Teoria das Estruturas 1 - Aula 10

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 1 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 1 S 
A
U
LA
 10
 
0
3.
0
5.
20
13
 
2 
“ L I Ç Ã O D E C A S A ” 
3 
EXERCÍCIO 6: 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 
2 m 
2 m 
3 m 3 m 
54 tf . m 54 tf . m 
4 
VB 
HB 
VA 
HA 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 
2 m 
2 m 
3 m 3 m 
54 tf . m 54 tf . m 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 
2 m 
2 m 
3 m 3 m 
54 tf . m 54 tf . m 
5 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA – HB = 0 tf (a) 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB – (24 . 6) = 0 
 VA + VB = 144 tf (b) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + HA . O + VB . 6 – HB . 2 – (24 . 6 . 3) + 
 54 – 54 = 0 
 6 . VB – 2 . HB – 432 = 0 
 6 . VB – 2 . HB = 432 
 
 
 VB = 72 + 0,33 . HB (c) 
VB = 
432 + 2 . HB 
6 
VB 
HB 
VA 
HA 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 
2 m 
2 m 
3 m 3 m 
54 tf . m 54 tf . m 
6 
(4) Σ MD = 0 
 VB . 3 + HB . 2 – (24 . 3 . 1,5) – 54 = 0 
 3 . VB + 2 . HB – 108 – 54 = 0 
 3 . VB + 2 . HB – 162 = 0 
 3 . VB + 2 . HB = 162 
 3 . VB = 162 – 2 . HB 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS 
EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
 de (c): VB = 72 + 0,33 . HB 
 3 . (72 + 0,33 . HB) = 162 – 2 . HB 
 216 + 1 . HB = 162 – 2 . HB 
 1 . HB + 2 . HB = 162 – 216 
 3 . HB = – 54 
 HB = – 54 / 3 
 HB = – 18 tf 
 de (c): VB = 66,06 tf 
 de (b): VA = 77,94 tf 
 de (a): HA = – 18 tf 
VB 
HB 
VA 
HA 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 
2 m 
2 m 
3 m 3 m 
54 tf . m 54 tf . m 
7 
18 tf 
77,94 tf 
66,06 tf 
18 tf 
24 tf / m 
A 
B 
D 
C E 54 tf . m 54 tf . m 
8 
- 
- 66,06 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS: 
A 
B 
C E 
2 m 
2 m 
66,06 tf 
77,94 tf 
18 tf 
- 
- 
1
8
 
- 
- 77,94 
18 tf 
3 m 3 m 
D 
9 
3 m 3 m 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
A 
B 
C E 
2 m 
2 m 
66,06 tf 
77,94 tf 
18 tf 
+ 
- 
6
6
,0
6
 
7
7
,9
4
 
- 
18 
18 tf 
D 
+ 
18 
10 
36 
3 m 3 m 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
A 
B 
C E 
2 m 
2 m 
66,06 tf 
77,94 tf 
18 tf 
72 
MOMENTO MÁXIMO AB: 
MMÁX = VA . 3 – HA . 4 – (24 . 3 . 1,5) 
MMÁX = (78 . 3) – (18 . 4) – (24 . 3 . 1,5) 
MMÁX = 234 – 72 – 108 
MMÁX = 54 tf . m 
7
2
 
