GA-AulaPratica01

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AULA PRÁTICA 01 
 
1. Quais são as componentes do vetor v

 com origem no ponto A(5, 7, -1) e final 
no ponto B(3, 11, 21)? 
Resolução: 
ABv 

 
ABv 

 
)1 ,7 ,5()21 ,11 ,3( v

 
))1(21 ,711 ,53( v

 
)22 ,4 ,2(v

 
 
2. Obtenha o vetor v

 com origem no ponto A(-3, 2) e final no ponto B(4, -1). 
Resolução: 
ABv 

 
ABv 

 
)2 ,3()1 ,4( v

 
)21 ),3(4( v

 
)3 ,7( v

 
 
3. Obtenha a distância entre o ponto P(0, 9, 2) e o ponto Q(5, 0, 7). 
 
Resolução: 
222
),( )()()( PQPQPQQP zzyyxxd  
222
),( )27()90()05( QPd 
222
),( 5)9(5 QPd 
258125),( QPd 
131),( QPd 
45,11),( QPd 
 
4. O baricentro, encontro das medianas das arestas do triângulo, é um elemento 
bastante importante cujas coordenadas correspondem à média das coordenadas 
dos vértices do triângulo. Sabendo que T é o triângulo com vértices nos pontos 
A(5, 5), B(10, 7) e C(12, 11), calcule o baricentro G do triângulo T. 
Resolução: 





 

3
 ,
3
CBACBA yyyxxxG 





 

3
1175
 ,
3
12105
G 







3
23
 ,
3
27
G 
 ,677 ;9G 
 
5. Qual é o módulo do vetor )8 ,9( v

 indicado na figura a seguir? 
 
Resolução: 
22|| yxv 

 
22 )8(9|| v

 
6481|| v

 
145|| v

 
04,12|| v

 
 
6. Qual é a inclinação do vetor )8 ,9( v

 indicado na figura a seguir? 
 
Resolução: 
 
x
y
)(tg  
9
8
)(tg  
888888889,0)(tg  
888888889,0 tgarc 
 63,41 
 
  360 
 63,41360 
 37,318 
 
7. Considere o vetor v

 que tem módulo igual a 10 e inclinação igual a 35°. Quais 
são as componentes xv e yv deste vetor? 
Resolução: 
||
)(cos
v
xv
 
10
)35(cos v
x
 
10
0,819152 v
x
 
0,819152
10
v
x
 
10 . 0,819152vx 
19,8vx 
 
||
)(sen
v
yv
 
10
)35(sen v
y
 
10
0,573576 v
y
 
0,573576
10
v
y
 
10 . 0,573576vy 
74,5vy 
 
)74,5 ;19,8(v

 
 
8. Um muro está escorado por uma viga inclinada conforme a figura a seguir. 
 
Qual é a inclinação da viga? 
Resolução: 
x
y
)(tg  
8,1
7,2
)(tg  
5,1)(tg  
,51 tgarc 
 31,56 
 
9. Qual é a inclinação  do telhado, em relação à horizontal, cuja vista frontal é 
representada na figura a seguir? 
 
Resolução: 
x
y
)(tg  
3
2
)(tg  
666666667,0)(tg  
,6666666670 tgarc 
 69,33 
 
10. Em um determinado jogo 3D, a posição de um jogador está associada ao 
ponto J1 de coordenadas (180, 210, 315). O jogador adversário está no ponto J2 
de coordenadas (92, 200, 301). 
 
Sabendo que as unidades estão em metros, qual é a distância entre estes dois 
jogadores? 
Resolução: 
222
),( )()()( 12121221 JJJJJJJJ zzyyxxd  
222
),( )315301()210200()18092(21 JJd 
222
),( )14()10()88(21 JJd 
1961007744),( 21 JJd 
8040),( 21 JJd 
66,89),( 21 JJd 
 
