Apostila Estabilidade das Construções - Rodrigo Mero Sarmento da Silva, MSc

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Notas de Aula de Estabilidade das Construc¸o˜es
Rodrigo Mero Sarmento da Silva, MSc.
10 de fevereiro de 2011
Prefa´cio
Estas notas de aula foram escritas em 2008 para as disciplinas de Estabili-
dade das Construc¸o˜es , do Centro Federal Tecnolo´gico de Alagoas, unidade
descentralizada de Palmeira dos I´ndios (CEFET-AL/UNED-PI) e Mecaˆnica
dos So´lidos I. Essas notas de aula esta˜o sendo revisadas continuamente ten-
tando atender as mudanc¸as que se faz necessa´rio. Lembra-se ao aluno que
essas notas de aula na˜o substituem os livros em hipo´tese nenhuma, sendo as
mesmas apenas um complemento de aprendizagem. Os principais livros em
que se baseiam os conteu´dos a seguir sa˜o:
1. Mecaˆnica Vetorial para Engenheiros [Beer e Johnston Jr, 1991, [1]]
2. Fundamentals of Physics [Halliday e Resnick, 2009, [3] ]
Tenta-se com o passar do tempo introduzir novos conteu´dos, de autoria do
pro´prio autor e alguns “problemas“, estudados e discutidos pelos alunos que
passaram por essa disciplina enriquecendo assim o seu conteu´do. Com a
mudanc¸a em 2009, da nomenclatura do CEFET-AL para IF-AL (Instituto
Federal de Educac¸a˜o Cieˆncia e Tecnologia), alguns conteu´dos sera˜o revistos
e atualizados.
Definic¸a˜o 1. Aquecimento (Aq):Questo˜es ba´sicas com conteu´do abordado em
sala de aula, semelhantes aos problemas desenvolvidos dentro do conteu´do da
disciplina, problemas de vestibular, com definic¸o˜es f´ısicas do problema e de
engenharia. Indicado para alunos dos cursos te´cnicos integrado.
Definic¸a˜o 2. Aprofundamento (Ap):Questo˜es mais elaboradas sobre o conteu´do
abordado, encontradas em livros de graduac¸a˜o em Mecaˆnica dos So´lidos e em
Refereˆncias de F´ısica do ensino superior. Indicados para alunos dos cursos
tecnolo´gicos e de graduac¸a˜o.
Definic¸a˜o 3. Desafio (D):Questo˜es complexas, que necessitam de habilidade
matema´tica do aluno. encontradas em livros de graduac¸a˜o em Mecaˆnica dos
So´lidos e em Refereˆncias de F´ısica do ensino superior. Indicados para alunos
que gostam de viver perigosamente.
ii
iii
Definic¸a˜o 4. Caiu na Prova (Cp):Questo˜es que ca´ıram nas provas anteriores
de estabilidade das construc¸o˜es e demais disciplinas lecionadas no instituto.
Fiquem atentos.
Sobre o Autor
Rodrigo Mero Sarmento da Silva e´ Engenheiro Civil, formado pela Universi-
dade Federal de Alagoas (2002), onde concluiu tambe´m o Mestrado em Engenharia
Estrutural em 2005. Concluiu especializac¸a˜o em Engenharia de Software e Web
pela Faculdade de Alagoas em 2007, atuamente e´ Doutorando em Cieˆncias e Ma-
teriais pela Universidade Federal de Alagoas desde 2010. E´ professor auxiliar do
IFAL - Campus Palmeira dos I´ndios. Atua na a´rea de Engenharia Civil, com eˆnfase
em Mecaˆnica das Estruturas, Robo´tica e Materiais Compo´sitos Piezoele´tricos. Em
suas atividades profissionais interagiu com 18 colaboradores em co-autorias de tra-
balhos cient´ıficos. Atualmente leciona as disciplinas de Estruturas de Concreto,
Estabilidade das Construc¸o˜es ale´m de cursos avanc¸ados de programac¸a˜o em Java,
C/C++ e IUP.
