Exercícios Resolvidos de Resistência dos Materiais Fascículo II

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
Departamento de Estruturas 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
FASCÍCULO II 
Dagoberto Dario Mori 
Eduardo José Pereira Coelho 
São Carlos, 1979 
Publicação 083/91 
Reimpressão 
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
Departamento de Estruturas 
EXERCICIOS RESOLVIDOS DE 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
FASCÍCULO 11 
Dagoberto Dario Mori 
Eduardo José Pereira Coelho 
São Carlos, 1979 
Publicação 083/91 
Reimpressão 
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G) ..-
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INTRODUÇÃO (/) ..-
:J C") 
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c 
Esta publicação, destinada aos estudantes de Graduação 
das Escolas de Engenharia, deve ser utilizada concomitantemente ,, 
com a public:ação''EXERC:I'CIOS PROPOSTOS DE RESISTÊ!NCIA DOS MAT!_ 
RIAIS", Fascículo li, da qual foram extraÍdos os problema's 
resolvidos, 
aqui 
Os enunciados destes problemas nao acompanham suas so 
luç~es pois os autores julgam que o estudante deve primeiramente 
tentar resolver os exercícios propostos, e somente depois consul 
tar esta publicação. 
Neste segundo fascÍculo, correspondente ã segunda pa~ 
te do Curso de Resistência dos Materiais, ministrado na Escola 
de Engenharia de São Carlos, os exercícios foram selecionados com 
o intuito de englobar dentro de cada capÍtulo desta disciplina, 
a maior variedade possível de assuntos, e devem servir como fon-
. ~ . 
te de consulta e principalmente como mitodo de 
cálculo. 
rac1.oc1n1o e 
No inÍcio de todos os capÍtulos ,aqui chamados de_ listas, 
são apresentados formulários aos quais se faz referência durante 
a solução dos exercícios. Ê oportuno lembrar que a simples leit~ 
ra desses formulários, apesar de facilitar o entendimento do tex 
to, não desobriga o estudante de desenvolver anteriormente uma 
sÕlida conceituação teÕrica dos assuntos tratados. 
Os trabalhos de datilografia estiveram a cargo da Sra. 
Wilma Provinciali Vall e os de desenho a cargo de João Paulo Mo-
retti e Sylvia Helena Moretti, aos quais os autores 
dedicação e esmero. 
agradecem a 
Esta segunda edição foi revisada pelo Professor Sirgio 
:Í N D I C E 
LISTA N9 lO (LlO) - ESTADOS DE TENSÕES 
LISTA N9 11 (Lll) - ESTADOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
LISTA N9 12 (L12) - CRITÉRIOS DE RESISTf:!NCIA, 
LISTA N9 13 (Ll3) ~ FLEXÃO GERAL 
LISTA N9 14 (L14) - TORÇÃO LIVRE DE BARRAS DE SEÇÃO QUALQUER 
LISTA N9 15 (LlS) - FLAMBAGEM 
LISTA N9 16 (Ll6) - ENERGIA DE DEFORMAÇÃO E CÃLCULO DE 
DESLOCAMENTOS 
-~ 
' 
' . ..,. 
l.J 1() 
Ll0-1 
ESTADOS DE TENSÕES 
As fórmulas que se seguem prestam-se à determinação de 
tensÕes que atuam em um plano que forma um ângulo genérico a com 
a direção do eixo y, usada como referencial. 
y 
Ol>O 
ou 
ou 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
ii 
FIG. 10. i- ROTAÇÃO OOS EIXOS COORDENADOS 
cr +cr 
cr- ~ 
X 
T--
xy = 
X y + 
2 
cr -cr 
y X 
2 
cr -cr 
X y 
2 
cos2a + 1" sen2a 
xy 
sen2a + 1" 
xy 
cos2a 
2 2 , __ = (cr -cr )sena cosa + 1" (cos a-sen a) 
xy y x xy 
!roço do 
plano yy 
y 
.... 
...... 
~ . . .. 
..... 
(10,1) 
(10.2) 
(10.3) 
(10.4) 
o 
OBS P Calcula ~ ~- usa se o -angulo S. Sendo S=a+90 tem-se: ,: arase -v -
- y 
cr-
Y 
2 = cr s en a. + 
X 
2 
cos a - 21" xy 
cosa sena 
~= a) o ângulo a e marcado positivamente a partir de urna 
vertical (eixo y) e no sentido anti-horirio ate o traço do plano 
em que atua a tensao a ser calculada, 
b) cr , cr = tensões normais que atuam nas 
X y 
direçÕes dos 
eixos perpendiculares x e y, consideradas positivas se traciona 
rem as faces do elemento, 
c) 1" xy 
= tensão de cisalhamento aue atua .nas faces do e . -
lementol) paralelas aos eixos x e y. Esta tensão ~ considerada 
sitiva se o seu sentido coincidir com o eixo que lhe for paralelo, 
desde que, na face onde atua, uma tensão normal de tração tiver 
sentido coincidente com o outro eixo, ou seja, para crx positivo e 
Ll0-2 
concordante com o sentido de x, T ~ositivo e aquele que concor 
xy 
da com o sentido de y. 
cujos. 
(eixo 
d) cr-, cr-, T7- = tensÕes normais e tangenciais a planos 
X y ~y O 
traços formam angulos a e a+90 com uma direção vertical 
y). Os ingulos ·a e a+90° são considerados positivos quando 
marcados no sentido anti-horário. A convenção de sinais e mantida 
para estas tensoes, respeitando os sentidos dos eixos que 
correspondem (~e y). 
lhes 
Observe-se, pela expressão (10.3), que existe um ingulo 
particular a , que anula o valor.de T--, levando à equação 
p xy 
2 T 
XY tg ( 2a ) = 
p cr -o 
X y 
.... (10.5) 
de cujas infinitas soluçÕes, interessam dois valores de a que 
p 
correspondem a duas direçÕes perpendiculares entre si, as quais 
são chamadas de direçÕes principais. Estas direçÕes principais d~ 
finem dois planos, nos quais atuam tensões cr 1 e cr 2 
(tensÕes urin 
cipais) dadas por: 
= 
cr +cr 
X y ± 
2 .... (10.6) 
OBS.: Os ingulos a calculados através da expressao (10.5) sao 
p 
marcados positivamente a partir de uma vertical (eixo y) e 
no sentido anti-horário. 
Uma vez determinados os valores das tensoes principais cr
1 
e 
cr 2 podem-se obter analiticamente as POSiçÕes dos eLXOS prin 
cipais 1.1 e 2.2, relativamente aos eixos x e y, utilizando 
na expressao (10.1) 
(10.5) e comparando 
o ângulo a encontrado na expressao 
p 
os valores de cr- ou cr- aos resultados 
X y 
de cr 1 ou cr 2 já conhecidos. 
Ll0-3 
I) Solução Analitica 
r7y = q f 
; ·J 
X 
FI G. lO. 2 - CORTE !·! 
y 
,II 
/-!/ tq 
150~~··· 
CTrr= 1,6 tf /cm2 \ ·j-,....:.--, 
"}· 
t .·· 
n~~ soo 
/I[ 
FIG. 10.3- CORTE JI .Ir 
Para o plano representado pe!o corte I-I tem-se, com 
base na Fig. 10.2 e nas expressies (10.1) e (10.3): 
a • 
I 
(p+q) + (p-q) cos(90°) + T sen(90°) 
2 2 
. . a = I • • • • (A) 
T • -o 8 = (q-p) sen 90° + T cos 90° 
I ' 2 
p - 9 - 1,6 • • • • (B) 
Para o plano representado pelo corte II-II tem-se: 
110-4 
(p+q) + 
2 
3p + q - 6,4 
(q-p) sen(-60°) + T cos(-60°) 'II = 2 
• 
OBS.: T • T • 0 
xy 
'u = o,43 (p-q) 
• • • • (c) 
• • • • (D) 
O sistema de equaçoes (B) e (C) resolvido leva a 
2 
p • 2,0 tf/cm 
2 
q • 0,4 tf/cm 
Utilizando os valores p e q em (A) e (D) obtêm-se: 
a • 1,2 tf/cm2 I 
2 
'II = 0,69 tf/cm 
II) Solução Gráfica (eirculo de Mohr) 
p t t t t 
L --- X ---
q 
p -------
t I ~ f q I ' 
FIG. 10.4- ESTADO DE TENSO-ES 
,, ,, 
. -~ 
,,,., '., . ~ 
Ll0-5 
o (1( tf /em2 l 
q 
0,8 
I 6 
p 
FIG. 10.~- CIRCULO DE MOHR 
Nas faces paralelas aos eixos x e y tem-se~ = O, sendo 
portanto p e q tens~es principais; usando G conceito de pelo, co~ 
~ase na Fig. 10.4, conclui-se que o pelo tem coordenadas (p;O). 
Admitindo conhecido o pelo, atravis dele, paralelamente 
ao corte I-I, e.ncoat.zar-se-ia o ponto A, cujas coordenadas serram-
e = 0,8,-esta Última i~ual ao raio R do cÍrculo. 
'' '. 
E.:S 2 
2 
= R = 0,8 tf/cm 
Pelo poio, se se tirasse uma paralela ao corte II-II, ., 
encontra\r-se-ia o ponto B, de coordenadas c;II = 1,6 e 'II" 
Atravis da Fig. 10.5, pode-se concluir que: 
ox = 1,6 = q + R+ R cos 60° = q + 0,8(1+ t> 
~ 
••• q = 0,4 tf/cm~ 
Dessa forma resulta 
2 
p = 2, O tf I em 
o 
Ll0-6 
t << D 
_T ______ ------
C1t 
cr.t I o -o-.t, 
!_. ..l..ponto ..,..o O"t J 
~---------
FIG. 10.6 
Isolando-se elementos em torno dos pontos (D e (I), 
das faces externa e interna da parede da caldeira, obtêm-se os es 
tados de tensão da Fig. 10.7. 
p = pressão interna 
FIG. 10.7- ESTADOS DE TENSÃO 
Nas caldeiras, admite-se que as tensoes ar, que têm di-
reçao radial, podem ser desprezadas relativamente is tens;es at 
e ai, estas atuantes segundo as direçÕes ,tangencial e longitudi-
nal. Desta forma, em torno dos pontos Q) e @ , admite-se a exi!. 
tência de um estado plano de tens;es. A tensão a 1 surge devido a 
ação da pressão interna sobre as tampas e destas sobre as paredes 
da caldeira. 
Com base nas Figs. 10.8 e 10.9 obtê~-se at e a 2 . 
a • 
t
.E..E. 
2t 
Ll0-7 
I 
o 
=-------------r - . 
- p l = ----- t -
tat 
I o. 
I at 
' 
r :: ________ l_ __ J 
tampa rt 
FIG. 10.8 - TENSÃO 0 1 FI G. 10.9- TENSÃO cr1 
Ftampa = for;a na tampa • p • a · 1TD • t i 
• • • 
Com D = 100 em, t p 2em e p • 50 kgf/em 2 resultam 
I) Solução Analrtica 
2 
oi = 625 kgf/cm 
No plano do corte II-II atuam as tensoes o
1
I e 'II' ob-
tidas por: 
CORTE II • ll 
= - 60" 
X 
30" 
F!G. lO -10 
-r II = 
Ll0-8 
2 
= 1093,8 kgf/cm 
crt-cri o 2 
( 
2 
)sen(-120 ) = -270,6 kgf/cm 
No plano da solda (corte II-II), as tensoes podem ser 
representadas.por: 
i 
FIG. 10. li 
O sentido de -r
11 
concorda com o sentido de y pelo fato 
da mesma ser negativa; verifica-se que uma tensão normal ?Ositiva 
nesse plano, discorda do outro eixo x. 
II) Solução atravis do crrculo de Hohr 
62!5 +-
CTn 
1250 
FIG. 10.12 
Portanto: 
'· . . 
Ll0-9 
R • raio do circulo • 1250- 625 • 312,5 kgf/cm2 
2 
13 --. 
2 
o • R sen 60 • 312,5 270,6 kgf/cm 2 
crii • 625 + R+ R cos 60° • 625+312,5(1+ i) • 
. I 2 • 1093,8 kgf Ct:l 
FIG.IO. 13 
~o plano da_~, as tensoes normal e tangencial devem 
obedecer ãs seguintes restriçÕes: 
a) cr cc ~ O (a cola não suporta tração) 
. 2 . 2 
:!'(0,4 tf/cc ou seja, -r .:S;; 0,4 tf/cm para 
- CC 
1: positivo e 1: ~ 
CC CC 
-0,4 tf/cm 2 para 1: negativo, 
CC 
') 
- 0,4 o 0,4 z. 
----+-----+----1----- "C(tf/CITJI 
faixa de valores 
1 Que "Ccc pode assumir' 
FIG. 10.14 
Ll0-10 
I) Solução AnalÍtica 
Orientando a peça colada com os e~xos x e y da Fig. 
10.13 e respeitando a orientação para as tens;es, impostas na Fig. 
10.1, ~em-se: 
T = o xy 
-0,5 t f I em 2 cr = 
X 
; 
!1êêl "'i'fll~l ~f?l~ H!êll''= 
I R ~~~@ êY =~•ª 
• • • 
(; +0,5 
= I c Y~ )§ên(=~r,©)! 
= 
• • • • • 
A soluçio que satisfaz as 3 condiç~cs encontradas para 
cry é dada por: 
LlO•ll 
• 
-1 3 o 
k·oee·e=e·u o • e e o e e e o e c. e o e 4 
-- e e e :e ,.. e e e o e e o ~ ,as 
~ c • 
-1.,3 0,3 
....----------------- a-1 ltf/cm) 
(j 
y 
FIG. IO.IS 
~ 
0,3 tf/CT!l~ 
Observe ·que estes resultados sao igualmente encontrados 
se se considerar que r;y pode ser negativo. 
li) Solução Gráfica 
Utilizando-se 6 crrculo de Mohr com base no estado de 
tens~es da Fig. 10.13, obtem-se inicialmente o ponto P (polo) de 
coordenadas r; • -0,5 tf/cm 2 e T • O. Através do polo, uma dir_e 
x xy 
ção paralela ao corte cc, cortará o crrculo em um ponto de coord~ 
nadas r; e T • A 1! restrição (r; ~ O) é respeitada através do 
CC CC CC 
crrculo CD. ao qual pertencem o polo p e o ponto A, de coordena-
das a • O e I• I • 0,5 tf/cm2. A 2! restrição <l•ccl ~ 0,4 
ÇC CC . 
tf/cmZ) leva aos crrculos @ e G), respeitado o campo de varia-
ção de 'cc' entre as retas l e 2 • Nestas retas localizam-se 
os pontos B e C, nos quais concorre a reta por P e paralela ã di-
reção c.c. Verifica-se que o crrculo G) não é solução para o pr.!:!. 
blema po\"que T > 0,4 tf/cm 2 para et. • -45°. 