11. Um ponto pertencente a um espaço bidimensional pode ser localizado por 
meio de coordenadas cartesianas. Também pode ser determinado pela distância 
d do ponto até a origem do sistema de eixos coordenados e pelo ângulo  que o 
segmento que vai da origem ao ponto forma com o eixo x. A este sistema é dado 
o nome de sistema de coordenadas polares. Considere o ponto A de 
coordenadas cartesianas (8, 5). Obtenha as coordenadas polares (d, ) de A. 
Resolução: 
22 yxd  
22 58 d 
2564d 
89d 
43,9d 
 
x
y
)(tg  
8
5
)(tg  
625,0)(tg  
,6250 tgarc 
 01,32 
 
)01,23 ;43,9( A 
 
 
AULA PRÁTICA 02 
 
1. O quilômetro por hora (km/h) é uma medida de velocidade pertencente ao 
Sistema Internacional de Unidades. No entanto, não é a única unidade de 
medida de velocidade. Em diversos países de língua inglesa, a unidade utilizada 
para este fim é a milha por hora (mi/h). A milha é uma unidade de comprimento 
definida pelo sistema imperial de medidas e equivale a 1,609344 quilômetros. 
Para convertermos quilômetros por hora em milhas por hora, basta dividirmos a 
velocidade em questão por 1,609344 ou, de forma equivalente, multiplicarmos 
esta velocidade por 0,621371. Observe que 1/1,609344 corresponde a 
0,621371. Para convertermos um conjunto de velocidades, podemos armazená-
las em um vetor e efetuarmos as multiplicações necessárias. O vetor 
)101 ,08 ,06 ,04 ,30(v

 contém as velocidades máximas em km/h de algumas 
vias. Obtenha o vetor w

 que contém as respectivas velocidades em mi/h com 
uma casa decimal cada. 
Resolução: 
vw

.621371,0 
)101 ,08 ,06 ,04 ,30.(621371,0w

 
)8,46 ;9,74 ;7,33 ;4,92 ;6,18(w

 
 
2. Considere o vetor )3 ,1(v

 e o ponto A(4, 2). 
 
Obtenha as coordenadas do ponto B de modo que o vetor AB seja equipolente 
ao vetor v

. 
Resolução: 
ABv 

 
ABv 

 
BvA 

 
vAB

 
)3 ,1()2 ,4( B 
)32 ,14( B 
)5 ,5(B 
 
 
3. Sabendo que )3 ,1 ,3(u

 e )1 ,9 ,4(v

, calcule vu

 . 
Resolução: 
)1 ,9 ,4()3 ,1 ,3(  vu

 
)13 ,91 ),4(3(  vu

 
)4 0,1 ,1( vu

 
 
4. Dados os vetores )5 ,2(u

 e )1 ,8(v

, calcule vu

53  . 
Resolução: 
)1 ,8(5)5 ,2(353  vu

 
)5 ,40()51 ,6(53  vu

 
)551 ,406(53  vu

 
)01 ,46(53  vu

 
 
5. Uma aeronave está sobrevoando o Oceano Atlântico com a velocidade 
indicada pelo vetor )30 ,600(v

 onde as componentes estão em km/h. 
 
Esta velocidade tem a influência de uma corrente de ar descrita pelo vetor 
)2 ,15(Cv

. Determine o vetor Av

 que representa a velocidade da aeronave sem 
a influência desta corrente. 
Resolução: 
CA vvv

 
AC vvv

 
CA vvv

 
)2 ,15()30 ,600( Av

 
)82 ,585(Av

 
 
6. Um objeto que estava no solo foi içado por duas cordas, cada uma delas 
representadas pelos vetores )41 ,30(u

 e )14 ,32(v

. 
 
Considerando ainda que o vetor relacionado ao peso do objeto corresponde a 
)20 ,0( p

, qual é o respectivo vetor resultante r

? 
Resolução: 
pvur

 
)20 ,0()14 ,32()14 ,30( r

 
)201414 ,03230( r

 
)35 ,2(r

 
 
 
7. Sabendo que )4 ,20 ,2(2  wvu

 onde )1 ,3 ,3( u

 e )1 ,3 ,2(v

, determine 
w

. 
Resolução: 
)4 ,02 ,2(2  wvu

 
vuw

2)4 ,02 ,2(  
)1 ,3 ,2(2)1 ,3 ,3()4 ,02 ,2( w

 
)2 ,6 ,4()1 ,3 ,3()4 ,02 ,2( w

 
)214 ,6302 ,432( w

 
)3 ,11 ,9(w

 
 
9. Em uma animação feita por meio da computação gráfica, uma casa na 
montanha está inclinada em relação ao solo. Sabe-se que o assoalho desta casa 
está apoiado nos pontos A(10, 2, 1), B(6, 8, 0) e C(8, 8, 0). 
 