3
6
 
18 tf 
+ 
M
M
Á
X
 
54 54 
D 
11 
 O DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES É IGUAL AO DO QUADRO BIAPOIADO DA 
AULA ANTERIOR, UMA VEZ QUE O PÓRTICO TEM A MESMA GEOMETRIA, E AS FORÇAS 
EXTERNAS (REAÇÕES DE APOIO E CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA) SÃO, 
TAMBÉM, AS MESMAS; 
 A ÚNICA DIFERENÇA ESTÁ NO PAR DE MOMENTOS APLICADO ADJACENTEMENTE À 
RÓTULA D; 
 PARA DETERMINAR O MOMENTO FLETOR NAS DUAS SEÇÕES TRANSVERSAIS 
ADJACENTES À “RÓTULA D” DEVE-SE OBSERVAR QUE NÃO EXISTE TRECHO DE BARRA 
ENTRE A RÓTULA E O MOMENTO APLICADO DE CADA LADO; 
 PORTANTO, A DETERMINAÇÃO DO MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO TRANSVERSAL 
IMEDIATAMENTE À ESQUERDA DA RÓTULA, ENTRANDO PELA ESQUERDA, NÃO 
CONSIDERA O MOMENTO APLICADO NA ESQUERDA DA RÓTULA. 
12 
 ESTA CONSIDERAÇÃO TAMBÉM É VÁLIDA, DE MANEIRA ANÁLOGA, À SEÇÃO 
IMEDIATAMENTE À DIREITA DA RÓTULA; 
 ASSIM, COMO O MOMENTO FLETOR NA RÓTULA É NULO, ENTRANDO POR QUALQUER 
UM DOS DOIS LADOS, OBRIGATORIAMENTE AS DESCONTINUIDADES DO DIAGRAMA 
ADJACENTES À RÓTULA TÊM O VALOR DOS MOMENTOS APLICADOS. 
 CONCLUI-SE ENTÃO, QUE: 
 UM PAR DE MOMENTOS APLICADO ADJACENTE A UMA RÓTULA SIMPLES (NA 
QUAL CONVERGEM DUAS BARRAS) SEMPRE RESULTA EM MOMENTOS 
FLETORES NAS SEÇÕES TRANSVERSAIS ADJACENTES COM VALORES DAS 
CARGAS MOMENTO APLICADAS, TRACIONANDO AS FIBRAS DO MESMO LADO 
APONTADO PELAS SETAS DO PAR DE MOMENTOS. 
13 
D I A G R A M A S S E C C I O N A I S 
C O N T I N U A Ç Ã O 
14 
6. VIGA BIAPOIADA + MOMENTO CONCENTRADO 
A B 
a 
l 
b 
M (tf . m) 
C 
15 
A B 
a 
l 
b 
M (tf . m) 
C 
I II 
HA 
VB = M / l 
VA = M / l 
16 
 PARA O TRAÇADO DOS DIAGRAMAS, OS VALORES NAS SEÇÕES-CHAVE DEVEM SER 
MARCADOS EM ESCALA; 
 AS LIGAÇÕES DOS PONTOS ASSIM OBTIDOS, NOS TRECHOS I E II DEFINIDOS PELA 
SEÇÕES-CHAVE, PERMITEM A OBTENÇÃO DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS FLETORES 
E DE CORTANTES; 
 QUANTO AO MOMENTO FLETOR CONCENTRANDO, ATENTAR QUE: 
 INFLUENCIA NA EXISTÊNCIA DE REAÇÕES NOS APOIOS, QUE DEVEM SER 
DIRECIONADAS DE FORMA A “TRAVAR” A AÇÃO DO MOMENTO NA BARRA; 
 PROVOCA UMA DESCONTINUIDADE NO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES; 
 NÃO TEM A SUA POSIÇÃO INDICADA PELO DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES. 
17 
M
 /
 l 
M
 /
 l 
+ 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
A B 
a 
l 
b 
M (tf . m) 
C HA 
VB = M / l 
VA = M / l 
18 
- 
+ 
M (tf . m) 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
A B 
a 
l 
b 
C HA 
VB = M / l 
M
 . 
a 
/ 
l 
M
 . 
b
 /
 l 
VA = M / l 
19 
A B 
4,0 m 
10,0 m 
6,0 m 
200 tf . m 
C 
EXEMPLO 1: PARA A VIGA BIAPOIADA, CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO E OS 
RESPECTIVOS DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E DE MOMENTO FLETOR 
20 
A B 
4,0 m 
10,0 m 
6,0 m 
200 tf . m 
C 
(1) Σ Fx = 0 
 HA = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 0 tf (a) 
(3) VA = M / l 
 VA = 200 / 10 
 VA = 20 tf 
 de (a): VB = – 20 tf 
VA = M / l 
HA 
VB = M / l 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
21 
A B 
4,0 m 
10,0 m 
6,0 m 
200 tf . m 
C 
VA = 20 tf VB = 20 tf 
22 
+ 
- 
A B C 
VA = 20 tf VB = 20 tf 
+ 2
0
 
