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Maq Sincronas - Cap 5.8 a 5.10

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MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA E SÍNCRONAS 
 
Capítulo 5 - MÁQUINAS SÍNCRONAS EM REGIME PERMANENTE [5.8 – 5.10] 
 
5.8 TEORIA PARA MÁQUINAS DE POLOS SALIENTES 
 
Em sua grande maioria, as máquinas síncronas são construídas com indutores de pólos salientes, o 
que atribui formas bastante irregulares a seus entreferros. O exame da Fig. 5.8.1 torna isso óbvio. Um 
percurso de fluxo que inclua dois polos salientes tem dois pequenos entreferros para atravessar. Este 
percurso está indicado na Fig. 5.8.1 por φd e é chamado de eixo direto. É o percurso de relutância mínima. 
Por outro lado, o percurso designado por φq na Fig 5.8.1 envolve dois grandes entreferros e é o percurso de 
relutância máxima. Este é chamado de eixo em quadratura. 
Uma vez em carga, a fmm do enrolamento de armadura (no estator) é distribuída com seu valor de 
pico localizado em algum lugar entre os eixos direto e em quadratura. A cada uma das diferentes condições 
de carga corresponderia um diferente valor para a reatância síncrona da máquina. Essa reatância seria 
máxima quando a reação da armadura atuasse na direção do eixo direto, situação em que são mínimos o 
entreferro e a relutância que ele oferece ao fluxo mútuo de reação do induzido; a reatância síncrona seria 
mínima quando a reação de armadura agisse na direção do eixo em quadratura, situação em que são 
máximos o entreferro e a relutância que ele opõe ao fluxo mútuo de reação do induzido. 
Conseqüentemente, a teoria do rotor cilíndrico não pode ser usada para máquina de polos salientes com 
resultados precisos. Uma outra teoria é necessária, que considere devidamente esta diferença. 
 
Fig. 5.8.1 – Identificação dos percursos de fluxo direto e em quadratura 
 
5.8.1 Método das Duas Reatâncias para Máquinas de Polos Salientes 
 (-Teoria das duas reações ou TEORIA DE BLONDEL) 
 
As dificuldades decorrentes da saliência dos polos referem-se, exclusivamente, as componentes de 
distribuição de induções devidas à reação de armadura. Não há problemas (significativos) em relação à 
componente de distribuição de induções mantida pelo enrolamento indutor (graças a uma configuração 
adequada de suas sapatas polares, pode-se obter uma distribuição praticamente senoidal de induções no 
entreferro, análoga aquela que se obtém na máquina de rotor liso). Considerem-se os dois casos a seguir: 
 
a) Corrente da armadura atrasada de 90º da excitação: 
 
Fig. 5.8.2 – Fluxos de entreferro ao longo do eixo direto em uma máquina síncrona de polos salientes. 
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
34
OBSERVAÇÕES: 
1 - A onda de fluxo de reação da armadura é diretamente oposta à onda de fluxo de campo. 
2 - Desprezando-se os efeitos das ranhuras do estator as ondas de fluxo fundamental e real são parecidas, o 
que implica em pequena amplitude de harmônicas (por construção). 
 
b) Corrente de armadura em fase com a excitação: 
 
Fig. 5.8.3 – Fluxos de entreferro ao longo do eixo em quadratura em uma máquina síncrona de polos salientes 
 
OBSERVAÇÕES: 
1 - O eixo da onda de reação de armadura está no espaço interpolar 
2 - Devido ao espaço interpolar, o fluxo de reação de armadura é fortemente distorcido, com proeminente 
terceira harmônica. 
3 - A amplitude da onda fundamental do fluxo de armadura (Φra), para o mesmo fluxo do campo principal e 
para a mesma corrente de armadura (EM MÓDULO) é menor quando está em quadratura (90°) com os polos 
do campo (a reatância magnetizante em quadratura é menor). 
 
CONCLUSÃO: 
Para cada condição de carga teremos caminhos magnéticos com mais ou menos ferro, e em consequência, 
diferentes valores de relutância. Devido a isto tem-se diferentes valores para a reatância de magnetização 
ou de reação da armadura (xφ). 
 