As paredes desta casa formam um ângulo de 90° com o assoalho. Fazendo 
ABu 

 e ACv 

, obtenha um vetor w

 que possa ser utilizado para determinar 
a inclinação destas paredes. 
Resolução: 
ABu 

 
ABu 

 
)1 ,2 ,10()0 ,8 ,6( u

 
)1 ,6 ,4( u

 
 
ACv 

 
ACv 

 
)1 ,2 ,10()0 ,8 ,8( v

 
)1 ,6 ,2( v

 
 
162
164


kji
vuw


 
62162
64164


jikji
w


 
)2).(6).(()6).(1).(()1).(4).(()6).(4).(()2).(1).(()1).(6).((  kijkjiw

 
kijkjiw

12642426  
kjiw

1220  
)12 ,2 ,0( w

 
 
10. considerando os vetores )1 ,21 ,9(u

 e )3 ,4 ,0( v

, calcule o produto 
vetorial vu

 . 
Resolução: 
340
1129


kji
vu


 
40340
1291129


jikji
vu


 
)0).(12).(()4).(1).(()3).(9).(()4).(9).(()0).(1).(()3).(12).(( kijkjiw

 
kijkjiw

042736036  
kjiw

362740  
)36 ,72 ,40( w

 
 
11. Dados os vetores )9 ,5 ,7 ,5(u

 e )2 ,2 ,3 ,1(v

, obtenha o produto escalar 
vu

. . 
Resolução 
)2 ,2 ,3 ,1).(9 ,5 ,7 ,5(. vu

 
x29x253x7)1(x5. vu

 
1810215. vu

 
44. vu

 
 
12. Qual é o ângulo formado pelos vetores)9 ,7(u

 e )8 ,1(v

? 
 
Resolução: 
||.||
.
cos
vu
vu


 
Calculando vu

. : 
)8 ,1).(9 ,7(. vu

 
727. vu

 
65. vu

 
Calculando ||.|| vu

: 
22 97|| u

 
8149|| u

 
130|| u

 
 
22 8)1(|| v

 
641|| v

 
65|| v

 
 
65.130||.|| vu

 
8450||.|| vu

 
91,923882||.|| vu

 
 
Calculando : 
||.||
.
cos
vu
vu


 
91,923882
65
cos  
0,707107cos  
 0,707107cos 1 
 45 
 
AULA PRÁTICA 03 
 
1. Dados os pontos A(3, 12) e B(5, 16), qual é a equação reduzida de reta que 
contém A e B? 
Resolução: 
  temos,123 Para , A 
baxy  
ba  )3(12 
ba  312 
123  ba 
 
  temos,165 Para , B 
baxy  
ba  )5(16 
ba  516 
165  ba 
 





165
123
ba
ba
 





165
)1( 123
ba
ba
 





165
123
ba
ba
 
402
165
123






a
ba
ba
 
42 a 
2
4
a 
2a 
 
123  ba 
12)2(3  b 
126  b 
612b 
6b 
 
62  xy 
 
2. Um veículo, inicialmente no ponto A de coordenadas (1200, 1000), partiu para 
noroeste formando um ângulo de 45° com a horizontal. 
 
Qual é a equação reduzida da reta que descreve a trajetória do veículo? 
Resolução: 
)()( 00 xxmyy  
)0001 ,1200(A 
 54 tgm 
1m 
)1200(1)1000(  xy 
12001000  xy 
10001200  xy 
200 xy 
 
3. Dada reta r de equação geral r:5x-4y+9=0, qual é a inclinação de r? 
Resolução: 
0945  yx 
954  xy 
954  xy 
4
9
4
5

x
y 
 
4
5
)(tg  
)25,1( tgarc 
 34,51 
4. Obtenha a equação vetorial da reta r que contém o ponto A(-3, 7) e tem vetor 
diretor )2 ,4(v

. 
Resolução: 
)7 ,3(A 
)2 ,4(v

 
vtAr

: 
)2 ,4()7 ,3(: tr  
 
5. A aeronave apresentada na imagem a seguir tem uma trajetória cuja 
inclinação corresponde a 60° em relação à linha horizontal do mapa e está no 
ponto A de coordenadas (200, 100) para um dado sistema de eixos coordenados. 
 