CV-LATTES:
http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=K4765459J5
iv
Suma´rio
Prefa´cio ii
Sobre o Autor iv
. 3
1 Conceitos Iniciais 6
1.1 Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Indexadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Func¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Introduc¸a˜o a` Ana´lise Estrutural 8
2.1 Definic¸a˜o de Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Classificac¸a˜o dos Elementos Estruturais . . . . . . . . . 9
2.1.2 Conceber versus Dimensionar . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Ac¸o˜es sobre as Estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Cargas Permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.5 Cargas Acidentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Tipos de Solicitac¸o˜es sobre as Estruturas . . . . . . . . . . . . 12
3 Introduc¸a˜o a Esta´tica 14
3.1 Histo´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Mecaˆnica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Lei do Paralelogramo para Adic¸a˜o de Forc¸as . . . . . . 17
3.3 1a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 2a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 3a Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Princ´ıpio da Transmissibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7 Lei da Gravitac¸a˜o Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7.1 Lei dos Cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7.2 Lei dos Senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1
2 SUMA´RIO
3.8 Esta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.9 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Esta´tica dos Pontos Materiais 25
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Resultante de Forc¸as sobre Ponto Material . . . . . . . . . . . 26
4.3 Componentes de uma Forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Me´todos de Ana´lise de Forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.5 Exerc´ıcios de Esta´tica de Ponto Material . . . . . . . . . . . . 28
4.5.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5.2 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5.3 Fase 3: Desafio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5.4 Fase 4: Caiu na Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Esta´tica de Corpos Rı´gidos 33
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 O que se Estuda na Esta´tica de Corpos R´ıgidos? . . . . . . . . 34
5.3 Momento de uma Forc¸a em Relac¸a˜o a um Ponto . . . . . . . . 35
5.4 Exerc´ıcios de Esta´tica de Corpo R´ıgido . . . . . . . . . . . . . 37
5.4.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4.2 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6 Carregamentos Distribu´ıdos 41
6.1 Cargas Pontuais e Carregamentos Distribu´ıdos . . . . . . . . . 41
6.1.1 Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.2 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.3 Triaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.2 Exerc´ıcios de Cargas Pontuais e Carregamentos Distribu´ıdos . 46
6.2.1 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 Tipos de Estruturas de Apoio 48
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.2 Reac¸o˜es de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.3 Exerc´ıcios de Reac¸o˜es de Apoio . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3.2 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8 Esforc¸os Internos Solicitantes 57
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2 Equac¸o˜es Diferenciais de Equil´ıbrio* . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3 Diagrama de Esforc¸os Internos Solicitantes . . . . . . . . . . . 61
SUMA´RIO 3
8.4 Exerc´ıcios EIS - Esforc¸os Internos Solicitantes . . . . . . . . . 64
8.4.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.4.2 Fase 4: Caiu na Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9 Trelic¸as 68
9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10 Exerc´ıcios Resolvidos 70
10.1 Esta´tica de Ponto Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.1.1 Fase 1: Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10.1.2 Fase 2: Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.1.3 Fase 3: Desafio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
10.1.4 Fase 4: Caiu na Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Listade Figuras
1.1 Circulo Trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Estrutura de uma Edificac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Arranjos de forc¸as sobre elementos estruturais. . . . . . . . . . 10
2.4 Forc¸as Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Algumas solicitac¸o˜es sobre as estruturas . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Equil´ıbrio natural de estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Exemplos de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1 Desenho de uma viga engastada no livro de Galileu. Fonte
(Arruda, 2001, [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 F´ısico Alema˜o, Albert Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Princ´ıpios da Mecaˆnica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Lei do Parelelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Princ´ıpio da Transmissibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Resultante dos vetores de forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1 Princ´ıpio da Transmissibilidade para Corpos R´ıgidos . . . . . 35
5.2 Restric¸a˜o do princ´ıpio transmissibilidade para corpos r´ıgidos. . 35
5.3 Momento de uma forc¸a em relac¸a˜o a um ponto. . . . . . . . . 36
5.4 Prob. 1 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.1 Exemplo de um Modelo de Ca´lculo de uma Carga Concentrada. 41
6.2 Exemplo de um Modelo de Ca´lculo de uma Carga Distribu´ıda 42
6.3 Centro de Gravidade de um Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . 43
6.4 Centro de Gravidade de um Quadrado . . . . . . . . . . . . . 44
6.5 Centro de Gravidade de um Triaˆngulo . . . . . . . . . . . . . 44
7.1 Classificac¸a˜o das estruturas segundo os graus de liberdade. . . 48
7.2 Exemplo de Estrutura Hiposta´tica. . . . . . . . . . . . . . . . 49
4
LISTA DE FIGURAS 5
7.3 Exemplo de Estrutura Isosta´tica. . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.4 Exemplo de Estrutura Hiperesta´tica. . . . . . . . . . . . . . . 50
7.5 Nomenclatura das Estruturas de Apoio. . . . . . . . . . . . . . 50
7.6 Problema 03 - Fase Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.7 Problema 04 - Fase Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.8 Problema 05 - Fase Aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.9 Problema 01 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . 54
7.10 Problema 02 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . 54
7.11 Problema 03 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . 54
7.12 Problema 04 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . 55
7.13 Problema 05 - Fase Aprofundamento . . . . . . . . . . . . . . 55
8.1 Exemplo de Estrutura de Corpo R´ıgido Submetido a Carrega-
mentos Combinados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2 Forc¸as Internas no Corpo R´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3 Viga Submetida a Carregamentos Combinaods . . . . . . . . . 58
8.4 Viga Seccionada, Explicitando as Forc¸a Internas . . . . . . . . 58
8.5 Diagrama de Esforc¸o Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.6 Diagrama de Esforc¸o Cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.7 Diagrama de Momento Fletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Cap´ıtulo 1
Conceitos Iniciais
Para que consigamos entender bem os conceitos trabalhados nessa nota de
aula, e´ imprescind´ıvel que o aluno entenda bem alguns conceitos matema´ticos.
