. 
 
Obs.: (para definir o número de classes) 
i) não escolher muito poucas classes, para evitar perda de informação sobre os dados; 
ii) não escolher muitas classes, para ão mascarar algum padrão de distribuição para a variável 
em estudo. 
Na prática: tentar variados números de classes e verificar, com a ajuda de um computador, o 
número ideal para os dados em questão (a não ser que as classes já sejam pré-definidas) 
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 12 
Exemplo 2.3.: 
 
Tabela 2.3: Distribuição de frequências dos conceitos dos estudantes de EST 105 
matriculados no Segundo semestre de 2009. 
Conceitos (Notas) Número de alunos Porcentagem 
A (90 a 100) 14 7,07 
B (75 a 89) 32 16,16 
C (60 a 74) 50 25,25 
R (< 60) 63 31,82 
L 1/ 39 19,70 
 198 100,00 
FONTE: Departamento de Estat – UFV; 
1/ Reprovação por faltas. 
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 13 
Só para ilustrar comentário anterior: 
Comparando com a apresentação gráfica (apelo visual) 
A B C L R
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
A
BC
L
R
 
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 14 
Exemplo 2.4.: (no R) 
 Suponha que uma empresa deseja avaliar a distribuição dos salários pagos por hora a seus 
funcionários. Dados (dados brutos): 
13,3 15,2 12,4 15,8 9,6 10,4 13,2 8,8 8,3 8,5 10,2 11,5 12,6 10,7 12,6 9,7 12,1 13,5 
10,3 14,3 9,8 12,3 10,4 11,6 12,4 12,9 11,6 10,3 14,2 13,8 
 
Uma maneira de escolher o número de classes (k): n 
Amplitude da classe: (15,8 – 8,3)/5 = 1,5 
 
Considere a seguinte tabela (com intervalo fechado à esquerda): 
 
scripts/exemplo%202.4%20no%20cap2.r
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 15 
Tabela 2.4.: Distribuição de frequências dos salários pagos por hora aos funcionários da empresa XX 
Classes Frequências 
8,3 |– 9,8 5 
9,8 |– 11,3 7 
11,3 |– 12,8 9 
12,8 |– 14,3 6 
14,3 |– 15,8 3 
Número de observações 30 
 
 Se quiséssemos obter maiores informações sobreos dados, poderíamos montar uma nova 
tabela (Tabela 2.4.1.), incluindo outros tipos de frequência, como: frequência acumulada (fa), 
frequência relativa (fr), e frequência acumulada relativa (far). 
 
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 16 
Tabela 2.4.1.: Distribuição de frequências (frequência simples, fi; frequências acumuladas, fai; 
frequências relativas, fri; e frequências acumuladas relativas, fari) dos salários pagos por hora aos 
funcionários da empresa XX 
Classes fi fai fri fari 
8,3 |– 9,8 5 5 0,17 0,17 
9,8 |– 11,3 7 12 0,23 0,40 
11,3 |– 12,8 9 21 0,30 0,70 
12,8 |– 14,3 6 27 0,20 0,90 
14,3 |– 15,8 3 30 0,10 1,00 
 30 1,00 
 
Verifique se consegue entender como são obtidos esses diferentes tipos de frequências. Os 
próprios nomes atribuidos a elas são bastante sugestivos. 
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 17 
Algumas discussões: 
 
i) Na terceira coluna, a frequência acumulada 21 indica que, nessa empresa, 21 funcionários 
recebem salários/hora abaixo de 12,8 unidades; 
 
ii) Podemos constatar, também, uma certa predominância de salários mais baixos. Realmente 
cerca de 70% da distribuição de salários concentra-se até o salário de 12,8 unidades; 
 
iii) Os maiores salários servem a apenas 10% dos funcionários da empresa; 
 
iv) 40% dos funcionários (12 funcionários) recebem até 11,3 unidades, sendo 23% (ou seja, 
7 funcionários) recebendo entre 9,8 e 11,3 unidades. 
 
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 18 
Histograma 
 
 É essencialmente uma representação gráfica de uma tabela de distribuição de freqüências, 
quando temos classes com valores numéricos apresentando continuidade. 
 
 Feito a partir das frequências simples de cada classe ou a partir das frequências relativas. 
 
 Bastaria informar corretamente o que seria usado no eixo vertical. 
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 19 
 
Figura 2.4.1: aqui vem o título da figura. 
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 20 
 
 
Figura 2.4.1: aqui vem o título da figura. 
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 21 
 
Se usar as frequências acumuladas, ou frequências acumuladas relativas. Nesse caso teríamos a 
chamada Ogiva, ou ogiva percentual, respectivamente 
 
Figura 2.4.2.: aqui vem o título da figura. 
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 22 
Obs.: comparação do uso de diferentes números de classes (classes definidas como no exemplo 
versus classes com amplitude 1. Qual melhor reprentaria o conjunto de dados original? 
classes
fr
e
q
. 
s
im
p
le
s
8 10 12 14 16
0
2
4
6
8
classes
fr
e
q
. 
s
im
p
le
s
8 10 12 14 16
0
1
2
3
4
5
6
7
 
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 23 
4. Medidas de posição e de dispersão 
 Apresentaremos algumas estatísticas úteis para resumir, de modo bastante conciso, as 
informações contidas em um conjunto de dados. 
 
 
4.1. Medidas de Posição 
 
Veremos: 
 Média aritmética 
 Mediana 
 Moda 
estatística: alguma quantidade numérica 
cujo valor é determinado pelos dados. 
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 24 
 4.1.1. Média Aritmética 
 Dado um conjunto de n valores numéricos x1, x2, …, xn, 
n
x
x
n
i
i
 1 
Exemplo: x = {10, 15, 11} → 12
3
36
3
111510
3
3
1 



i
ix
x 
 
Exemplo: x = {50,20,20,30,40,30,20,40,30,30} → 31
10
310
10
30...2050
10
10
1 



i
ix
x 
 
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 25 
obs.: Simplificando o cálculo da média: se yi = axi + b (i = 1,...,n) e a e b são constantes, então 
bxa
n
bax
n
bax
n
y
y
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i






 1111
)(
 
Exemplo 2.5.: 
 Considere o seguinte conjunto de dados: 
284, 280, 277, 282, 279, 285, 281, 283, 278, 277 
encontre a média desses valores. 
solução: 
Solução direta: 


10
277280284 
x 280,6; 
 
outra solução: faça yi = xi – 280, ou seja, yi = 4, 0, -3, 2, -1, 5, 1, 3, -2, -3. 
A média dos valores transformados será: 
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 26 
.6,010/6 y 
Desse modo, 
.6,280280  yx 
 
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 27 
OBS.: média para dados organizados em uma tabela de distribuição de frequências 
n
xf
x
k
i
ii
 1 , onde 


k
i
ifn
1
 
 
Exemplo 2.6.: (no R) 
distribuição de frequência das idades de jovens em determinada lanchonete a determinada hora. 
Idade Frequência 
15 14 
16 15 
17 14 
18 4 
19 5 
20 2 
 
 
Media ponderada 
Encontre a média aritmética da idade dos indivíduos: 
solução: 
x (14.15 + 15.16 + 14.17 +49.18 + 5.19 + 2.20)/54  16,57. 
 
scripts/exemplo%202.6%20no%20cap2.r
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 28 
OBS.: se a tabela for organizada em classes de valores da variável: 
Exemplo 2.7.: (no R) 
Considere a tabela abaixo, adaptada do exemplo anterior: 
Idade Frequência 
15 a 16 29 
17 a 18 18 
19 a 20 7 
 
 
Assim, teríamos 
(29.15,5) (18.17,5) (7.19,5) (29.15,5) (18.17,5) (7.19,5)
(29 18 7) 54
x
   
  
  16,68 
 
 
Substituir as classes pelos seus 
pontos médios = (LSi + LIi)/2 
Idade Frequência 
15,5 29 
17,5 18 
19,5 7 
 
Média aproximada!! 
scripts/exemplo%202.7%20no%20cap2.r
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 29 
4.1.2. Mediana amostral 
valor intermediário do rol de um conjunto de dados. 
 