Com base nestas informações, obtenha uma equação vetorial da reta que 
descreve a trajetória da aeronave. Considere tg 60°=1,73. 
Resolução: 
x
y
)(tg  
x
y
)60(tg 
x
y
73,1 
1
73,1
73,1  
),731 ;1(v

 
)001 ,200(A 
vtAr

: 
),731 ;1()001 ,200(: tr  
 
6. A aeronave apresentada na imagem a seguir tem uma trajetória cuja 
inclinação corresponde a 60° em relação à linha horizontal do mapa e está no 
ponto A de coordenadas (200, 100) para um dado sistema de eixos coordenados. 
 
Com base nestas informações, obtenha as equações paramétricas da reta que 
descreve a trajetória da aeronave. Considere tg 60°=1,73. 
Resolução: 
)001 ,200(A 
x
y
)(tg  
x
y
)60(tg 
x
y
73,1 
1
73,1
73,1  
),731 ;1(v

 





tyyy
txxx
r
v
v
0
0
: 





ty
tx
r
73,1100
200
: 
 
7. Obtenha uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos P(-5, 4, 2) e 
Q(3, -3, 9). 
Resolução: 
PQv 

 
PQv 

 
)2 ,4 ,5()9 ,3 ,3( v

 
)7 ,7 ,8( v

 
)2 ,4 ,5(P 
vtPr

: 
)7 ,7 ,8()2 ,4 ,5(:  tr 
 
8. Quais são as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A(2, 5, 
2) e B(0, 11, 13)? 
Resolução: 
ABv 

 
ABv 

 
)2 ,5 ,2()31 ,11 ,0( v

 
)11 ,6 ,2(v

 
)2 ,5 ,2(A 








tzzz
tyyy
txxx
r
v
v
v
0
0
0
: 








tz
ty
tx
r
112
65
22
: 
 
9. Obtenha a equação simétrica da reta r que contém o ponto A e tem vetor 
diretor v

 conforme a figura a seguir. 
 
Resolução: 
vv y
yy
x
xx

00 

 
)4 ,2( A 
)3 ,3(v

 
3
)4(
3
2 


 yx
 
3
4
3
2 



yx
 
 
10. Dada a reta r por meio da equação 
4
9
2
1 



yx
, 
obtenha a respectiva equação reduzida y=ax+b. 
Resolução: 
4
9
2
1 



yx
 
   1492  xy 
44182  xy 
18442  xy 
1442  xy 
2
14
2
4
2
2

xy
 
72  xy 
 
11. Duas aeronaves possuem trajetórias dadas pelas retas r e s de equações 
r:(3, 1)+t(4, 2) e s:(1, 1)+t(-3, 5). 
 
Obtenha o menor ângulo formado pelas trajetórias destas aeronaves. 
Resolução: 
)2 ,4()1 ,3(: tr  
)2 ,4(u

 
)5 ,3()1 ,1(:  ts 
)5 ,3(v

 
||.||
|.|
cos
vu
vu


 
|)5 3,(|.|)2 ,4(|
|)5 3,).(2 ,4(|
cos


 
2222 5)3(.24
|.(5))2()3.()4(|
cos


 
259.416
|1012|
cos


 
34.20
|2|
cos

 
680
2
cos  
26,076810
2
cos  
0,076696cos  
0,076696cos arc 
 6,85 
 
12. Obtenha o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações 
















tz
ty
tx
r
tz
ty
tx
r
64
22: e 
51
5
47
: 21 
Resolução: 
)5 ,1 ,4(u

 
)6 ,2 ,1( v

 
||.||
|.|
cos
vu
vu


 
|)6 ,2 ,1(|.|)5 ,1 ,4(|
|)6 ,2 ,1).(5 ,1 ,4(|
cos


 
222222 6)2(1.514
|)6).(5()2).(1()1).(4(|
cos


 
3641.25116
|3024|
cos


 
41.42
|32|
cos  
1722
32
cos  
41,496988
32
cos  
0,771140cos  
0,771140 cos arc 
 54,39 
 
AULA PRÁTICA 04 
 
1. Considere o plano  que tem vetor normal )5 ,1 ,2(n

 e contém o ponto A(3, 
1, 0). 
 
Qual é a equação geral cartesiana deste plano? 
Resolução: 
0. nAP

 
)0 ,1 ,3(A 
) , ,( zyxP 
)5 ,1 ,2(n

 
APAP  
)0 ,1 ,3() , ,(  zyxAP 
)0 ,1 ,3(  zyxAP 
) ,1 ,3( zyxAP  
 
0. nAP

 
0)5 ,1 ,2).( ,1 ,3(  zyx 
0).(5)1.(1)3.(2  zyx 
05162  zyx 
0752  zyx 
 
2. Uma face do telhado de uma residência contém os pontos A(4, 0, 3), B(4, 10, 
3) e C(1, 10, 6) referentes a um sistema de coordenadas cartesianas onde as 
unidades estão em metros. 
 