Como distribuição (função) senoidal que é, a força magnetomotriz de reação da armadura A pode 
ser decomposta em tantas componentes senoidais de mesma frequência quantas queiramos. Em particular, 
podemos decompô-la em duas distribuições tais que: (i) as respectivas componentes de campo magnético 
sejam ortogonais; (ii) as direções desses campos coincidam, uma com o eixo direto e a outra com o eixo em 
quadratura. Em termos concisos devemos decompor A em: 
A (direto) - coincidente com o eixo do rotor (polos) 
A (quadratura) - perpendicular ao eixo direto. 
 
Com esse artifício de decomposição das distribuições espaciais de correntes e de forças 
magnetomotrizes é contornado a principal dificuldade proveniente da saliência dos polos, qual seja, a 
natureza variável da relutância que se opõe à força magnetomotriz de reação da armadura na máquina sob 
diferentes condições de carga. Em sua essência, o método da dupla reação substitui um problema 
envolvendo relutância variável com a direção de A por um problema envolvendo apenas duas relutâncias: a 
relutância segundo o eixo direto, ao longo do qual atua a componente direta do vetor A, e a relutância 
segundo o eixo em quadratura, ao longo do qual atua a componente em quadratura do mesmo vetor A. 
 
Como, por convenção o eixo em quadratura está adiantado em relação ao eixo direto de 90º graus, 
vê-se nas figuras 5.8.2 e 5.8.3 que o fasor de tensão gerada Eaf está localizado ao longo do eixo em 
quadratura. Desse modo, um ponto chave da análise dos diagramas fasoriais de uma máquina síncrona, é 
que, após localizar o fasor Eaf, as localizações de ambos os eixos, direto e em quadratura, podem ser 
determinadas imediatamente. Isso forma a base da formulação, em termos de eixo direto e em quadratura, 
que é usada na análise das máquinas de pólos salientes em que todas as tensões e correntes podem ser 
decompostas em suas componentes segundo os eixos direto e em quadratura. 
 
 
 
 
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
35
5.8.1.1 Eixo direto e eixo em quadratura 
 
Assim, os efeitos dos polos salientes podem ser 
levados em conta decompondo a corrente de armadura Îa 
em duas componentes, uma em quadratura no tempo e 
outra em fase no tempo, em relação ao fluxo de 
excitação. Para um gerador de polos salientes, não 
saturado, com fator de potência indutivo, tem-se o 
seguinte diagrama fasorial (fig. 5.8.4): 
Na Fig. 5.8.4, Îd, é a componente de corrente de 
armadura de eixo direto (eixo do campo) e Îq, é a 
componente de corrente de armadura de eixo em 
quadratura (eixo de Ef). Observe que os subscritos “d” e 
“q” nos fluxos de reação de armadura se referem a sua 
fase espacial e não a fase temporal das correntes 
componentes que os produzem. 
 
Fig. 5.8.4 – Diagrama fasorial de um gerador 
síncrono de polos salientes 
 
5.8.1.2 Reatâncias de eixo direto e em quadratura 
 
A cada componente de corrente de armadura (Ia), tem-se uma reatância síncrona componente, 
provocando as quedas de tensão: jxdId e jxqIq 
 
xd = xl + xφd (reatância síncrona de eixo direto) 
 
xq = xl + xφq (reatância de eixo em quadratura) 
 
OBSERVAÇÕES: 
1 - xl é a reatância de dispersão da armadura, e é considerada constante para os dois eixos. 
2 - xφd e xφq são respectivamente as reatâncias de magnetização de eixo direto e eixo em quadratura. 
3 - Relutância do eixo de quadratura > relutância do eixo direto ? xq < xd. 
 xq está em torno de 0,6 a 0,7 de xd. 
 
