Continuidade de funções

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Exercícios Resolvidos: Continuidade
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Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 06/03/2016 - Atualizado em 24/11/2017
Como saber se uma função é contínua?
Uma função ƒ () é continua em  ∈ R se:
) f(a) existe;
) se lim
→
ƒ () existir;
) e se lim
→
ƒ () = ƒ ()
Propriedades:
1. Toda função polinomial é contínua em todo o R.
2. Toda função racional (divisão de polinômios) é contínua em seu domínio.
3. As funções sen(), cos() e e são contínuas em todo R.
4. Se ƒ e g são funções contínuas em um ponto , então:
4.1) ƒ ± g é contínua em ;
4.2) ƒ · g é contínua em ;
4.3) ƒ /g é contínua se g() 6= 0;
5. Se ƒ e g são contínuas em , então a função composta g ◦ ƒ também é
contínua em .
6. A função n(g()) é contínua apenas para g() > 0.
7. Uma função raiz ƒ () =
p
 é contínua para todo  ∈ R+ .
Exemplo 1: Verifique se a função a baixo é descontínua em 1.
ƒ () =
§
3 − 5 se  6= 1
2 se  = 1
Solução:
i) ƒ (1) = 2
ii) lim
→1
ƒ () = lim
→1
(3 − 5) = −2
1
iii) Como 2 6= -2, então a função não é contínua em  = 1.
Exemplo 2: Verifique se a função a baixo é descontínua em -2.
ƒ () =
�
2 + 2 se  ≤ −2
3 − 6 se  > −2
Solução:
i) ƒ (−2) = (−2)2 + 2(−2) = 0;
ii) lim
→−2
ƒ ()⇒



lim
→−2−
(2 + 2) = 0
lim
→−2+
(3 − 6) = 4
Assim conclui-se que: lim
→−2
ƒ () não existe, pois os limites laterais quando 
tende a -2 são distintos. Assim, a função não é contínua.
Exemplo 3: Verifique se a função ƒ () =
2 + 1
3 + 1
é descontínua em -1.
Solução:
i) Como ƒ (−1) não existe então já pode-se afirmar que a função não é contínua.
Exemplo 4: Para que valores a função ƒ () = n
�
 − 1
 + 2
�
é contínua?
Solução:
Como vimos (na lista de propriedades) a função n(g()) é contínua para todo
g() > 0. Resolvendo então a inequação
 − 1
 + 2
> 0
chegamos a solução de  < −2 e  > 1. Esses então são os valores para o qual
ƒ () é contínua.
Exemplo 5: Para que valores de  a função ƒ () =
esen()
4 −
p
2 − 9
é descontínua?
2
Solução:
Sabe-se que a função e e sen() são contínuas em todo o R (veja propriedades)
e que a composição de uma função, por meio de funções contínuas, geram uma
composição também contínua. Assim e ◦ sen() = esen() é também uma função
contínua.
Agora que já sabemos que a parte superior de ƒ () (que é esen()) é contínua
temos de verificar ainda quando a parte inferior também é contínua. Sabendo que
a soma (ou subtração) de funções contínuas também é contínua (propriedade 4.1)
e que toda função constante é contínua então a função 4 −
p
2 − 9 será contínua
apenas se
p
2 − 9 também for. Para verificar quais os valores em que a função raiz
quadrada é contínua basta descobrir quais os valores de  para os quais 2 − 9 é
maior que zero (veja propriedade 7).
2 − 9 < 0
⇒ −3 <  < 3
Sendo assim, para todo  /∈ (−3,3) a função
p
2 − 9 é contínua o que implica
em 4 −
p
2 − 9 também é contínua neste mesmo intervalo.
Depois de verificar os valores para os quais a parte de cima e de baixo da função
são contínuas finalmente chegamos ao ultimo passo que é verificar para quais va
-lores de  a parte de baixo é diferente de zero (propriedade 4.3).
4 −
p
2 − 9 6= 0
⇒  6= ±5
Então ƒ () =
esen()
4 −
p
2 − 9
é contínua para  /∈ (−3,3) e  6= ±5.
Exemplo 6: Para que valores de  a função ƒ () =

















 − 1
p
 − 1
se  > 1
5 − 3 se − 2 ≤  ≤ 1
6
 − 4
se  < −2
é
continua?
Solução:
Note que ƒ () =
 − 1
p
 − 1
é contínua para  > 1;
3
Do mesmo modo ƒ () = 5 − 3 é continua em todo R, pois é uma função polino-
mial;
E por fim verifica-se que
6
 − 4
é contínua para  < −2.
A função parece ser continua em todo o R, mas ainda pode haver descontinuidades
do tipo salto em  = −2 e  = 1.
TESTANDO A CONTINUIDADE EM 1
ii) ƒ (1) = 5(1) − 3 = 2
ii) lim
→1+
�
 − 1
p
 − 1
�
= lim
→1−
(5 − 3) = 2 que implica na existência de lim
→1
ƒ ()
iii) Como f(1) = lim
→1
ƒ () então a função é continua em 1.
TESTANDO A CONTINUIDADE EM -2
Note que não existe limite da função para  = 2, pois os limites laterais são
diferentes.
lim
→−2+
(5 − 3) = 11
lim
→−2−
�
6
 − 4
�
= −1
Como os limites laterais são distintos então conclui-se que não existe limite de
ƒ () quando  = 2. Portanto, ƒ () é descontínua apenas para  = 2.
Exemplo 7: Para que valores de  a função é ƒ () =
2 + 3 + 5
2 + 3 − 4
contínua ?
Solução:
Sabe-se que toda função polinomial é continua, assim para determinar as des-
continuidades de ƒ () (veja a lista de propriedades) basta determinar os valores de
 para o qual o seu denominador é diferente de zero.
2 + 3 − 4 6= 0
( − 1)( + 4) 6= 0⇒  6= 1;  6= −4
4
Portanto, a função é continua para todo  ∈ R exceto para  = −1 e  = −4.
Exemplo 8: Determine todos os valores da constante A para que a seguinte
função seja contínua para todos os valores de . ƒ () =
�
A2 − A se  ≥ 3
4 se  < 3
Solução:
Como funções polinomiais são contínuas para todo o R então basta investigar a
continuidade em  = 3 para verificar a existência de descontinuidades do tipo salto.
Se ƒ () for contínua em 3 então deve existir o limite neste ponto. Ou em outras
palavras a igualdade abaixo deve ser verdadeira.
lim
→3+
ƒ () = lim
→3−
ƒ ()
⇒ 3A2 − A = 4
⇒ 3A2 − A − 4 = 0
⇒ A = 4/3; A = −1
Ou seja, A = 4/3 ou então -1.
Exemplo 9: Verifique se a função a baixo é descontínua em −3.
ƒ () =







p
 + 19 − 4
 + 3
se  6= −3
1
8
se  = −3
Solução:
) Agora calculamos ƒ (−3).
ƒ (−3) =
1
8
.
) Primeiro verificamos o limite.
lim
→−3
�p
 + 19 − 4
 + 3
�
5
= lim
→−3
�p
 + 19 − 4
 + 3
·
p
 + 19 + 4
p
 + 19 + 4
�
= lim
→−3
( + 19) − 16
( + 3)(
p
 + 19 + 4)
= lim
→−3
 + 3
( + 3)(
p
 + 19 + 4)
= lim
→−3
1
p
 + 19 + 4
=
1
p
16 + 4
=
1
8
) Como lim
→−3
�p
 + 19 − 4
 + 3
�
= ƒ (−3) então a função é contínua em 3.
6
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