Operações com transformações lineares e Matriz associada a ua TL - Algebra Linear

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Operações com transformações lineares
Sejam T1+T2: V → V'  transformações lineares. A soma
T1+T2 :V → V'
é a transformação definida por
(T1+T2) (v)=T1v+T2v,  para todo v pertencente a V.
Pode-se verificar sem dificuldades que T1+T2 é de fato uma transformação linear.
Define-se, para cada escalar c em K, o múltiplo cT de uma transformação linear T: V → V' fazendo 
(cT)(v)=cTv,  para todo v pertencente a V.
Dadas as transformações lineares T1:V1→ V2 e T2:V2→ V3, podemos formar a transformação composta, T2T1:V1→ V3, também chamada composição de T2T1. Lembramos que, para cada v pertença a V1, temos por definição (T2T1)(v)=T2(T1(v)). A composta de duas transformações lineares é uma transformação linear.
Se T3:V3→V4 é outra transformação linear, mostra-se facilmente que vale a associatividade:
T3(T2T1) = (T3T2)T1.
Proposição 1.
Seja T: V → V' uma transformação linear bijetiva. Então a transformação inversa T-1: V' → V também é linear.
Prova.
Sejam c pertencente a K e v'1,v'2 pertencente a V'. Como T é bijetiva, existem únicos v1,v2 pertencentes a V tais que v'i=Tvi, a saber, vi=T-1v'i. Como T é linear, vale 
T(cv1+v2)=cTv1+Tv2=cv'1+v'2.
Aplicando T-1 a ambos os membros obtemos
T-1T(cv1+v2)=cv1+v2=T-1(cv'1+v'2)
e portanto, 
T-1(cv'1+v'2)=cv1+v2=cT-1v'1+T-1v'2
Uma transformação linear bijetiva é também chamada de isomorfismo. Dizemos que os espaços vetoriais V, V' são isomorfos se existir um isomorfismo
T: V → V'
Proposição 2.
 Sejam V, V' espaços vetoriais.
Então:
(1) existe uma transformação linear injetiva T: V → V'  se e somente se dimV ≤ dimV';
(2) existe uma transformação linear sobrejetiva T: V → V'  se e somente se dimV ≥ dimV';
(3) V e V' são isomorfos se e somente se dimV = dimV'.
Prova. (1) Seja T: V → V' linear injetiva e sejam  v1,...,vn  uma lista l.i. escreva v'i=Tvi, i=1,...,n. Afirmamos que v'1,...,v'n são l.i. Com efeito, se tivermos uma relação ∑civ'i=0, então o vetor v=∑civi satisfaz Tv=0. Logo, v=0, seguindo c1=...=cn=0.
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Matriz associada a uma transformação linear
Seja T: V → V' uma transformação linear entre espaços de dimensões finitas.
Sejam
B={v1,...,vn}  e  B'={v'1,...,v'm}
bases ordenadas de V e V'.
Cada vetor v em V admite uma expressão única como combinação linear,
v=x1v1+...+xnvn
onde x1,...,xn são escalares, chamados de coordenadas de v com respeito à base B. Denotamos por
[v]B = t[x1,...,xn]
o vetor coluna das coordenadas, onde t[] significa transposta. Note por exemplo que, para cada membro vi da base B, temos para seu vetor coordenadas
[vi]B = (0,...,1,0..0) (1 na casa i).
Calculemos analogamente o vetor coordenadas [Tv]B' = t(y1,...,ym), de sorte que vale
Tv=y1w1+...+ymwm.
O objetivo é mostrar que o vetor coordenadas [Tv]B' da imagem é obtido do vetor coordenadas original [v]B através da multiplicação por uma matriz que depende apenas da transformação T e da escolha das bases.
Teorema.
Existe uma matriz mxn,  denotada  [T]B'B, univocamente determinada pela condição
[Tv]B' = [T]B'B [v]B
para todo v em V.
Prova.
Mostraremos inicialmente a unicidade, supondo a existência da matriz A=[T]BB'. Note que o produto 
A t[1,0,..0]= ┌ a11  a12 ...  a1n  ┐  ┌ 1 ┐       ┌ a11  ┐
 │a21  a22 ...  a2n ││0│    │a21 │
                   │  	... ││...│  = | ... |
                   └ am1 am2 ... amn ┘  └ 0 ┘   └ am1 ┘
é igual à 1a coluna da matriz A. Analogamente, multiplicando pelo j-ésimo vetor coluna, t[0,..,1,..0], obtemos a  j-ésima coluna de A. Concluímos que esta coluna é necessariamente igual ao vetor coordenadas  [Tvj]B', provando a unicidade.
Para provar a existência, usamos a experiência adquirida na discussão precedente e 
Definimos: A=[T]B'B como a matriz mxn cuja  j-ésima coluna 
é  igual ao vetor coordenadas  [Tvj]B'.
Verifiquemos que esta definição de fato funciona da forma desejada. Lembrando a expressão de v em termos de [v]B, podemos calcular
[Tv]B'=[x1Tv1+...+xnTvn]B' = [x1 ∑ ai1v'i+...+xn ∑ ainv'i]B'
= x1 ∑ ai1[v'i]B'+...+xn ∑ ain[v'i]B' 
= x1 t(a11,...,am1)+...+xn t(a1n,...,amn),
Já que [v'i]B' = t[0,...,1,...,0] (1 na i-ésima casa). O vetor coluna calculado acima é exatamente o produto A t[x1,..., xn].
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Bibliografia:
www.mat.ufmg.br
FIGUEIREDO, Luiz Manoel - Álgebra Linear I, Volume 2,Módulo 3, Cederj.