Esse to´pico inicial pretende relembrar alguns desses assuntos de forma ra´pida
e concisa. Fica como sugesta˜o uma leitura aprofundada em algum livro que
contenha os assuntos mencionados nesse cap´ıtulo (1)
1.1 Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades (SI) e´ subdividido em unidades ba´sicas
e unidades derivadas. As unidades ba´sicas sa˜o: metro (m), quilograma (kg)
e segundo (s). As unidades derivadas sa˜o, entre outras, forc¸a, trabalho,
pressa˜o etc. As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades.
Isto significa que as treˆs unidades ba´sicas escolhidas sa˜o independentes dos
locais onde sa˜o feitas as medic¸o˜es.
1.1.1 Indexadores
Em muitos problemas de engenharia as unidades do SI sa˜o precedidas de
indexadores, que sa˜o mu´ltiplos de ordem 10 dessas unidades. Abaixo tem-se
uma tabela de indexadores. Esses mu´ltiplos, sera˜o de suma importaˆncia no
decorrer do nosso estudo.
6
1.1. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 7
Nome Fator Mult. S´ımbolo Nome Fator Mult. S´ımbolo
Exa 1018 E Deci 10−1 d
Peta 1015 P Centi 10−2 c
Tera 1012 T Mili 10−3 m
Giga 109 G Micro 10−6 μ
Mega 106 M Nano 10−9 n
Quilo 103 K Pico 10−12 p
Hecto 102 H Femto 10−15 f
Deca 10 Da Atto 10−18 a
1.1.2 Func¸o˜es Trigonome´tricas
Figura 1.1: Circulo Trigonome´trico
sin(α) =
EF
OE
cos(α) =
OF
OE
tan(α) =
EF
OF
OE2 = EF 2 + OF 2
OE2 = (sin(α) ·OE)2 + (cos(α) · OE)2
1 = sin(α)2 + cos(α)2
Equac¸a˜o Fundamental
Cap´ıtulo 2
Introduc¸a˜o a` Ana´lise Estrutural
2.1 Definic¸a˜o de Estrutura
Podemos definir estrutura como sendo: “A forma com que algo e´ composto“,
“E´ o conjunto de elementos que compo˜e algo“. Essa definic¸a˜o pode ser apli-
cada a todo tipo de estrutura, organizacional, pol´ıtica, econoˆmica, militar e
civil dentre outras. Em se tratando de estruturas civis a estrutura e´ subdi-
vidida em “pec¸as estruturais“ (elementos) como mostra a Figura 2.1 .
Figura 2.1: Estrutura de uma Edificac¸a˜o
Cada parte que compo˜e a estrutura deve resistir aos esforc¸os internos e
retransmitir os esforc¸os externos para as demais pec¸as atrave´s dos v´ınculos
8
2.1. DEFINIC¸A˜O DE ESTRUTURA 9
que as unem, finalizado com a conduc¸a˜o do esforc¸o para o solo que devera´
suporta´-lo. A cieˆncia responsa´vel pelo estudo desses fenoˆmenos referentes a`
estrutura civil e´ a engenharia estrutural, que e´ o ramo da engenharia civil
dedicado primariamente ao projeto e ca´lculo de estruturas. De forma simpli-
ficada, e´ a aplicac¸a˜o da mecaˆnica dos so´lidos ao projeto de edif´ıcios, pontes,
muros de contenc¸a˜o, barragens, tu´neis e outras estruturas. (Wikipe´dia).