5.8.2 Diagrama Fasorial 
 
Em síntese: 
? Efeito da saliência dos polos ? relutâncias 
diferentes devido a variações de entreferro. 
? O modelo da máquina é obtido através da 
decomposição nos eixos direto d e 
quadratura q. 
? O efeito da saliência pode ser representado 
pela decomposição da corrente de 
armadura Ia em duas componentes nos 
eixos direto (Id) e de quadratura (Iq) 
? Como as relutâncias nos eixos d e q são 
diferentes ? definem-se duas reatâncias 
diferentes xd e xq para cada eixo. 
 
? Diagrama fasorial ?: 
 
?Equação básica: 
? ?=+ + ⋅ + ⋅f a d qt a d qE V R I jX I jX I? ? ? 
 
?Problema: determinar a posição dos eixos, 
pois δ normalmente não é conhecido. 
 
? Não é possível obter um circuito elétrico 
equivalente para a máquina de polos 
salientes. 
 
 
Vt 
Vq 
Vd
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
36
? Alguns valores típicos de reatâncias: 
Local Tipo xd [pu] xq [pu] 
lha Solteira Hidro 0,88 0,69 
Henry Borden Hidro 1,27 0,76 ? Cubatão 
Santo Ângelo Cond. Sínc. 1,30 0,90 ? perto de São Paulo 
Santa Cruz Turbo 1,86 1,86 ? polos lisos 
 
a) determinação da posição dos eixos 
 
No uso do diagrama fasorial da Fig. 5.8.5 (ver também Fig 5-24 em Fitzgerald [1]), a corrente de 
armadura precisa ser decomposta em suas componentes de eixo d e eixo q (Id e Iq). 
 
 
Fig. 5.8.5 – Relações entre tensões componentes em diagrama fasorial 
 
Seja O'B' OB por construção. 
Então A'B' AB e O'A' AO e os triângulos OAB e O'A'B' são semelhantes.
⊥
⊥ ⊥ 
 
 
O'B' A'B' O'A' = 
OB AB OA
= 
 
A'B' O'B'= OB
AB
 
mas 
OB = Ia, 
A’B’= jXqIq, 
e 
AB= Iq. 
Então 
A'B'O'B' = OB
AB
= q qa
q
jX I
I
I
 
 
Portanto, 
O'B' = ⋅a qjI X , 
assim o fasor 
O'B' '= = + + ⋅a a a q aE V R I jX I 
 
fornece a posição angular da tensão de excitação Ef, a qual, por sua vez, está sobre o eixo em quadratura 
(E’ determina o valor do ângulo de carga δ). Assim, a partir desse ponto, quando se conhece δ, os fasores Id 
e Iq ficam completamente definidos, em módulo e ângulo, bem como pode ser traçado o restante do 
diagrama completo do funcionamento da máquina. Tem-se então 
 
( )cosq aI I= δ+ϕ δ 
( )sen 90ºd aI I= δ+ϕ δ− 
 
Normalmente, a referência usada para a análise fasorial da máquina em regime permanente, é a 
tensão terminal (Vt), como foi feito nas seções anteriores. Assim, ? fE pode ser obtido como se mostra no 
diagrama fasorial para um gerador síncrono de polos salientes ilustrado na Fig. 5.8.6, ou seja 
 
? ?= + + ⋅ + ⋅f a d qt a d qE V R I jX I jX I? ? ? 
C 
A’’ 
E’
A 
O 
B 
Id Ia 
Iq 
O’ 
A’ B’ jXqIq 
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
37
 
Fig. 5.8.6 – Diagrama fasorial do gerador de polos salientes (sobre-excitado). 
 
Observação (Fig. 5.8.5): 
comprimento B’C ? ? B’C = O’A’’ - O’A’ 
 
Da relação entre os triângulos: 
O’A’/OA = A’B’/AB ? O’A’ = Id (XqIq/Iq) ? O’A’ = XqId 
 
Do diagrama O’A’’ = XdId 
 
Então, B’C = XdId - XdId ? B’C = Id (Xd - Xq) 
 
Nota - Erros que se cometem quando se ignoram os efeitos da saliência dos polos: 
A análise em RP da máquina de polos salientes pela teoria simplificada de uma única reatância (Xs=Xd), 
apesar de apresentar pequenos erros no cálculo da tensão gerada, estes são insuficientes para introduzir 
erros apreciáveis no valor calculado para a regulação. Todavia, o mesmo não acontece nos cálculos de 
potências e conjugados, sobre os quais a saliência dos polos pode influir de maneira bastante sensível, pois 
a teoria simplificada produz uma considerável diferença entre os ângulos calculados para a tensão interna, o 
que se deve ao torque de relutância. 
 