CC 
Poitanco a solução é a indicada na FlR· 10~16. 
ll 
110-12 
'tltf/cm2 ) CORTE CC 
( 2'l restri çõo) 
( 1~ restrl~o) 
circulo 3 circulo 2 
_reto 1 
0,4 
0,4 
roto 2 
0,4 04 
iintervolo em que O' pode Yori ar 
FIG. 10.16 
45 
' / 
~~ 
P(tl 
~~' P(t) 
/ "' 45° 
4 
o 
FIG. 10.17 ESFORÇOS NO PARALELEPIPEDO 
Ll0-13 
a) Esforços no Paralelepipedo 
Isolando os nós C2) e ~. seus equilrbrios fornecem: 
FIG. 10.18 NÓS (i) E @ ISOLADOS 
NlS 
p 
•P/2 • 
cos45° 
N1Z • N lS • co s 45° .. 'p 
N26 .. Nl2 
cos45° 
• P/2 
Dada a simetria do sistema, resultam 
e portanto. o paraleleprpedo fica sujeito apenas aos esforços da 
Fig. 10.19, uma vez que não é considerado o atrito existente en-
) 
tre suas faces ·e as sapatas. 
Os esforços normais às faces do paraleleprpedo são 
considerade-s uniformemente.distriburdos em suas respectivas á-
reas, atuando como tensÕes principais a, supondo aceitável a hi- · 
pÓtese d~ "inexistência"· de tensÕes de cisalhamento. 
Ll0-14. 
FI G. 10.19 -PARALELEPJPEDO ISOLADO 
Um elemento de volume do sólido, fica portanto, sujeito 
a um estado triplo de tensoes, como se representa esquematicamen-
te na Fig. 10.20, tomando-se cr 1 ~ a 2 ~ cr 3 . 
I"IG 10.20 ESTADO DE TENSÕES NO SÓLIDO 
Cl'j, .. () 
02 " = 
rl2 
~ " = 
r/1 
2!1. ~ 
03 .. - 1'11' .. - r/1 .!1 ;r 2.:1 "2 
Ll0-15 
trada na Fig. 10.21, na q~al se pode determinar o valor de T 
· max 
com base no círculo de maior diâmetro, correspondente. ao estado 
de tensÕes de uma face sujeita ãs tensÕes cr
1 
e cr
3
• 
I 
-t-
I 
: "tmox 
+--=0'-'-----+-
I 
1 . !T - = -z<crl-cr3) max 
S em 
FIG. 10.21 
L.N. 
fiG. 10.22 -o- SECÃO TRANSVERSAL 
' 
carregamento 
~~ l t f t oExterno 
b 
45 
Cl 
FIG.I0.22. b ELEVAÇÃO 
Ll0-16 
No estado de tensoes em torno de um ponto interno de u-
ma viga, de maneira geral pode-se considerar que a tensão o é nu 
- y 
la, admitindo que as tensoes o provenientes da açao do carrega-
y 
mento externo causam somente perturbaçÕes locais, que' se dissipam 
à medida que se consideram pontos afastados das faces externas da 
viga, segundo o Principio de Saint-Venant. 
Cl 
FIG. 10. 23 -ESTADO DE TENSOES NA 
VIGA 
tor e as 
As tensoes normais ox 
tensões de cisalhamento 
sao provocadas pelo momento fle-
1 são provocadas pelo esforço 
xy 
cortante, como segue: 
1 xy 
M (x) 
• -J- ·y 
z 
onde y i a distância da Linha Neutra ao ponto considerado, Ms e 
z 
o momento estático, em relação ao eixo z, da área hachurada si-
tuada abaixo do ponto e b i a largura da seção transversal ao nr 
vel do ponto (Fig. 10.22.a) 
a) Cálculo das TensÕes 
Um elemento em torno do ponto P, segundo a orientação 
das direçÕes a-a e b-b, fica sujeito às tensÕes indicadas na Fig. 
10.24. 
' !. .. 
L10-17 
Cl b 
CTll LI 
'l:xy "':xy 
b 
Flt. 10.24 ESTADO OI! TENso·ES EM TORNO CO PON'rO P 
Usando a expressao (10.1), com ay • O 
obtém-ma: 
o 
e •::1 • :1: ·45 , 
(] 
a a 
(]X O O 2 
2 cos(90 )+ Txy·sen(90) • 750 kgf/cm 
ou seja: 
(] - 2T = 1000 x xy 
(] + 2T = 1500 
x xy 
e portanto: 
\ 
CJ = 1250 kgf/cm 2 
X 
.......====:; 
1250 
12 !'i ====:--:--1 
125kg/cm2 
1250 kg/cm2 ----
FI G. 10.25 ESTADO DE 
TENSÕES 
T.l0-18 
b) Cálculo dos Esforços Solicitantes 
~r = zz 
6x12 3 
12 
Yp = 3, O em 
a • J 
X ZZ 
y p 
= 
= 864 4 em 
1250x864 
3,0 = 360.000 kgf.cm = 360 tf·cm 
Como a tensao r:Jx resultou positiva e o ponto P situa-
se abaixo da Linha Neutra, pode-se concluir q*e o momento encon-
trado traciona a viga em baixo. 
M8 • 3 X 6 X 4,5 = p 
3 em 
'b • 6 ~O em 
Q = 125x6,0x864,0 = 81,0 8000 kgf = 8,0 tf 
A força cortante encontrada tem direção e sentido iguais 
aos da tensao T , ficando a seçio transversal solicitada pelos es 
xy 
forços Me Q indicados na Fig. 10.26. 
Q= sp ti 
-+:_-_·_-_---~----_-_-_·~~~~-----·V·· . .,.,.~ 
, 
FIG.I0.26-ESFORÇOS SOLICITANTES Me Q 
Observe que este esforço cortante, proveniente de uma 
tensao T considerada positiva segundo a convenção adotada, teria xy 
um sinal negativo segundo a convenção de esforços solicitantes(dia 
gramas de Q), que considera positiva a cortante que percorre a se-
çao no sentido horário. 
Ll0-19 
Este problema deve ser resolvido em duas etapas, a pri-
meira isotitica e a segunda hiperestitlca, isto i, a primeira ati 
a situação em que a viga, ao se deformar, encosta no apoio móvel 
B, e a segunda a partir dessa situação. 
Sendo de 0,5 em a folga existente entre o eixo indefor-
mado e o apoio B, procura-sé o valor de uma parcela p1 da carga 
total, necessária para produzir no centro da viga uma flecha de 
0,5 em. Sabe-se que essa flecha i dada por 
onde 
ou seja 
f ~ max 
s pl~ 4 
• 3a4 E J 
b h 3 
z 
·-· 6xl2 3 ~m4 • 864 ~ 12 12 
0,5 - 384x2000x864 r 1 • 2,59xl0-
3 tf/cm : 0,26 tf/m 
Pode-se concluir, com isso, que da carga total p • 0,6 
tf/m, uma parcela p1 • 0,26 tf/m trabalha para encostar o centro 
da viga BO apoio B, sobrando portanto, para a segunda etapa, uma 
carga p 2 • 0,34 tf/m. 
Essa etapa, hiperestãtica,
i resGlvida por superposição 
de efeitos, sendo a estrutura real(l), substituÍda pela soma das 
estruturas (2) e (3). 
( l ) 
(2) 
'3) 
rrr1 'i 11 'I'L'L-_,'1_1' ...... '' 'Lll"-_'1 .,.D..,. . ..,I-.'1 ,..1 -r1..,...,1 [ .... ~~~ • o,34 11/m 
RJ fRa rRe 
,I 
I 
I 
I 
111 
1:~' ;;:;1 =1=1 ::1 ;::i ;;:;!::;!:::;1 ::::;;:[::::';:;;! -;;:;] :;;:;1·~-L=I-::' ;:I::';Ç;}-P2 • o,:s4tt/m 
mr l 
' 
+ 
! 
' 
' I'ICII. lO. 27 • UTAUTUIIIA HIIIIUUTÁTICA 
Ll0-20 
No cálculo de RB usa-se a condição de que a flecha em 
B (na segunda etapa) vale zero. No problema 2 , a flecha em B 
vale: 
4 5 p
2
t 
384 E J z 
= 
-2 4 5x0,34xl0 x400 
384x2000x864 = 0,656 CI:l 
e no problema 3 , a flecha em B vale: 
e portantcl 
3 R
8
·400 3 
fB3 
RE·Q. 
o, 772 RB = 48 = = E J 48x2000x864 
A nulidade da flecha e~ R permite escrever aue 
- ! B = O 
3 
0,772 R8 - 0,656 = O 
R, = 0,85 tf 
Portanto, para o problema em questao tem-se 
H =O vert 
""'- p =0,6tf/m 
~~:::::::::::::::;;:==:::=~/A@ 
·'·t'~A l 0,65 H j R c 
~ 2m l, 2m 
I ! 
FIG. 10.26 
+ R x4 + 0,85 X 2 - 0,6 X 4 X 2 = 0 
c 
R = O, 77 5 tf 
c 
RA + 0,85 + 0,775 - 0,6 x 4 = C 
RA = \1,775 t! 
Ll0-21, 
Conhecidas as reaçoes de apo~o traçam-se os diagramas 
de força cortante e momento fletor. 
@ 0.77511' 
1
0,425 tf 
0,775 !'F 
@ 
0.3tf.m 
FIG. 10.29 
O cilculo das tensoes principais no ponto D da seçio 
transversal localizada i direita do apoioB, ; feito com os esfor 
ços M 
I 
z 
= 0,35 tfm (tração embaixo) e Q = 0,425 tf. 
bs6cm 
y 
3em 
y = 3em o 
6 em 
= 3 X 6 X 4,5 = 81 
FIG.I0.30- SEÇÃO TRANSVERSAL 
cr 
X 
= 35x3 2 y 0 =-'8"64 =-0,1215 tf/cm 
3 em 
Como o ponto D estã acima da Linha Neutra e o momento 
-1 " · f'b · f · s a tensa-o o comprimirá r etor ctB trac1ona as 1 ras 1n er1ore , x 
o elemento plano em torno do ponto D. 
Ll0-22 
0 • 425 xSl a 0,0066 tf/cm 2 
6x864 
Portanto, o elemento plano em torno do ponto D tem o se 
guinte estado de tens;es 
X 
FIG. 10.31- ESTADOS DE TENSÕES EM 'D 
.Note-se que na convençao adotada para tensoes, 1 
xy 
e 
negativo e corresponde, na convenção 
uma força cortante Q positiva. 
de .esforços solicitantes, a 
Conhecidas as tensoes o e 1 , as tensoes principais 
x xy 
podem ser calculadas com base na expressão (10.6), como segue: 
= 
o +o 
X Y.. 
2 
o -o 
(_x _ _::, 2 2 . 
2 
= 0,0004 tf/cm 
2 o 2 =-0,1219 tf!cm 
4.0 em 
Ll0-23 
I 
i e 
--t·-
1 
1 
3. 0 Clft 
1 
I 
\ 1 3. O em 
0.5tflcm~ 
4.0 em l 
FIG. 10. 32 
Para calcular-se as tensoes principal.s que solicitam a 
chapa, utiliza-se a expressão (10,6), 
cr +cr 
X y ± 
2 
cr -cr 2 
( X y) 
2 
na qual ê necessário que as tensoes cr e cr atuem em planos perpe_n 
X y 
diculares entre si. As tensÕes cr , cr e T serao obtidas utilizan 
x y xy 
do-se equações de equill:brio sobre os trechos triangulares ACD e 
ADE, retirados da chapa através dos cortes I-I e II-II. 
a) Cálculo de crx e T (Corte I-I) -xy 
As forças F 1 , F 2 , FT e Fcrx sao provenientes da ação das 
tensoes que atuam nas ãreas das faces da chapa ACD e devem equili-
brar-se. 
/ 
6rea • A 
Ll0-24 
li 
A I/ are o: 2 Asen 8 
L YL o 
I F a I I 
I 
c 
I 
li 
FUI. lO. 33 o 
Sendo A a area das faces AD e CD, resultam: 
Fl • 0,5 •• A 
F2 • 1,0 .: A 
F't" 't" • (2Asen9) 
3 1,2 A•'t" • • 't". 2A. 5 .. 
F a ax. (2Asen9) 2A 
3 1,2 A•a • • a • - . 
X 5 X 
X 
As projeçÕes destas forças segundo os eixos 
Flx = r 1 .cos9 0,5 A 
4 0,4 A • -. 5 
Fly .. r 1 .sene - 0,5 A 3 5 .. 0,3 A 
F2x F2 ·cose 1,0 A 
4 0,8 A - • .. - .. 5 
F2y • F2 ·sene • 1,0 
.. A . 3 0,6 A - . 5 
L 
Fax 
.c 
lx 
X e y <;ralem: 
-A chapa ACD fica portanto sujeita as forças mostradas na 
Fig. l0.33.b~ cujo equilrbrio fornece: 
lrx • o • A(0,4+0,8) = 1,2 A•ax 
. . 
.-
Ll0-25 
tF • 0 + A(0,3+T•l,2) • A.0,6 
'I 
T • 0,25 tf/cm2 
c 
FlS. 10. 53. b 
b) Cálculo de a
1 
(Cortes I-I e II-II) 
0.4A 
CORTE I-I 
I 
I 
I 
: tfreo A sen e 
"/ F~ =0.25 x(0.6)•0.15A 
---~Fx•I.Olt I0.6AI 
li --0·.~-:::::=:;:==-nly -·-·-·- CORTE n.- n. 
F 1: • O. 2 5 x (O ..i A l J rreo A c os e 
F a • CTy x 10.81 
y 
FI 8. lO. 34 
O equilrbrio deste novo trecho de chapa leva a: 
A(0,3+0,15) • A(0,8 a ) y 
2 a • O , 56 2 5 t:!/ em y 
Ll0-26 
Conhecidos os valores 
estad~ de tensÕes, tirado de um 
de cr , cr e 'T , 
X y 
ponto qualquer 
l 0,5625 
r=-=====,'' :0,2 5 tf I c:tn:2 
tem-se o desejado 
pertencente i chapa. 
a. o __ _ 1---,.ox• I.Ott/c:m2 
"'======="" 
L 
lt 
L:J., = 0,5 625 tf I c:m2 
FIG. 10. 35 
OBS.: Verifique-se que nas faces perpendiculares, conforme CAUCHY, 
atuam tensoes de cisalhamento de mesmo valor. 
O'l} = 1,0+0 ,5625 ± 
cr2 2 
cr
1 
= 1,11 tf/cm2 
J (1,0-~,5625)2+ 0,252 
2 cr 2 = 0,45 tf/cm 
c) Os plancos onde atuam estas tensoes podem ser obtidos com o au-
xilio da circulo de Mohr, utilizando-se o conceito de polo,se~ 
do ep e (6p+90°) os ângulos formados entre as direçÕes princi-
pais e a face A.A (Fig. 10.37}. 
