Teoria das Estruturas 1 - Aula 8

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1 
T E O R I A D A S E S T R U T U R A S 1 
C E N T R O U N I V E R S I T Á R I O E S T Á C I O R A D I A L D E S Ã O P A U L O 
C U R S O D E G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A C I V I L 
P R O F . A L E X A N D R E A U G U S T O M A R T I N S 
6 º P E R Í O D O 
2 0 1 3 / 1 S 
A
U
LA
 8
 
19
.0
4.
20
13
 
2 
D I A G R A M A S S E C C I O N A I S 
3 
 A CONVENÇÃO DE SINAIS AQUI ADOTADA PODE SER APLICADA DE FORMA 
IMEDIATA, PELO FATO DE AS BARRAS CONSTITUINTES DAS VIGAS SEREM 
DISPOSTAS HORIZONTALMENTE, COM A NATURAL DEFINIÇÃO DOS LADOS 
SUPERIOR E INFERIOR, NECESSÁRIOS À IDENTIFICAÇÃO DO SINAL DO 
MOMENTO FLETOR; 
 COMO OS ESFORÇOS SECCIONAIS PODEM VARIAR AO LONGO DE CADA 
BARRA, ELES SÃO FUNÇÕES DE UMA COORDENADA SEGUNDO O EIXO DA 
BARRA E TÊM REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DENOMINADAS DIAGRAMAS 
SECCIONAIS OU LINHAS DE ESTADO; 
 ESSES DIAGRAMAS SÃO TRAÇADOS TRANSVERSALMENTE E EM LADOS BEM 
DEFINIDOS DAS LINHAS DE REFERÊNCIA QUE, EM GERAL, SÃO ESCOLHIDAS 
COMO PARALELAS ÀS BARRAS. 
4 
CONVENÇÃO DE SINAIS DOS ESFORÇOS SECCIONAIS EM VIGAS: 
V + V - 
N + N - 
M + M - 
5 
 NO BRASIL, A CONSTRUÇÃO EM CONCRETO ARMADO DETERMINOU O LADO DO 
TRAÇADO DO DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR; 
 ISSO SE JUSTIFICA POR ESSE ESFORÇO PROVOCAR TRAÇÃO NAS FIBRAS 
LONGITUDINAIS EM UM LADO DA BARRA E COMPRESSÃO NAS FIBRAS, TAMBÉM 
LONGITUDINAIS, DO OUTRO LADO; 
 O MOMENTO FLETOR POSITIVO, POR FLETIR A BARRA COM CONCAVIDADE VOLTADA 
PARA CIMA, É O QUE PROVOCA TRAÇÃO NAS FIBRAS LONGITUDINAIS INFERIORES; 
 O MOMENTO FLETOR NEGATIVO, POR FLETIR A BARRA COM CONCAVIDADE VOLTADA 
PARA BAIXO, É O QUE PROVOCA TRAÇÃO NAS FIBRAS LONGITUDINAIS SUPERIORES; 
 E COMO O MATERIAL “CONCRETO” TEM POUCA RESISTÊNCIA À TRAÇÃO E GRANDE 
RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO, VERGALHÕES OU BARRAS DE AÇO SÃO UTILIZADOS 
PARA ABSORVER A TRAÇÃO, ENQUANTO A COMPRESSÃO É DEIXADA PARA SER 
ABSORVIDA PREDOMINANTEMENTE PELO CONCRETO. 
6 
 PARA INDICAR O LADO EM QUE DEVEM SER COLOCADOS OS VERGALHÕES, 
CONVENCIONOU-SE TRAÇAR O DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR NO LADO DA 
LINHA DE REFERÊNCIA QUE CORRESPONDE AO LADO TRACIONADO DA BARRA; 
 ASSIM, O MOMENTO FLETOR POSITIVO É TRAÇADO NO LADO INFERIOR DA LINHA DE 
REFERÊNCIA E O MOMENTO FLETOR NEGATIVO É TRAÇADO NO LADO SUPERIOR 
DESSA MESMA LINHA; 
 O MOMENTO FLETOR EM CADA SEÇÃO TRANSVERSAL É A SOMA ALGÉBRICA DOS 
MOMENTOS (EM RELAÇÃO À SEÇÃO) DE TODAS AS FORÇAS APLICADAS À VIGA; 
 QUANDO EXISTEM MOMENTOS CONCENTRADOS JUNTO À SEÇÃO, ESSES MOMENTOS 
SÃO SIMPLESMENTE SOMADOS AOS MOMENTOS DAS FORÇAS, CONFORME O SEU 
POSICIONAMENTO. 