Exemplo: 
As reatâncias Xd e Xq de um gerador síncrono de polos salientes são 1,00 e 0,60 pu, respectivamente. A resistência de 
armadura é desprezível. Quando o gerador alimenta carga nominal, com F.P. 0,8, corrente indutiva e tensão terminal 
nominal, calcular: 
a) As componentes de eixo direto e em quadratura da corrente de armadura 
b) A tensão de excitação. (Resp.: ˆ 1,77 19,4ºfE = ) 
? fE
? 'E
? tV
ddjX I?
qqjX I? 
aqjX I?
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
38
5.9 - CARACTERÍSTICA DE ÂNGULO DE CARGA PARA MÁQUINAS DE POLOS SALIENTES. 
 
5.9.1 - MÁQUINA LIGADA A UM BARRAMENTO INFINITO. POTÊNCIA ATIVA 
 
Considere a seguir, uma máquina síncrona operando como gerador, com resistência de armadura 
desprezível, alimentando uma carga trifásica equilibrada constante no tempo (estado estacionário). 
Desprezando a resistência da máquina tem-se que a potência convertida (da forma mecânica para a forma 
elétrica) será entregue a carga, sem perda. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
Agora aparecem também os eixos real (ℜ) e imaginário (ℑ), considerando a tensão terminal Vt como 
referência angular. 
 
A potência ativa [Kw ou Mw] disponível nos terminais do gerador será: 
cost aP V I= ϕ (5.9.1) 
 
O produto das componentes de Vt e Ia em fase é a potência ativa. Recorrendo-se às decomposições de 
correntes e tensões, tais como efetuadas nos diagramas para máquinas de polos salientes, pode-se 
decompor também a potência elétrica. De acordo com o diagrama, essa potência pode ser escrita como: ( )sen cos sen cosd q t d q t d t qP P P P V I I P V I V I= + ∴ = δ + δ ∴ = δ + δ (5.9.2) 
 
Equivalente a se projetar Ia e a Vt sobre os eixos “d” e “q”. Ou seja, trabalha-se aqui com as projeções no 
eixo real. Da figura vem: 
sent q qV X Iδ = (5.9.3) 
 
cosf t d dE V X I− δ = (5.9.4) 
Logo, 
sent
q
q
V
I
X
δ= (5.9.5) 
 
cosf t
d
d
E V
I
X
− δ= (5.9.6) 
 
Levando (5.9.5) e (5.9.6) em (5.9.2) vem: 
cos sen
sen cosf t tt t
d q
E V V
P V V
X X
⎛ ⎞− δ⎛ ⎞ δ= δ + δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (5.9.7) 
 
2 2cos sen
sen sen cost f t t
d d q
V E V V
P
X X X
δ δ= δ − δ + δ (5.9.8) 
2 1 1sen sen cost f t
d q d
V E
P V
X X X
⎡ ⎤= δ + − δ δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 (5.9.9) 
ℜ
ℑ 
Vt
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
39
Mas como 
1sen cos sen2
2
δ δ = δ e 1 1 d q
q d q d
X X
X X X X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 (5.9.10) 
tem-se (potência por fase) 
2
sen sen2
2
t f d qt
d q d
V E X XV
P
X X X
⎡ ⎤−= δ + δ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
 (5.9.11) 
 
 
 
Na expressão de potência temos uma parcela que depende diretamente da corrente de campo (ou 
corrente de excitação) [Ef] 
 
A outra parcela da potência independe da excitação, mas depende da diferença entre Xq e Xd. Na 
máquina de polos salientes Xd é maior que Xq, porque o entreferro na região do eixo direto é menor que o 
entreferro na região do eixo em quadratura. Essa parcela é chamada de potência de relutância e o torque 
correspondente a ela é chamado de torque de relutância. 
 