"tU fiem"~ 
Analiticamente, esse ângulo 
uso da expressao (10.5), ou seja: 
FIG. 10- 36 
e pode ser obtido pelo 
p 
dos @ e 
estado as 
Ll0-27 
tg(26p) 
2-r 
" 
2x0,25 
1,143 " • Cl -c; l,Õ-Õ,Sil25 
X J7 
e o 114,4° tt 24,4· 6 = 
pl P2 
-Portanto, os resultados obtidos sao os seguintes: 
Y IA 
t
a •0,5625 
' ' 0.25 ' 
' 
C!~ ----l a. •I,O u~eoo' 
0,25 
10,5625 
I 
I :A 
F!G.IO. 37- ESTADOS DE TENSÕES 
O, I 
! 0,4tf /cm2 
--'-:~ 
0.4---JI::J 
Lo.l 
l0i 
fiEl. !O.SS- ESTADOS DE TENSÕES @e{[) 
No estado de tensoes @, resultante da soma 
® atuam as tensoes mostradas na Fig. 10.39 
tensÕes principais não devem ultrapassar 0,8 
dos esta-
e neste 
tf/cm 2 . 
110-28 
( 0,4 + "t l 
0,4- j [~] _ 0,4tflcm2 
r o.4+"tl 
tO, I H/cm 2 
FIG.I0.39·ESTADO DE TENSOES RESU l TAlHE 
Sendo T = (0,4+T) obté~-se, com base na expressao 
c 
~10.6), que fornece o 1 e o 2 
Ambas 2 as tensoes devem ser ~enores que 0,8 tflcm . A 
tensao o
1 
serã positiva, como se 
o 2 poderá ser positiva (o~~ 0,8 
pode ver na expressão e a tensao 
? tf/cm-) ou negativa (o
2 
~ -0,8 
~ 
tflcm 4 ). 
2 
a) o 1 ~o,R tflcM 
co,4;o,l)+ yco;s/ ... 2 T 
c 
? ~ 
< ..._ 0,8 
~ O,fi tflc~ 
2 
T c 
? "!- ~ o' 3 6 t f I Cr.1- + c l T >-- -0,6 t f/ em-
(0,4+T) ~ n, 6 + 
(0,4+T) ~-o, 6 + 
c 
T ~ 0,2 
2 tf I em 
T 
2 
~ -1, O tf/ c~ 
? o 
- 1 , O t f I c~- .:::;. T !'S O , 2 t f I em-
!'S0,8 
• • 
L10-29 
V (0. 25)
2
+ 2 <O 65 - 't" - • c . . 0.25 2 2 _; (O 65)2 + 1: ~ ' . c 
't" ~ 0,6 tf I em 
2 
-~ ~ 0,36 
c 
't" ~ -0,6 tf/cm
2 
c 
(0,4+1") ~ 0,6 -· 't" ~ ~ o '2 tf/crn-
(0,4+1") ·~ -0,6 T ~ -1,0 tf/cm 2 
-1,0 tf/cm 2 ~ 't" ~ 0,2 tf/cm 2 
, >- -o, 8 tf/cm·· 
0,15- v (0,25) 2 
Jco,2s) 2 
, 
+ , .. 
c 
,2 
€l 
s ~- 0,84 
(O,It+T) ~ o' @ 2 
(0,4+T) ~ -0,92 
"" 
>--o,r: 
~ -0,95 
't" ~ 0,92 c 
Tg ~ ~0,9';; 
'f ~ ""' 
l'l,:\2 tf hm :l 
-1,".' tf/cm2 -~ ~ -O 5' tf/•m 2 "' ·~·- •. 
Os casos (a) e (b), cujas soluções coincidem,e o ca-
so (c) terio, portanto, como soluçio conjunta para e tensio T, os 
\ 2 
valores 'compreendidos entre -1,0 e 0,2 tf/cm 
' ~ 0,2 tf/crn· 
Ll0-30 
A obtençio das tensoes principais nos pontos 1 e 2 
da seçao transversal do apoio R , exige a determinaçio do momen 
-to fletor e da cortante nessa seçao, obtidos como segue: 
a-
I 
I l I l I I I I I l l l l , I l I I lj l I l 
2.0 m 0.511'1 
e ....I 
FIG.\0.40- VIGA CARREGADA 
a) Obtençio das Reações 
. 1 tf /m 
l I I l I l I I I I i :. I I I I I I i I i I 1 I": 
..j...l R-A--·-2·..Q._I!!_ _______ l :~.j 
FIG. 10.41 
R 2 O 1 O 2 5 ~.s ~ .. -.E X , - , X , X - 2- = " RE = 1,563 tf 
RA = 0,937 tf 
b) Traçado dos diagra~as 
Q(em til 
M [em tf. m l 
.~0,5 
0,937 '$.'. 
·-1,063 
0,125 
a • • a .. ;; 1,063 u 
IIICl 
----- .... P!.z 
~~~~~~~~~~~llil~~, !!= 
" 
• lx 0,5 
e = 0,03 
'\'-.Pl..z: 0,5 
8 
M8 = 0,125 tf.m 
FIG. 10. 42- TRACADO DOS DIAGRAMAS .. 
Ll0-31 
e) Características C~ometricas da Seção Transversal 
- Centro:de Gravidade 
s, 
Usando como referincia os eixos
z e y tem-se: 
ZC.G = O (simetria em relação ao eixo y) 
L:S.y. 
:t l. 
Yc.G = L:S. 
l. 
= 
I 10om 
y 
t_IO 9"! 
10x20xl0+10x30x25 
10x20+10x30 = 19 • 0 em 
y = 19 .... 1 
I 
10 •m 
I 
I 
! 
-l-
i 
- ~20cm 
I i I O em 
I 
FICI.I0.4ll• C:INTRO Dlt UAVIOADi 
- !tomento de Inércia &I Homontou Ea.s_iit:!.cos 
M • lO X 15 x 11,5 • 1725 
s (2) 
) 
- i' d) Calculo das TensÕes (Seção B.B) 
- Ponto l 
• o 
+ l0x20x9 2 • 
3 
em 
Ll0-32 
.cr(l) • 
~ 
ser a to~ada negativa porque o ponto 
esti abaixo da Linha Neutra, zona da seçio em que MBB causa com-
pressao. Dessa forma, o uso da expressao (10.6) fornece 
-3 Cl 2 ..., 
(--'-0) +()'' 2 . 2 cr 2 = -3,8 kgf/cm 
Esse resultado era esperado, uma vez que, sendo ~(l) 
igual a zero, a prÓpria face do elemento de tensio em que atuam 
cr(l) e ~(l)' tem direçio principal. 
~·---· -----o, . D o,= 3,Stf/cm2 
FIG.\0.44- ESTADO DE TENSÕES 
- Ponto 2 
1,063xl725 
10x36167,0 
-3 ? ~ = 5,07xl0 tf/cm- = 5,07 kgf/cm-
v 2 ''"lB 1° 5 -3 ° ~ = ~ = -, x 4 = 1,38xl0 tf/cm- = 1,38 kgf/cm 
v(2) Jz J2 36167,0 
-t- --
' I i 
" ! 
i 
. 120 
a@-t--"-
em 
+ ...l. Semi· ~-·---....,. ·- . ·-r-
- -
.I em 
~:10 
~- ' + 
em 
-
'\ 
® -. -- - - --
-e. e 
(:) 3,8 rtl 
@ (kgf~) (ki{/cn2 l 
FIS.\0.45-V!STA LATERAL DA VIGA E DIAGRAMAS DE TENSÕES 
Ll0-33 
O estado de tensoes em torno do ponto @ p<:>de ser re 
presentado por um elemento de ãrea como se mostra na :~ig. 10.46, 
e portanto, respeitadas as convençÕes de sinais para •esforços so 
licitantes e tensÕes, resultam os sentidos indicados. 
AG.I0-46- ESTADO OE TEHSÕES (PONTO 21 
2 °1 
2 =5,81 kgf/cm 
(-l-2_3_8) + (5,07)2 + 
cr 2 = -4, 43kgf I cm
2 
Através do círculo de Mohr podem-se obter as: direçÕes 
principais em que atuam cr 1 e cr 2
, para os esta dos de tems ao em 
torno dos pontos @ e @ . 
No caso do ponto Q), isto não e necessário, jã que, 
como 1: (1) e cry(l) são nulos, o cÍrculo de, Mohr reduz-se a um 
ponto e portanto as direçÕes principais são·paralelas is dos 
eixos y e z. No caso do ponto 2 , obtim-se as direçÕes princi-
pais mostradas na Fig. 10.47, que podem também ser obtidas ana-
liticamente, como· segue: 
tg(2C!) = 
2 1: 
xy = 
cr -cr 
X y 
2x5,07 = 7 , 348 1,38 
o 
C! = 41,12 
Ll0:34 
1! O'{kgf ,.,J) 
\ 
\ 
\,.....;o, 
·'l \ 
.--====:=...--,5,07 
FIG.I0.47- CiRCUL.O DE MOHR E DIREÇÕES PRINCIPAIS 
As direç;es principais sio encontradas utilizando-se o 
conceito de polo, sendo paralelas às retas PA e PB, como mostra 
a Fig. 10.•~7. 
c:::::;==:::J :t 2 em 
·-t-- 50 em +- 20 em 
FIG. 10.48 
A força oblÍqua P pode ser decomposta segundo as dire-
çoes vertical e horizontal, em forças PV e PB' sendo esta ~ltima 
transladada para o C.G. da seçio, criando assim um momento fle-
tor Mz' que provoca traçao nas fibras inferiores. 
Ll0-35 
a) Esforços no Engastamento 
! • 50 em 
FIEl. 10. 4t 
50 200 -;::::::::;:::=;.-. 3,81 tf 
~ 502+162' 52,5 
16 
PV • 4·sena • 4x 52 , 5 • 1,22 tf 
M • -M +P •I = -p •e +P ·I • -3,8lx8+1,22x50•30,52(traçio em cima) e z V H y V 
b) Cálculo das tensoes nos pontos A e B (seçio do engastamento) 
A força ~orizontal PH' atuante no Centro de Gravidade, 
provoca o aparecimento de tensÕes normais CN uniformemente distri 
buidas na seçio. O momento fletor Me' po~ sua vez, introduz ten-
soes eM' e a força cortante Q • Pv, introduz tensÕes de cisalha-
mento 1, cujas distribuiçÕes na seçio sio indicadas na Fig.lO.SO 
M : 30,52 tt. em 
ll 
fiG.IO.!IO- ESFORÇOS SOLICITANTES E DIAGRAMAS DIE TENSÕES 
L10-3& 
b 1 ) Características Geométricas 
J • 2 [ 20xZ
3 
+ 20 X 2 X .9 2J + z 12 2xl6 3 cm4 12 • 7189,3 
li • MS • 2 X 20 X 9 • 360 cm 3 
5 A B 
5 • 2 X 2 X 20 + 2 X 16 • 112 cm 2 
b 2 ) Cilculo das Tens;es Princiuais 
Ponto A 
H e 
:r; 
Ponto B 
li e 
:r; 
o • - ~ + 30,52 • 8. o,o 
A 112 7189,3 
o •- 3,81 30,52 ·S•-0,068tf/cm2 
r, ~- 7189,3 
1,22x360 • 
2x7189 ,3 
-2 2 
• 3,0Sx10 tf/cm • 
• 3o,;, kgf/cm 2 
q_ __,H~ 0 r-q_=o 
"-==::::;;:-'"tA : 30, ~ kgf/lmf 
o, ] vc3o,s) 2 • = ± 
02 
01 • 30,5 kgf/cn 
2 
02 • :.·30 ,5 kgf/cm 
2 
2 
OB • -68 kgf/cm 
2 
TB • TA • 30,5 kgf/cm 
........ 
_........., 
O' e 
® 
~ 
01 
-68 I (-~8/ +(30,5)2. = -- ± 2 
o, 
L 
01 11,7 kgf/cm 
2 
= 
-79,7 kgf/cm 2 02 = 
. 
' •, 
LlP-37 
o
3
) RireçÕes Priucipais 
'\... 
• . ' 
a • -'fl/4 
'11 ""~em•, 
tlt; iiCI,a I 
P!! polo 
FIG. 10.51 
.. ~(1+50) 
I 
I 
~ 
i.~ 
I 
a 
(k-af/ell'h 
0,9 
Oi 
FIG. lO. 52 
A fim de calcular as tens~es principais nos pontos A e 
B deve-se inicialmente determinar o respectivo estado de tensão, 
com base nos esforços solicitantes da seção central da viga. 
a) Cálculo do momento fletor e da força cortante na seçao I 
a 1 ) Cálculo das ReaçÕes 
\ 
r ' ! Zlf.m C? Cl t R, se oi f Rz '. I 
2m ' 2m 
FIG. 10.53 
110-38. 
= o 2+1x2-R 2x4 = o R2 = 1 tf 
Traçado dos Diagramas de H e Q 
Q (Ofll tf l li li i li t§i: I i I! I r-,u 
Mleattml 
2 11il!!l!llll\lll~ 
FKI.IO. 54· DI A GRAMAS DE Q e lol 
Na seçao I encontram-se M a 2 tf·m e Q = 1 tf 
b) Câlcul·~ das tensÕes normais .e de eisalha!!!ento 
-+L 0 I • 
' E' 
% ~I c.G.iiB 
.=}em 
' 
I ® I 
I 'Sem 
-l y I 2 em 
FIG. 10. 55 
8 X 12 3 
3 
J -Z(3x8 ) 896 4 = = em z 12 12 
'! = 2 8 5 = 80 3 "'s X X em A 
M 
SB = 80 + 2 X 4 X 2 = 96 em 
3 
110-39 
crA., ~~~x4., 0,893tf/cm 2 = 893tf/cm 2 (compressão) 
lOOOx~é 
~1\B~-p- -· 
Cama as pontos •seio ~ituado~ na $@;ia l, i di~eita da 
car~a ~aneent~ada, o sentida da !ar;a ea~tante & a indicado na 
Fi$• 10.56 e po~tanto os ªffltados de tensões dos pontos A e B 
são os seguintes: 
11tm l I r 
~ Q • I ti 
-· Ot ·-
44,6 kgf/cm2 e>3 ,s I<Qf~m • 
893 0 893 kqf/em
2 
0 
t 
I 
44,6 53,6 
FlG. 10.56 
c) Cálculo das tensoes principais 
cl) Para o ponto (A) 
'1)· -89 3 J -803 2 44,6 2 -~- :!: c---) + 2 0"2 
kgf/cm 
2 
()"1 = 2,2 
()"2 = -895,2 kgf/cm 
2 
L 10-40 
Pelo cl:rculo de :Iohr resulta: 
I 
I 
I 
I 
/i§ Cf 
f 2 
2 
"t (llgl/cm ) 
I 
I 
I 
i----"e.u.z l , I 
2,2 
FIG. 10.57- CÍRCULO DE MOHR 
Analiticamente pode-se obter a por: 
2T 
tg2a " cr--=:-cr = 
X y 
2(-44,6) o _ 893 = 0,10 .•. 2a = 5,70 
c
2
) Para o ponto (B) 
' I 
e a = 2, 8 5° 
~ 
cr 2 = -53,6kgf/cm~ 
ou 
Pelo círculo de !lohr tero-se 
2 
"t(kgf/em) 
P: polo 
"'- _ex= 45° 
"' L "< . 
