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Exercícios de Cálculo 1_Lista 3

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MAT1161 – Ca´lculo de uma Varia´vel - 2015.2 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios 3
Otimizac¸a˜o com aproximac¸a˜o
Nos exerc´ıcios seguintes, use o Maple para encontrar uma resposta aproximada, apo´s
determinar uma func¸a˜o (com seu domı´nio) que modele o problema. Procure janelas
gra´ficas nas quais voceˆ pode determinar uma aproximac¸a˜o para a resposta. Tente obter
uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,02.
1. Usando uma folha de papel medindo 30cm por 40cm, deseja-se construir um cilindro
circular reto, inclusive a tampa e o fundo. Qual e´ o cilindro de maior volume que voceˆ
consegue construir?
2. Um fio de barbante de 10 metros de comprimento pode ser usado para construir um
quadrado ou para construir um c´ırculo ou pode ser cortado em dois pedac¸os (na˜o neces-
sariamente de mesmo tamanho) de modo que um dos pedac¸os e´ usado para construir um
quadrado e o outro pedac¸o e´ usado para construir um c´ırculo. De que forma podemos
obter a ma´xima soma das a´reas das duas figuras?
3. No exerc´ıcio anterior, de que forma podemos obter a mı´nima soma das a´reas das duas
figuras?
4. Um retaˆngulo tem 20 metros de per´ımetro. Expresse a a´rea do retaˆngulo como uma
func¸a˜o do comprimento de um dos seus lados. Determine o domı´nio dessa func¸a˜o.
Determine, se houver, os intervalos de crescimento e decrescimento dessa func¸a˜o. De-
termine as dimenso˜es do retaˆngulo para que a a´rea seja ma´xima e calcule esta a´rea.
5. Quadrados iguais sa˜o cortados dos cantos de uma folha de papela˜o retangular medindo
30cm por 50cm. As abas que sobram sa˜o enta˜o dobradas para cima de modo a formar
uma caixa sem tampa. Seja x a medida em cent´ımetros dos lados dos quadrados que
sa˜o retirados da folha de papela˜o. Qual e´ o maior volume que tal caixa pode ter?
6. Considere os triaˆngulos iso´sceles com dois lados de medidas iguais a 3m. Qual e´ a
medida do terceiro lado no triaˆngulo de a´rea ma´xima?
7. Qual e´ o cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de
raio 3?
8. Um retaˆngulo tem 1000m2 de a´rea. Expresse o per´ımetro desse retaˆngulo como uma
func¸a˜o do comprimento de um de seus lados. Qual o domı´nio dessa func¸a˜o? Um lado
do retaˆngulo pode medir 5500m? Quais as dimenso˜es do retaˆngulo de menor per´ımetro
dentre os que teˆm uma a´rea de 1000m2?
9. Deseja-se estender uma escada sobre uma cerca de 10m de altura ate´ uma parede que
esta´ situada 8m atra´s da cerca. Qual o comprimento da menor escada que pode ser
usada?
10. Deseja-se fabricar um recipiente cil´ındrico circular, aberto do lado superior, e com
capacidade de 240 cm3. O material para o fundo custa R$ 3, 00 por cm2 e o material
para as laterais custa R$ 2, 00 por cm2. Suponha que na˜o ha´ desperd´ıcios de material
e que portanto o custo da fabricac¸a˜o depende somente das dimenso˜es do recipiente.
Quais sa˜o as dimenso˜es correspondentes ao menor custo de fabricac¸a˜o?
11. Seja R um retaˆngulo de base 21 e altura 42. Um triangulo ABC, iso´sceles, com |AC| =
|CB|, de a´rea 12, deve ser constru´ıdo dentro do retaˆngulo R, de forma que a base |AB|
fique sobre a base do retaˆngulo R. Seja x = |AB|. Determine o domı´nio da func¸a˜o P
que fornece o per´ımetro do triaˆngulo ABC, em termos de x. Qual e´ o triaˆngulo com
menor per´ımetro poss´ıvel? E com maior per´ımetro poss´ıvel?
12. Seja T um triaˆngulo equila´tero com lado medindo 6. Um retaˆngulo ABCD de per´ımetro
11 deve ser constru´ıdo dentro do triaˆngulo T , de forma que sua base AB fique sobre
um lado do triaˆngulo T . Considere x = |AB|. Determine o domı´nio da func¸a˜o A que
fornece a a´rea do retaˆngulo ABCD em termos de x. Qual e´ o retaˆngulo com maior
a´rea poss´ıvel? E com menor a´rea poss´ıvel?
13. Considere x = 2, 7.
(a) Decida qual das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira:
(i) 2, 73 e´ uma aproximac¸a˜o para x com erro menor do que 0, 04.
(ii) 2, 78 e´ um truncamento de x ate´ a segunda casa decimal.
(iii) 2, 777 e´ uma aproximac¸a˜o para x com erro menor do que 10−3.
(iv) Nenhuma das respostas anteriores e´ verdadeira.
(b) Escolha, dentre as opc¸o˜es aquela que melhor justifica sua resposta:
(i) x = 2710 , e portanto |x− 2, 73| = 0, 03 < 0, 04.
(ii) Pois 2, 777 e´ um truncamento ate´ a terceira casa decimal de x e portanto
|x− 2, 777| < 10−3.
(iii) Porque x possui expansa˜o decimal infinita, portanto na˜o e´ racional.
(iv) Porque |x− 2, 777| < 10−3 e portanto x coincide com 2, 777 ate´ a terceira
casa decimal.
(v) Pois |x− 2, 78| = 0, 08 < 0, 01.

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