7 
C O M P R E S S Ã O 
T R A Ç Ã O 
+ 
T R A Ç Ã O 
C O M P R E S S Ã O 
- 
8 
 QUANTO AO DIAGRAMA DE FORÇA CORTANTE, CONVENCIONOU-SE 
REPRESENTAR ESSE ESFORÇO, QUANDO POSITIVO, NO LADO SUPERIOR DA 
LINHA DE REFERÊNCIA E, QUANDO NEGATIVO, NO LADO INFERIOR DESSA 
LINHA; 
 COM ISSO, EM CÁLCULO DA FORÇA CORTANTE A PARTIR DO LADO ESQUERDO 
(OU DIREITO) DA BARRA, SEU DIAGRAMA INDICA O SENTIDO DE ATUAÇÃO 
DAS FORÇAS TRANSVERSAIS A ESSA MESMA BARRA; 
 NOTE-SE QUE, PARA OS ESFORÇOS CORTANTES, EM CADA SEÇÃO 
TRANSVERSAL EM QUE ATUAM DIFERENTES CARGAS, A FORÇA CORTANTE DÁ-
SE PELA SOMA ALGÉBRICA DAS FORÇAS TRANSVERSAIS À BARRA. ISTO É, COM 
FORÇA CONCENTRADA TRANSVERSAL HÁ DESCONTINUIDADE, NO DIAGRAMA 
DESSE ESFORÇO, IGUAL AO VALOR DESSA FORÇA. 
9 
 JÁ PARA O ESFORÇO NORMAL – E DE FORMA ANÁLOGA AO ESFORÇO 
CORTANTE – EM CADA SEÇÃO TRANSVERSAL HÁ A SOMA ALGÉBRICA DAS 
FORÇAS NA DIREÇÃO EXATA DO EIXO DA BARRA; 
 QUANTO AO DIAGRAMA DO ESFORÇO NORMAL, NÃO HÁ UMA CONVENÇÃO 
ÚNICA QUANTO AO LADO DE TRAÇADO, POR ESSE LADO NÃO EXPRESSAR 
SIGNIFICADO FÍSICO; 
 CONTUDO, POR UNIFORMIDADE COM O ESFORÇO CORTANTE, OPTA-SE, AQUI, 
POR TRAÇAR O DIAGRAMA DO ESFORÇO NORMAL, QUANDO POSITIVO, DO 
LADO SUPERIOR DA LINHA DE REFERÊNCIA E, QUANDO NEGATIVO, DO LADO 
INFERIOR DA MESMA LINHA. 
10 
 OS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SECCIONAIS SÃO MUITO ÚTEIS AO SE PROJETAR 
UMA ESTRUTURA, POIS PERMITEM A INSPEÇÃO VISUAL DE COMO ESSES 
ESFORÇOS VARIAM, COM A IDENTIFICAÇÃO DAS SEÇÕES EM QUE OCORREM 
OS VALORES EXTREMOS (MÁXIMOS E MÍNIMOS) E COM A IDENTIFICAÇÃO 
DOS TRECHOS EM QUE EXISTE TRAÇÃO OU COMPRESSÃO EM CADA LADO DAS 
BARRAS, POR EFEITO DE FLEXÃO; 
 ESSAS INFORMAÇÕES SÃO NECESSÁRIAS PARA A VERIFICAÇÃO DO 
DIMENSIONAMENTO DAS BARRAS, QUE É ASSUNTO DAS DISCIPLINAS DE 
PROJETO E DE CÁLCULO; 
 ALÉM DISSO, ESSES MESMOS DIAGRAMAS SÃO NECESSÁRIOS À ANÁLISE DAS 
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS PELO MÉTODO DAS FORÇAS – ESTUDADO 
OPORTUNAMENTE NESTE CURSO. 