Graficamente 
 
Fig. 5.9.1 - Característica de ângulo de carga de uma máquina síncrona de polos salientes, mostrando a 
componente fundamental, devida a excitação do campo, e a componente de segunda harmônica, devida ao 
conjugado de relutância. 
 
A figura 5.9.1 mostra que o efeito da saliência dos polos traduz-se por deformação na curva do 
conjugado resultante, cujo conjugado máximo desloca-se para a região onde δ < 90º. 
 
OBSERVAÇÕES: 
1 - O primeiro termo de (5.9.11) é idêntico ao obtido para a máquina de rotor cilíndrico e representa o 
torque eletromagnético; se Xd = Xq (máquina de entreferro uniforme), o torque de relutância é nulo, e 
recai-se na equação para máquina de polos lisos; 
 
2 - O segundo termo representa a potência relativa ao conjugado de relutância, que se origina da tendência 
de alinhamento dos polos do rotor com o campo girante da armadura (busca do caminho de menor 
relutância), a dependência com 2δ indica a tendência de alinhamento independente de uma polaridade 
(não depende da excitação); 
 
3 - Um gerador síncrono ligado a uma barra infinita, mesmo sem excitação, continua a fornecer potência útil 
através do torque de relutância, embora passe a absorver grande potência reativa (máquina sub-
excitada);4 - a máquina de polos salientes é mais firme que a máquina de rotor cilíndrico, pois para iguais tensões e 
iguais valores de xd desenvolve um dado conjugado a um menor valor de abertura angular (δ). Por outro 
lado, suporta uma potência um pouco maior sem sair do sincronismo 
 
Polos lisos saliência 
2
sen2
2
d qt
q d
X XV
X X
⎡ ⎤− δ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
sent f
d
V E
X
δ
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
40
5.9.2 - MÁQUINA LIGADA A UM BARRAMENTO INFINITO. POTÊNCIA REATIVA 
 
A potência reativa entregue ao barramento por fase é: 
sent aQ V I= ϕ sen cos sena d qI I Iϕ = δ− δ (5.9.12) 
 
cos send t q tQ I V I V= δ − δ (5.9.13) 
 
Substituindo (5.9.5) e (5.9.6) e (5.9.13) 
 
2 2
2 cos sencost f t
d d q
V E
Q V
X X X
⎛ ⎞δ δ= δ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 ou, 
2
2 2cos sent f d qt t
d d q d
V E X XV
Q V
X X X X
⎡ ⎤−= δ − − δ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
 (5.9.14) 
 
Observações: 
1 - Os dois primeiros membros de (5.9.14) são idênticos aos obtidos para a máquina de rotor cilíndrico; 
2 - O terceiro termo representa a potência reativa absorvida (Xd > Xq) devido aos polos salientes; 
3 - Sem excitação, a Q absorvida vale: 
2
21 send qt
d q d
X XV
Q
X X X
⎡ ⎤−= + δ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
 
4 - Se Xd = Xq (entreferro uniforme), recai-se no caso para polos lisos. 
 
5.9.3 - ÂNGULO DE CARGA PARA A MÁXIMA POTÊNCIA 
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2 2 2
sen sen 2
2
cos 2 cos 2
2
| 0; cos 2 2cos 1
cos 2 2cos 1 0 cos cos
2 2
máx
f t d q
t
d q d
f t d q
t
d q d
f t d q q f
máx t máx máx m
d q d t d q
E V X X
P V
X X X
E V X XdP V
d X X X
dP
d
E V X X X E
V
X X X V X X
δ=δ
⎡ ⎤⋅ −= δ + ⋅ δ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⋅ −= δ + ⋅ δ⎢ ⎥δ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
= δ = δ −δ
⎡ ⎤⋅ − ⋅⎡ ⎤δ + ⋅ δ − = ∴ δ + δ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⋅ −⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) 1 0
2áx
− =
 