Qual é a equação geral do plano associado a esta face do telhado? 
Resolução: 
ABu 

 
ABu 

 
)3 ,0 ,4()3 ,01 ,4( u

 
)33 ,001 ,44( u

 
)0 ,01 ,0(u

 
 
ACv 

 
ACv 

 
)3 ,0 ,4()6 ,01 ,1( v

 
)36 ,001 ,41( v

 
)3 ,01 ,3(v

 
 
3103
0100


kji
n


 
1033103
1000100


jikji
n


 
kijkjin

30000030  
kjin

30030  
 03 ,0 ,30n

 
 
0. nAP

 
APAP  
)3 ,0 ,4() , ,(  zyxAP 
)3 , ,4(  zyxAP 
 
0. nAP

 
0)03 ,0 ,30).(3 , ,4(  zyx 
0)3).(30().(0)4.(30  zyx 
09030012030  zyx 
02103030  zx 
 
3. Uma face do telhado de uma residência contém os pontos A(4, 0, 3), B(4, 10, 
3) e C(1, 10, 6) referentes a um sistema de coordenadas cartesianas onde as 
unidades estão em metros. 
 
Qual é a equação vetorial do plano associado a esta face do telhado? 
Resolução: 
ABu 

 
ABu 

 
)3 ,0 ,4()3 ,01 ,4( u

 
)33 ,001 ,44( u

 
)0 ,01 ,0(u

 
 
ACv 

 
ACv 

 
)3 ,0 ,4()6 ,01 ,1( v

 
)36 ,001 ,41( v

 
)3 ,01 ,3(v

 
 
vtutAzyx

21) , ,(:  
)3 ,01 ,3()0 ,01 ,0()3 ,0 ,4() , ,(: 21  ttzyx 
 
4. Obtenha a equação vetorial associada ao plano  que contém o ponto A(-5, 
11, 23) e é paralelo aos vetores )4 ,2 ,9(u

 e )13 ,7 ,13( v

. 
Resolução: 
vtutAzyx

21) , ,(:  
)13 ,7 ,13()4 ,2 ,9()32 ,11 ,5() , ,(: 21  ttzyx 
 
5. Escreva as equações paramétricas associadas ao plano  que contém o ponto 
A(-5, 11, 23) e é paralelo aos vetores )4 ,2 ,9(u

 e )13 ,7 ,13( v

. 
Resolução: 








3231
2221
1211
vtutzz
vtutyy
vtutxx
A
A
A
 








21
21
21
31423
7211
1395
ttz
tty
ttx
 
 
6. Encontre uma equação vetorial do plano  que passa pelos pontos A(12, 9, 
21), B(12, -15, 76) e C(40, 21, -10). 
Resolução: 
ABu 

 
ABu 

 
)12 ,9 ,12()67 ,15 ,12( u

 
)2167 ,915 ,1212( u

 
)55 ,24 ,0( u

 
 
ACv 

 
ACv 

 
)12 ,9 ,12()10 ,12 ,40( v

 
)2110 ,912 ,1240( v

 
)31 ,21 ,28( v

 
 
vtutAzyx

21) , ,(:  
)31 ,21 ,28()55 ,24 ,0()12,9 ,12() , ,(: 21  ttzyx 
 
7. Verifique se a reta r de equações paramétricas 








tz
ty
tx
r
57
31
84
: é paralela ao 
plano  dado por )233 ,3 ,21() , ,(: 212121 ttttttzyx  . 
Resolução: 
 
)2 ,1 ,2()3 ,1 ,1()3 ,3 ,1() , ,(: 21 ttzyx  
)3 ,1 ,1(u

 
)2 ,1 ,2(v

 
212
311
kji
vun


 
12212
11311
jikji
n


 
kijkjin

23262  
kjin

 4 
)1 ,4 ,1( n

 
 








tz
ty
tx
r
57
31
84
: 
)5 ,3 ,8( b

 
 
)1 ,4 ,1).(5 ,3 ,8(. nb

 
)1).(5()4).(3()1).(8(. nb

 
5128. nb

 
9. nb

 
.ortogonais são não e vetoresOs nb

 
paralelos. são não e Logo, r 
 
8. Uma caixa de papelão tem 20 cm de altura. A figura a seguir é uma 
representação desta caixa, feita por computação gráfica, cuja base está apoiada 
no plano xy. 
 