11 
1. VIGA BIAPOIADA + CARGA CONCENTRADA 
 CENÁRIO ATUAL: 
 TEM-SE UMA VIGA BIAPOIADA, COM VÃO “l”, SUBMETIDA A UMA FORÇA 
VERTICAL APLICADA COM SENTIDO PARA BAIXO E EM UMA POSIÇÃO 
GENÉRICA INDICADA PELA DISTÂNCIA “a” AO APOIO FIXO DA ESQUERDA E 
PELA DISTÂNCIA “b” EM RELAÇÃO AO APOIO MÓVEL DA DIREITA; 
 UMA SEÇÃO TRANSVERSAL GENÉRICA “S” É CARACTERIZADA PELA 
DISTÂNCIA “x” EM RELAÇÃO AO PRIMEIRO APOIO; 
 NA DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS, DUAS SEÇÕES 
TRANSVERSAIS TÍPICAS SÃO TRATADAS: UMA À ESQUERDA DA CARGA 
APLICADA (PORTANTO, COM x < a) E, OUTRA, À DIREITA DA CARGA (OU 
SEJA, COM x > a). 
12 
1. VIGA BIAPOIADA + CARGA CONCENTRADA 
A B 
x 
S 
P 
l 
a b 
13 
1. VIGA BIAPOIADA + CARGA CONCENTRADA 
A B 
x 
S 
P 
l 
a b 
14 
1. VIGA BIAPOIADA + CARGA CONCENTRADA 
 AS REAÇÕES DE APOIO SÃO DETERMINADAS COM A AJUDA DAS EQUAÇÕES DE 
EQUILÍBRIO ESTÁTICO (ΣFX = 0; ΣFY = 0; ΣMS = 0); 
 O ESFORÇO CORTANTE E O MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO GENÉRICA “S” SÃO 
DETERMINADOS PELO EQUILÍBRIO DE CADA PORÇÃO ISOLADA DA VIGA, 
QUANDO SE DÁ UM CORTE, TAMBÉM EM “S”; 
 INICIALMENTE, OS ESFORÇOS INTERNOS SÃO CONSIDERADOS COM SENTIDOS 
POSITIVOS, DE ACORDO COM A CONVENÇÃO ADOTADA (A CRITÉRIO DO 
CALCULISTA); 
 ASSIM, SE A SOLUÇÃO DO EQUILÍBRIO RESULTAR EM UM SINAL NEGATIVO 
PARA O ESFORÇO INTERNO, O SENTIDO FINAL DESSE ESFORÇO É CONTRÁRIO 
AO SENTIDO POSITIVO. 
15 
1. VIGA BIAPOIADA + CARGA CONCENTRADA 
 APESAR DE SER MAIS COMPLICADO, O CÁLCULO FEITO PELA PORÇÃO À 
DIREITA DA CARGA DEMONSTRA QUE, UMA VEZ CALCULADAS AS REAÇÕES DE 
APOIO DE FORMA CORRETA, TANTO FAZ EQUILIBRAR A PORÇÃO DA DIREITA 
OU DA ESQUERDA PARA OS ESFORÇOS INTERNOS NA SEÇÃO TRANSVERSAL; 
 NESTE EXEMPLO, QUANDO SE EQUILIBRA A PORÇÃO DA ESQUERCA, 
TRANSPORTAM-SE AS FORÇAS QUE ESTÃO À ESQUERDA PARA A SEÇÃO, E 
COSTUMA-SE DIZER QUE O CÁLCULO DOS ESFORÇOS INTERNOS É FEITO 
ENTRANDO PELO LADO ESQUERDO DA SEÇÃO; 
 DE FORMA ANÁLOGA, QUANDO SE EQUILIBRA A PORÇÃO DA DIREITA, O 
CÁLCULO É FEITO ENTRANDO PELO LADO DIREITO DA SEÇÃO. 
