Exercícios de Cálculo 1

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MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios 1
Retas
(Voceˆ pode usar o Maple para fazer as contas se quiser.)
1. Escreva a equac¸a˜o de uma reta que passe pelos dois pontos:
(a) (1, 2) e (2, 5)
(b) (1, 1) e (3, 4)
(c) (−1, 1) e (6, 0)
(d) (0, 3) e (3, 3)
(e) (3, 0) e (3, 3)
(f) (1
3
, 3
7
) e (2, 3
5
)
(g) (−√2,−√2) e (3,√2)
(h) (
√
2,
√
3) e (
√
5,
√
7)
2. Desenhe as retas no plano cartesiano:
(a) y = x+ 1
(b) y = 3x
(c) y = 2− 2x
(d) x = y + 1
(e) x = 4
(f) y = 5
3. Desenhe as regio˜es do plano cartesiano:
(a)
{
4 ≤ x ≤ 5
2 ≤ y ≤ 6
(b)
{
x ≥ y
y ≤ 5
(c)

2x+ 1 ≤ y
y ≤ 7
y + x ≥ −3
4. Escreva a equac¸a˜o de uma reta que passe pelo ponto dado, com a inclinac¸a˜o dada:
(a) (1, 1), 5
(b) (−1, 3), 4
(c) (2,−1), -2
(d) (3, 4), 0
(e) (
√
2, 1), 3
(f) (1,
√
3), 5
(g) (1, 2),
√
3
5. Escreva func¸o˜es afim cujos gra´ficos sejam as retas do exerc´ıcio 4.
6. Encontre as ra´ızes das func¸o˜es do exerc´ıcio 5.
7. Em cada ı´tem do exercicio 5, Se (4, x) e´ um ponto da reta, quanto e´ x?
8. Determine o conjunto de nu´meros reais x que satisfazem as desigualdades abaixo.
(a) 3(1− x) + 7x < 33− 4(5− 2x)
(b) −4 < 2− 3x ≤ 17
(c) (2x− 5)(−x+ 4) ≤ 0
(d)
5x− 16
x− 2 ≤ 0
(e)
5x− 16
x− 2 ≤ 1
9. Com o Maple, desenhe um triaˆngulo que contenha a origem em seu interior e cujas
arestas sejam segmentos de retas com inclinac¸a˜o positiva. Fornec¸a as coordenadas dos
ve´rtices do triaˆngulo e as expresso˜es das func¸o˜es cujos gra´ficos sa˜o as arestas, explici-
tando o domı´nio de cada uma delas. (Use o comando display)
10. Considere um triaˆngulo formado pelo eixo x e pelas retas y = −x+5 e y = x− 3. Qual
e´ a a´rea do triaˆngulo?
11. Encontre valores para as varia´veis em cada ı´tem, de forma que a func¸a˜o f(x) seja
cont´ınua.
(a) f(x) =
{
3x+ a, x < 2
7, x ≥ 2
(b) f(x) =
{
x+ 1, x < b
7− x
3
, x ≥ b
(c) f(x) =
{
ax+ 3, x < b
10− 2x, x ≥ b
(d) f(x) =

ax+ 3, x < 4√
7, x = 4√
3x+ b, x > 4
12. Desenhe:
(a) y = bxc
(b) y = x− bxc
13. Decida se as seguintes proposic¸o˜es sa˜o falsas ou verdadeiras. Justifique.
(a) Se
x
2
> 5, enta˜o x > 10.
(b) Se
2
x
> 6, enta˜o x <
1
3
.
(c) Se
x+ 1
4x+ 2
< 1, enta˜o x > 1.
14. Enuncie a rec´ıproca das proposic¸o˜es do exerc´ıcio anterior e decida se sa˜o verdadeiras ou
falsas. Justifique.
15. Considere a seguinte proposic¸a˜o: Se a ∈ R e x < 1 enta˜o ax < a.
(a) A proposic¸a˜o e´ Verdadeira ou Falsa?
(b) Escolha, dentre as opc¸o˜es aquela que melhor justifica sua resposta:
(i) Porque tambe´m pode ser ax > a.
(ii) Pois para qualquer valor de a e x =
1
2
tem-se que
a
2
< a.
(iii) Pois para x = 0, tem-se que ax = 0 < a.
(iv) Pois para a = −1 e x = 2 tem-se que ax < a ja´ que -2 < −1.
(v) Pois se a = −1 e x = 0 enta˜o ax = 0 > −1.
(vi) Pois se ax < a, dividindo por a temos que x < 1.