2.1.1 Classificac¸a˜o dos Elementos Estruturais
Os elementos estruturais em suas variedades podem ser classificados em treˆs
formas distintas:
Definic¸a˜o 5. Barras ou fios: Caracterizado pela predominaˆncia de uma
dimensa˜o em relac¸a˜o a`s outras duas. Exemplos claros de elementos de barras
ou fios sa˜o vigas (Figura 2.2), pilares, arcos, cabos etc.
Figura 2.2: Vigas
Definic¸a˜o 6. Folhas: Caracterizado pela predominaˆncia de duas dimenso˜es
em relac¸a˜o a uma terceira. Os principais exemplos desse tipo de estrutura
sa˜o as lajes e cascas.
Definic¸a˜o 7. Blocos: Em elementos classificados como blocos, na˜o existe
predominaˆncia entre as dimenso˜es. Esse tipo de estrutura possui dimenso˜es
aproximadas nas treˆs direc¸o˜es. Os principais exemplos sa˜o as fundac¸o˜es tipos
sapatas isoladas e blocos.
10 CAPI´TULO 2. INTRODUC¸A˜O A` ANA´LISE ESTRUTURAL
2.1.2 Conceber versus Dimensionar
Podemos comec¸ar a entender a definic¸a˜o dessas duas palavras da seguinte
forma: e´ poss´ıvel imaginar uma forma sem uma estrutura? E´ poss´ıvel imag-
inar uma estrutura sem uma forma? “A estrutura e a forma, ou a estrutura
e a arquitetura sa˜o um so´ objeto, e assim sendo, conceber uma implica em
conceber a outra“. Na realidade tanto a estrutura e a forma depende ex-
clusivamente da sua destinac¸a˜o, em geral engenheiros tem como prioridade
especificac¸o˜es te´cnicas e economia em detrimento a forma e este´tica, enquanto
no ponto de vista de arquitetos a forma e a este´tica prevalece.
2.1.3 Ac¸o˜es sobre as Estruturas
Como dito anteriormente a estrutura e´ o caminho de forc¸as ate´ o solo, desta
feita cabe-se perguntar: qual o melhor caminho estrutural a se seguir? A
resposta para essa pergunta e´ um pouco complicada, uma vez a finalidadee´
importante em alguns casos estruturais. De uma forma geral as estruturas
sa˜o compostas do conjunto viga, laje, pilar como representado na Figura 2.3:
Figura 2.3: Arranjos de forc¸as sobre elementos estruturais.
Em geral a melhor concepc¸a˜o tem que possuir: Funcionalidade, ser efi-
ciente para o que foi prevista, Econoˆmica e Bela, onde na maioria dos casos
2.1. DEFINIC¸A˜O DE ESTRUTURA 11
economia e beleza sa˜o inversamente proporcionais, ou seja, quanto mais bela
menos econoˆmica, ou quanto mais econoˆmico menos belo. Para comec¸ar
a entender o funcionamento e analisar as estruturas e´ de fundamental im-
portaˆncia conhecer as forc¸as que atuam sobre a mesma. Conhecer as forc¸as
implica em conhecer (Figura 2.4):
Figura 2.4: Forc¸as Vetoriais
Todas as ac¸o˜es dentro de um sistema estrutural sa˜o forc¸as vetoriais,
em sendo sua direc¸a˜o, sentido e intensidade influenciam diretamente na
concepc¸a˜o estrutural da edificac¸a˜o. O capitulo seguinte estudaremos os
princ´ıpios ba´sicos de manipulac¸a˜o de forc¸as vetoriais. As ac¸o˜es sobre as
estruturas versa˜o por dois tipos distintos, que sa˜o as cargas permanentes e
as cargas acidentais.
2.1.4 Cargas Permanentes
As cargas permanentes sobre a estruturas sa˜o carregamentos que atuam em
toda vida u´til da mesma. Dentre as cargas permanentes pode-se exemplificar:
peso pro´prio da estrutura, peso do revestimento, peso das paredes etc. As
cargas permanentes teˆm uma precisa˜o nume´rica grande.
2.1.5 Cargas Acidentais
As cargas acidentais como o pro´prio nome diz acontece esporadicamente du-
rante certo per´ıodo de tempo, destacam-se as cargas: peso de ocupac¸a˜o de
pessoas, peso dos mo´veis, peso dos ve´ıculos, forc¸a do vento, ac¸a˜o da chuva
etc. As cargas acidentais sa˜o geralmente tabeladas e normatizadas. As cargas
acidentais previstas para o uso da construc¸a˜o correspondem normalmente a
cargas verticais de uso da construc¸a˜o (prescritas na NBR 6118-2003), cargas
mo´veis considerando o impacto vertical, impacto lateral, forc¸a longitudinal
de frenac¸a˜o ou acelerac¸a˜o e forc¸a centr´ıfuga.