 EM GERAL, PROCURA-SE CALCULAR OS VALORES DOS ESFORÇOS INTERNOS 
PELO LADO QUE REQUER MENOS CÁLCULOS. 
16 
1. VIGA BIAPOIADA, COM CARGA CONCENTRADA 
 O DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES É UM GRÁFICO QUE DESCREVE A 
VARIAÇÃO DO ESFORÇO CORTANTE AO LONGO DAS SEÇÕES TRANSVERSAIS DA 
ESTRUTURA; 
 NO CASO DA VIGA BIAPOIADA COM FORÇA CONCENTRADA, O TRAÇADO É 
DETERMINADO PARA AS DUAS SITUAÇÕES CONSIDERADAS ( x < a; x > a), 
RESULTANDO EM UMA DESCONTINUIDADE (CUJO VALOR É IGUAL AO DA 
CARGA CONCENTRADA “P”) NO PONTO DE APLICAÇÃO DA CARGA; 
 SEGUNDO A CONVENÇÃO ADOTADA PARA O DESENHO DO DIAGRAMA, OS 
VALORES POSITIVOS PARA ESFORÇOS CORTANTES SÃO DESENHADOS DO LADO 
DAS FIBRAS SUPERIORES DA BARRA, E OS VALORES NEGATIVOS, DO OUTRO 
LADO. 
17 
B 
P 
1. VIGA BIAPOIADA, COM CARGA CONCENTRADA 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES: 
A 
l 
a b 
+ 
+ ( P . b ) / l 
- 
- ( P . a ) / l 
VA VB 
18 
1. VIGA BIAPOIADA + CARGA CONCENTRADA 
 DE MANEIRA ANÁLOGA, O DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES É UM 
GRÁFICO QUE DESCREVE A VARIAÇÃO DO MOMENTO FLETOR AO LONGO DA 
SEÇÕES TRANSVERSAIS DA ESTRUTURA; 
 CONFORME CONVENÇÃO ADOTADA PARA O DESENHO DO DIAGRAMA, OS 
VALORES POSITIVOS DE MOMENTOS FLETORES SÃO ALOCADOS DO LADO DAS 
FIBRAS INFERIORES DA BARRA, E OS NEGATIVOS, DO OUTRO LADO; 
VALE OBSERVAR QUE O DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES É CONTÍNUO, 
ISTO É, OS RESULTADOS OBTIDOS DAS SITUAÇÕES PARA x < a E x > a 
COINCIDEM NA SEÇÃO TRANSVERSAL AO PONTO DE APLICAÇÃO DA FORÇA 
CONCENTRADA “P”. AQUI, TAMBÉM, É CARACTERIZADO O MOMENTO 
MÁXIMO PARA ESTE EXEMPLO. 
19 
1. VIGA BIAPOIADA + CARGA CONCENTRADA 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
P 
A 
l 
a b 
B 
+ 
( P . a . b ) / l 
VA VB 
20 
EXEMPLO 1: PARA A VIGA BIAPOIADA, CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO E OS 
RESPECTIVOS DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E DE MOMENTO FLETOR 
2 m 6 m 
12 tf 
A B 
2 m 6 m 
12 tf 
B 
Y 
X 
A 
2 m 6 m 
12 tf 
B 
Y 
X 
A HA 
VA VB 
21 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HA = 0 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 12 tf (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 8 – 12 . 2 = 0 
 8 . VB – 24 = 0 
 VB = 24 / 8 
 VB = 3 tf 
 de (a), VA = 9 tf 
12 tf 
B 5 tf A 
9 tf 3 tf 
2 m 6 m 
12 tf 
B 5 tf 
Y 
X 
A HA 
VA VB 
22 
B 
12 tf 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES: 
A 
8,0 m 
2,0 m 6,0 m 
- 
[- ( P . a ) / l] = - 3 
9 tf 3 tf 
+ 
[+ ( P . b ) / l] = 9 
23 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
12 tf 
8,0 m 
2,0 m 6,0 m 
B A 
9 tf 3 tf 
[( P . a . b ) / l] = MMÁX = 18 tf.m 
+ 
24 
2. VIGA BIAPOIADA + CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA 
 CENÁRIO ATUAL: 
 TEM-SE UMA VIGA BIAPOIADA, COM VÃO “l”, SUBMETIDA A UMA FORÇA 
VERTICAL UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA COM SENTIDO PARA BAIXO E 
ATUANDO AO LONGO DE TODA A SUA EXTENSÃO; 
 UMA SEÇÃO TRANSVERSAL GENÉRICA “S” É CARACTERIZADA PELA 
DISTÂNCIA “x” EM RELAÇÃO AO PRIMEIRO APOIO; 
 AS REAÇÕES DE APOIO SÃO DETERMINADAS COM A AJUDA DAS EQUAÇÕES DE 
EQUILÍBRIO ESTÁTICO (ΣFX = 0; ΣFY = 0; ΣMS = 0); 
 O ESFORÇO CORTANTE E O MOMENTO FLETOR NA SEÇÃO GENÉRICA “S” SÃO 
DETERMINADOS PELO EQUILÍBRIO DE CADA PORÇÃO ISOLADA DA VIGA, 
QUANDO SE DÁ UM CORTE, TAMBÉM EM “S”. 