'. I 2 
'- cr( kgf /em ) 
FIG. 10.56- CIRCULO DE MOHR 
analiticamente: tg2a = Z(-53,6) o 
Jj 11 
Lll-1 
ESUDOS DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
De um sÕlido sujeito a um estado triplo de tensões, po-
de-se isolar um elemento de volume dx dy dz, o qual tem suas fa-
ces referidas aos eixos coordenados x, y e z como se mostra na 
Fig. 11.1. Faces opostas são solicitadas pelas mesmas tensÕes, u-
ma vez que se desprezam posstveis forças volumétricas. 
11 
FIG.II.I- ELEMENTO DE VOLUME 
As convençÕes de sinais adotadas para o estado plano de 
tensÕes são aqui mantidas. Por exemplo, sendo o sentido de uma 
tensão a positiva (de tração) concordante com o de x, as tensões X . 
T~y e Txz serão igualmente positivas se os seus respectivos senti 
.dos concoriarem com os de y e z. 
As deformaçÕes & desse sllido, medidas se~undo as dire-
= 
çoes dos eixos x, y e z, são dadas pelas expressões (11.1), nas 
quais E e 1.1 são respectivamente mÕdulo de elasticidade longitudi-
nal e coeficiente de .P.oisson. 
- 1.1 (a +a ) X Z 
• ••• (11.1) 
&z • l [a - 1.1 (a +a ) J E Z X Y 
Lll-2 
As distorçÕes y sao, por sua vez, dadas pelas expres-
soes (11.2), onde G ê o modulo de elasticidade transversal. 
Yxy • 
Lxy 
G 
Lxz 
Yxz • G 
y - -~ yz G 
E G • 2 (l+>J) 
.. ~ . (11.2) 
Conhecidas as deformações segundo as direçÕes x, y e z, 
é poss!vel determinar, analogamente ao que foi feito para as ten-
s9es, as deformações que ocorrem segundo direçÕes ortogonais x, y 
e z, obtidas por rotações dos eixos coordenados. 
No caso de um estado plano de tensÕes (CJ • O, L e L • z . xz yz 
• O) como o da Fig. 11.2, ê válido escrever 
1 [crx cry J &· .. - >I X E 
1 [cry cr J (11.3) e • - >I
. . . . '1 E X 
T 
Yxy • 2Z G 
1 ay 
' ' .. , y ' 
'I X " " 
CTX ~? CTX a>o 
a- •--' x xy , 
X ' ' 
•xy ' 
Ly 
' dlrecão ' • 
H 
F1G_II.2 -ROTAÇÃO DOS EIXOS 
As deformaçÕes e a distorção segundo as novas direçÕes 
x e y sao dadas pelas formulas: 
e:- = 
X 
e: +e: 
X y 
2 
e: -e: 
+( xz Y)cos2o: + sen2o: .... (11.4) 
Lll-3 
QU 
•••• (11.5) 
y-- = (E -E ) sen2a + y cos2a 
xy yx xy •••• (11.6) 
ou 
2 2 y-- = 2{E -E ) sena cosa + y (cos a-sen a) xy y x xy . . . . (11.7) 
.2!!.:_: Para se calcular E;: usa-s e o ângulo Ih Sendo 8 = a+9 o0 
tem-se: 
e:-
y 
2 2 = E sen a + E cos a - E cosa sena 
x y xy 
' .2!!.:_: a) O ângulo a é marcado positivamente a partir de uma hori 
zontal (eixo x) e no sentido anti-horãrio até o eixo cu 
já direção é a da deformação a ser calculada. 
b) Note que as f6rmulas (11.4), (11.5), (11.6) e (11.7) p~ 
dem ser obtidas a partir das f6rmulas (10,1), 
(10.3) e (10.4), trocando-se nestas: a por 
X 
e 't 
xy 
= 
Yxx 
-2-
(10.2)' 
a por e: y y 
Portanto, as direçÕes principais, segundo as quais se 
tem as deformaçÕes principais, são obtidas através de 
tg2a 
p • • • • 
(11.8) 
e os valores das deformações principais sao obtidos através de: 
.. E +E X y ± 
2 
(11.9) 
Lll-4 
p•I.O U/cm2 
30 em E• 100 tf/c:m 2 
1-1•0,25 
30 em 
FIG. 11.3 
No problema em questao, o cilculo das tens;es que atuam 
nas direç;es A-A e B~B i necessirio, uma vez que as de 
formaç;es pedidas ocorrem segundo essas direç;es, Tais 
tensões foram ji enco.ntradas no exemplo Ll0/20, seme 
lhante a este, e valem! 
- c; 
X 
2 ., l,O tf/cm 
'AB = 'xy = 0,25 tf/cm 2 
___ 1.0 tf/cm2 
'=======:--I O. 2 !S tf I cm2 
Jo. ss2s t f/em" 
FIG. 11.4 
Lll-5 
ConQecidas essas tensões, resultam, com base nas expre~ 
sões (11,1), com = o, z.. 
1 
=-100 l,0-0,25(0,5625) 
1 
= Tõõ 0,5625-0,25(1,0) 
e portanta~ 
-3 • 8,6 X 10 
-3 • 3,1 X 10 
De acordo com o enunciado, a deformação e- deve 
X 
ser 
igual a zero (Fig •. 11.5) 
-
~· 
p 
i 
L 
'i 
Lll-6 
Conforme as expressoes 
sao dados por: 
(11.1), os valores de e e e 
X y 
do que 
e 
X 
.. f [ p -
~ ,._El [-E-2-~y 
O valor de e-, com base na expressao 
X 
~ 
Yxy • O, uma vez que Txy • O, e 
e- • 
X 
e +e 
X y + 
2 
e: -e: 
( \ y) cos (29) 
(11.4), e lembran 
Substituindo na expressao de e:x as expressoes de ex e 
e e impondo e- • O obti~-se: 
y X 
ou seja: 
o = L [cr. - H. 
2E 2 2 
lF. 3\J l p)+( 2 + 2- p)(-cos29) 
1 e • 2 
(1-)J) 
, • cos29 = 3 ( 1+\J) 
[ 
1-)J ] 
are cos JO+lJ) 
O cubo, colocado dentro da câmara, eatarà sujeito a 
um estado hidrostático de tensões, conforme Fi8• ll.ó, 
li 
Lll-7 
p 
I 
I 
I 
1 
p 
--- p -------- ........ I I 
I 
I 
p ______ L ___ f __ ------ -~ 
'-".;:;,..._ ___ l--_...= -~ J. 
rr 
FIG. 11.6 - ESTADO DE TENSÕES 
Sendo t o comprimento da aresta do cubo, tem-se que 
e: •e: =e:= 
X y Z 
t:..t = O Ol"' • _ O,Olt = _10-4 l!. ' " 1 O Ot 
O uso das express;es (11.1) ao caso em questio leva a 
Sendo e; 
X 
= e; 
z = 
= e; z 
![ l-2)l] 
resulta 
-10- 4 = 2 ~to<l-2x0,3) 2 p = 0,5 tf/c:m. 
&.! O 1---------o..;.: --------:::f'_.!>,// M>O 
I // 
' 
;• 
X I /// X ':' 
'~o· __..--" ' 
---------r ~~----
< 3+ -------, 
._r. / I 
) j / I 
I I 
Cll 
Q>O 
FI G. 11. 7 
Lll-8 
a) Obtenção das TensÕes 
-Sendo os eixos y e z indicados na seçao transversal e 
x um eixo longitudinal da viga, resultam 
-5 
E =E = 7,14 x 10 
a Y 
o -5 
Eb = Ex (para a = 30 ) = 16,07 x 10 
e com bases nas expressoes (11.4) tem-se 
E +e · e -e yxy 
xy+(xy (o o = 
2 
-
2
)cos 60 )+ --
2
- sen(60 ) 
Sendo a 
y 
nulo por hipótese e a nulo porque não exis-z 
tem tensÕes segundo 
M) atravês de 
a direção z, pode-se obter a (que fornecerá 
X 
. 2 
a = -0,5 tf/cro 
y 
O valor de ~ = 0,3 foi obtido por meio de 
G = ....,,.:E:_....,... 
2 (l +jl) = 808 = 
2100 
2 ( 1 +~) 
Encontrado o , o valor de e pode ser obtido com 
X X 
.. = l [a J = ~ ~~ - i "~ -~ 
_ Cê•bêêi!ê§ 6•' êy' I êfiê•llliê dê plã•ê ~=~ ê ã dêfêl 
mãç~o •§§§ã dilêliê, pêdê=§ê ê~lêl y~,, •êêꧧltiê I dêlêlmi••= 
ÇÃO dê ÍOIÇã ~êlll.lê, 
cb • 16,07 • la=• = t=l.~~•1a=•.,,14•1D=I, • 
+ C-2,3Sxl0-:-7,14x10-l) eo§(2x30ª)• Y2y §êH(2x~a~) 
Lll-9 
- -4 Essa equaçao fornece y • 7,42 x 10 e portanto 
:'y 
-4 2 
txy • Yxy'G • 7,42 x 10 x 808 • 0,6 tf/cm 
/ 
dire~ão b.by 
/. 2 
,_.:===::;::==:::.~,; x.y ;' O. 6 tf I em 
' o ' C\1 60 .--·/. 
,_ r • a 
\ I •• 
(;.Jo'-- ---
\ 
2 o1 a -0.5 tf/cm 
I 
I 
,..--;a= 30° 
I 
\ ' \J 
FIG. 11. 8 ESTADO DE TENSO-E$ NO PONTO ~ 
Observe-se ~ue 1 defor~aç;o Eb ocorre segundo uma dire 
çao que forma um ân2ulo de 30° co~ a direção x-x, feita uma rota 
çao em sentido anti-horirio (;ositivo). 
b) Obtencão dos Esforços Solicitantes 
b 1 ) Caracteristicas Geomitricas da Seção Transversal 
J 
z 
4xl2 3 
= ~-- = 576 12 
4 
em 
'3 
:f = 4 X 3 X 4,5 
s = 54 
C L:; 
(ponto O) 
b = 4 em 
b .J • T 
'"Q -
z xy • 
M 
so 
y = 3 C!:\ o 
4x576x0,6 • 25 , 6 tf 
54 
OBS.: Si orientado da mesma forma que 
tive se for considerada a convenção de sinais de 
tantes. 
~ , sendo nega 
•xy -
esforços solici 
I cr I · J IMI • X z = 
Yo 
0,5x576 
3 = 96,0 tf•cm 
OBS.: Dada a posição do ponto O (abaixo da L.N.) e se~ 
do cr negativo, conclui-se que M traciona as fibras superiores. 
X 
X 
I 
I 
! 
J o:. y 
I 
d • 10 em ~ 
E•2100tf/cm 
j.L•0,3 
FIG.II.9.o- ESTADO DE TENSÃO FIG. 11. 9. b- TUBO DE PAREDE FINA 
a) Cálculo de !ensÕ~s e DeformaçÕes 
O tubo, estando engastado em uma de sues extremidades, 
livre na outra e 8endo 8clicltado pelos e8!or;oa He e z,, C$tari 
3ujeito, ªm qua~~ue~ um doê ponto~ de uma ªeção transversal gen~ 
rica, ao estado de tensÕes da Fi~. 11.9.a. 
-4 s = s = -1,4 X lO 
•• y 
= L,8 •. I' -4 X • ,J C:ara c. = 45° a partir à e x-x) 
Senào e c nulcs, roCe-se cbter 0 por ne~o àe € 
Z X y 
(ex p. ( 11. 1 ) ) . 
2 
t:f /.cr:: 
Lll-11 
Com este valor de cr , encontra-se € que, J"unto aos de-
. X X 
mais dados, possibilitará encontrar y através da ex!>ressão xy . 
(11.4). 
e: = e:- = bb X 
-4 
4,8xl0 = 
-4 -4 
(4,67xl0 -1,4xl0 )+ 
2 
-4 -4 y 
. +(4,67xl0 +1,4xl0 )cos(2x45o)+2L sen(2x45o) 
2 2 
Y = 6,33 X 10~4 xy 
E -4 2l00 2 
Txy • yxy·G • yxy 2 (l+u) •(6,33xl0 ) 2 (l+0, 3) • 0,5ltf/cm 
b) 'cilculo dos Esforços Solicitantes 
b 1 ) Momento torçor 
El:l tubõs de rarec!e fina sujeitos ã torção sabe-se que 
2 'i 
t 
2 • 0,5lxwxl0 x0,2 
2 
t = 16 , 0 tf • CM 
b
2
) Esforço Normal 
N • cr •S • cr ·~·d·t = 0,98xwxl0x0,2 
X X 
. . :; 111 6 '16 t f 
Lll-12 
c) Sentidos dos Esforços 
-Sendo cr e T valores positivos, seus sentidos sao mos-x xy 
trados na Fig. ll.lO.a, que representa o estado de tensÕes em tor-
ne de um ponto genérico representado na Fig. ll.lO.b, onde também 
estio indicados os sentidos de N e Mt. 
VIG, !I, 10."' I'IG, IL lO, b 
I'IG, 11, li 
í i lb@Otf;l~~ 
!"i! O, I 
LH-1·3 
A obten~ão de cr , cr e • 
das 
"% v ~· :;: v 
expressões (ll.l) c cú.z), i?&~~ 
deverá ser feita com o uso 
o que é necessário conhecer 
os valores de ty (dado), ~x e Yxy' 
A expressão (ll.l) aplicada ao problema conduz a 
. . cr - 0,30cr • 0,6 y X • • • • (A) 
Com o uso de (11.4) tem-se 
t +300xl0- 6 t -300xl0- 6 
ta • ti = 2 O O ~ 1 O- 6 • ( x 
2 
) + ( x 
2 
) co s (2x 
0 x60°)+ yxy sen(2x60°) 
2 
ou seja 
E + 1,732 y = -100 X 10-6 
x xy 
.... (B) 
- - - o Como a direçao principal e obtida por rotaçao de 60 do 
eixo x-:z:, tem-se, usando a expressao (11.5) 
-6 
E -300x10 
X 
= -1,732 
-& - 0,577 Y = -300 X 10- 6 x xy .... (C) 
O sistema de equaçoes 
t 
X 
• 500 X 10-G 
e!"1 t e y resolvido c~uduz x xy 
O~a vez conhecidas essas deformaçies, tem-se 
E -6 2000 
'xy • Yxy·G = Yxy 2(1+~) =(-346 x 10 )2(1+0,3) 
a 
ou seja 
2 
1: c 0,27 tf/cm 
xy 
€ 
X 
Lll-14 
a - 0,3 cr = 1 1 0 X y 
500 X 10-6 
. . . . 