Considerando as unidades em centímetros, obtenha uma equação vetorial do 
plano que contém a face superior da caixa. 
Resolução: 
 
)02 ,0 ,0(A 
)0 ,0 ,1( iu

 
)0 ,1 ,0( jv

 
vtutAzyx

21) , ,(:  
)0 ,1 ,0()0 ,0 ,1()02 ,0 ,0() , ,(: 21 ttzyx  
 
9. Uma caixa de papelão tem 20 cm de altura. A figura a seguir é uma 
representação desta caixa, feita por computação gráfica, cuja base está apoiada 
no plano xy. 
 
Considerando as unidades em centímetros, qual é a equação geral do plano que 
contém a face superior da caixa? 
Resolução: 
)02 ,0 ,0(A 
)1 ,0 ,0( kn

 
APAP  
)20 ,0 ,0() , ,(  zyxAP 
)20 , ,(  zyxAP 
 
0. nAP

 
0)1 ,0 ,0).(20 , ,( zyx 
0)20(1)(0)(0  zyx 
02000  z 
020 z 
 
Obs.: Uma outra forma é pensarmos que para quaisquer valores de x e de y, z 
sempre é igual a 20, pois a face superior da caixa é paralela ao plano xy e a 
respectiva altura corresponde a 20 cm: 
20z 
020 z 
 
10. Qual é a equação segmentária do plano definido pelos pontos A(9, 0, 0), B(0, 
5, 0) e C(0, 0, 3)? 
Resolução: 
1
r
z
q
y
p
x
 
1
359

zyx
 
 
11. Qual é a equação segmentária do plano  cuja equação geral é dada por 
x+6y-18z-18=0? 
Resolução: 
018186  zyx 
18
0
18
18
18
18
18
6
18

zyx
 
01
318
 z
yx
 
1
318
 z
yx
 
 
12. A equação geral do plano associado a um painel destinado à captação de 
energia solar corresponde a :5x+2y+9z-12=0. O painel está localizado sobre 
uma construção cuja cobertura está associada ao plano de equação :2z-35=0. 
Qual é o ângulo deste painel em relação à cobertura? 
Resolução: 
21
21
.
.
)cos(
nn
nn


 
012925:  zyx 
)9 ,2 ,5(1 n

 
0352: z 
)2 ,0 ,0(2 n

 
21
21
.
.
)cos(
nn
nn


 
)2 ,0 ,0(.)9 ,2 ,5(
)2 ,0 ,0).(9 ,2 ,5(
)cos(  
222222 200.925
)2).(9()0).(2()0).(5(
)cos(


 
400.81425
1800
)cos(


 
4.110
18
)cos(  
440
18
)cos(  
976177,20
18
)cos(  
858116,0)cos(  
)858116,0arccos( 
 89,30 
AULA PRÁTICA 05 
 
1. Em um ambiente 3D, uma personagem está no ponto A de coordenadas (722, 
135, 21) e uma cabana está no ponto B de coordenadas (478, 201, 2). 
Considerando que a unidade de medida utilizada é o metro, qual é a distância 
entre a personagem e a cabana? 
Resolução: 
     222 ABABAB zzyyxxd  
     222 212135201722478 d 
     222 1966244 d 
361435659536 d 
64253d 
48,253d 
 
2. Dados os pontos A(-23, 31) e B(17, -9), calcule d(A, B). 
Resolução: 
22
),( )()( ABABBA yyxxd  
22
),( )319())23(17( BAd 
22
),( )40()40( BAd 
16001600),( BAd 
3200),( BAd 
57,56),( BAd 
 
3. Em uma parede, um cano está associado à reta de equação y=0,06x+3. Um 
registro está no ponto A(2, 1). As unidades de medida estão em metros. 
 