25 
2. VIGA BIAPOIADA + CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA 
A B 
x 
S 
l 
q 
26 
2. VIGA BIAPOIADA + CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA 
 O DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES É UM GRÁFICO QUE VARIA 
LINEARMENTE; 
 O COEFICIENTE ANGULAR DA RETA É IGUAL A “- q”. EM OUTRAS PALAVRAS: A 
TAXA DE REDUÇÃO DE ESFORÇOS CORTANTES AO LONGO DA BARRA É IGUAL 
AO VALOR DA CARGA DISTRIBUÍDA “q”; 
 FORMALMENTE, EXISTE UMA RELAÇÃO DIFERENCIAL ENTRE O ESFORÇO 
CORTANTE “Q” E O VALOR DA CARGA TRANSVERSAL DISTRIBUÍDA NA VIGA: 
dQ / dx = q; 
 COMO “q” É CONSTANTE E PARA BAIXO, O DIAGRAMA DE ESFORÇOS 
CORTANTES TEM UMA VARIAÇÃO LINEAR, SENDO QUE, A CADA UNIDADE DE 
DISTÂNCIA, HÁ UMA REDUÇÃO DE “q” NO VALOR DO ESFORÇO CORTANTE. 
27 
B 
2. VIGA BIAPOIADA + CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES: 
A 
l 
+ 
+ ( q . l ) / 2 
- ( q . l ) / 2 
- 
VA VB 
1 
q 
28 
2. VIGA BIAPOIADA + CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA 
 A EXPRESSÃO PARA O MOMENTO FLETOR EM UMA SEÇÃO TRANSVERSAL 
GENÉRICA DA VIGA BIAPOIADA COM UMA CARGA UNIFORMEMENTE 
DISTRIBUÍDA REFLETE-SE EM UMA PARÁBOLA DO SEGUNDO GRAU; 
 O VALOR MÁXIMO DO DIAGRAMA – REPRESENTADO PELO MOMENTO 
FLETOR, TAMBÉM MÁXIMO, PARA ESTE CASO – OCORRE EXATAMENTE NA 
SEÇÃO CENTRAL DO ESQUEMA. 