( ) ( )
2
1arccos
24 4
q f q f
máx
t d q t d q
X E X E
V X X V X X
⎡ ⎤⎡ ⎤⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥δ = − +⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
 (5.8.15) 
Se 0 45 ; Gerador 0; Motor 0;f máx máx máxE = ⇒ δ = ± ° → δ > → δ < 
 
Exemplo: 
 
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
41
5.10 CURVA DE CAPABILIDADE1 
 
Para se operar seguramente um gerador deve-se conhecer os seus limites de operação. 
Estes limites podem ser determinados pela potência da máquina primária (acionante), 
estabilidade de funcionamento, aquecimento do enrolamento de campo, provocado pela 
corrente de excitação do campo e aquecimento do induzido, provocado pela corrente de 
induzido (limite térmico do gerador). Estas condições são todas analisadas através do 
diagrama de capabilidade (também chamado diagrama de capacidade ou ainda diagrama de 
carga). Assim, neste diagrama pode-se analisar a área dentro do qual o gerador pode 
funcionar e então avaliar as condições de operação da máquina. 
Os limites de aquecimento do estator e do rotor, juntamente com o limite externo do 
gerador síncrono, podem ser expressos na forma de gráfico por um diagrama de capabilidade 
(capacidade) do gerador. Desse modo, um diagrama de capacidade é um diagrama da 
potência complexa S=P+jQ. Ele é derivado do diagrama fasorial do gerador, assumindo que 
tensão aplicada na máquina Vφ é constante. 
 A figura 5.10.1a mostra o diagrama fasorial de um gerador síncrono operando com 
tensão nominal e um fator de potência atrasado. Um conjunto de eixos ortogonais é 
desenhado no diagrama com sua origem na extremidade de Vφ e com unidades em volts. Neste 
diagrama, o segmento vertical AB tem um comprimento XSIAcosθ, e o segmento horizontal OA 
tem um comprimento XSIAsenθ. 
 
 
Figura 5.10.1 - Derivação da curva de capacidade de um gerador síncrono 
(a) Diagrama fasorial do gerador (b) Potência correspondente por unidade 
 
 A potência ativa (real) de saída do gerador é determinada por 
P V I A= 3 φ θcos (5.10.1) 
a potência reativa da saída é determinada por 
θφ sen3 AIVQ = (5.10.2) 
e a potência aparente da saída é determinada por 
S V I A= 3 φ (5.10.3) 
assim os eixos vertical e horizontal da figura podem ser expressos em uma escala em termos 
de potências ativa e reativa (Figura 5.10.1b). O fator de conversão necessário para mudar a 
escala do eixo de volts para voltamperes (unidades de potência) é 3Vφ/XS: 
( )P V I V
X
X I
S
S A= =3
3
φ φ
φθ θcos cos (5.10.4) 
e 
( )θθ φφφ sen3sen3 AS
S
IX
X
V
IVQ == (5.10.5) 
 No eixo de tensão, a origem do diagrama fasorial no eixo horizontal é em - Vφ, logo a 
origem no diagrama de potência é em ( )Q VX VS= −
3 φ
φ 
 
1 Capabilidade =capacidade x disponibilidade (termo original: capability) 
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
42
 Q
V
X S
= − 3
2
φ
 (5.10.6) 
 A corrente de campo é proporcional ao fluxo da máquina, e o fluxo é proporcional a 
E KA = φω . O comprimento correspondente a EA no diagrama de potência é 
 D
E V
XE
A
S
= 3 φ (5.10.7) 
 A corrente de armadura IA é proporcional a XSIA, e o comprimento correspondente a 
XSIA no diagrama de potência é 3VφIA. 
 