Qual é a distância do cano ao registro? 
Resolução: 
306,0  xy 
0306,0  yx 
06,0a 
1b 
3c 
)1 ,2(A 
20 x 
10 y 
22
00
),(
||
ba
cbyax
d rA


 
22
),(
)1(06,0
|)3()1).(1()2).(06,0(|


rAd 
10036,0
|3112,0|
),(


rAd 
0036,1
|12,2|
),( rAd 
1,001798
12,2
),( rAd 
12,2),( rAd 
 
4. Qual é a distância entre o ponto P(4, 3, 3) e a reta r:(3+3t, -2t, 1+2t)? 
Resolução: 
||
||
),(
u
vu
d rP 


 
)21 ,2t ,33(: ttr  
)2 ,2 ,3( u

 
)1 ,0 ,3(A 
)3 ,3 ,4(P 
APv 

 
APv 

 
)1 ,0 ,3()3 ,3 ,4( v

 
)13 ,03 ,34( v

 
)2 ,3 ,1(v

 
 
31231
23223 
jikji
vu


 
kijkjivu

266924  
kjivu

11410  
)11 ,4 ,10(  vu

 
 
222 11)4()10(||  vu

 
12116100|| vu

 
237|| vu

 
15,394804||  vu

 
 
222 2)2(3 u

 
449 u

 
17u

 
4,123106u

 
 
||
||
),(
u
vu
d rP 


 
4,123106
15,394804
),( rPd 
73,3),( rPd 
 
5. Uma rampa plana está associada à equação :x+3z-3=0. Acima dela, existe 
uma lâmpada localizada no ponto P(2, 2, 3). Qual é a distância entre a rampa e 
a lâmpada? Considere as unidades em metros. 
Resolução: 
x0=2 
y0=2 
z0=3 
a=1 
b=0 
c=3 
d=-3 
222
000
),(
||
cba
dczbyax
d P


 
222
),(
)3()0()1(
|)3()3)(3()2)(0()2)(1(|


Pd 
901
|3902|
),(


Pd 
10
|8|
),( Pd 
3,162278
8
),( Pd 
53,2),( Pd 
 
6. Uma circunferência tem centro no ponto C(4, 3) e raio igual a 3. Qual é a 
equação reduzida desta circunferência? 
 
Resolução: 
22
0
2
0 )()( ryyxx  
222 3)3()4(  yx 
9)3()4( 22  yx 
 
7. Uma circunferência tem centro no ponto C(4, 3) e raio igual a 3. Qual é a 
equação geral desta circunferência? 
 
Resolução: 
22
0
2
0 )()( ryyxx  
222 3)3()4(  yx 
996168 22  yyxx 
099166822  yxyx 
0166822  yxyx 
 
8. A elipse representada na imagem a seguir tem centro no ponto C(10, 8), semi-
eixo horizontal igual a 5 e semi-eixo vertical igual a 2. 
 
Obtenha a equação reduzida desta elipse. 
Resolução: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 
1
2
)8(
5
)10(
2
2
2
2



 yx
 
1
4
)8(
25
)10( 22



 yx
 
 
9. A elipse representada na imagem a seguir tem centro no ponto C(10, 8), semi-
eixo horizontal igual a 5 e semi-eixo vertical igual a 2. 
 
Obtenha a equação geral desta elipse. 
Resolução: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 
1
2
)8(
5
)10(
2
2
2
2



 yx
 
1
4
6416
25
10020 22



 yyxx
 
   
1
100
641625
100
100204 22



 yyxx
 
    100641625100204 22  yyxx 
100160040025400804 22  yyxx 
0100160040040080254 22  yxyx 
0190040080254 22  yxyx 
 
10. Qual é a equação reduzida da hipérbole apresentada na figura a seguir? 
 
Resolução: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 
1
5,3
)3(
5
)3(
2
2
2
2



 yx
 
1
25,12
)3(
25
)3( 22



 yx
 
 
11. O jato de água de um chafariz contém os pontos A(0, 30), B(50, 110) e C(130, 
0) onde as unidades estão em centímetros. 
Pixabay 
Qual é a equação da parábola que está associada a este jato de água? 
Resolução: 
)30 ,0(A 
cbxaxy  2 
cba  )0()0(30 2 
c 0030 
c30 
30c 
 
)011 ,50(B 
cbxaxy  2 
30)50()50(110 2  ba 
ba 50250030110  
ba 50250080  
80502500  ba 
85250  ba 
 
)0 ,130(C 
cbxaxy  2 
30)130()130(0 2  ba 
ba 13016900300  
ba 1301690030  
3013016900  ba 
3131690  ba 
 





3131690
85250
ba
ba
 





)5( 3131690
)13( 85250
ba
ba
 





15658450
104653250
ba
ba
 
11905200
15658450
104653250






a
ba
ba
 
1195200 a 
5200
119
a 
0,02288a 
 
85250  ba 
85)0,02288(250  b 
855,72115  b 
5,7211585 b 
,72115135 b 
5
,7211513
b 
2,744231b 
 