29 
A B 
l 
VA VB 
MMÁX = ( q . l2 ) / 8 
+ 
2. VIGA BIAPOIADA + CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
30 
EXEMPLO 3: PARA A VIGA BIAPOIADA, CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO E OS RESPECTIVOS 
DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E DE MOMENTO FLETOR 
10 m 
150 kg / m 
A B 
B 
Y 
X 
A 
1500 kg 
5 m 5 m 
B 
Y 
X 
A 
VA VB 
1500 kg 
5 m 5 m 
31 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 H = 0 kg 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 1500 kg (a) 
(3) Σ MA = 0 
 VA . 0 + VB . 10 – 1500 . 5 = 0 
 10 . VB – 7500 = 0 
 VB = 7500 / 10 
 VB = 750 kg 
 de (a), VA = 750 kg 
B A 
750 kg 750 kg 
1500 kg 
B 
Y 
X 
A 
VA VB 
1500 kg 
5 m 5 m 
32 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES: 
A B 
10 m 
+ 
+ ( q . l ) / 2 = 750 
- ( q . l ) / 2 = - 750 
- 
750 tf 750 tf 
1 
q 
33 
A B 
10 m 
750 tf 750 tf 
MMÁX = ( q . l2 ) / 8 = 1875 tf . m 
+ 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
34 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
A B 
x 
S 
l 
q P P 
l’’ l’ 
P’ 
35 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 O DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS DEPENDE, APENAS, DAS FORÇAS 
HORIZONTAIS; 
 NESTE DIAGRAMA, OS VALORES POSITIVOS SÃO DESENHADOS DO LADO DAS 
FIBRAS SUPERIORES E, OS NEGATIVOS, DO LADO DAS FIBRAS INFERIORES; 
 NO TRECHO EM BALANÇO DA ESQUERDA, COMO NÃO EXISTE FORÇA 
HORIZONTAL À ESQUERDA DE QUALQUER SEÇÃO TRANSVERSAL, O DIAGRAMA 
DE ESFORÇOS NORMAIS É NULO; 
 PARA QUALQUER OUTRA SEÇÃO DA VIGA, O ESFORÇO NORMAL É CONSTANTE, 
POIS A FORÇA RESULTANTE NO SENTIDO AXIAL À ESQUERDA OU À DIREITA DA 
SEÇÃO É SEMPRE A MESMA, E SAINDO DA SEÇÃO TRANSVERSAL. 
36 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS: 
A B 
l l’’ l’ 
VA VB 
HA 
+ P’ 
37 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 UMA MANEIRA CONVENIENTE PARA TRAÇAR O DIAGRAMA DE ESFORÇOS 
CORTANTES É PERCORRER AS SEÇÕES TRANSVERSAIS DA VIGA (POR EXEMPLO, 
DA ESQUERDA PARA A DIREITA), DETERMINANDO A RESULTANTE DE FORÇAS 
NA DIREÇÃO VERTICAL DO PONTO DE PARTIDA ATÉ A SEÇÃO CORRENTE; 
 AO PERCORRER A VIGA, PODE-SE PENSAR QUE OCORREM “EVENTOS” EM 
TERMOS DE FORÇAS VERTICAIS QUE DEFINEM AS SEÇÕES TRANSVERSAIS 
TÍPICAS; 
 ENTENDA-SE COMO “EVENTOS” A TODAS E QUAISQUER CARGAS EXISTENTES 
NA VIGA (SEJAM ELAS ATIVAS OU REATIVAS). 
38 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 NESTE EXEMPLO, O PRIMEIRO “EVENTO” REFERE-SE À CARGA VERTICAL 
APLICADA PARA BAIXO NA EXTREMIDADE DO BALANÇO DA ESQUERDA, QUE 
RESULTA, PELA CONVENÇÃO DE SINAIS, EM UMA CARGA NEGATIVA NO VALOR 
DESSA MESMA FORÇA; 
 O SEGUNDO “EVENTO” É O APARECIMENTO DA REAÇÃO VERTICAL PARA CIMA 
NO PRIMEIRO APOIO. A SEÇÃO TRANSVERSAL QUE FICA IMEDIATAMENTE À 
DIREITA DO APOIO TEM À SUA ESQUERDA UMA RESULTANTE DE FORÇA 
VERTICAL IGUAL À SOMA DOS DOIS EVENTOS; 
 UMA SEÇÃO TRANSVERSAL TÍPICA DO VÃO PRINCIPAL SITUA-SE A UMA 
DISTÂNCIA “x” DO PRIMEIRO APOIO. NELA, A RESULTANTE DE FORÇAS 
VERTICAIS À SUA ESQUERDA É REDUZIDA DE “q – x” EM RELAÇÃO À PRIMEIRA 
SEÇÃO DO VÃO. 