A curva de capacidade final do gerador síncrono é mostrada na figura 5.10.2, em que, 
neste caso, é traçado P versus Q, com a potência ativa P no eixo horizontal e a potência 
reativa Q no eixo vertical. Linhas de corrente constante de armadura IA aparecem como linhas 
de constantes S=3VφIA, as quais são círculos concêntricos ao redor da origem. Linhas de 
corrente do campo constante correspondem a linhas de constantes EA que são mostradas como 
círculos de magnitude 3EAVφ/XS centradas no ponto 
 Q
V
X S
= − 3
2
φ
 (5.10.8) 
 A corrente de armadura limite aparece no círculo correspondente a IA nominal ou 
kilovoltamperes nominal e a corrente de campo limite aparece como um círculo 
correspondendo a IF ou EA nominais. Qualquer ponto de operação do gerador que estiver 
situado dentro de ambos os círculos é um ponto de operação seguro. 
 Também é possível mostrar outras restrições no diagrama, tal como a máxima potência 
da máquina primária e o limite de estabilidade estático. Uma curva de capacidade que também 
reflete a máxima potência da máquina primária está mostrada na Figura 5.10.3. 
 
PASSOS PARA DESENHAR AS CURVAS DE CAPABILIDADE DO GERADOR: a máxima 
corrente de armadura fixa a potência aparente do gerador; assim sendo, desenha-se, com 
centro no ponto uma circunferência de raio AIVφ3 ; em seguida desenha-se uma circunferência 
de centro sobre o eixo Kvar em 
SX
V 23 φ− e de raio 
S
A
X
VE φ3 , onde EA é a máxima tensão de 
excitação correspondente a máxima corrente de campo admissível. 
 
 
 
Figura 5.10.2 - Curva de capacidade 
resultante do gerador 
 
Figura 5.10.3 - Diagrama da curva de capacidade 
mostrando o limite de potência da máquina 
primária 
 
Limite de 
corrente do 
rotor 
Limite de corrente 
do estator 
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
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Para uma utilização segura do gerador, todos os pontos de operação deverão estar na 
região interna do diagrama de carga, observando-se a máxima potência ativa e reativa. Ou 
seja, em seu interior,o carregamento das respectivas máquinas será satisfatório, pois assume 
um valor inferior ou igual aos máximos admissíveis para a operação em condições nominais. 
O limite térmico da armadura é determinado pelas perdas no estator e a capacidade de 
ventilação da máquina. As perdas preponderantes são as perdas joule, ocasionadas pela 
corrente de armadura. O limite térmico do rotor é determinado pela corrente de excitação, e 
ocorre na região de carga indutiva, onde serão necessárias fortes excitações. Assim, para cada 
máquina existem limites pré-estabelecidos no projeto para tais perdas, uma vez que a 
efetividade do sistema de refrigeração é limitada. Outras perdas presentes nas máquinas 
elétricas, como por exemplo às perdas mecânicas nos mancais, são igualmente transformadas 
em calor e, em conseqüência, elevam sua temperatura e exigem, também, uma ação efetiva 
do sistema de refrigeração, porém não estão diretamente relacionadas com o carregamento 
das máquinas e, por isso não influenciam significativamente nas curvas de capabilidade. 
Por outro lado, como explanado anteriormente, a potência elétrica que um gerador 
pode entregar diretamente a uma barra é função do chamado ângulo de potência (δ), 
normalmente admitido como o defasamento entre a força eletromotriz (ou tensão interna E) e 
a tensão terminal (Vt). Assim sendo, observa-se que, para condições de tensão e excitação 
fixadas, existe um máximo de potência que pode ser transferida pelo gerador chamado de 
“Limite Estático de Estabilidade Teórica” e depende do valor da excitação. Valores de potências 
superiores ao máximo não poderão ser convertidos pelo gerador e entregues à barra pois, 
qualquer tentativa neste sentido, levaria a máquina a perda de sincronismo. 
Observa-se, ainda, que pequenos valores de f.e.m. (E), correspondentes a condições de 
operação sob fatores de potência fortemente capacitivos, poderão levar um gerador para 
posições iguais ou próximas do limite de estabilidade, o que não deve ser permitido. Desta 
forma, é possível que existam regimes, nos quais a máquina seja levada a operar em uma 
área de instabilidade em decorrência dos baixos valores de excitação, embora os limites de 
perdas sejam satisfeitos. Esta condição, naturalmente é inaceitável. 
Em função destes aspectos, existirão, em muitos casos, trechos das curvas de 
capabilidade determinados pelo limite de estabilidade e pelo mínimo de excitação admissível. 
Além disto, sabe-se que o gerador síncrono, na realidade, é um conversor de energia 
mecânica em elétrica. A máquina primária (turbina hidráulica, a vapor, a gás, motores a 
explosão e outros) fornece a potência mecânica obtida através da transformação de uma outra 
forma primária de energia. Assim, é possível que em alguns casos a potência da máquina 
primária também seja um limite para a operação do gerador. Em tais condições, isto se traduz 
nas curvas de capabilidade do gerador, embora, a rigor, esta causa não poderia ter existência 
isolada e deve ser olhado como um componente do grupo máquina primária - gerador. 
Em resumo, os fatores que limitam o campo de operação dos geradores síncronos são 
os seguintes: tensão terminal (Vt); corrente de armadura (Ia); corrente de campo (If); limite 
de estabilidade; excitação mínima permissível; capacidade da máquina primária. 
No traçado das curvas de capabilidade, a tensão terminal de operação fixa uma das 
curvas pertencentes à família que seria obtida com Vt por diâmetro. Os demais fatores 
estabelecem trechos em cada uma das curvas. 
 