 Se n for ímpar: Xmd será o valor que ocupa a posição (n + 1)/2; 
 
Exemplo: X = {1, 2, 5, 8, 10, 15, 18} → Xmd = X(n+1)/2 = X(7+1)/2 = X4 = 8 
 
 se n for par: mediana será a média dos valores ocupando as posições n/2 e n/2 +1. 
 
Exemplo: X = {1, 2, 15, 8, 10, 5, 18, 9} → Xmd = 0,5[Xn/2 + Xn/2 +1] = 0,5[X4 + X5] = 8,5 
 
 
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 30 
Exemplo 2.8.: 
Dados 
Idade Frequência 
15 14 
16 15 
17 14 
18 4 
19 5 
20 2 
 n = 54 
solução: 
já que temos 54 observações, segue que a mediana amostral será a media dos valores ocupando 
as posições 27 e 28, quando essas 54 observações são organizadas em ordem crescente. Portanto 
a mediana será o valor 16. 
 
Encontre a mediana da idade dos indivíduos: 
 
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 31 
OBS.: a escolha entre média e mediana depende do tipo de informação que o pesquisador tenta 
obter dos dados. A media é afetada por valores extremos ocorrendo na distribuição, 
enquanto a mediana faz uso de apenas um ou dois valores centrais, não sendo, portanto, 
afetada por valores extremos. 
 
Exemplos: 
 
 
 
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 32 
4.1.3. Moda amostral 
 É o valor que ocorre com maior frequência. 
 Podemos ter séries amodais, unimodais, bimodais ou multimodais, dependendo do número 
de valores modais (0, 1, 2, mais que 2, respectivamente) ocorrendo na amostra. 
 
Exemplo 2.9.: 
Dados 
Idade Frequência 
15 14 
16 15 
17 14 
18 4 
19 5 
20 2 
 n = 54 
Xmo = 16 
Justificativa: esse valor ocorre com maior frequência na 
distribuição. 
 
Essa seria uma distribuição unimodal. 
 
 
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 33 
4.2. Medidas de Dispersão 
Úteis para complementar as informações fornecidas pelas medidas de posição. Descrevem a 
variabilidade ocorrendo no conjunto de dados sendo analisados. 
 
Exemplo introdutório: 
Sejam as notas (em matemática, inglês e biologia) de dois candidatos a certo emprego: 
 
X = {100, 60, 80} Y = {81, 82, 77} 
 
Qual candidato você selecionaria? Justifique. 
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 34 
4.2.1. Variância amostral 
 A variância amostral de um conjunto de dados, x1, x2, …, xn, é definida por 
1
)(
1
2
2





n
xx
s
n
i
i
= 1n
SQD x
, 
Exemplo 2.10.: 
 encontre a variância amostral para os dois conjuntos de dados abaixo: 
A: 3, 4, 6, 7, 10 B: -20, 5, 15, 24 
solução: 
 a média para o conjunto A é 6; portanto a variância será: 
s2 = [(-3)2+(-2)2 + (0)2 + 12 + 42]/4 = 7,5 
a média para o conjunto B também é 6; portanto a variância de B será: 
s2 = [(-26)2 + (-1)2 + 92 + (18)2]/3  360,67 
 SQDx: soma de quadrados 
dos desvios de X. 
 
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 35 
Obs.: Para o cálculo da variância útil se faz a seguinte identidade algébrica: 
n
x
xxnx)xx(
2n
1i
in
1i
2
i
2
n
1i
2
i
n
1i
2
i








 

 
 
Obs.: o cálculo da variância pode ser simplificado por notar que se: 
baxy ii  , i = 1, …, n 
então 
221
22
1
2
2
1
)(
1
)(
x
n
i
i
n
i
i
y sa
n
xxa
n
yy
s 








 
 
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 36 
Exemplo 2.11.: 
 O conjunto de dados abaixo fornece o número mundial de acidentes aéreos fatais de 
aeronaves comerciais nos anos de 1985 a 1993. 
Ano 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 
Acidentes 22 22 26 28 27 25 30 29 24 
encontre a variância amostral do número de acidentes nesses anos. 
solução: 
 considere o seguinte conjunto de dados resultante da subtração de 22 de cada valor original: 
0, 0, 4, 6, 5, 3, 8, 7, 2 
chamando esses valores de y1, y2, …, y9, teremos 
,35
9
1

i
iy 203
9
1
2

i
y . 
361,8
8
)9/35(9203
2
2


s 
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 37 
OBS.: se a cada valor de X tivermos associado sua frequência de ocorrência, então 
 
1
)(
2
2





i
i
i
ii
f
xxf
s
 
= 1
)(
2
2






i
i
i
i
i
ii
ii
f
f
xf
xf
 
= 
1n
SQD
 
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 38 
Exemplo 2.12.:(no R) 
Dados: 
Idade Frequência 
15 14 
16 15 
17 14 
18 4 
19 5 
20 2 
 
Problema: cálculo pode conter muitos erros acumulados (aproximações sobre aproximações). 
Alternativa: 
SQD = 

 
i
i
i
ii
ii
f
xf
xf
2
2
)(
. 
encontre a variância da idade dos indivíduos 
 
solução: 
n = soma das frequências = 54; média = 16,6 
SQD = 14(15 – 16,6)2 + 15(16 – 16,6)2 + ... + 2(20 – 16,6)2 
= 103,24 
 
Assim, s2 = 103,24/53  1,9479; 
 
Soma dos quadrados = 14.152 + 15.162 + ... + 2.202 = 
14937 
Soma simples = 14.15 + 15.16 + ... + 2.20 = 895 
Logo, SQD = 14937 – (895)2/54  103,2037 
 
e s2 = 103,2037/53 = 1,9472 
scripts/exemplo%202.12%20no%20cap2.r
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 39 
Exemplo 2.13.: (no R) 
Considere a tabela abaixo, adaptada do exemplo anterior: 
Idade Frequência 
15 a 16 29 
17 a 18 18 
19 a 20 7 
 
 
Assim, teríamos 
soma de quadrados = 29.15,52 + 18.17,52 + 7.19,52 = 15141,5 
soma simples = 29.15,5 + 18.17,5 + 7.19,5 = 901 
Assim, SQD = 15141,5 – (901)2/54 = 108,1481 
e 
s2 = 108,1481/53  2,0405. 
Substituir as classes pelos seus 
pontos médios = (LSi + LIi)/2 
Idade Frequência 
15,5 29 
17,5 18 
19,5 7 
 
variância aproximada 
scripts/exemplo%202.13%20no%20cap2.r
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 40 
4.2.2. Desvio padrão amostral 
 Raiz quadrada positiva da variância amostral 
1
)(
1
2
2





n
xx
ss
n
i
i
 
 
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 41 
4.2.3. Amplitude total 
 A amplitude total (AT) é a diferença entre o maior e o menor valor da série. 
 
AT = max(X) – min(X) 
 
 Tem a vantagem de ser rápido e fácil de ser calculada 
 
 Fornece um número índice grosseiro da variabilidade de uma distribuição, por levar em 
conta apenas 2 valores de um conjunto. 
 
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 42 
4.2.4. Erro-padrão da média 
 O erro-padrão da média mede a precisão da média. Sua fórmula é dada por: 
n
s
n
s
XVsXs XX
X

2
)()(
 
 
Obs.: 
maior erro padrão da média → menor precisão 
menor erro padrão da média → maior precisão 
 
Obs.: como ter confiança nos dados obtidos de certo experimento? Ou seja, como obter maior 
precisão num experimento? Discutir... 
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 43 
4.2.5. Coeficiente de Variação 
 É uma medida de dispersão relativa. 
 Útil para comparação, em termos relativos, do grau de concentração, em torno da média, de 
séries distintas. 
 Permite a comparação de séries de variáveis com unidades diferentes. 
 
100(%)CV 
X
sX
 
 
OBS.: sejam duas amostras distintas A e B. 
A amostra mais homogênea (de menor variabilidade relativa) será a que tiver o menor CV. 
 