2
0
 
A B 
4,0 m 6,0 m 
200 tf . m 
C 
VA = 20 tf VB = 20 tf 
A B C 
VA = 20 tf VB = 20 tf 
1
2
0
 
8
0
 
23 
7. VIGA BIAPOIADA + CARGA TRIANGULAR DISTRIBUÍDA 
A B 
q 
l 
24 
A B 
q 
VA = q . l / 6 
HB 
VB = q . l / 3 
l 
25 
l 
a = (l . √3) / 3 
q 
VA = q . l / 6 
HB 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
+ 
- 
q
 . 
l /
 6
 
q
 . 
l /
 3
 
VB = q . l / 3 
A B 
b = l / 3 
26 
l 
B 
q 
VA = q . l / 6 
HB 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
VB = q . l / 3 
A 
a = (l . √3) / 3 
+ MMÁX = (q . l² . √3) / 27 
27 
EXEMPLO 2: PARA A VIGA BIAPOIADA, CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO E OS 
RESPECTIVOS DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E DE MOMENTO FLETOR 
A B 
q = 90 tf 
10m 
28 
q = 90 tf 
A B 
10m 
VA = q . l / 6 
HB 
VB = q . l / 3 
(1) Σ Fx = 0 
 HB = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = (90 . 10) / 2 
 VA + VB = 450 tf (a) 
(3) VA = q . l / 6 
 VA = 90 . 10 / 6 
 VA = 150 tf 
 de (a): VB = 300 tf 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
29 
q = 90 tf 
A B 
10m 
VA = 150 tf VB = 300 tf 
30 
10m 
A B 
q = 90 tf 
VA = 150 tf VB = 300 tf 
(l . √3) / 3 = (10 . √3) / 3 = 5,77m 
1
5
0
 
3
0
0
 
10m 
A B 
q = 90 tf 
VA = 150 tf VB = 300 tf 
+ 
- 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
31 
MMÁX = (q . l² . √3) / 27 
 (90 . 10² . √3) / 27 
 = 577,35 tf . m 
+ 
(l . √3) / 3 = (10 . √3) / 3 = 5,77m 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
10m 
A B 
q = 90 tf 
VA = 150 tf VB = 300 tf 
10m 
A B 
q = 90 tf 
VA = 150 tf VB = 300 tf 
32 
A B 
q = 5 tf 
EXEMPLO 3: PARA A VIGA BIAPOIADA, CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO E OS 
RESPECTIVOS DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E DE MOMENTO FLETOR 
5m 
2m 3m 
C 
33 
A B 
q = 5 tf 
C 
VA 
HA 
VB 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = (5 . 3) / 2 
 VA + VB = 7,5 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 5 – [(5 . 3) / 2] . 4 = 0 
 5 . VB – 30 = 0 
 VB = 30 / 5 
 VB = 6,0 tf 
 de (a), VA = 1,5 tf 
34 
5m 
2m 3m 
A B 
q = 5 tf 
C 
1,5 tf 
6,0 tf 
35 
(l . √3) / 3 = (3 . √3) / 3 = 1,72m 
A B 
q = 5 tf 
5m 
1,5 tf 6,0 tf 
C 
1
,5
 
6
,0
 
+ 
- 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
A B 
q = 5 tf 
C 
1,5 tf 
6,0 tf 5m 
2m 3m 
36 
M
M
Á
X
 + 3
,0
 