Usando as equaçoes (A) e (D) chega-se a 
2 a .. 1,30 tf/cm 
X 
2 a • 0,99 tf/cm 
y 
e ao estado procurado de tens;es 
t ay = 0,99 t!/cm2 2 
r--====:....,"C'ay• 0,2'1'
tf/cm 
t a. • 1.s tt 1crl-
FIG. ll. 12- ESTADOS DE TENSÕES 
(D) 
A título de ilustração, mostra-se como ~e podem encon-
trar novas equaçoes que 
de tensÕes ao invés das 
tilizada.s. 
relacionem c , cr e 1: , usando rotação 
x y xy 
rotaç;es de deformaçÕes anteriormente u~ 
~ [cr--~cr-J 1 0,3 ay] € = E:- = = 2000 [cr- - = a X l:. X y X 
= 200 ~ 10-6 (E) 
O uso da expressao· (.10. 1 ), com a = 60° (Fig. 11.11) 
leva a 
Lll-15 
cr +cr cr -cr 
( x
2 
7 )+( x
2 
7 }cos(l20°)+ o CJ- • 't sen(l20 ) 
X xy 
(J +CJ o -o 
CJ- • ( X y)+( X 7 )cos(300°)+ 't ·sen(300°) y 2 2 xy 
Sendo x eixo principal, para a • 60°, tem-se 
2 't xy 
cr -cr 
X y 
• -1,732 
-r • (o -o ) 0,866 xy y x (F) 
Substituindo as equaçÕes de crx e oy em Ea (eq. E), e 
tomando o valor de 't de (F) obtêl!l-se: xy 
0,4 • -0,95 ox + 1,65 o
7 
Essa equação e mais a equaçao (A) anteriormente obtida 
constituem um sistema de equaçoes em crx e cr
7 
cuja solução ê 
2 a
1 
• 0,99 tf/cm 
A equaçao (F) permite a obtenção de T 
xy 
2 
T • 0,27 tf/cm 
XY 
Lll-16 
\ I 
\ 1 .... 
\ ' ... 
\ ' ... 
f- -·- _:~/ .:::':J !._ 
-'i\ 
,..,..... I \ 
/ I \ 
_..... \ 
- ... ~,. ____ .._....;' .... --.1 
X_.."' 
~C!y \\ y 
/ 
/ 
i I posicllo 
... . ... 
<~xy • OI 
F I G. li. 13 
do utensõmetro) 
Para que a tensao crx possa ser obtida pela leitura dire · 
ta de e:x" esta deformação, como será visto adiante, deverá inde-
pender da tensao cry• o que só ocorre para um determinado ângulo 8. 
li -------
E- • .!_ rcr--).lcr- J 
X E L X y 
cr- = 
X 
cr +cr cr -cr 
X y ·X y ( 2 )+( 2
)cos28 
cr +cr cr -cr 
cry • ( x
2 
Y)+( x
2 
Y)cos(26+180°) 
. ou ainda, -sendo 
2 2 . 2 
cos26 • cos e - seu e • 2cos 6-1 
X 
FIG. 11. 14 
resultam 
e portanto 
que 
ou seja 
111-17 
2 cos(26+180) = -cos26 = l-2cos e 
a- = 
X 
a +a cr -a 2 X y X v ()+( )(2cos 6-l)= 2 2 cr cos S+a (1-cos 6) 
2 2 X y 
a- = 
y 
2 2 
a (1-cos 6)+a cos e 
E e- = 
X 
E E:- = 
X 
X y 
2 2 2 2 (a cos 6+a sen e)-~(a sen S+a cos 6) 
X y X y 
2 2 2 . 2 a (cos 6-]..lsen 6)+ a (sen e-~cos e) 
X . y . 
-Para que crx seja apenas proporcional a ex , e preciso 
2 2 sen e - ]..lcos e = o 
e 
2 
tg e = 1-1 
e = are tg 1\l 
2 cos e = 1 
1+~ 
Se o extens;metro for colocado na direçio de x, a = 
X 
• R e- onde R i a constante de proporcionalidade que vale: 
X 
R = E E 2 2 
(1-~ )cos e 
2 2 cos 6-].Jsen e 
= 
L 1 3a 
4o 
FIG. 11. 15. O 
Lll-18 
FIG. 11.15 b 
são dados: 
E = 2000 
? 
tf/cm- (J 
y 
= 2 cr 
X 
">1 = 0,3 
EAD = 0,07% = 7 X 10-
4 
EBC = 0,03% = 3 X 10-
4 
I) Solução por Rotação de TensÕes 
Sendo (com base na Fig. 11.15), 
cr 4 , a 6 • tensoes normais, respectivamente, is faces AD e BC. 
cr
5 
, <1
7 
= tensoes paralelas, respectivanente, is faces AD e 
BC,é válido escrever, usando as expressÕes (11.3) 
"E BC -4 X 10 
onde as tensÕes que aparecen podem ser colocadas e~ função de 
e T com o uso das expre~sÕes (10.1), e usando-se crx = 
·XY 
Lll-19 
30' O' 
a 6 • (~)+(~)cos(2a)- Txyson(2a) 
30' O' 
a7 • (~)·Czl>cos(2a)+Txy••n(2a) 
Sendo sena • 0,8 e cosa • 0,6 obtém-se: 
cos2a • -0,28 
sen2a • 0,96 
e portanto: 
(J 
0'4 • zZc3-o,zs)+0,96 '!" • 1 • 3 6 (J + 0,96 . xy y xy 
(J 
cs • zZC3+0,2S)-0,96 '!" • 1,64 (J - 0,96 1: xy y xy 
(J 
(J6 • zZC3-0,28)~0,96 '!" = 1,36 (J - 0,96 '!" xy y xy 
(J 
(J7 • zZC3+0,28)+0,96 '!" = 1,64 (J + 0,96 '!" xy y xy 
Com a substituição destes 
-se um sistema de duas equaçoes em 
valores em ~AD e ~BC 
'!" e c , como segue, 
xy y 
1,232 (J - 1,248 '!" = 1,4 
y xy 
1,232 C + 1,248 T = 0,6 
y xy 
com soluções 
2 
c = 0,812 tf/cr:. 
y 
~ 
'!" = -0,321 tf/cm~ 
xy 
obtém-
Lll-20 
II) Soluçio por Rotaçio de Deformaç~es 
-Usando a expressao (11.4) tem-se 
- 4 E +E E -e Yxy X y X y EBC • 3 x 10 · = ( 2 )+( 2 )cos(28)+ - 2- sen(28) 
ouq~ sen8 • 0,6 e cos8 = Q,8, do que decorre 
sen28 = 0,96 
cos28 • 0,28 
Como a = 2 a , resultam 
X y . 
1, 7 a 
2.000 
-4 = 8,5 x 10 · CJ 
y 
= 2,0 x 10-4 a 
y 
Substituindo eetee vãlcreB nas expressões de eDC 1 
1: AI) oh iim· u 
cuja ao :Lu c; io í 
"ày • ~x • 0,812 tf/cm2 
txy • -0,321 tf/cm2 
p 
30cm 
I 
I I 
~ 
I 
Lll-21 
E= I o o tf/cm1 
fJ: o. 4 
o. o ai.-_-:: 
' 
20cm 
CAIXA RÍCUD 
o.o 1 20 em 11·~1 
ti ,, 
" " 
FIG. 11.16 CORPO DE PROVA 
A carga P de compressao, centrada no corpo de prova, 
provocara encurtamento segundo a direção y e alongamento segundo 
as direçÕes x e z. 
Na direção y, a tensão existente serâ 
a -
p 
s - - p 20x20 - - p 400 
e nas direçÕes x e z sÕ aparecerao tensÕes normais,(as de cisalh~ 
manto não existem pois se supÕe não haver atrito), a partir do 
ponto em que o corpo de prova, deformado, encostar nas paredes da 
caixa rrgida, tendo OCOrrido deslocamentOS e!'l X e_ z, pelo menos i 
guais ãs folgas existentes nessas direções. 
Fase. 1: Corpo de Prova na iminincia de encostar na caixa, segundo 
a direção x 
Seja P1 uma parcela cia carga crescente P, que faz com 
que o.corpo de prova, por ela deformado, encoste na caixa segun-
do a direção x, na qual a folga existente de O,Olcm (de cada la-
do) i menor do que a existente sesundo z (0,02 em). Nessa situa-
çao 
(1 .. tellsao 
X 
(1 - tens ao z 
De 
de contato entre corpo de prova e caixa, segundo x. 
de contato entre corpo de prova e caixa, segundo z. 
pl 
(11. 1) (J (J nulos -vem, com e e (J = 
X z y 400 
1 
100 
-P 
[o- o,4( 40~)] 
p1 = 100 tf 
t = 1 x 10-3 x 20 = 0,02 em 
z 
1 --E . t = 1 [ -100] 30 = 100 400 • -0,075cm 
Fase 2: Corpo de Prova na iminência de encostar na caixa segundo 
direção z 
Procura-se agora, uma parcela P2 da carga, que leve o 
corpo de prova, jã encostado segundo a direção x, a encostar tam 
bem segundo a direção z, o que ocorrerã se P
2 
provocar, nessa di 
reção, um deslocamento 61 
z2 
61 - 0,04 - 61 = 0,04 -z2 zl 
61 
e: 
z2 0,02 = 1 =-r-= X z2 20 z 
= _l [o -
100 
0,4 (cr 
x2 
1 
= --100 [
(J - 0,4 
x2 
De (A) e (B) resultam 
2 cr = -0,071 tf/cm 
;:2 
2 cr • -0,179 tf/cm 
y2 
10-3 
0,02 • 0,02 em 
-3 = 1 X 10 
= O (a caixa e 
(A) 
ri:gida) 
(B) 
.. 1 ~ 5 [-o,ta-
a, • s • •0,179 x 400 • 71,6 tf 
2 
o,4 c-o,on>J " ·t,so6 x l.o-3 
Nessa ai=ua~~o, •ualquer valor de ~ar~a ~ 3 , naior que 
zero, tencarl empurrar as paredea da caixa, aparecendo então ten 
a;ea de compressio a,, a
11 
e a
1 
no corpo de prova, as duas ~ltimas 
resultantes das ações entre o corpo a a caixa rígida. 
D • 
. . 
. 
• • 
o ,4 (a 
>'3 
a • 0,4 ax + 0,4 a 
z3 3 Y3 
e:,3 = 1~0 [ a,3- 0,4(ax3 + az3)] 
•••• (C) 
"" (D) 
• • • lOOe:,.•a -0,4a -0,4a •••• (E) 3 Y3 x3 z3 
aesolvendo (C), (D) e (I:) resultam 
a • 0,677 
x3 
a • 0,667 
Z3 
::) (só devido ã carga P3) 
OBS - 1 
:Lfl-24 
-near P
3 
x e: ) 
y3 
= e: ·i = -1,165 X 10-5 P
3 
X 30 • -3,50x10- 4 P3 y3 y 
. . 
P(tf I 
- 2861,2 
toa3 • 2861,2 
a a • at.te• 
171.6 ------
100 
?.1 12.0 
FIG. 11. 17· GRÁFICO I P x AI) 
Um conceito que pode ser subtra!do de sráficos deste 
tipo é qu~, à medida que P crescente aumenta as defo~ 
maçÕes, superando gradativamente as folgas iniciais, 
com corpo de prova e caixa encaixados, o sistema fica 
mais r!gido, o que pode ser notado pelo aumento da in 
. -
Lll-25 
clinação da curva da fase 1 para a fase 3, com a conse 
quente diminuição de ~t relativo. 
OBS.- 2 - Sj nas express~es C e D, o valor de ~ for igual a 0,5, 
p3 ~ 
com a = - s-• obtem-se a 
Y3 x3 
-P3 
=a •-z 3 S ' 
que produzem uma deformação e 
y3 
nula. Por 
tensões estas 
esta razão, o 
limite superior para o coeficiente de Poisson ê 0,5. 
OBS.-3 - No cálculo de deslocamentos e tens~es, foram tomados os 
valores iniciais da área da seçao e dos comprimentos, 
os quais, devido a ocorrência das deformaç~es, sofrem 
alteraç~es desprezíveis • 
• 
/ \_ I I ~ I I '////// //// - r-
CORPO li P=40tf 10-
li. CORPO I 
,. 
----- i IEz,l!al ·- ----- ~ ~ i! IE1 ,iJ 1l 10 eM I 
~ i I - ,.. I 'l 
I I Sce Isca I ' I 
h 
" 30 em 30 em I CORTE B. B I 
FIG. 11.18 
Procura-se o deslocamento
do ponto de aplicaç.ão da ca_:: 
ga P, e qual se sup~e transmitir, para toda a barra, uma tensão 
a (de compressão) constante. Esse ponto sofrerá um deslocamento 
X 
igual à soma dos deslocamentos, segundo a direção do eixo x, dos 
corpos I e II. Nos corpos I e parte do II, a chapa rÍgida reage 
com tensõe~.a de compressão. Tens~es a ocorrem somente na par-y z 
te do ·corpo II colocada ã esquerda do corte C.C (são aplicadas) . 
a) 
Lll-26 
(à direita do corte B.B) 
!:::.9..,_ = s 
.!.. x,.. 
• 
2 
E, = 200 tf/cm 
J. 
)..! = 0,3 
1 
FlS. 11.19 CORPO I 
40 2 
= ~o,2. ~f/çm 
2 a = -0,06 tf/cm 
yl 
= -Cl 1 -, . 
+ a )] = 
z1 
-4 
X 10 
1 
200 
- 0,3(-0,2)1 
[-0,2-0,3(-0,06)] = 
S., = -9,1 
I 
-4 
x 10 x 30 = -0,0273 em 
b) CJR?O r: (~ esquerda do corte B.B) 
('o direita do earte c-e l 
1"liE.i1.20· CORPOI!: 
Lll-27 
a) a esquerda do corte C.C 
[J = o 
Yz 
2 
= 1,0 tf/crr.. 
e:~;) = 4 ~ 0 r~O ,2-0 ,4 (l, O)]= 
a -15 X 10-4 . 
-4 
= -15x10 x30 = 
m-:.:-0 :'J 045 em 
b) a direita do corte C.C 
o 
rJ = -0,2 tf/cm~ 
X 
[J >fo o 
Yz 
2 = -0,08 tf/cc 
4 ~ 0 [-o,2-0,4(-o~~s)J = 
• -4.2 X 10 
-4 -4 1 2 X 10 X 30 = 
• -0 1 0126 C!!:. 
c) Portanto o deslocamento /::,'1., na direção do eixo x val<>: 
ói = /::,2._ 
total - xl 
l!.tt = -O, 02 7 3 - O, 045 - O 1 012 6 = -O 1 085cm (enc:urtamento) 
-
~em pensar, inicialmente, no.resfriamento do tubo de~ 
ço 1 pode~se dizer que o pilar cilindrico de concreto, ao ser lo~ 
gitudinalmente comprimido, alongar-se-i transversalmente, traci~ 
nando o tubo de aço, com tens~es radiais rJ , e sendo igualmen~e 
r c 
comprimido por este. 