Obs.: se BA XX  , então o próprio desvio padrão informará qual é a mais homogênea. 
Obs.: valores muito altos de C.V. indicam pequena representatividade da média. 
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 44 
Exemplo 2.14.: 
 Supor duas amostras: A={1, 3, 5}; B={53, 55, 57}. Pergunta-se: 
Qual das duas é a mais homogênea? 
 
solução: 
C.V.A = 2/3(100) = 66,7%; C.V.B = 2/55(100) = 3,6% 
 
Portanto a amostra B é a mais homogênea. 
 
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 45 
Exercícios resolvidos: 
Exemplo 2.15. (no R) 
Considere os dados (fictícios) abaixo referentes ao tempo em minutos de secagem de certa 
mistura especial de concreto, que está sob pesquisa. 
13,2 23,3 20,9 9,0 14,7 12,7 18,0 11,8 4,7 10,6 
17,8 9,6 5,6 12,7 10,5 26,6 2,1 3,0 11,6 18,8 
22,2 9,0 10,8 15,0 16,8 24,3 13,9 14,1 15,1 19,5 
23,7 10,9 15,2 23,7 17,9 28,3 18,1 27,5 20,8 23,5 
34,8 30,8 12,2 8,8 28,5 31,2 24,2 11,4 14,1 32,3 
 
Utilize apenas a primeira linha 
 
 
scripts/exemplo%202.15%20no%20cap2.r
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 46 
a) Obtenha a média do tempo de secagem; 
min89,13
10
9,138
10
10,64,711,818,012,714,79,020,923,313,21 




n
X
X
n
i
i
 
 
b) Obtenha a mediana do tempo de secagem. Interprete o resultado obtido; 
Dados ordenados: 
4,7 9,0 10,6 11,8 12,7 13,2 14,7 18,0 10,9 23,3 
min95,12)2,137,12(
2
1
)(
2
1
2
1
10 65
1
22











xxXXXn nnmd 
 
 
 
 
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 47 
c) Obtenha o desvio padrão do tempo de secagem; 
   
min5846,5
min1876,31
9
689,280
1
689,280
10
9,138
01,2210
01,221010,6²4,7²11,8²18,0²12,7²14,7²9,0²20,9²23,3²13,2²
138,910,64,711,818,012,714,79,020,923,313,2
2
22
2
2
2
2











ss
n
SQD
s
n
x
xSQD
x
x
i
i
i
i
 
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 48 
Exemplo 2.16. (no R) 
Considerando os dados do exemplo anterior (exemplo 2.15.), pede-se: Monte uma tabela de 
distribuição de freqüências com 5 classes de amplitude 7, e limite inferior da primeira classe 
igual a 1(um). Use intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. 
a) Apresente a tabela no espaço abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
classes if 
[1 , 8) 4 
[8 , 15) 19 
[15 , 22) 12 
[22 , 29) 11 
[29 , 36) 4 
 50 
scripts/exemplo%202.16%20no%20cap2.r
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 49 
b) Com referência à tabela em a, calcule a média aproximada do tempo de secagem 
 
 
 
 
 
 
c) Com referência à tabela em a, calcule a mediana aproximada do tempo de secagem. 
 
 
 
 
 
if Pmi 
4 4,5 
19 11,5 
12 18,5 
11 25,5 
4 32,5 
iaf Pmi 
4 4,5 
23 11,5 
35 18,5 
46 25,5 
50 32,5 
min38,17
50
869
50
32,5425,51118,51211,5194,54
5
1
5
1 






i
i
i
mii
f
Pf
X
 
R.: Classe mediana é a terceira que contém do 
24X ao 35X 
Portanto mediana = 18,5 min 
 
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 50 
d) Com referência à tabela em a, calcule a moda aproximada do tempo de secagem. 
R.: classe modal é a que possui maior freqüência. 
[8 ; 35)  moda min5,115
158


 
 
e) Com referência à tabela em a, calcule o desvio padrão aproximado de X; 
if Pmi 
4 4,5 
19 11,5 
12 18,5 
11 25,5 
4 32,5 
 
 
 
   
min79,7
min72,60
49
28,2975
1
28,2975
50
869
5,18078
18078,532,5²425,5²1118,5²1211,5²194,5²4
86932,5425,51118,51211,5194,54
2
22
2
2
2
2












ss
n
SQDs
n
x
xSQD
xf
xf
PX
i
i
ii
ii
mii
 
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 51 
f) Explique o motivo de estarmos nos referindo aos valores dos itens b,c,d e e acima como 
valores aproximados; 
 
g) Com referência à tabela em a, apresente o histograma. 
 
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 52 
Exercícios Propostos 
 
1) Considerando os dados amostrais abaixo, calcular: média aritmética, variância, desvio padrão, 
erro padrão da média e coeficiente de variação. (no R) 
Dados: 2, 3, 5, 1, 2, 1, 4, 3, 3, 4, 3.; R.:2,81; 1,56; 1,25; 0,37; 44,37% 
 
2) Em certa região a temperatura média é 20 0C e a precipitação média é 700 mm. O desvio 
padrão para temperatura é 3 0C, enquanto que a variância para a precipitação é 1225 mm2. 
Qual dos dois fenômenos apresenta maior variabilidade? Justifique. 
R.: a temperatura apresenta maior variabilidade relativa. Você justifica… 
 
 
scripts/cap2%20exerc%20propostos%201.r
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 53 
3) Um artigo retirado da revista Technometrics (Vol. 19, 1977, p. 425) apresenta os seguintes 
dados sobre a taxa de octanagem de várias misturas de gasolina: (no R) 
88,5 87,7 83,4 86,7 87,5 91,5 88,6 100,3 96,5 93,3 94,7 91,1 91,0 94,2 87,8 89,9 88,3
 87,6 84,3 86,7 84,3 86,7 88,2 90,8 88,3 98,8 94,2 92,7 93,2 91,0 90,1 93,4 88,5 90,1 89,2
 88,3 85,3 87,9 88,6 90,9 89,0 96,1 93,3 91,8 92,3 90,4 90,1 93,0 88,7 89,9 89,8 89,6 87,4
 88,4 88,9 91,2 89,3 94,4 92,7 91,8 91,6 90,4 91,1 92,6 89,8 90,6 91,1 90,4 89,3 89,7 90,3
 91,6 90,5 93,7 92,7 92,2 92,2 91,2 91,0 92,2 90,0 90,7 
a) Construa o diagrama de folhas-e-ramos para esses dados 
b) Construa a distribuição de frequência e o histograma. Use 8 intervalos de classe. 
c) Construa a distribuição de frequência e o histograma, agora com 16 intervalos de classe. 
d) Compare a forma dos dois histogramas em b e c. Ambos os histogramas mostram 
informações similares? 
 
scripts/cap2%20exerc%20propostos%203.r
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 54 
4) O seguinte conjunto de dados representa as “vidas” de 40 baterias de carro da mesma marca e 
mesmas características com aproximação até décimos do ano. As baterias tinham garantia 
para 3 anos. 
2,2 4,1 3,5 4,5 3,2 3,7 3,0 2,6 3,4 1,6 3,1 3,3 3,8 3,1 4,7 3,7 2,5 4,3
 3,4 3,6 2,9 3,3 3,9 3,1 3,3 3,1 3,7 4,4 3,2 4,1 1,9 3,4 4,7 3,8 3,2 2,6
 3,9 3,0 4,2 3,5 
a) Construa a distribuição de frequência e o histograma; 
b) Faça o gráfico da distribuição de frequências relativas acumuladas. 
c) Calcule a média aritmética dos dados originais 
d) Usando a distribuição de frequência conforme obtido em a calcule a média novamente. 
Para tal, considere os pontos médios de cada classe (média entre os dois limites de cada 
classe) para serem os valores da variável no cálculo da média. 
e) Obtenha a variância para os dados originais conforme feito para a média em c. 
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 55 
f) Obtenha a variância a partir da distribuição de frequência conforme feito para a média no 
ítem d. 
obs.: use 7 intervalos de classe. Amplitude da classe igual a 0,5. E o início do intervalo mais 
baixo em 1,5. 
 