39 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 NO FINAL DO VÃO PRINCIPAL, O VALOR DO ESFORÇO CORTANTE É REDUZIDO 
EM RELAÇÃO AO VALOR DO INÍCIO DO VÃO; 
 DESSA FORMA, O DIAGRAMA VARIA LINEARMENTE NESSE VÃO; 
 O PRÓXIMO “EVENTO” É A REAÇÃO VERTICAL PARA CIMA, REFERENTE AO 
SEGUNDO APOIO, O DA DIREITA. 
 PORTANTO, TODAS AS SEÇÕES TRANSVERSAIS NO BALANÇO DA DIREITA TÊM 
ESFORÇO CORTANTE DETERMINADO PELA DIFERENÇA DE VALORES ENTRE A 
SEÇÃO CENTRAL E A REAÇÃO DESSE MESMO APOIO; 
 ALTERNATIVAMENTE, NESSE BALANÇO É MAIS SIMPLES DETERMINAR O 
ESFORÇO CORTANTE CONSIDERANDO A RESULTANTE DE FORÇA VERTICAL À 
DIREITA DA SEÇÃO TÍPICA, COMO FOI FEITO, ANTES, NO OUTRO BALANÇO. 
40 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES: 
A B 
l l’’ l’ 
VA VB 
- - P 
+ P + 
VA - P 
- 
(VA – P) – (q . l) 
1 
q 
41 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 O DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES INDICA O VALOR MÁXIMO DE 
MOMENTO FLETOR NA BARRA CENTRAL; 
 A LOCALIZAÇÃO DA SEÇÃO TRANSVERSAL NA QUAL OCORRE O VALOR 
MÁXIMO É OBTIDA COM O AUXÍLIO DO DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES 
NA BARRA; 
 O TRAÇADO DO DIAGRAMA PODE SER FEITO POR SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 
EM CADA BARRA EM UM PROCEDIMENTO COMUMENTE DESCRITO COMO 
“PENDURAR O DIAGRAMA DE VIGA BIAPOIADA PARA O CARREGAMENTO QUE 
ATUA NO INTERIOR DO TRECHO DA BARRA; 
42 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 O TRAÇADO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES EM CADA TRECHO DE 
BARRA É FEITO DA SEGUINTE MANEIRA: 
 DETERMINAM-SE OS MOMENTOS FLETORES NAS EXTREMIDADES DO 
TRECHO DE BARRA, DESENHANDO AS COORDENADAS DO DIAGRAMA, 
COM VALOR, DO LADO DA FIBRA TRACIONADA DA BARRA; 
 SE O TRECHO DE BARRA NÃO POSSUIR CARREGAMENTOS TRANSVERSAIS 
NO SEU INTERIOR, O DIAGRAMA FINAL SERÁ OBTIDO SIMPLESMENTEUNINDO OS VALORES EXTREMOS POR UMA LINHA RETA; 
 SE O TRECHO DE BARRA TIVER CARREGAMENTO EM SEU INTERIOR, O 
DIAGRAMA DE VIGA BIAPOIADA PARA O CARREGAMENTO É 
“PENDURADO” (SUPERPOSTO TRANSVERSALMENTE) A PARTIR DA LINHA 
RETA QUE UNE OS VALORES EXTREMOS DO TRECHO. 
43 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 
 OS VALORES SUPERPOSTOS DO DIAGRAMA DE VIGA BIAPOIADA PARA A 
BARRA CENTRAL SÃO MEDIDOS PERPENDICULARMENTE AO EIXO DA 
BARRA A PARTIR DA LINHA RETA QUE FAZ O FECHAMENTO DOS VALORES 
EXTREMOS DO TRECHO; 
 OS VALORES DO DIAGRAMA FINAL SÃO MEDIDOS DO EIXO DA BARRA ATÉ A 
CURVA RESULTANTE DA SUPERPOSIÇÃO; 
 AINDA NO TERCEIRO PASSO, É NECESSÁRIO CONHECER O DIAGRAMA DE 
VIGA BIAPOIADA PARA O CARREGAMENTO ATUANTE EM CADA TRECHO DE 
BARRA. 