111-28 
O resfriaiT.ento imposto ao tubo G.e aço o -... ara cor:. que este 
diminua de diimetro, co~primindo o concreto, c;ue reace . "' sobre o 
tubo com tensÕes radiais 0 . Es~as rt 
tensoes irão somar-se às ten 
de compressio que solicitavam o -soes ~ilar, resultando no esquema 
de solicitação mostrado na Fi1. 11.21. 
z l l I l l I i P I - : - - -- I - -
C\-t+ 0 rc I ~t+ O"rc -- I -c;.t~t-I - lx -- -- Pl LAR -Tuec DE-- - ACO -
-" - ' -- I t f t t 1 t -. v/1v I crx=-p ' ' 
t•0.5un 50.0 em o:s c• 
FIG.il.21 
a) No Pilar de Concreto 
Com base na solicitação da Fig. 11.21 e na expressao 
(11.1) pode-se escrever 
or:..de 
s = ..!:... [cr - ll (cr +cr )) 
X E X c y z 
c 
(5 = -p 
X 
cr = cr = -(cr +cr ) y z rt rc 
:Ül-29 
OBS.- O sinal negativo indica que as tens~es sio consideradas co-
-mo de compressao. 
e: = __!__ .r -p X 200 + 0,4 x 2(cr +cr )J rt rc 
Na iminência da ruptura, e: 
X 
pressão) e portanto 
-200 x 10-
3 
= [-p + O,S(crrt+crrc)J 
(deformaçio por 
(cr +cr ) = (p-0, 2 ) = 1,25p - 0,25 
rt rc 0,8 .... 
com 
(A) 
O sinal negativo de e:x provém do fato deste ser considera 
do como encurtamento. 
e: 
e: z 
r c 
= e: = ...!.._ [cr rc E z c 
- \l (cr +cr )J 
C X y 
= , 1oo[-ccr t+cr )+0,4(cr +cr +p)J 
~ r rc rt rc 
e:rc = 2 ~ 0 [-0,75 p + 0,15 + 0,4 p] = (-1,75p+0,75)xl0- 3 
b) No Tubo de Aço 
Em tubos de parede fina, de diâmetro médio ~ , espessu-
ra constante E. e sujeitos ·a uma pressio interna q, sabe-se que,P.! 
ra um comprimento unitário, a deformaçio pode ser dada por 
e: = q•d 2 E t 
e portanto, neste caso, 
e:· = e: 
y z = e: = r a 
(cr +cr t)x50,5 rc r . 
2x2000x0,5 
_-:.1 
= 25,25 x 10 ·ca +cr ) rc rt 
ou seja, substituindo em funçio da pressao p dada, expressao (A): 
= (31,563 p- 6,313) X 10-3 
Lll-30 
Por 0utro lado, o resfriamento de temperatura imposto 
ao tubo de aço provocara no mesmo. uma diminuição de seu perrmetro, 
a qual segue a lei 
rf = r(l+a AT) 
-onde r e rf sao respectivamente, os raios do tubo, antes e depois 
da deformação. Assim sendo, 
Ar • rf - r = r a AT 
e portanto a deformação radial vale 
E = Ar 
r 
2TI Ar = = 2Tir 
onde a é o coeficiente de dilatação térmica e AT e o gradiente 
de temperatura, negativo neste caso. Assim, 
-s -3 Era = 2 X 10 X (-30) • -0,6 X 10 
Essa deformação radial, somada algebricamente ã deform~ 
çao provocada pelo concreto, resulta numa deformação final que, 
por compatibilidade, deve ser igual ã prÓpria deformação do con-
creto, ou seja 
E 
r c 
(31,563 p-6,313)x 10-3 - 0,6 x 10-3 = 
2 p = 0,23 tf/cm 
Obtido p, a equação (A) fornece 
(a +a ) = -a = -a rt rc y z 
2 = 0,038 tf/cm 
-3 (-1,75p+0,75)10 
Essa tensão, que atua no concreto, atua como pressão 
interna no tubo de aço, encontrando-se portanto, a tensão de tra 
-çao no aço (aa) com a equaçao 
(cr +cr ) ··d 
rc rt 
2 t 
.Lll-31 
= 0,038x50,5 = 
2x0,5 
2 1,92 tf/co 
o.s ... 50 .o em O.ScM 
FIG. 11.22 
Essa terisio e a 6nica tensio existente, constituindo-se 
portanto, em tensao principal, do que decorre 
As tensoes cry e crz, que comprimem transversalmente o 
corpo, tenderia a along;-lo longitudinalmente, empurrando-o con-
tra as chapas r!gidas, que r~agindo, provocam no mesmo o apareci 
mento de tensÕes de compressão cr . 
X 
Alim disso, por compatibilidade de deslocamentos segu~ 
~o o eixo x, pode-se dizer que o deslocamento que.ocorre nas 4· 
barras,.deve ser ig~al ao deslocamento do corpo solicitado por 
Aquelas tens;es. 
VISTA LATERAL ..........,A I 
I 
I 
I 
Lll-32 
CORTE A-A 
-+-----,........-~ 
'""~'""-.:......._:......,:__;__;__;c__+,;__"'-f__;...:.......-.:,-_:_......!d.<:J - r~---Y_ - "'--+-+-+-" borras 
I 
' 
z 
--.JA 
borres 
: 40cm 
~--~--------~~~----------------~-
1 
PLANTA 
~ I ~ ~ 
l I 
y 
a) Cálculo da tensao cr 
X 
~ +·· ' t 
( CNAI'A RÍSIDA 
FIG. 11.23 
o equilrbrio de forças na chapa rrgida, admitindo que 
as 4 barras estejam trabalhando com cr, fornece 
4 Nb- cr ·S = O x corpo 
ou 
4 . cr . s = cr s 
X corpo 
4 cr s 4xl,Ox3,0 0,6 tf/co. 2 cr = = = X s 4,0x5,0 corpo 
b) Com;eatibilidade de Deslocao.entos 
b 1 ) Deslocamento nas Barras 
• .2. 
b 
= cr • .2. 
:;,:b b 
Olldl! 
o 
' ' ' 
Lll-33 
lJC! .. l/3 
Com esses dados resulta 
= -
1-[-o 6 - .!.c-o 9-cr )J 210 • 3 ' z X 40 
Igualando os valores dos deslocamentos obtêm-se 
2 - -crz = 1,2 tf/cm (tensao de compressao) 
FIG. 11. 24 
Lll-34 
As restriçÕes a sere~ obedecidas sao: 
a) r;_> O para qualquer valor de a. 
X 
b) Je: I$ 1,4 X 10-4 
y 
A restrição (a) é obedecida para qualquer a. desde que 
a menor tensao normal, que é a tensão principal cr2, seja no mrni 
mo nula, o que leva, usando a expressão (10.6), a 
cr = 
2 
0,5+cr 
( 2 
• •• cr ~O ,32 tf/cm2 
y 
~o 
A restrição (b) é obedecida quando: 
b
1
) gy <1,4 X 10-4 
(positivo) 
, ou seja 
-4 
1,4 X 10 
cr < 0,405 tf/cm2 y-
b
2
) <.Y ~ -1,4 x 10-4 , ou seja 
(negativo) 
g 
y [ o v -0,25· o.,s] > -1,4 x 10-
4 
- J 
cr > -0,155 tf/cm 2 
y 
Solução Final 
2 o-;32 tf/cm < cr 
y 
< 0,405tf/cm2 
Lll-35 
rb to.s +-ab 
1.2 L O a 1.2+-aa \ 1.2~0a 
tll u -- ·~ -<II) (11!) -
\ 
\ 
~ab ~ o.e+ab 
FIG. 11.25 
No estado de tensao (III), obtido pela soma dos estados 
(I) e (II), para gualguer valor de a, a distorçio deveri ser ~ula, 
ou seja: 
Y-- = O = (€ -g )sen2a + y cos2a 
xy y x xy 
E =l(cr -1.1 y E y 
€ 
X 
= H<o, 6 + c; )- l él 2+cr ~ 
b 3 ' a] 
1 [ = E Cl ,2 + 
1 
(gy-gx) = f(<o,6+ CJ ~ 1,2 b - CJ )- 3 (1,2 + (J -a .a 
(€ -g ) t [- 0,8 4 (r:;b "'"r:Ja)J = + Y· X 3 
0,6 
Como y xy estado III, T =O) e a distorção xy 
deve independer de 
ê nulo (no 
a, o fator (€ -g ) deve sempre ser nulo, o y X 
que leva a 
CJ - CJ = 0,6 b a • • • • (A) 
-crJ] 
A variação especrfica de área (!!.;) ê obtida impondo de~ 
locamentos l!.i e l!.i no estado de tensÕes (I) e (III), como 
X y 
segue: 
Ll2-l 
CRITfRIOS DE RESIST!NCIA 
Os critirios nais usados sao: 
a) CRITfRIO DE COULOMt 
A seGurança contra a· rup~ura de materiais sujeitos a 
um estado triplo de tensoes, e verificada pela posiçio do corres 
pendente círculo de l:OER de maior diâT'letro ;cr
1
-a
3
j, em relaçio ã 
regiio sem ruptura c:;ue define o CRITfP.IO, sendo·cr
1 
~a2 ~a3 , "c 
a cha~r.ada coesio do material e Ç; o ângulo de atrito -interno.-
de ru.ptura 
FIG.I2.1- CRITÉRIO DE COULOMB 
Se ao invis de verificar a
segurança contra a ruptura, 
for de interesse verificar se un c~rto estado de tensoes e 
admissível, basta dividir 'r pelo adotado coeficiente de 
c 
ça, obtendo T . 
c 
Tal critirio pode ser particularizado para os 
seo-uran 
v -
estados 
planos de tens~es, obtendo-se o grifico da Fig. 12.2, no c:;ual ~T 
e a s~~ respectivamente as iens~·es de ruptura i. traçio e cocpre~ c -sao do material estudado. 
As coordenadas (o1 a~) desses estados planos de ten-" soes, no caso de nio. haver ruptura, deveR pertencer ·i regiio in-
terna do grifico (zona sem ruptura). 
L12-2 
,(zona sem rupt o r 
de r..pto ra l, , 
FIG. 12.2 • CRITÉRIO DE COUI.OMB(eslado plano de tensõol 
b) CRIT!:P,IO DA ENVOLTÕRIA DE !:OHR 
E semelhante 'ao critério anterior, só que, em lu~ar das 
retas que definem a segurança contra a ruptu'ra, têr::-se curvas en-
voltõrias aos ctrculos de HO!ir.. obtidos J!r> ensaios de ruptura dos 
respectivos materiais. 
1: 
w. , envoltório do MOHR. ,, 
s 
\ \ I 
I, 
zoiiG sem ruptura \ 
'. ~ a 
J 
\ 
w· 
FIG. 12.3 - CRITÉRIO DE MOHR 
c) CRIT!:r..IO DA ENERGIA DE ~isTORÇIO OU DE VON ~ISES 
Para a an~li'e de.um material sujeito a um estado tri-
plo de tens~es, para o qtial são iguai.s as tens~es de ruptura a 
tração e compressao, define-se uma tensão ideal cr. dada pela ex-
~ 
pressao 
.... (12.1) 
Ll2-3 
a qual deverá ser comparada com os respectivos valores das ten-
sÕes ideais de ruptura ou admissrveis desse ~aterial. 
Uma particularização deste critério pode ser feita no 
caso de estados_ planos de tensÕes sujeitos a tensÕes normais ~ 
numa única direção e de cisalhamento T (nas vigas por exemplo), 
obtendo-se a expressao (12.2), na qual a tensão i dada por: 
~- = 
l. 
, I ----2 2 v ~ + 3 ' .... (12.2) 
O ~aterial segue· o ·critirio de Coulomb defin:ldo pelos 
parimetros r
0 
e • conforme Fig. l2.4.a. 
14 k9f/c...Z 
)!Jj))) 
-
-
-
--
1 l l I f 1 1 1 14 l<gf/cm2 
(a ) 
FIG.I2- 4 CRITÉRIO DE COULOMB E ESTADO DE TENSOES 
O estado de tensão da Fig. l2.4.b será um estado sem 
ruptura sé'o crrculo de MOHR de maior diimetro, correspondente 
ao mesmo, na pior das hipiteses tangenciar as duas retas do 
critirio de Coulcmb, Caso c crrculc seja interceptado pelas re 
tas em mais de um ponto, o estado de tensões que o originou se 
rã um estado de ruptara. 
Ll2-4 
Portanto, traçado o circulo de MORR corre~pondente ao 
estado de tensio fornecido, deve-se veri~icir se as retal do cri 
terio são tangentes ou secantes ao ~es~o. 
O circulo de :!WRR traçado deve sempre ser o de maior 
diâmetro dentre os correspondentes ao estado triplo de tensões, 
isto e, o de diâmetro igual a lcrl- cr3!~ 
Para o estado de tensao em questao, tem-se: 
' ' ·i 
I 
I. 
J 
2 cr = -14 kgf/cm · 
l 
c 
80 
a) Equaçio da reta (~ • a cr + b) 
Obtenção de a e b 
Substituindo na equaçio 
e ~ • ~ = 5 kgf/cm2 , resulta b • 
c 
outro ponto, de coordPn~das 
-~ = O e cr = ~ = 5 
fornece o valor de a. 
.FIG. 12-5 
da reta as 
2 
5 kgf/cm • 
coordenadas cr = O 
Analogamente, um 
L12-S 
-S•tg20° a • 5 • -0,364 
-Portanto a equaçao da reta e 
1" • -0,364 (J + 5 • ' " ' (A) 
Para o c!rcu1o de MOH2 correspondente ao estado de ten 
são dado tem-se, conforme Fig, 12.5,. 
d • o 
c • 
r • 
-14 + (-BO+l 4 ) • -47 kgf/cm2 
2 
80
;
14 
• 33 kgf/cm2 
'"' (B) 
Substituindo o valor de 1" da expressão (A) em (El es 
tar-se-~ procurando uma poss[ve1 intersecção das ~urvas que pos-
suem essas equaçoes, obtendo-se 
1,132 a2 + 90,36 a + 1145 • o 
Verifica-se agor~ se este polinamio tem ou não raizes 
reais, pela pesquisa do vaior do determinante~. 
Se 6 <O, não exitem raiies reais e as curvas represe~ 
tadas pelas equações (A) e (D) não se interceptam, o que signifi 
ca que o estado não i de ruptura, uma vez que o circulo est~ den 
tro das retas que definem o CRIT~RIO, 
Se 6 • O, hii ap.enas uma raiz real a, o que sisnifica 
que o circulo i tangenciado p'elas retas e o estado de tensões 
que originou o circulo estii na iminãncia de provocar ruptura. 
Se 6 > O, existem duas raizes reais a, ou seja, o cir-
culo e cad,,uma das retas sio secantes em dois pont6s, o que si 
é possível se o circulo estiver fora da região sem ruptura do 
CRIT~RIO DE COULOMB. Nessa situação,o corpo sujeito is tens;es 
dadas sofrerá ruptura. 