5) Mostre que 
2
)( 
i
ii xxf = 

 
i
i
i
ii
ii
f
xf
xf
2
2
)(
 
 
6) Mostre que a soma dos desvios em relação à média,  
n
i
i xx )( , é igual a zero. 
 
 
 
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 56 
7) Considere a distribuição das notas dos estudantes de INF162 do I/2001: 
Classes fi Pmi 
[0, 20) 
[20, 40) 
[40, 60) 
[60, 80) 
[80, 100] 
2 
4 
14 
49 
9 
10 
30 
50 
70 
90 
 
 Pede-se: 
a) Calcule o valor aproximado para a média amostral. R:  65,13 
b) Indique a classe de valores que contém a mediana amostral. 
c) Calcule o valor aproximado para o erro padrão da média. R:  1,86 
d) Se subtrairmos 50 de cada valor original, como seria a nova tabela de distribuição das 
frequências? 
d.1) Qual seria a média aproximada dos novos valores? R:  15,13 
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 57 
d.2) Qual seria a variância aproximada dos novos valores? R:  272,0612 
e) Sabe-se que, para os valores originais, a média amostral é igual a 64,24167, e a variância 
amostral é 253,6385. Obtenha a soma dos quadrados dos valores originais. R:341435,52 
OBS: Os valores podem não ser exatos devido a pequenas aproximações realizadas. 
f) A partir da tabela dada no problema, construa o histograma e a ogiva percentual. 
g) Qual dos gráficos do item “f” deve ser usado para obter o valor aproximado da mediana? 
Obtenha esse valor. 
 
 
 
8) Mostre que a soma de quadrados dos desvios (SQD) em relação à média é um mínimo. Dica: 
Considere f(a) a função que representa a SQD em relação a a. Ou seja, 


n
i
i axaf
1
2
)()( . 
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 58 
Usando seus conhecimentos de cálculo, mostre que f(a) será mínimo quando a for igual a 
média dos valores de X. 
 
9) Calcule a média, mediana, e amplitude total dos valores dispostos no seguinte diagrama de 
ramos-e-folhas 
6 0 5 5 8 9 
7 2 4 4 5 7 8 
8 2 3 3 5 7 8 9 
9 0 0 1 4 4 5 7 
10 0 2 7 8 
11 0 2 4 5 
12 2 4 5 
R.: respectivamente: 90,6; 89,5; 65. 
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 1 
CAPÍTULO 3 - Tópicos gerais de probabilidade 
 
1. Introdução 
 
 base para: 
o entender como a inferência estatística e as técnicas de auxílio de decisão são 
desenvolvidas, 
o porque elas funcionam, 
o e como as conclusões obtidas a partir desses procedimentos podem ser apresentadas e 
interpretadas corretamente. 
 
 Para o perfeito entendimento de probabilidade, alguns conceitos são importantes. 
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 2 
2. Alguns Conceitos 
 
2.1.Experimentos probabilísticos ou aleatórios 
 Um experimento que pode resultar em diferentes resultados, mesmo que seja repetido 
sempre da mesma maneira várias vezes 
Obs.: “experimento”: um ensaio científico destinado à certificação de um fenômeno. 
 
 Características de um experimento aleatório: 
o Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições 
essencialmente inalteradas. 
o Difícil afirmar o resultado exato, mas é possível descrever o conjunto de todos os 
possíveis resultados de um experimento. 
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 3 
o se o experimento for repetido um grande número de vezes, uma certa 
regularidade surgirá. 
 esta regularidade → modelo matemático preciso → se analisará o 
experimento. 
 
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 4 
Exemplo 3.1.: 
 (i) 1E : Ensaiar uma lâmpada quanto a duração da vida até queimar 
 
 (ii) 2E : Escolher, ao acaso, um ponto de um círculo de raio unitário. 
 
 (iii) 3E : Registrar as vazões num certo rio, no mesmo mês, dia e hora em anos sucessivos. 
 
 (iv) 4E : jogar um dado ao ar e observar a sua face superior. 
 
 (v) E5 : Seleção de três ítens ao acaso de uma linha de fabricação. Cada ítem é inspecionado 
e classificado com defeituoso ou não defeituoso. 
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 5 
2.2.Espaço amostral (S) 
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório 
 
Exemplo 3.2.: 
 Veja experimentos aleatórios exemplificados anteriormente: 
 (i) S1 = {t | t  0} 
 (ii) S2 = {(x,y); x
2 + y2  1} 
 (iii) S3 = {q | 0  q  qmax} , onde q é a vazão 
(iv) S4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
(v) S5 = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN} 
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 6 
2.3.Eventos 
um subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. 
 
Exemplo 3.3.: 
Veja o S4 apresentado acima. Possíveis eventos: 
A={sair número par}={2,4,6}; ou B={sair número maior que 4}={5,6}, etc. 
 
OBS.:Novos eventos podem ser originados da combinação de eventos existentes. 
união de eventos → E1  E2. 
interseção de eventos → E1  E2. 
complemento de um evento → E (ou Ec)EST 106 Prof. Luiz Alexandre Peternelli 
 7 
2.4.Eventos Mutuamente Exclusivos 
 AB =  
 
Exemplo 3.4.: 
Veja S4 acima. 
Considere os eventos A={1}; B={5, 6}; C={número par}. Então: 
 
A e B são mutuamente exclusivos pois AB =  
 
A e C são mutuamente exclusivos pois AC =  
 
B e C não são mutuamente exclusivos pois BC = {6}. 
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 8 
3. Noções Fundamentais de Probabilidade - Conceitos 
 
Como atribuir valores de probabilidade a eventos? 
 Conceito subjetivo, moderno ou axiomático de probabilidade 
 conceito clássico ou probabilidade a priori 
 frequência relativa ou probabilidade a posteriori ou probabilidade empírica 
 Probabilidade geométrica 
 
Combinando resultados... o Uso de teoremas 
o Probabilidade condicional 
o Produto das probabilidades 
o Independência probabilística 
o Partição do espaço amostral e teorema de Bayes 
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 9 
3.1.Um conceito 
 Seja E um experimento aleatório. Seja S um espaço amostral associado ao experimento E. 
Podemos entender a probabilidade como sendo em número real associado a um evento A 
qualquer, que satisfaz às seguintes propriedades: 
(1) )A(P0  
(2) P(S) = 1 
(3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então P(AB) = P(A) + P(B) 
 
Generalizando ... 
P(A1A2...An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) = 
1
n
i
 P(Ai) 
 conceito subjetivo, moderno ou axiomático de probabilidade. 
Exemplo: 
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 10 
3.2.Outro Conceito 
NCF
P(A)=
NCP
 
 
 Regra mais prática → conceito clássico ou probabilidade a priori. 
 jogos de azar → origem à teoria de probabilidade nos idos do século XVI. 
 se aplica a situações em que temos S finitos, equiprováveis e enumeráveis. 
 
Espaço amostral finito equiprovável: 
 S = {a1, a2, …, an} 
   iaP Probabilidade de ai = 
n
1 
   n,...,2,1i,0aP i  e 1)a(P i
n
1i


 
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 11 
Exemplo 3.5.: 
i) Seja E o experimento relativo ao lançamento de um dado honesto. Seja A o evento 
ocorrência da face 6. Portanto, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} e P(A) = 1/6 
 
 
ii) Considerando ainda o mesmo experimento, seja B o evento ocorrência de uma face par. 
Logo, B = {2, 4, 6}; então: P(B) = 3/6 = ½ 
 
 
 
iii) Seja o espaço amostral referente ao número de caras obtidas em dois lances de uma 
moeda. Seja A o evento ocorrência de uma cara. Então, S = {0, 1, 2} e A = {1}. Qual 
seria a P(A)? 
 
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 12 
Cuidado! 
espaço amostral original: S' = {cc, ck, kc, kk}, sendo c=cara e k=coroa, 
vê-se que A = {ck, kc} e, portanto, P(A) = 2/4 = 1/2. 
 
 
Exemplo: 
 
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 13 
3.3.Ainda outro conceito 
 maneira teórica mais objetiva se experimento pode ser repetido indefinidas vezes. 
( )lim ( )r A
n
f P A

 . 
 frequência relativa ou probabilidade a posteriori ou probabilidade empírica. 
 