(l . √3) / 3 = (3 . √3) / 3 = 1,72m 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
A B 
q = 5 tf 
5m 
1,5 tf 6,0 tfC 
MMÁX = (1,5 . 3,72) - {[(5 . 1,72) / 2] . (1,72 /3)} 
 3,11 tf . m 
A B 
q = 5 tf 
C 
1,5 tf 
6,0 tf 5m 
2m 3m 
37 
EXEMPLO 4: PARA A VIGA BIAPOIADA, CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO E OS 
RESPECTIVOS DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E DE MOMENTO FLETOR 
5,0m 
2,0m 3,0m 
A B 
q = 60 tf 
C 
20 tf / m 
40 tf 
38 
A B 
q = 60 tf 
C 
20 tf / m 
40 tf 
VA 
HA 
VB 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = (20 . 2) + (60 . 3) / 2 + 
 40 = 0 
 VA + VB = 40 + 90 + 40 = 0 
 VA + VB = 170 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 5 – [(60 . 3) / 2] . 4 – 
 (20 . 2) . 1 – (40 . 2) = 0 
 5 . VB – 360 – 40 – 80 = 0 
 VB = 480 / 5 
 VB = 96,0 tf 
 de (a), VA = 74 tf 
39 
A B 
q = 60 tf 
C 
20 tf / m 
40 tf 
74 tf 96 tf 
5,0m 
2,0m 3,0m 
40 
A B 
q = 60 tf 
2,0m 3,0m 
C 
20 tf / m 
40 tf 
74 tf 96 tf 
+ 
- 
7
4
 
9
6
 
3
4
 
6
 
A B 
q = 60 tf 
C 
20 tf / m 
40 tf 
74 tf 96 tf 
2,0m 3,0m 
 DIAGRAMA DE FORÇAS CORTANTES: 
41 
MMÁX = (74 . 2) - (20 . 2 . 1) 
 148 - 40 
 108 tf . m 
+ 
A B 
q = 60 tf 
2,0m 3,0m 
C 
20 tf / m 
40 tf 
74 tf 96 tf 
A B 
q = 60 tf 
C 
20 tf / m 
40 tf 
74 tf 96 tf 
2,0m 3,0m 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
42 
C O N T I N U A . . . 
43 
PRINCIPAIS REFERÊNCIAS DESTA AULA: 
VISANDO ESCLUSIVAMENTE FINS DIDÁTICOS, ESTA AULA FOI DESENVOLVIDA POR INSPIRAÇÃO OU POR MEIO DE ALGUMAS TRANSCRIÇÕES INTEGRAIS OU PARCIAIS DAS 
OBRAS “ANÁLISE DE ESTRUTURAS – CONCEITOS E MÉTODOS BÁSICOS”, DE LUIZ FERNANDO MARTHA (1ª EDIÇÃO, EDITRA CAMPUS, SÃO PAULO, 2010), “ESTÁTICA DAS 
ESTRUTURAS”, DE HUMBERTO LIMA SORIANO (2ª EDIÇÃO, EDITORA CIÊNCIA MODERNA, SÃO PAULO, 2010) E MARIA CASCÃO FERREIRA DE ALMEIDA (1ª EDIÇÃO, 
EDITORA OFICINA DE TEXTOS, SÃO PAULO, 2009). A ELES, A MAIORIA DOS CRÉDITOS DE CONTEÚDO DEVEM SER ATRIBUÍDOS. 
QUANDO CONVENIENTE, FORAM ADOTADAS ADAPTAÇÕES TEXTUAIS E NAS FIGURAS – ALÉM DA INCLUSÃO DE NOVAS IMAGENS E/OU ESQUEMAS E/OU EXEMPLOS – DE 
FORMA A FAZER COM QUE ESTE MATERIAL ESTEJA CONVENIENTEMENTE ALINHADO À PROPOSTA DA DISCIPLINA “TEORIA DAS ESTRUTURAS 1”, DO CURSO DE 
ENGENHARIA CIVIL .