30744231,20,02288 2  xxyPixabay 
AULA PRÁTICA 06 
 
1. Qual é a equação reduzida de uma esfera que tem raio r=7 e cujo centro está 
no ponto C(-2, 5, 11)? 
Resolução: 
      220
2
0
2
0 rzzyyxx  
      2222 7115)2(  zyx 
      491152 222  zyx 
 
2. Qual é a equação geral de uma esfera que tem raio r=7 e cujo centro está no 
ponto C(-2, 5, 11)? 
Resolução: 
      220
2
0
2
0 rzzyyxx  
      2222 7115)2(  zyx 
      491152 222  zyx 
04912122251044 222  zzyyxx 
04912125422104222  zyxzyx 
010122104222  zyxzyx 
 
3. Obtenha a equação reduzida de um elipsoide onde o centro está em C(0, 3, 
6) e que possui semi-eixos a=5, b=4 e c=3. 
Resolução: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
     
1
3
6
4
3
5
0
2
2
2
2
2
2





 zyx
 
   
1
9
6
16
3
25
222





zyx
 
 
4. Obtenha a equação geral de um elipsoide onde o centro está em C(0, 3, 6) e 
que possui semi-eixos a=5, b=4 e c=3. 
Resolução: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
     
1
3
6
4
3
5
0
2
2
2
2
2
2





 zyx
 
   
1
9
6
16
3
25
222





zyx
 
   
1
3600
6400
3600
3225
3600
144
222





zyx
 
    360064003225144 222  zyx 
    03600361240096225144 222  zzyyx 
0360014400480040020251350225144 222  zzyyx 
0360014400202548001350400225144 222  zyzyx 
01282548001350400225144 222  zyzyx 
 
5. Considere o elipsoide que possui equação canônica dada por 
     
1
36
5
9
6
9
1
222





 zyx
. Quais são as coordenadas do centro deste 
elipsoide? 
Resolução: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
     
1
36
5
9
6
9
1
222





 zyx
 
)5 ,6 ,1( C 
 
6. Uma torre de resfriamento tem por objetivo eliminar resíduos ou fluidos de 
calor em um determinado processo. Para a otimização do resfriamento, utiliza-
se um modelo de torre cuja estrutura está baseada em um hiperboloide na 
direção do eixo z. 
 
Obtenha a equação reduzida de uma torre que tem centro C na origem de um 
sistema de eixos coordenados, com a=10, b=10 e c=30. 
Resolução: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 





c
zz
b
yy
a
xx
 
     
1
30
0
10
0
10
0
2
2
2
2
2
2





 zyx
 
1
900100100
222

zyx
 
 
7. Obtenha a equação reduzida de um hiperboloide no sentido do eixo x com 
centro na origem do sistema de coordenadas e que tem semi-eixos a=11, b=4 e 
c=3. 
Resolução: 
     
1
2
2
0
2
2
0
2
2
0 






c
zz
b
yy
a
xx
 
     
1
3
0
4
0
11
0
2
2
2
2
2
2







zyx
 
1
916121
222

zyx
 
 
8. Obtenha a equação canônica do paraboloide elíptico que está posicionado no 
sentido do eixo z cujo vértice está no ponto (1, 2, 0) e tem semi-eixo a igual a 5 
e semi-eixo b igual a 3. 
Resolução: 
   
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
z



 
   
2
2
2
2
3
2
5
1 



yx
z 
   
9
2
25
1
22




yx
z 
 
9. Sabendo que a equação canônica de um paraboloide hiperbólico posicionado 
ao longo do eixo y é 
   
121
3
81
5
22




zx
y , 
quais são os respectivos semi-eixos a e c? 
Resolução: 
   
2
2
0
2
2
0
c
zz
a
xx
y



 
   
121
3
81
5
22




zx
y 
812 a 
81a 
9a 
1212 c 
121c 
11c 
 
10. Obtenha a equação canônica de um paraboloide hiperbólico posicionado ao 
longo do eixo x onde C(0, 4, 2), b=9 e c=8. 
Resolução: 
   
2
2
0
2
2
0
c
zz
b
yy
x



 
   
2
2
2
2
8
2
9
4 



zy
x 
   
64
2
81
4
22




zy
x