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 14 
Exemplo 3.6.: 
Em 660 lançamentos de uma moeda foram observadas 310 caras. Qual a probabilidade de, num 
lançamento dessa moeda obter-se coroa? 
 f = 350/660 = 0,5303. Esta frequência relativa seria a estimativa da probabilidade do evento 
A={obter coroa num lançamento dessa moeda}. 
 
Exemplo 3.7.: (série histórica) 
Em Sobral, no Ceará, observaram-se seis anos de seca no período 1901-66 (66 anos). Qual é a 
probabilidade do próximo ano ser seco? 
 Aqui, a estimativa f da probabilidade p será: f = 6/66 = 1/11. 
 
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 15 
Importante: 
 A probabilidade assim determinada é apenas uma estimativa do verdadeiro valor. 
 
 Quanto maior a amostra, mais confiável é a estimativa da probabilidade (desde que os 
princípios teóricos de amostragem sejam considerados ). 
 
 A probabilidade só é válida para um conjunto de condições idênticas àquelas sob as quais 
se originaram os dados. 
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 16 
Exemplo 3.8.: 
 
A tabela a seguir apresenta o resultado hipotético do lançamento de uma moeda 10 vezes 
consecutivas 
 
Face Freqüência 
observada 
Freqüência relativa Freqüência 
esperada 
Freqüência esperada 
relativa 
Cara 2 2/10 = 0,2 5 1/2 = 0,5 
coroa 8 8/10 = 0,8 5 1/2 = 0,5 
 10 1,0 
 
 
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 17 
0 1 2 3 4 5 6
0
2
4
sample(6, 6, T)
1 2 3 4 5 6
0
2
4
sample(6, 12, T)
0 1 2 3 4 5 6
0
4
8
1
4
sample(6, 60, T)
1 2 3 4 5 6
0
2
0
4
0
sample(6, 240, T)
1 2 3 4 5 6
0
2
0
0
sample(6, 2400, T)
1 2 3 4 5 6
0
2
0
0
0
sample(6, 24000, T)
 
Exemplo 3.9.: Arremessos 
de um dado honesto (6 a 24000 
vezes). (no R) 
 
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 18 
3.4.Uma definição – Probabilidade Geométrica 
 
 Suponhamos que um segmento l seja parte de um outro segmento L 
 Escolhe-se ao acaso um ponto de L . 
 Se admitirmos que a probabilidade de este ponto pertencer a l é proporcional ao 
comprimento de l e não depende do lugar que l ocupa em L , então a probabilidade de 
que o ponto selecionado esteja em l será 
 
L
l
P
 de ocompriment
 de ocompriment
 
Exemplo: 
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 19 
Analogamente: 
 suponhamos que uma figura plana g seja parte de uma outra figura plana G 
 Escolhe-se ao acaso um ponto de G. 
 Se admitirmos que a probabilidade de este ponto pertencer a g é proporcional à área de g 
e não depende do lugar que g ocupa em G, então a probabilidade de que o ponto 
selecionado esteja em g será: 
 
G
g
P
 de área
 de área
 
 
Exemplo: 
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 20 
4. Principais Teoremas para o Cálculo de Probabilidades 
 
 Cálculo de probabilidades: 
o axiomas (conceito moderno) 
o Teoremas auxíliares. 
Obs.: diagramas de Venn → compreensão dos teoremas e demonstração. 
 
I) Se  for o conjunto vazio, então P() = 0 
Prova: 
A = A 
P(A) = P(A) = P(A) + P() (propriedade 2) 
logo, P() = P(A) – P(A) = 0 
 
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 21 
II) Se Ac é o complemento de A, então P(Ac) = 1 – P(A) 
 
Diagrama: 
 
 
Prova: 
S = A  Ac  1 = P(A) + P(Ac) (propriedades 2 e 3) 
logo, P(Ac) = 1 – P(A). 
 
A 
Ac 
S 
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 22 
III) Se A e B forem dois eventos quaisquer, então P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 
 
Diagrama: 
 
 
Prova: 
A idéia desta demonstração é decompor AB e B em dois eventos mutuamente exclusivos. 
logo, podemos escrever: 
AB = A  (B Ac) ......(1) 
B = (AB)  (B Ac) .....(2) consequentemente, 
P(AB) = P(A) + P(B Ac) .....(1) 
P(B) = P(AB) + P(BA ) .....(2) 
 Fazendo-se (1) – (2), tem-se: 
A B 
AB 
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 23 
P(AB) - P(B) = P(A) – P(AB) e , então: 
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) 
 
FATO: Para três eventos quaisquer A, B e C, temos que: 
P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC) 
 
Exemplo: 
 
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 24 
IV) Se A  B, então P(A)  P(B) 
 
Diagrama: 
 
 
Prova: 
B = A  (B Ac) 
P(B) = P[A  (B Ac)] 
P(B) = P(A) + P(B Ac) 
logo P(B) é  P(A) pois P(B Ac) é  0 (propriedade 1) 
A 
B 
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 25 
5. Probabilidade Condicional 
 
Sejam E → S → eventos A e B 
P(B|A) = 
( )
( )
P A B
P A

 , para P(A) > 0 
Analogamente: P(A|B) = 
( )
( )
P A B
P B

, para P(B) > 0 
Obs.: Pode-se verificar que P(B|A) satisfaz aos postulados de probabilidade: 
i. 0 ≤ P(B|A) ≤ 1 
ii. P(S|A) = 1 
iii. P[(B1  B2)|A] = P(B1|A) + P(B2|A) – P[(B1  B2)|A], 
ou P(B1|A) + P(B2|A) se B1  B2 = . 
Obs: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: P(B|A) = P(A|B) = 0 
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Exemplo 3.12.: 
 Os dados abaixo se referem a 200 alunos matriculados em determinado Instituto de 
matemática, de acordo com o sexo e o curso: 
 Masculino Feminino Total 
Matemática Pura 60 50 110 
Estatística 80 10 90 
Total 140 60 200 
 Qual seria a probabilidade de uma pessoa aleatoriamente escolhida: 
a) Estar matriculada em matemática pura? 
b) Estar matriculada em matemática pura, dado ser homem? 
c) Ser homem? 
d) Ser homem dado que está matriculado em estatística? 
e) Estar matriculada em matemática pura, sabendo-se que é mulher? 
 
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 27 
Solução: 
sejam os eventos: A={aluno faz matemática pura} 
 E={aluno faz estatística} 
 M={aluno é do sexo masculino} 
 F={aluno é do sexo feminino} 
 
a) Estar matriculada em matemática pura? 
P(A) = 
110
200
NCF
NCP
 
 
b) Estar matriculada em matemática pura, dado ser homem? 
P(A|M) = 
60
( ) 60200
140( ) 140
200
P A M
P M

 
 
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 28 
 
c) Ser homem? 
P(M) = 
140
200
 
 
d) Ser homem dado que está matriculado em estatística? 
P(M|E) = 
80
( ) 80200
90( ) 90
200
P M E
P E

 
 
 
e) Estar matriculada em matemática pura, sabendo-se que é mulher? 
P(A|F) = 
50
( ) 50200
60( ) 60
200
P A F
P F

 
 
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 29 
Obs.: A P(B|A) pode ser calculada de duas maneiras: 
i) pela definição → P(AB) e P(A) são calculados em relação ao espaço amostral original S; 
ii) pelo conceito → espaço amostral reduzido. 
 