44 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
A B 
l l’’ l’ 
VA VB 
- - 
- P . l’ 
- P . l’’ 
+ 
MMÁX = - MESQ + VESQ . xm – q . (x²m / 2) 
45 
EXEMPLO 3: PARA A VIGA BIAPOIADA, CALCULAR AS REAÇÕES DE APOIO E OS 
RESPECTIVOS DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E DE MOMENTO FLETOR 
6 m 
24 tf / m 
A B 
4 m 2 m 
18 tf 18 tf 
8 tf 
18 tf 
B 
3 m 
144 tf 
A 
4 m 2 m 
18 tf 
3 m 
8 tf 
18 tf 
B 
3 m 
144 tf 
A 
4 m 2 m 
18 tf 
3 m 
VA VB 
HB 
8 tf 
46 
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO COM BASE NAS EQUAÇÕES DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO: 
(1) Σ Fx = 0 
 HB = 8 tf 
(2) Σ Fy = 0 
 VA + VB = 18+ 144 + 18 
 VA + VB = 180 tf (a) 
(3) Σ MB = 0 
 VB . 0 + VA . 6 – 18 . 10 – 144 . 
 3 + 18 . 2 = 0 
 6 . VA – 180 – 432 + 36 = 0 
 6 . VA = 576 
 VA = 576 / 6 
 VA = 96 tf 
 de (a), VB = 84 tf 
18 tf 
B 
144 tf 
A 
18 tf 
96 tf 84 tf 
8 tf 
8 tf 
18 tf 
B 
3 m 
144 tf 
A 
4 m 2 m 
18 tf 
3 m 
VA VB 
HB 
8 tf 
47 
3. VIGA BIAPOIADA + BALANÇOS 
 DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES: 
A B - - P = 18 
+ P = 18 + 
VA – P = 96 – 18 = 78 
- 
(VA – P) – (q . l) = 
(96 – 18) – (24 . 6) = - 66 
1 
q 
96 tf 
84 tf 
8 tf 
6,0 m 2,0 m 4,0 m 
48 
 DIAGRAMA DE MOMENTOS FLETORES: 
A B 
- - 
- P . l’ = - 18 . 4 = - 72 
- P . l’’ = - 18 . 2 = -36 
+ 
MMÁX = - MESQ + VESQ . xm – q . (x²m / 2) 
= 54,75 tf.m 
96 tf 
84 tf 
8 tf 
6,0 m 
2,0 m 4,0 m 
49 
C O N T I N U A . . . 
50 
PRINCIPAIS REFERÊNCIAS DESTA AULA: 
VISANDO ESCLUSIVAMENTE FINS DIDÁTICOS, ESTA AULA FOI DESENVOLVIDA POR INSPIRAÇÃO OU POR MEIO DE ALGUMAS TRANSCRIÇÕES INTEGRAIS OU PARCIAIS DAS 
OBRAS “ANÁLISE DE ESTRUTURAS – CONCEITOS E MÉTODOS BÁSICOS”, DE LUIZ FERNANDO MARTHA (1ª EDIÇÃO, EDITRA CAMPUS, SÃO PAULO, 2010), “ESTÁTICA DAS 
ESTRUTURAS”, DE HUMBERTO LIMA SORIANO (2ª EDIÇÃO, EDITORA CIÊNCIA MODERNA, SÃO PAULO, 2010) E MARIA CASCÃO FERREIRA DE ALMEIDA (1ª EDIÇÃO, 
EDITORA OFICINA DE TEXTOS, SÃO PAULO, 2009). A ELES, A MAIORIA DOS CRÉDITOS DE CONTEÚDO DEVEM SER ATRIBUÍDOS. 
QUANDO CONVENIENTE, FORAM ADOTADAS ADAPTAÇÕES TEXTUAIS E NAS FIGURAS – ALÉM DA INCLUSÃO DE NOVAS IMAGENS E/OU ESQUEMAS E/OU EXEMPLOS – DE 
FORMA A FAZER COM QUE ESTE MATERIAL ESTEJA CONVENIENTEMENTE ALINHADO À PROPOSTA DA DISCIPLINA “TEORIA DAS ESTRUTURAS 1”, DO CURSO DE 
ENGENHARIA CIVIL .