Na figura 5.10.4, a título de ilustração, são dados 
exemplos de curvas de capabilidade, indicando-se cada trecho o 
fator de limitação correspondente. 
Nesta figura, tem-se: 
a) ϕ - ângulo do fator de potência; 
b) trecho AB - limitação pela corrente de campo Iex; 
c) trecho BC - limitação pela corrente de armadura IA; 
d) trecho CD - limitação de potência imposta pela máquina 
primária; 
e) trecho DE - limitação pela corrente de armadura IA; 
f) trecho EF - limitação pela estabilidade prática; 
g) trecho FG - limitação por excitação mínima. 
Figura 5.10.4 - Curva da capabilidade e trechos 
limites. 
Exemplo numérico: 
UFMS/DEL – Prof. Valmir – notas de aula de MCCS [5.8-5.10] – edição 2012 5. 
 
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Bibliografia: 
 
[1a] Fitzgerald, A. E.; Kingsley Jr., C.; Umans, S. D. – Máquinas elétricas com introdução à eletrônica de 
potência, 6.ed. – Porto Alegre: Bookman. 2007. Tradução de Electric machinery (6. ed.). (Na BC: Nº 
Chamada = 621.31042 F554m.6, Nº Exemplares = 7). 
[1b] Fitzgerald, A. E., Kingsley Jr., C., Kusko, A. – Máquinas Elétricas. São Paulo: Ed. McGraw-Hill, 1975. (Na 
BC: Nº Chamada = 621.31 F553m, Nº Exemplares = 15). 
[2] Sen, Paresh C. - Principles of Electric Machines and Power Electronics. 2nd. ed., New York: Wiley, 1997. 
(Na BC: Nº Chamada = 621.31042 S475p.2, Nº Exemplares = 3) 
[3] Del Toro, Vincent - Fundamentos de Máquinas Elétricas. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 
c1999, Tradução de: Basic electric machines. (Na BC: Nº Chamada = 621.31042 D331fa, Nº Exemplares = 11) 
[4] Kosow, Irving. L. - Máquinas Elétricas Transformadores, 9.ed. - São Paulo: Globo. 1993. (Na BC: Nº 
Chamada = 621.31 k86m.9, Nº Exemplares = 10) 
[5] Falcone, Aurio Gilberto - Eletromecânica, volumes 1 e 2. São Paulo: Ed. Edgard Blucher Ltda, 1979-1985. 
(Na BC: Nº Chamada = 621.31 F182e, Nº Exemplares = 24) 
[6] Nasar, Syed A. - Máquinas Elétricas. São Paulo: Ed. McGraw-Hill (Coleção Schaum). 1984. (Na BC: Nº 
Chamada = 621.31 N243m, Nº Exemplares = 10).

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