Exemplo extra 
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 30 
6. Teorema do Produto das Probabilidades 
 
Se 
( )
( | )
( )
P A H
P A H
P H


 
 então 
P(AH) = P(A|H) . P(H) 
 
 
Para três eventos A, B, C: P(ABC) = P[C|(AB)] . P(B|A) . P(A) 
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 31 
7. Independência Estocástica (ou Probabilística) 
 
Seja E → S → eventos A e B. 
A e B são independentes se: 
P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B) → P(AB) = P(A) . P(B) 
 
Obs: n eventos A1, A2, ..., An são mutuamente independentes se: 
 Para 1<i<j<k<n 
1 2
1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
i j i j
i j k i j k
n
n l
l
P A A P A P A
P A A A P A P A P A
P A A A P A

 
  
   
 
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 32 
Obs.: caso de três eventos 
 
três eventos A1, A2, A3 são mutuamente independentes se: 
 
1 2 1 2
1 3 1 3
2 3 2 3
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
P A A P A P A
P A A P A P A
P A A P A P A
P A A A P A P A P A
 
 
 
  
 
 
Exemplo: 
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 33 
Exemplo 3.14. 
Suponha que o cálculo da estrutura de certa construção esteja sendo realizado, 
independentemente, por dois engenheiros recém formados. Sabe-se que profissionais pouco 
experientes como estes erram este tipo de cálculo, em média, 8 vezes a cada 40 que executam. 
Pergunta-se: Qual a probabilidade de ambos não errarem no cálculo da estrutura dessa 
construção. 
 
Solução: 
P(errar) = 8/40 = 0,2 → P(não errar) = P(N) = 1 – 0,2 = 0,8 
 
Logo P(ambos não errarem) P(N1N2) = P(N1)P(N2) = 0,8
2 = 0,64 
 
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 34 
8. Partição do Espaço Amostral e o Teorema de BAYES 
 
8.1. Teorema da Probabilidade Total 
 
 
 
 
 
 A = (AB1)  (AB2)  ...  (ABn) 
Logo: 
P(A) = P(AB1) + P(AB2) + ... + P(ABn) 
 
 Mediante aplicação da probabilidade condicional e teorema do produto: 
B1 
B2 
B3 B4 
Bn 
A 
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 35 
P(ABi) = P(A|Bi) P(Bi), 
teremos 
P(A) = P(A|B1) P(B1) + P(A|B2) P(B2) + … + P(A|Bn) P(Bn) 
 
Ou seja, 
 
1
( ) ( | ) ( )
n
i i
i
P A P A B P B

 
 
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 36 
8.2. Teorema de Bayes 
 
Sejam A e B dois eventos arbitrários com P(A) > 0 e P(B) > 0. Então: 
 
P(B|A) = 
( ) ( | ) ( )
( ) ( )
P B A P A B P B
P A P A

 
 
Combinando este resultado com o teorema da probabilidade total, temos: 
1
( | ) ( )
( | )
( | ) ( )
j j
j n
i i
i
P A B P B
P B A
P A B P B


 
 
 
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 37 
Exemplo extra: 
Certo armazém recebe produtos dos fornecedores A, B e C na proporção 30:30:40, ou seja, 30% 
de A, 30% de B e 40% de C. De cada fornecedor sabemos que 10, 5 e 2% de sua produção são 
de produtos de pior qualidade (Ruins). Escolhido ao acaso um produto do armazém, pede-se: 
a) Qual a probabilidade do produto ser de pior qualidade? 
b) Sabendo-se que o produto é de pior qualidade, qual a probabilidade de que tenha vindo do 
fornecedor B)? 
c) Se você encontrou um produto de “ruim” e quer fazer uma reclamação, para qual 
fornecedor deverá ser dirigida tal reclamação? Suponha que você possa realizar apenas uma 
única reclamação, ou seja, apenas um dos fornecedores poderá ser contactado. 
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 38 
Exemplo 3.15.: 
 Em uma escola, as turmas A, B e C têm 40, 50 e 10 % do total de alunos de determinada 
série, respectivamente. Dos alunos de cada turma, 3, 5 e 2 %, respectivamente, serão 
reprovados. Escolhido ao acaso um aluno dessa série, pede-se: 
Qual a probabilidade de o aluno ser reprovado? 
Seleciona-se ao acaso um aluno dessa escola. Sabendo-se que o aluno será reprovado, qual a 
probabilidade de que ele seja da turma B? 
Solução: 
Sejam os eventos: A={aluno da turma A} 
 B={aluno da turma B} 
 C={aluno da turma C} 
 R={aluno reprovado} 
Método 1: 
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 39 
P(A) = 0,40 P(B) = 0,50 P(C) = 0,10 
P(R/A) = 0,03 P(R/B) = 0,05 P(R/C) = 0,02 
a)  )CR()BR()AR(R  
 P(R) = P(RA) + P(RB) + P(RC) 
 P(R) = P(A) . P(R/A) + P(B) . P(R/B) + P(C) . P(R/C) 
 P(R) = 0,40 . 0,03 + 0,50 . 0,05 + 0,10 . 0,02 
 P(R) = 0,012 + 0,025 + 0,002 = 0,039 
b) P(B/R) = P B R
P R
P B P R B
P R
( )
( )
( ). ( / )
( )
, . ,
,
,
,
,

    
0 50 0 05
0 039
0 025
0 039
25
39
0 641 
 
Método 2: 
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 40 
 R R 
 
A 0,012 0,388 0,40 
B 0,025 0,475 0,50 
C 0,002 0,098 0,10 

 0,039 0,961 1,00 
a) P(R) = 0,039 
b) P(B/R) = 0 025
0 039
0 641
,
,
, 
 
Método 3: (Diagrama em árvore) 
 
A
B
C
0,40
0,50
0,10
R
R
R
R
R
R
0,03
0,97
0,05
0,95
0,02
0,98 
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 41 
 
a) P(R) = P(AR) + P(BR) + P(CR) = 0,40 . 0,03 + 0,50 . 0,05 + 0,10 . 0,02 = 0,039 
b) P(B/R) = P B R
P R
( )
( )
, . ,
,
,

 
0 50 0 05
0 039
0 641 
 
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 42 
Exercícios propostos 
1. Numa prova há 7 questões do tipo verdadeiro-falso ( V ou F ). Calcule a probabilidade de 
acertarmos todas as 7 questões se: 
a) Escolhermos aleatoriamente as 7 respostas. 
b) Escolhermos aleatoriamente as respostas, mas, sabendo que ha mais respostas V do F. 
 
2. Num exame de múltipla escolha há 3 alternativas para cada questão e apenas uma delas é 
correta. Portanto, para cada questão, um aluno tem probabilidade 1/3 de escolher a resposta 
correta se ele esta assinalando aleatoriamente e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe 30% das 
respostas do exame. Se ele assinalou corretamente uma das questões, qual é a probabilidade de 
que ele tenha a assinalado ao acaso ? 
 
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 43 
3. Certa firma utiliza um teste para classificar os funcionários em categorias; ao final eles são 
classificados em: 25% bons ( B ); 50% médios ( M ) e 25% fracos ( F ). 
 Um novo teste é proposto, de tal forma a classificar os funcionários como aprovado 
( A ) ou reprovado ( R ). Com base em informações do antigo teste, foram obtidas os seguintes 
resultados com o novo teste: 
CATEGO
RIAS 
% de 
APROVADO
S 
B 80 
M 50 
F 20 
 
 Deseja-se saber qual a probabilidadede um fucionário aprovado no novo teste, ser 
classificado como fraco pelo antigo teste ? 
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 44 
 
4. Considere a escolha aleatória de um número entre os 10 primeiros números inteiros positivos 
(a partir de 1), e os eventos: A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6,7} e C = {5,9}. Pede-se: Os eventos são 
Mutuamente Independentes ? Justifique. 
 
5. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada, aleatoriamente, 
dessa urna e não é reposta. Em seguida, duas bolas de cor diferente da bola extraída 
anteriormente ( branca ou vermelha ) são colocadas na urna. Se uma segunda bola é extraída 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de: 
a) A segunda bola ser vermelha ? 
b) A segunda bola ser da mesma cor da primeira ? 
 
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 45 
6. Tendo-se tomado, ao acaso, dois números positivos x e y, que não excedem a dois, determinar 
a probabilidade P de que o produto xy não exceda à unidade e o quociente y/x não exceda a dois. 
DICA: represente, num mesmo gráfico, essas duas funções e use seu conhecimento de Cálculo 
para solucionar o problema. 
 