No caso em quest~o, 
Ll2-ti 
6 • (90 1 36)
2 - 4 X 1,132 X 1145 ~ 29,80 > 0 
e portanto o estado de tens~ea levar; o material i reuptura, 
A figura 12,6,a) il~stra o caso de carregamento em que 
a carga P estã situada.na extremidade A; Na Fig. l2,6.b) mostre-
-se o caso em que a carga P estã situada no meio do vão, 
a I 
r•Z.Otl 
0.'? 11/01 
A A a t 
a.o .. 
I 
I. O .. 
I 
b J 
roZ.OI! 
O.?lf/., 
I 
'*· lc • 
I 
z.o" G.OO 11t ~ 
I 
FJG.I2.6- CARREGAMENTOS ADOTADOS 
Os diagramas de esforços solicitantes, momento fletor 
e força cortante, para a carga P situada na extremidade A esti~ 
mostrados nas figuras 12,7 e 12,8. 
Ll2-7 
5,4tf.m 3,43 m 
1,03 tf.m 
1,72m 
FIG.I2.7-DIAGRAMA DE M 
3,0 ti 
+ 
2,0 tf I, 2tf 
3,4 ti 
FIG.J2.S • DJÂGRAMA DE Q 
Os ~iagramas de esfo~ços solicitantes para eargs P si 
tuada no meio do vio estio mostrados nas figuras 12.9 e 12,10, 
5,57 1'11 
14 tl.m 
5,46 tf. m 
FIG.I2. 9- DIAGRAMA DE 1\f 
,.2, 97 tf 
FIG.I2.10- DIAGR~iMA DE Q 
b) Verifieaçio das tensÕes 
Na anilise da segurança desta viga, seri usada a ex-
pressio (12.2) sendo os valores a e TObtidos para tris pontos 
das jeçÕes transversais eritieas (i, fig. 12.11), Assim para o 
ponto B onde a é miximo e T é nulo as seçÕes transversais errti 
eas serao aquelas em que o momento fletor atinge um valor mixi-
I.l-2-8 
mQ. PQr outro lado, ao n[v~l do centro de gravidade a tensao de 
cisalhamento é mãxima e a tensão norma·l é .nula, sendo portanto 
cr[ticas as seçoes em que a força cortante ·.é m.ã:dina. Rã ainda a 
necessidade de verificar o ponto T da seção, ~a qtial as tensoes 
rJ e T apresentam valores menores porém prÕximos dos res·pectivos 
máximos. Neste caso, a seção crttica deve ser pesquisada em fun-
ção das combinações mais desfavoráveis .. de momento. fletor e for-
ça cortante. •• 
T 
c.s . 
FIG .. 12 .• li 
• • • .. .. 
b~l) Ponto B (borda da. se~ão) 
Neste ponto como rJ e máximo e T é nulo, a expressao 
(12.2) se reduz a 
cr. ~ rJ ~ rJ = 1,4 tf/cm2 
~ 
Para o perfil mefálico adotado, 6om especificação I 10" (37,80 
kgf/m·). da tabela de perffs obtém-se o valor do modulo de resis 
tência â flexão. 
w = 405 
z 
em 3 
A partir daÍ segue que 
(J = 
ou 
M -max -= 
l.J 
z 
M -
~:< 
405 " 
1,4 
M - ~ 567,0 tf~cm = 5,67 tfm · -max 
Para a carga P posicionada na extremidade A, o valor do máximo 
momento é 5,4 tfm, sendo portanto menor que o valor admissível. 
- Para a carga P posicionada no centro do vão, o valor do máximo 
mQ11!ent:c> é 5,46 tfm, sendo também este valor menor que o mâximo 
ad11!is s r v e 1. 
Ll2-9 
b.2) Centro de gravidade 
Ao nlvel do centro de _gr~vid.~de ~a seçao, a tensio a i 
riula e a tensio T ~ mixima, resultando da expressao (12.2): 
ou 
cr. = 
l. 
= T ~ 
max 
. . 2 
Tmix ~ O,.S08 tf/c.m 
• ,13 ~ cr = l , 4 t f I em 2 
Para o perfil utilizad~, e.ncontra-se .na tabela de perfis I lami-
nados 
J = 5140 z 
4 em 
Al~m disso, o momento estâtico no centro de gravidade 
~ obtido por: 
Portanto 
ou 
T ~ max 
. 2 
• 
0 • 79 x~ 11 • 45 ) +(ll,8xl,25xl2,08) • 230 
Q ~ •M 
max s 
b J z 
Q ~ x230 ·max 
• 0,79x5146 ~ 0 • 808 
3 em 
Atrav~s do exame dos diagramas de forças cortantes, 
tanto para o caso da carga P posicionada na extremidade A como 
para o caso da carga P colocada no centro do vio, em nenhuma se 
ção ao longo da viga·o esforço cortante máximo é ultrapassado. 
b,3) Ponto T ·(ligação entre alma e aba do perfil) 
Para o ponto T~deve-se ~rocurar em ~mbos os casos de 
carregamento, a seçio critica na qual os valores de cr e T, uti-
lizados nas express;es (l2,2),lev~m i tensio ideal máxima, 
No ponto T, de acordo com as caracteristicas geométri
cas do perfil utilizado, valem: 
J - 5140 z 
4 
em 
YT • 11,45 em 
Ll2-10 
Analisando os··diagramas· de· esforços solicitantes para .· ' . . ' 
o caso em que a carga P situa~~e n~.eitremidade A, a seçio do a. 
poio B torna-se .a mais soli.cita~a;. A:p~r~ir. daÍ. segue que: -
T • 
cr. • 
l. 
Q:Ms .. · 3,4xl78. 18. 2 - 1 • 0,149 tf/cm · bJ. · 0,79x51 O · 
J (1,203) 3 + 3 x (0,149) 2 • 1,23 tf/cm2 
Com a carga P si'tuad-a '.no· centro do· v ao, a .partir da 
análise dos diagramas de esforços. solicii:~ntes, ·duas seções de-
vem ser analisadas, res_pe'ctivamente, as. ~eções do apoio B e do 
meio do vao. 
Assim, no apoio te·m-.se 
M 140 · . 2 
cr • J • -YT = 5T'4õ x 11,45 • 0,312 tf/cm 
Q•M ·. . s .. 3133x17S1 1& • 0 1 ~6 T • b:r o, 7§x5l40 · • ·.· 
. '"'2 
tf/cm 
c: 111: 
l. 
Jco,312) 2 • 3 x co,l46) 2 • 
. 2 
0,402 tf/cm 
ou. 
No meio do vao, valem 
546 2 
r:J = mõ X 11,45 = 1,2·16 tf/cm 
T = 
(J. = 
l. 
1.23xl78ll8 = 0 , 054 tf/cm2 0,79xSl O 
r:;. < cr 
l. 
Portanto, a carga P ~dotada e um valor admiss[vel. 
VIGA .DE FERIOO FUIIDICO 
/ 
'/.1---~·-~--~ ; 
; 
I 
, 
' . 
' 
' ' 
. ' 
J. • lO, O em 
FIG. 12 .. 12 
I 
I 
: lo.2cm 
0,52cm 1 
ly 
i 
lu.zcm 
i 
I 
-t 
(se<ê40 transverso I l 
a) Cálculo das Tensões Principais 
As tensoes serão calculadas aos níveis dos pontos G), ®. 
~.e do C.G. da seção transversal do engastamento, na qual os 
esforços solicitantes são máximos e valem: 
}i = p • t - 10 'o . p 
X 
Q = p 
-As tensoes principais 
pressao (10.6). 
ser ao calculadas com o uso da ex-
Ponto (i) 
Ponto @ 
Ponto ~I 
Q M 
'r (1) = 
s (1) 
= o 
b J z 
M 
O' (1) = 
X = :r . y (1) 
X 
cr
1 
B 115,33 p 
H 
s (2) 
'r (2) 
0'(2) 
'1} o· 2 
M (s) 
-r (3) 
= 0,2x0,8x0,42 
p .. o! 067 = = 0,2 0,0763 
.. lO,O·P··0,32 = -o,076'3 
J 
41,94 p 
= ± 2 
= o 
= o 
10,0·P·0 2 88 • 
O' {1) = 115,33 F o' (}7 63 . • 
0,067 
3 - Clll 
4,40 p 
41,94 p 
0'1 = 42,40 
(41294P)2+ (4,40Pl .... 
-0,46 0'2 = 
" = 
10 !~_: . o.52 = 68,15 P .... cr, = 68.15 P 
:·· 
F 
Ll2-13 
lij (l,@, .. (j 
~v ., ) (.5 ,O?r)2 lij1 "' ~.oi' r " () • 
a2 a~ " =~,07 i' .. 
0.1 
FI e. 12. 13- CRITE.RIO DE COUlOiílll ( estoH Jll- dtt tensd"o) 
Ponto (i) 
Na Fig. 12,13 observa-se que, sendo a2 • O, a1• 115,33·P1 
poderá, no oãximo, assumir o valor 0,8, ou seja: 
ll5,33P 1 ~ 0,8 • • 
Ponto (2) 
-~omo al e positivo e a2 e negativo, o ponto de c:oorden.!. 
das (a1 ;cr2 ) deve pertencer à reta A-B e portanto a geometria da 
Fig. 12.13 leva a 
o 4 0,4-crl 
tg y • ~ • 0,5 • 
' a 2 
Ponto & 
Como cr
1 
é positivo, seu valor mãximo serã 0,4 
.,. -3 -68,15P < 0,4 ou r
3 
< 5,87•10 tf ou P 3 • 5,87 kgf 
- -3 
p2 = 9,5 • 10 tf - 9,5 kgf 
Centro de Gravidade 
Para cr
1 
= 5,07P e cr
2 
= -5,07P, procede-se analogamente 
ao que foi feito para o ponto@ obtendo-se 
•tg y = o' 5 = 
o,4-5,07 P"c.G • 
-5,07 Pc,G 
PcG= o,0526tf = 52,6kgf 
Portanto o valor admissível da carga P sera 5,87 kgf. 
a) Obtenção dos Esforços Solicitantes 
Na Fig. 12.14 mostram-se os esforços solicitantes sc:.re 
a seçao do engastamentc, on.de ocorrem seus respectivos valores ::â 
ximos, que serão utilizados para as verificaçÕes das tensões i-
deais. 
1,5tf 
...-l!:::>l' .. o_, !> tt --r !>,o ""' 
. ----·íofZ"' !),O""' 
----r-
X 
FIG\.12.14-ESFORÇOS SOLICITANTES NA SEÇÃO DO ENGASTE 
112-15 
!1 = ... f 
X 't = 0,5 x 10,0 • 5,0 tf•cm (momento torçor) 
liz • 1,5 x.30,0 • 45,0 tf•cml 
(momento& fletores) 
M • 0,5 x 30,0 = 15,0 tf•cm 
y 
Qy = 1,5 tf 
(esforços cortantes) 
Q = 0,5 tf z 
b) Cilculo das Tens~es Ideais crrticas 
Os esforços solicitantes calculados provocam, na viga, 
o aparecimento 
"'" mento fletor H 
de tens~es a e T. 
(resultante de 
.. 
" .. y 
As tens~es a, provocadas pele ""~ .. 
e H), alcançam seu ~alor mixi~o 
z 
nos pontos A e B indicados na Fig. 12.15, distribuindo-se na se-
çio da forma como se indica. As tens~es T, por sua vez, devido ao 
momento torçor tim igualmente valor miximo em toda a borda, e de-
-+ ' 
vido ã resultante Q dos esforços cortantes, distribue..,-se na se-
ção de forma que, nos pontos A e B, seus valores serão nulos. 
Oz • O, 51f 
My = 15 ti. em 
A 
Q = .1.5tf y 
FIG.I2.15- DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES (J e l: NA SEÇÃO DE 
ENGASTE. 
b.l) Tensão cr nos pontos A e B 
H ·r 
z 
= 
4 
- 'lr.:lO = 490 87 64 • 
4 em 
D . - -2 47 •43 x 5,0 - 0,483 tf/cma 490,87 
47,43 tf•cm 
b.2) Tensão T devido ao momento torçor (pontos de borda) 
T -max 
= 16 .. ,·5, o 
3 11"·10,0 
2 = 0,025 tf/cm 
b,3) Tensão -r devido ã cortante (Centro de Gravidade) 
Q - v (0,5) 2 + (1,5) 2 i - 1,58 tf 
't - -max 
Q H 
s -max • 
2 
'Ir o lO 
1,58x --a- x 
490,87 
b.4) Tenaão Ideal nos pontos A e B 
. I 2 • .Q ,054 tf em 
Utilizando a expressão (12.2) do criterio de energia 
de distorção, obtem•se 
cr. 
]. 
. . cr. 
]. 
~2 + 3 2 
v 'u = 
t 
- 2 << cr • 1,2 tf/cm 
b.S) T;ens"ão Ideal no C.G, 
. 
' . 
- 'Q /3 = 0,054 13 
2 cr. • 0,094 tf/cm < < 
]. 
Õ = 1,2 tf/cm2 
Esses resultados permitem concluir que a viga sujeita a 
essas cargas~ trabalha com tensÕes ideais bem menores do que as 
admissíveis. 
L12-17 
a ) .::C~ã~l:.;c:.:u:.:l:.:o:-__:d::.;e:._cr:..t 
Para calcular-se o oãxitio valor de crt deve-se lançar, 
no critirio admissivel, o estado de tensio (A), cujo círculo de 
MCHR correspondente d.eve tangenciar as retas que definem ó cri-
tério. 
ou ainda: 
2 
"t( kgf/em l 
lft . 
T 
a,. ãt 
O"t= o 
as= o 
FI G. 12. 16- CRITÉRIO DE COULOIUI 
De acordo com a Fig,l2.16 pode-se escrever: 
o 2 • tg 30 = 4 
(2-
(Jt 
2)sen 30° 
(6,92-
(J 
~) 
2 
0,5 
(Jt 
= 2 
(Jt 
= 2 
2 2 = 6,92 kgf/cm 
2 
cr t = "4 , 6 kg f I em 
b) Câlculo-·do valor de p 
O estado de tensio (B) nao i admissivel pois cem rJT = 
" 9,2 
2 -kg/cm • Com a soma deste estado ao estado (C) obt<am-se 
dois possíveis casos como segue: 
:U2-18 
19 Caso 29 Caso 
r j p 
p- 9,2 ~ p- 9,2 ~ 8 9.2 -p ---
lp I p 
FIG. 12.17- ESTADOS DE TENSÕES 
b.l) Para o 19 caso tec-se: 
()"2 = -(p-9,2) 
()"3 = -p 
Levando-se o círculo de MOHR deste estado de tensoes no 
critério "btém-se: 
1'16. 12 . 18- C I'! ITÊ RI O Dt: COUI.DMB 
Portanto 
t.l-Z-19 
Pela Fig. 12.18 pode-se escrever: 
(6,92+ .l:.2 )~en 30° • .1:. . 2 
' p • ll,S( kgf/c~· 
b,2) Para o 29 caso tem-se: 
Levando•se o ctrc~lo de MOI& deste estado da tens~es 
no cric;rio obc;m-se: 
ou ainda: 
r 
F I G. 12 • 19.- CltiTr'IIIO DI COUI.OMIII 
Pela Fig. 12.19 tem-se• 
2r • p + (9,2-p) ... r • 4,6. 
