Questão resolvida - A área da região limitada pelo gráfico de y-2x8, pelo eixo x e pelas retas x-2 e x2, é igual a - Cálculo II - UNICEUMA

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• A área da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo x e pelas retas y = -2x² + 8
 e , é igual a:x = -2 x = 2
 
a) u. a.
8
3
 
b) u. a.
32
3
 
c) u. a.
128
3
 
d) u. a.
16
3
 
e) u. a.
64
3
 
Resolução:
 
Primeiro, é necessário encontrar as raizes da função do segundo grau, como feito na 
sequência;
 
Fazendo y = 0 0 = -2x² + 8 -2x² + 8 = 0 -2x² = -8 x² = x² = 4 x = ±→ → → →
-8
-2
→ → 4
 
x = ±2
 
Ou seja, a parábola toca o eixo x em e , portanto, toca exatamente nas retas x = 2 x = -2
 e . A parábola toca o eixo y em 8, com essas informações é possível traçar o x = -2 x = 2
gráfico com a região que desejamos achar a área;
 
 
 
Com isso, a área da região é dada por;
 
A = -2x² + 8 dx
2
∫
-2
( )
 
Como a região é simetrica em relação aos eixos, podemos reescrever a integral da área da 
seguinte forma;
 
A = -2x² + 8 dx = A = 2 -2x² + 8 dx
2
∫
-2
( )
2
0
∫ ( )
 
Resolvendo, temos;
A = 2 -2x² + 8 dx = 2 + 8x = 2 ⋅ + 8 ⋅ 2 - 2 ⋅ + 8 ⋅ 0
2
0
∫ ( ) -2x
3
3 2
0
-2 2
3
( )3 -2 0
3
( )3
 
A = 2 ⋅ + 16 - 0 = 2 ⋅ + 16 - = 2 ⋅ = 2 ⋅
-2 ⋅ 8
3
16
3
-16 + 48
3
32
3
 
 
 
A = u. a.
64
3
 
 
(Resposta )