7. Certo dispositivo para controle de natalidade usado por homens é eficiente em 95% dos casos, 
enquanto que um outro, para mulheres, é eficiente em 90% dos casos. Suponha que certa mulher 
esteja em seu período fétil. Se o casal sempre usa os contraceptivos, qual a probabilidade e a 
mulher ficar grávida após o ato sexual? Dica: defina os eventos Di = {defesa, ou seja, 
contraceptivo é eficiente na proteção do indivíduo i (i = m ou h, para mulher ou homem, 
respectivamente)} e G = {ficar grávida}. 
 
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 46 
8) Seja o sistema abaixo com 4 componentes funcionando independentemente, com 
confiabilidade p1, p2, p3 e p4. Obtenha a confiabilidade do sistema: 
 
 
 
 
 
 
Obs.: pi é a probabilidade do componente i (i = 1, 2, 3 e 4) funcionar. Cada pi é chamado de 
“confiabilidade do componente i”; 
Obs.: Se E: o sistema funciona, então P(E) é chamado “confiabilidade do sistema” 
Obs.: nesse exemplo considere pi = 0,5 para i = 1 a 4. 
 
4 
1 3 
2 
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 47 
9) Um teste de sangue em laboratório é 99% eficiente em detectar uma certa doença quando de 
fato essa doença está presente. No entanto, o teste também mostra resultados “falso positivos” 
em 1% dos casos. Se 0,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa 
realmente ter a doença se o resultado do teste de seu sangue foi positivo? Seria > 50% ou seria < 
50%? 
Obs.: falso positivo: se falso positivo = 1%, isso significa que se uma pessoa sadia é testada, 
então, com probabilidade 0,01 o teste implicará que ela tem a doença. 
Dica: defina os eventos D = {pessoa testada tem a doença} e E = {o resultados do teste é 
positivo}. 
 
RESPOSTAS 
1) a) 1/128 b) 1/64; 2) 7/16; 3) 0,10; 4) Não; 5) a) 41/72 b) 13/36 
6) aproximadamente 0,385; 7) 0,005; 8) 11/16; 9) 0,3322 
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 1 
 
 
CAPÍTULO 4 - Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade 
1. Conceito de variável aleatória 
 Uma função cujo valor é um número real determinado por cada elemento em um espaço 
amostral. 
 função que associa um número real a cada resultado de um experimento aleatório. 
 
 Esquematicamente temos: 
 
 
obs.:letras maiúsculas (X, Y, Z, etc.) → representa a v.a. 
a correspondente letra minúscula (x, y, z, etc.) → um dos seus valores. 
obs.: cada possível valor x de X representa um evento que é um subconjunto do espaço amostral. 
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 2 
 
 
Exemplo 4.1.: 
Duas peças são retiradas sucessivamente, sem reposição, de uma esteira, numa linha de 
fabricação. Faça B → peça boa; D → peça defeituosa. 
 Assim, 
S = {BB, BD, DB, DD}. 
 Se considerarmos a v.a. Y = número de peças boas retiradas teríamos: 
S* = {0, 1, 2}. 
 Fazendo uma correspondência entre S e S* teríamos: 
Evento 
Simples 
Y = y 
BB 2 
BD 1 
DB 1 
DD 0 
 
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 3 
 
 
Exemplo 4.2.: 
Considere o lançamento de duas moedas e seja X = no de caras obtidas, c = cara e k = coroa 
 S = {cc, ck, kc, kk}; X = {0, 1, 2}. 
 
Obs.: ainda para o exemplo 4.1., porém definindo outro experimento e, portanto, outro espaço 
amostral, poderíamos definir Y={tempo decorrido desde o início do experimento até a coleta de 
cada item defeituoso}. No caso, estamos definindo o “início” do experimento como sendo o 
momento em que iniciou a máquina. Teríamos, então, que o espaço amostral seria dado por 
Y={tempo t : t > 0}. Um experimento desse tipo teria como objetivo verificar se haveria relação 
entre o tempo de funcionamento da máquina e a ocorrência de peças defeituosas. Uma pergunta 
do persquisador poderia ser: Será que com o aquecimento da máquina ao longo do tempo 
ocorreria uma desregulagem e, portanto, um aumento de itens defeituosos (fora da 
especificação)? 
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 4 
 
 
Quando S contém um número finito de pontos, ou uma sequência infinita enumerável de pontos 
amostrais → espaço amostral discreto. 
A v.a. definida em S é chamada variável aleatória discreta (v.a.d.). 
 
Quando S contém pontos amostrais que formam uma continuidade → espaço amostral 
contínuo. 
A v.a. definida em S é chamada variável aleatótia contínua (v.a.c.). 
 
obs.: na maior parte dos problemas práticos as v.a.c. representam dados medidos, conforme já 
citado acima, e as v.a.d. representam dados contados, tais como o número de itens defeituosos 
em uma amostra de n peças ou o número de acidentes na estrada Viçosa – Belo Horizonte no 
ano passado. 
 
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 5 
 
 
Exemplo 4.3.: 
 v.a.d.: 
o nº de acidentes ocorridos em uma semana; 
o nº de defeitos por peça produzida por um fabricante; 
o nº de vitórias obtidas por um atleta; 
o nº de filhos do sexo masculino por casal. 
 v.a.c.: 
o Tempo de funcionamento de certo dispositivo eletrônico; 
o Volume de água desperdiçada; 
o Peso de animais capturados; 
o Diâmetro de peças produzidas por uma máquina. 
 
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 6 
 
 
Obs.: No caso das v.a.c. somente terão interesse as probabilidades de que a v.a. assuma valores 
em dados intervalos. Esse seria o caso, quando usamos o exemplo 4.1 modificado, do 
pesquisador ter interesse em calcular a probabilidade de que o item defeituoso ocorra entre os 
períodos t1 e t2 de funcionamento da máquina, ou após certo tempo de funcionamento da 
máquina. 
 
Em qualquer caso, estaríamos interessados no cálculo das probabilidades associadas ao 
evento hora definido. Essas probabilidades poderão ser determinadas com o conhecimento da 
distribuição de probabilidade da v.a. em estudo. 
 
 
 
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 7 
 
 
2. Distribuição de probabilidade 
 Depende se v.a.d. ou v.a.c.: 
2.1. X é uma v.a.d. 
 À coleção de pares [ ix , P( ix )], i = 1, 2, ..., n, denominaremos distribuição de 
probabilidade da v.a.d. X, 
 pode ser representada por meio de tabelas e/ou gráficos. 
 
Nesse caso precisamos saber os valores da v.a.d. X e de sua função de probabilidade. 
 Chama-se função de probabilidade (f.p.) da v.a.d. X, a função 
( ) ( )i i iP X x P x p   
que a cada valor de X (ou seja, a cada ix ) associa sua probabilidade de ocorrência. 
 
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 8 
 
 
obs.: essa função muitas vezes está reduzida a um valor numérico e, em outros casos, pode ser 
representada por uma fórmula. 
 
 A função P( ix ) será uma função de probabilidade se satisfizer às seguintes condições: 
 i) P( ix )  0, para todo xi 
 ii) ( ) 1i
i
P x  
 
 
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 9 
 
 
Exemplo 4.4.:Seja E: lançamento de um dado viciado de tal forma que a probabilidade é proporcional ao 
valor obtido no lançamento. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Seja a v.a. X = {nº de pontos obtidos num lançamento}, ou X = {resultado num lançamento} 
Assim 
 X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, com as respectivas probabilidades: 
 p + 2 p + 3 p + 4 p + 5 p + 6 p = 1  21 p = 1  p = 1/21 
Distribuição de probabilidades da v.a. X: 
 
 
 
 
i) Gráfico 
1 2 3 4 5 6
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
P
(x
)
x
1/21
2/21
3/21
4/21
5/21
6/21
 
ii) Tabela 
ix
 
1 2 3 4 5 6 
P( ix ) 1/21 2/21 3/21 4/21 5/21 6/21 
 
, para 1,2,3,4,5,6
( ) 21
0, para outros valores de
i
i
i
i
x
x
P x
x


 

 
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 10 
 
 
Problema proposto: 
Uma urna contém 2 bolas brancas e 3 vermelhas. Três bolas são retiradas sucessivamente. 
Considere que tais retiradas possam ser: (i) com reposição e (ii) sem reposição. Determinar, em 
cada caso, a distribuição de probabilidade e a função de probabilidade do no de bolas brancas 
retiradas. Apresente um gráfico de cada distribuição de probabilidade obtida. 
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2.2. X é uma v.a.c. 
 A distribuição de probabilidades da v.a.c. X já é definida pela sua f.d.p. 
 Representação → forma gráfica. 
 