[6,92 + r- (9,2-p)J sen 30° • r 
Substituindo o valor de r obtém-se: 
p • 6 ,se ks·t/-cm·2 
Ll2-ZO 
c} Resposta 
Portanto o valor de p deve satisfazer ãs seguintes con 
.;f~çÕes: 
)~ 
6' 88 <. p 
2 <. 13,84 kgf/cm 
O critério de ruptura que o material segue (critério 
da envolt6ria de HOHR) ê representado por uma paribola cuja equ~ 
ção ê a seguinte: 
o = a + b T + c T2 
sendo que;: 
- para T = O tem-se o = 0,4 o que leva a 
a = 0,4 tf/cm2 
- para O = 0 tem-se T = +0,4 e T = -0,4 o que corresponde a:-
o= 0,4 + 0,4b+ 0,16 c 
o= 0,4- 0,4b+ 0,16 c 
sendo portanto c = -2,5 e b = o 
Substituindo-se os valores de ~. b e c na equaçao da 
paribola obtêm-se 
o = 0,4 - 2,5 T2 . . . . (A) 
Para que não haja ruptura no estado de tensões forneci 
do, onde a tensão E. é de compressão, o círculo de MOliR da Fig. 
12.20, correspondente a este estado de tensão, deve na pior das 
hip6teses tangenciar a paribola do critério. 
·-Para este estado de tensoes tem-se: 
ol 0,2 tf/cm 
2 
02 = o = 
03 = -p 
\ 
r 
r c 
_, o l 
FIG. 1.2. 20 • C lltCULO Cl MOHR 
A ~quaçao da eirc~nfarincia qu~ rapraaanta o circulo 
da MOHR do estado da tanaõas fornecido ê, conforma Fig. 12.20, 
onde 
d • o 
ou seja: 
(a+(O,Sp-0,1)) 2 + T2 • (0,5p + 0,1) 2 • • • • (B) 
Substituindo em (A) o valor de T2 calculado através de 
(B) obtêm-se: 
a2 + (p-0,6)a + (O,l6-0,2p) • o 
Se esta equaçao nao tiver raízes reais (Ll < O), parábo-
la e éircunferência não terão pontos. em. comum, o que significa
que 
o estado de tensão não ê de ruptura. 
Se ~sta equação tiver apenas uma raiz (Ll•O), serao tan-
gentes a .parábola e a circunferência e o estado de tens:iio estará 
na iminência de ruptura. 
Portanto, para que não haja ruptura deverá occHrer À~ O, 
ou seja! 
lll! ,. ©,4 ll = ©,a ~ fl 
ll = = §,it § i,U '* ! (J~?§ H/~ml! 
nãEJ êél!ilve!m 
A Un§âEJ'Mlf!i!ãl ll €lê €€lllllllfꧧâ€l pêl!ê lêêl1 1 êlll m~1!1üF! 1 ª 
§€1Yi!il~ê 9ãliã~i€J! 
ProCYf㕧C O VâlOI ~O ; llâlâ Câ~â Yl!l ~06 A§~A~O§ piAnO§ 
4o tonaõea in4ico~oa, Euoo valor, em eA~A CAso, dovcri fAICf co~ 
qua o etrculo àc MOHR de diÂmetro igual a le1-a3 ! sojA tongoncio• 
4o pelas ratas do CRit!RlO, 
a) Cuo l 
I , 
"'' 1~1 
'' I p fl:/ 20 
' Cl'lqr~2 1 I 
I 
I 
FIG. 12.21 
crl m 0'2 • o 
0'3 m -p 
icr 1-cr3 i .. D .. p 
b) Caso 2 
c) Caso 3 
!.12-23 
lO 
t<'" a. & - = 0,5 
o 20 
• sen CL = 0,447 -
20 + .E. 
2 
p 
2 
20- .E. 
2 
FIG. 12.22 
• sen a. = 0,447 
FIG.. 12.23 
a. = 26,57° 
p = 32,33 kgf/cn/ 
20 
2 ii ~ 12,36 kgf/cm 
l..l2~24 
Co~o ~~tstem t~ni~es ·de cisalhamento, i necessário usar 
a expresslo (10.~) para obter-se as tensoes principais, sendo 
o = o 
X 
.o = o 
y 
'r = p 
xy 
Com estes .valores resultam: 
o = p 
1 
-p 
o = o 
2 
I o -o I • D • 2p-l . 3 . 
o - -p 
3 
n . un .e~ .. o , 441 
!il) Cuo 4 
p/2 
FIG. lt~.- 24 
e) Caso 5 
t' 
o --R. 
2 2 
03 = -:p 
Apesar das tensoes nas faces do ele 
mento serem diferentes das indicadas no 
Caso 1, os ctrculos de MOHR de maior diâ 
metro, nos dois casos são iguais, o que 
leva a 
2 
p = 32,33 kgf/cm 
= o 
p ·o., - .-
Este caso i análogo ao Caso 2 por 
estar sujeito ãs mesmas tens~es 
principais o
1 
e o
3
• Dessa forma 
pode-se escrever que 
·l, 
FIG. !"2.25 
2 
p = 12,36 kgf/cm 
!"": 
!.12-25 
FJG. 12.26 
a) Ssforços Solicitantes e TensÕes 
Transladando a carga P excintrica para o Centro de Gra 
vidade do pilar, atuam os esforços indicados na Fig. 12.~6, ou 
seja: 
onde 
N = -P = -40 t:f 
N = P • d = 40 x 5 = 200 tf•em 
y 
As tensões provenientes da açio destes esforços valem 
s 
..J. y 
p 
s 
=2[2xl8 
22xl2 3 
= 12 
Z - = 6,0 em max 
IJ ,. 
"
1 (máx) 
+ 12 x 2]= 120 
18x8 3 =2400 
12 
40 2 
120 = -0,333 tf/cm = -
M 
--L 
J y 
2 
em 
4 em 
z -max 
200 
v J! = 2 4 0 0 X 6 ' Q = 
J:taX 
t.12-26 
r 5 f'/ 2 u, t_ em 
A tensio normal devido a N distribui-se uniformemente 
sobre toda a seçio e a outra, devido 
bordas mais afastadas, na direçio do 
., a ~.:., 
eixo 
tem valor máximo nas 
z. Na borda pr6xina do 
ponto de aplicaçio da car,a P, ambas as tensoes sio de compres-
s·ão, resultando 
v= -(v .. +v.,) = -(0,333+0,500) 
!,\ .i:J. 
b) Cálculo da Tensio Ideal 
2 = -0,833 tf/cm 
. Isolando um elenento em torno do ponto mais solicitado, 
o mesmo estará sujeito às tensÕes principais 
2 = -0,833 tf/cm 
-e portanto a máxima tensao ideal, com base na expressao (12.1) 
vale 
2 
= 0,833 tf/cr;:. 
A análise de ruptura de solos coesivos (T + O) ê feita 
c 
pelo CRITfRIO DE COULOHB. Obtidos, no instante da ruptura, os ciE_ 
culos de MQBR· correspondentes aos estados de tensoes dos ensaios 
I e II, a i::eta do CRIT:ÉRIO deverá tangenciar esses dois ci:rculos, 
conforme .a Fig. 12.28. 
L12-27 
Po 
FIG. 12..2.7 
Tomando-~" cr1 > cr2 > cr3 .• para os dois ensai<>s tem-se: 
ENSAIO I ENSAIO II 
-1,0 kgf/ em 2 -2,0 kgf/cm 
2 
crl a 0'2 " p = 0'1 = 0'2 = ~ 
" -5,0 kgf/cm 
2 -8,0 kgf/cm 2 0:3 - Pa 0'3 -
4,0 kgf/cm 2 6 ,O kgf/cm 
2 
0'1 - 0'3 = crl - 0'3 = 
-~ 1/l.- z 
?.0 &.0 5.0 4.0 3.0 
·FIG. 12.28- CRITERIO DE COULO'WB 
Ll2-28 
Conr has.e na Fig. 12. 28, po.de-:-se. es-crever 
·~ + 5' o = = sen a t+3,0' . 
Sendo R1 = 2,0 \<gf/cm
2 
e R11 = 3,0 ~gf/cm
2 resulta 
1 = 1,0 kgf/cm 2 e portanto! 
crT 
2 
= 
crT 1 
Q. - 2 
lerei 
-2-
= 
1 
I cr cl 
+-
2 
2,0 = + 3,0 
.3,0 
1 + 5_,0 
sen a 
= sen Cl. 
2 = Q,67 kgf/cm 
2 
= 2,00 kgf/crn . ' 
A soma dos estados de tensÕe..s @ ·e @ res·ult~rã etn ~m 
estado de tensão @, mostrado na Fis •. , 12.29., 
FIG. 12. 29- ESTADOS . DE TEN~E.!i> 
. A tensao resultante (2 ãT-p), dependendo do val~r de ?• 
pode rã· ser de tração ou compressao, devendo-se .allalisar e.stas 
duas possibilid-ades. 
l)s geometria da Fig. 12.30 pode-se concluir que. 
o 2 
tg 30 - y - 0,577 Q. = 2 o ,577 
2 
= ~,464 kgf/cm· 
\ 
a . 
T 
2 
f, -
b) Cálculo de p 
b .1) (2õ'T-p) > O 
Ll2-29 
o = sen 30 = 0,5 
1: (kgf/.,.,.zl 
2 
aT = 2, 3 O kgf I c1n 
t---=-1 -t 
o 
. I 
I ' 
! êÇ2! 
~ . 
I 
.~ 
FIG. 12.30- CÁLCULO OE éf"T 
O c!rculo de HOHR de diâmetro Ja
1
-a
3
J, neste caso, pa-
ra encontrar-se p,poderã tangenciar tanto uma quanto a óutra re-
ta do CRIT~RIO, levando a d~as análises. 
I) o circulo tansencia a reta inclinada de 30° 
• (fl9t.fcm2 
(Jl = 2ãT - p 
a2 = o 
a3 = -p er fl't1' ,.,.., 
~ 
p 2~-p 
FIG. 12.31 
Ll2-30 
a·= R- p = - p 
sen 30°. = = 2,30 
3,46-2,30+p 
P- >. 2 • 3,45 kgf/cm 
li) O. Circulo tangencia a reta inclinada de 15° 
I 
I b 
--p---
-..-:--. __ 
' -----~-p' 
FIG. 12.32 
= o 
-- ------150 --
d 
(J = -p 
3 
--CT(II\gttcr/) 
' 
I 
I 
tg 15° = 2d0 = 0,268 d = 7,464 kgf/cm2 
b = p-R 
o sen 15 R = b+d = = 
2 30 
---=-~:::.__--. ·= o , 2 58 8 
p-2,30+7,464 
p / 3,72 kgf/cm2 
·Tnterpretação dos valores calculados para p 
Para (2ÕT~p) > O, foram encontrados os seguintes inte~ 
valos de variação de p, provenientes dos casos I e II. 
Ll2-=,:31 
o 3,45 
•= e 6 e A •••• 
3,72. 
A análise desses resultados leva, matematicamente,ã re~ 
posta p::::. 3,72 kgf/cm2; fisicamente pode-se verificar que a ten-
sao p não pode assumir valores entre 3,45 e 3,72, pois os crrcu-
los de liOHR correspondentes a estes valores são secantes ã reta 
do critério de inclinação 15°, conforme a Fig. 12.33, na qual ve-
rifica-se que, para p ~ 3,45 kgf/cm2 , o círculo de MOHR tangencia 
,;1 retl! inr;litHI,d.\1 de 30° e ·intercepta a inclinada de 1.5° em dois 
pQntQa. 
MCOIIIU 
-
fl(ktf/cJ) 
!1. 45 
FIG, 12.35 
Neste caso, as tensões principaís usadas para a constr~ 
çao do círculo de MOHR e consequentemente para: determinar p, são: 
a • o 
1 
a • 2a -p 2 T 
a • -p 
3 
p 
Sen 
Ll2-32 
I 
R=/p/2 ---15~ 
P/2 d • 7,464 
FIG. 12.34 
~ t +7,464 
15° = 0,2588 = 
-
. a 
i (kgf/cm2 l 
? ,::::, 5,21 kgf/ cm2 
c) Resposta: Pela superposição dos valor.es encont-rados nos casos 
@ e (~ chega-se ao. seguinte intervalo de ~ariação de p 
3,72 <: p ..:::::. 5,21 
a . 
X . 
(Corpo li ) 
FIG.I2.35 
O corpo rigido impede os deslocamentos segundo a dire-
çao y (& •O), o que induz o aparecimento, no corpo II, de tens~es 
cr , em a~rescimo às tens~es cr aplicadas externamente e as ten-
~ z . 
soes crx transmitidas em sua interação com o corpo I. 
p 2 
cr - - = - 100,0 c -1,0 tf/cm X SI lO,OxlO,O 
1 
& -- [cr -IJ(cr +cr ~ - 2ioo [ cr7-o,3(-l,o-o,6)J = o y 
• 
. . . 
E y X . Z 
2 cr· = -o·,48 tf/cm 
y 
)es•a forma, dada a inexist;ncia de tens~es de cisalha-
mento, pode-se escre~-r que no corpo II atuam as tensoes princi-
pais 
cr • cr • -l O tf/cm2 3 X 1 
c cr 
z 
? = -0,60 tf/co-
Utilizando estes valores na expressao 12.1 do CRIT~RIO 
DA ENERGIA DE DISTORÇÃO encontra-se 
cr. • 
l. 
't[c..:o ,48+0, 60) 2 + <-o, 48+1, o) 
2
+ c-·o, 6+1 .~ = 
2 
= O, 4 7 2 tf I em . 
Encontrado o valor da tensao ideal, tem-se. a margem de 
segurança.! com que o corpo II estã trabalhando, relativamente ã · 
tensão de escoamento cr • 
cr e . s • - = cr. 
l. 
e 
2,4 .. 5,1 
0,472 
Uma viga de ferro fundido, que tem tensoes de ruptura a 
traçao e compressio diferentes, pode ter sua performance quanto a 
ruptura, analisada através do CRIT!:'.RIO DE COULOllB para o estado 
nlano de tensoes. 
1: xy 
~~ l / a, Oi ',; 
xy 
ap• 42.:s• 
o;. o .. s tftcrn2 
.crx 
I/I / I 1 
(I l 
i 
' ---I o 
( I! l 
0,414 
I 
I 
AG, Í2.36- CRITÉRIO DE COULOMB (estado plano de tensões) 
!:'. dito que, para a.p=42,3°, encontra-se uma tensao prin-
cipal igual a 0,5 tf/cm2 • A outra tensão