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MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio Lista de Exerc´ıcios 3 Otimizac¸a˜o com aproximac¸a˜o Nos exerc´ıcios seguintes, use o Maple para encontrar uma resposta aproximada, apo´s determinar uma func¸a˜o (com seu domı´nio) que modele o problema. Procure janelas gra´ficas nas quais voceˆ pode determinar uma aproximac¸a˜o para a resposta. Tente obter uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,02. 1. Usando uma folha de papel medindo 30cm por 40cm, deseja-se construir um cilindro circular reto, inclusive a tampa e o fundo. Qual e´ o cilindro de maior volume que voceˆ consegue construir? 2. Um fio de barbante de 10 metros de comprimento pode ser usado para construir um quadrado ou para construir um c´ırculo ou pode ser cortado em dois pedac¸os (na˜o neces- sariamente de mesmo tamanho) de modo que um dos pedac¸os e´ usado para construir um quadrado e o outro pedac¸o e´ usado para construir um c´ırculo. De que forma podemos obter a ma´xima soma das a´reas das duas figuras? 3. No exerc´ıcio anterior, de que forma podemos obter a mı´nima soma das a´reas das duas figuras? 4. Um retaˆngulo tem 20 metros de per´ımetro. Expresse a a´rea do retaˆngulo como uma func¸a˜o do comprimento de um dos seus lados. Determine o domı´nio dessa func¸a˜o. Determine, se houver, os intervalos de crescimento e decrescimento dessa func¸a˜o. De- termine as dimenso˜es do retaˆngulo para que a a´rea seja ma´xima e calcule esta a´rea. 5. Quadrados iguais sa˜o cortados dos cantos de uma folha de papela˜o retangular medindo 30cm por 50cm. As abas que sobram sa˜o enta˜o dobradas para cima de modo a formar uma caixa sem tampa. Seja x a medida em cent´ımetros dos lados dos quadrados que sa˜o retirados da folha de papela˜o. Qual e´ o maior volume que tal caixa pode ter? 6. Considere os triaˆngulos iso´sceles com dois lados de medidas iguais a 3m. Qual e´ a medida do terceiro lado no triaˆngulo de a´rea ma´xima? 7. Qual e´ o cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de raio 3? 8. Um retaˆngulo tem 1000m2 de a´rea. Expresse o per´ımetro desse retaˆngulo como uma func¸a˜o do comprimento de um de seus lados. Qual o domı´nio dessa func¸a˜o? Um lado do retaˆngulo pode medir 5500m? Quais as dimenso˜es do retaˆngulo de menor per´ımetro dentre os que teˆm uma a´rea de 1000m2? 9. Deseja-se estender uma escada sobre uma cerca de 10m de altura ate´ uma parede que esta´ situada 8m atra´s da cerca. Qual o comprimento da menor escada que pode ser usada? 10. Deseja-se fabricar um recipiente cil´ındrico circular, aberto do lado superior, e com capacidade de 240 cm3. O material para o fundo custa R$ 3, 00 por cm2 e o material para as laterais custa R$ 2, 00 por cm2. Suponha que na˜o ha´ desperd´ıcios de material e que portanto o custo da fabricac¸a˜o depende somente das dimenso˜es do recipiente. Quais sa˜o as dimenso˜es correspondentes ao menor custo de fabricac¸a˜o? 11. Seja R um retaˆngulo de base 21 e altura 42. Um triangulo ABC, iso´sceles, com |AC| = |CB|, de a´rea 12, deve ser constru´ıdo dentro do retaˆngulo R, de forma que a base |AB| fique sobre a base do retaˆngulo R. Seja x = |AB|. Determine o domı´nio da func¸a˜o P que fornece o per´ımetro do triaˆngulo ABC, em termos de x. Qual e´ o triaˆngulo com menor per´ımetro poss´ıvel? E com maior per´ımetro poss´ıvel? 12. Seja T um triaˆngulo equila´tero com lado medindo 6. Um retaˆngulo ABCD de per´ımetro 11 deve ser constru´ıdo dentro do triaˆngulo T , de forma que sua base AB fique sobre um lado do triaˆngulo T . Considere x = |AB|. Determine o domı´nio da func¸a˜o A que fornece a a´rea do retaˆngulo ABCD em termos de x. Qual e´ o retaˆngulo com maior a´rea poss´ıvel? E com menor a´rea poss´ıvel? 13. Considere x = 2, 7. (a) Decida qual das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira: (i) 2, 73 e´ uma aproximac¸a˜o para x com erro menor do que 0, 04. (ii) 2, 78 e´ um truncamento de x ate´ a segunda casa decimal. (iii) 2, 777 e´ uma aproximac¸a˜o para x com erro menor do que 10−3. (iv) Nenhuma das respostas anteriores e´ verdadeira. (b) Escolha, dentre as opc¸o˜es aquela que melhor justifica sua resposta: (i) x = 2710 , e portanto |x− 2, 73| = 0, 03 < 0, 04. (ii) Pois 2, 777 e´ um truncamento ate´ a terceira casa decimal de x e portanto |x− 2, 777| < 10−3. (iii) Porque x possui expansa˜o decimal infinita, portanto na˜o e´ racional. (iv) Porque |x− 2, 777| < 10−3 e portanto x coincide com 2, 777 ate´ a terceira casa decimal. (v) Pois |x− 2, 78| = 0, 08 < 0, 01.
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