Obs.: Somente há interesse nas probabilidades de que a v.a. assuma valores em dados intervalos. 
Precisamos conhecer a função densidade de probabilidade (f.d.p.) da v.a.. 
A função f (x) é uma f.d.p. se 
 i) f (x)  0, para a < x < b e ii) ( )
b
a
f x dx = 1, 
 
 
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 12 
 
 
obs.: 
1) Para , ( ) ( )
d
c
c d P c X d f x dx     
2) Para um valor fixo de X, por exemplo, 0X x , temos que 
0
0
0( ) ( ) 0
x
x
P X x f x dx   ; sendo 
assim, as probabilidades abaixo são todas iguais, se X for uma v.a.c.: 
( ) ( ) ( ) ( )P c X d P c X d P c X d P c X d           . 
 
3) A função densidade de probabilidade f (x), não representa probabilidade. Somente quando a 
função for integrada entre dois limites, ela produzirá uma probabilidade, que será a área sob a 
curva da função entre os valores considerados. 
 
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Exemplo 4.5.: (para ser resolvido em sala de aula) 
Uma v.a.c. X possui a seguinte função: 
, para 0 1
( ) (2 ),para1 2
0, para outros valores de
k x
f x k x x
x
 

   


 
Pede-se: 
a) A constante k para que f (x) seja uma f.d.p. 
b) O gráfico da f (x). 
 
1 1 3 3 1 3
) 1; ) ; ) ; ) ; ) 2
2 2 2 2 2 2
c P X d P X e P X f P X g P X
       
              
       
 
Respostas: a) 2 3; c)1 3 ; d)7/12; e) 0; f)7/12; g) 0. 
 
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Exemplo 4.6.: 
Seja uma v.a.c. X com valores variando de zero a um, e que apresenta a seguinte fdp: f (x) = 2x 
para x [0,1); e f (x) = 0 para outros valores de x. Pede-se: 
 
a) Ao selecionarmos, aleatoriamente, um valor dessa v.a. X, o que seria mais provável de 
acontecer: (i) um valor de X menor que 0.5, ou (ii)um valor de X maior que 0,5, ou (iii) um valor 
de X igual a 0,5?; 
 
b) Haveria algum valor de X mais provável de ocorrer? Qual seria esse valor de X mais 
provável? Qual seria essa probabilidade? 
 
c) Se escolhermos, aleatória e independentemente, dois valores (digamos X1 e X2) dessa variável 
aleatória, qual seria a probabilidade de apenas um deles ser maior que 0,25? 
 
P(X1 > 0,25) = 1-P(X1 < 0,25) = 1 – 16
15
16
1
1
2
2
12
25,0
0
225,0
0




x
dxx 
1 2 1 2
1 1 1 1 15 15 15
2. 1 0,1172
4 4 4 4 16 16 128
P X X P X X
     
                
     
 
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Exemplo 4.7.: 
Seja a v.a.c x com a seguinte função densidade de probabilidade: 
f (x) = kx, se 0 ≤ x < 1; f (x) = k, se 1 ≤ x < 2; e f (x) = 0 , qualquer outro x 
Pede-se: 
a) Se k = 2/3, então f (x) corresponde a um f.d.p. Verifique esta afirmativa. 
b) Indique(não precisa fazer cálculos) como proceder para obter a P(1/2 ≤ x ≤ 3/2). 
c) Obter a P(X = 2/4); 
 
Resolução: 
a) Para uma f(x) ser uma f.d.p a soma das probabilidades tem que ser igual a 1, e o cálculo das 
probabilidades é a integral definida da f(x) em seu intervalo. Daí: 
Para k = 2/3 a probabilidade será escrita como : 
 
1
3
2
3
1
3
2
3
4
3
1
3
2
3
2
2
1
1
0
  dxxdx 
 
Então pode-se concluir que quando k = 2/3 a f (x) é uma f.d.p. 
 
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 16 
 
 
b) P(1/2 ≤ x ≤ 3/2) Para achar a probabilidade de um intervalo usa-se a integral definida da f (x) 
no intervalo sugerido. Daí : 
 
2/3
1
1
2/1
kdxkxdx
 
 
c) A probabilidade de uma v.a.c é dada pela integral definida da f(x) no x determinado, logo a 
probabilidade de um ponto de uma v.a.c é igual a zero. Ex: 
0
16
4
16
4
4/2
4/2
 kkdxkx 
 
 
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Problemas propostos: 
1. Seja uma v.a.c. X definida pela seguinte f.d.p.: 
0, para 0
( ) , para 0 2
0, para 2
x
f x kx x
x


  
 
 
a) Determinar o valor de k 
b) Traçar o gráfico da f.d.p. 
c) Calcular P(X1). 
Respostas: a)1 2 ; c) 1 4 
 
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2. Uma v.a.c. X tem a seguinte f.d.p. 
0, para 0
, para 0 5
( )
(10 ), para 5 10
0, para 10
x
kx x
f x
k x x
x

  
 
  
 
 
a) Determinar o valor de k 
b) Traçar o gráfico da f.d.p. 
c) Calcular P(X3) 
Respostas: a)1 25; b) 41 50 
 
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 19 
 
 
3. Considere a seguinte função de X 
3 para 0
( )
0 c. c.
xk e x
f x
 
 

 
a) Encontre o valor de k para que f (x) seja uma função densidade de probabilidade; 
b) Encontre P(0,5  X  1); 
c) Faça o gráfico da f (x). 
Respostas: a) k = 3; b) 0,173 
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 20 
 
 
 
Existem muitos problemas nos quais é de interesse conhecer a probabilidade que a v.a. X 
assumisse valores menores que um particular valor x. 
P(X ≤ x) 
 
Exemplos: 
 Análise de sobrevivência (na biologia) 
 Análise de confiabilidade (na engenharia) 
 
Nesse caso precisamos definir a função de distribuição acumulada de X. 
 
Ideias e formulações parecidas 
aplicadas a diferentes áreas 
 
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 21 
 
 
3. Função de distribuição acumulada (ou função de distribuição) 
É a função F(x) definida por: 
( ) ( )F x P X x  . 
 Observe que o domínio de F é todo o conjunto real. 
obs.: 
a) 0  F(x)  1 para todo x. 
b) Se x1  x2, então F(x1)  F(x2), isto é, F(x) é não-decrescente. 
 
Qual a representação da F(x) quando X é v.a.d e quando X é v.a.c.? 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
x
F x P X x P X x f t dt      

 
( ) ( ) ( )F x P X x P t
t x
   

 
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 22 
 
 
3.1. F(x) para X v.a.d. 
 Se X é v.a.d. temos que: 
( ) ( ) ( )F x P X x P t
t x
   

 
 
Exemplo 4.8.: (para ser resolvido em sala de aula) 
Seja X uma v.a.d. com a seguinte distribuição de probabilidade 
 
ix 0 1 2 3 4 tota
l 
( )iP x 1/1
6 
4/1
6 
6/1
6 
4/1
6 
1/1
6 
1,0
0 
Pede-se: 
a) Traçar o gráfico da distribuição de probabilidade de X. 
b) Obter a função de distribuição acumulada e traçar seu gráfico. 
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3.2. F(x) para X v.a.c. 
 Para X uma v.a.c. temos que: 
( ) ( ) ( ) ( )
x
F x P X x P X x f t dt      

 
 Temos ainda que, 
( ) ( ) ( ) ( )
d
c
P c X d F d F c f x dx      . 
 Vê-se também que
( )
( )
dF x
f x
dx
 em todos os pontos de continuidade de f (x), isto é, a 
derivada da função de distribuição é a função densidade de probabilidade.