12 CAPI´TULO 2. INTRODUC¸A˜O A` ANA´LISE ESTRUTURAL
2.2 Tipos de Solicitac¸o˜es sobre as Estruturas
As ac¸o˜es sobre as estruturas sa˜o as mais diversas poss´ıveis, dentre as princi-
pais destacam-se: trac¸a˜o, torc¸a˜o, compressa˜o, cisalhamento, flexa˜o simples e
composta dentre outras.
Figura 2.5: Algumas solicitac¸o˜es sobre as estruturas
Abaixo encontra−se a definic¸a˜o dessas solicitac¸o˜es:
1. Trac¸a˜o: caracteriza-se pela tendeˆncia de alongamento do elemento na
direc¸a˜o da forc¸a atuante.
2. Compressa˜o: a tendeˆncia e´ uma reduc¸a˜o do elemento na direc¸a˜o da
forc¸a de compressa˜o.
3. Flexa˜o: ocorre uma deformac¸a˜o na direc¸a˜o perpendicular a` da forc¸a
atuante.
4. Torc¸a˜o: forc¸as atuam em um plano perpendicular ao eixo e cada sec¸a˜o
transversal tende a girar em relac¸a˜o a`s demais.
5. Cisalhamento: forc¸as atuantes tendem a produzir um efeito de corte,
isto e´, um deslocamento linear entre sec¸o˜es transversais.
Ale´m das solicitac¸o˜es sobre as estruturas, outro importante fator para se
conceber uma estrutura sa˜o os crite´rios de projeto, a saber:
 Equil´ıbrio: Conceber um arranjo estrutural capaz de absorver a`s so-
licitac¸o˜es externas e transmiti-las aos elementos de apoio mantendo-se
em repouso (Figura 2.6).
2.2. TIPOS DE SOLICITAC¸O˜ES SOBRE AS ESTRUTURAS 13
Figura 2.6: Equil´ıbrio natural de estruturas
Figura 2.7: Exemplos de estabilidade
 Estabilidade: A configurac¸a˜o de equil´ıbrio do arranjo na˜o pode ser
alterada drasticamente na presenc¸a das imperfeic¸o˜es e das ac¸o˜es per-
turbadoras (Figura 2.7 ).
 Resisteˆncia: O material das pec¸as estruturais deve ser capaz de ab-
sorver o n´ıvel de solicitac¸a˜o interna gerado pelas ac¸o˜es externas sem
comprometer a sua integridade f´ısica.
 Rigidez: As pec¸as estruturais devem ser capazes de absorver as ac¸o˜es
externas sem apresentar grandes deslocamentos que comprometam sua
funcionalidade.
Cap´ıtulo 3
Introduc¸a˜o a Esta´tica
3.1 Histo´rico
Os princ´ıpios da esta´tica foram desenvolvidos por grandes cientistas que con-
tribu´ıram para o incremento dessa parte da mecaˆnica cla´ssica. Aristo´teles
(384 a 322 a.c) deu inicio aos estudos dos movimentos de corpos celestes,
desenvolvendo bases para formulac¸a˜o posterior de Newton sobre a lei funda-
mental da gravitac¸a˜o universal.
Na era Alexandrina, (se´culo IV a.c. ate´ 30 a.c., ano da conquista do Egito por
Roma), aparece duas figuras centrais, Euclides e Arquimedes, sendo Euclides
o responsa´vel por uma das obras mais influentes da humanidade denominada,
os “Elementos“ (300 a.c.).
Arquimedes (287 a 212 a.c) contempla com seus trabalhos o equil´ıbrio de
alavancas, roldanas e polias, ale´m da cla´ssica lei do empuxo. Arquimedes e´
tido por muitos como o pai da matema´tica, uma de suas obras mais impor-
tantes e´ o livro “Sobre o Equil´ıbrio dos Planos“, onde ele desenvolve as regras
da esta´tica. Ainda sobre Arquimedes destaca-se a celebre frase: “Deˆ-me um
ponto de apoio e eu moverei a terra“.
Segundo (Arruda, 2001), o primeiro estudo ligado a resisteˆncia dos materiais
deve ser atribu´ıdo a Leonardo da Vince (1452 - 1519), com os primeiros en-
saios de trac¸a˜o em fios meta´licos, entretanto a primeira abordagem cient´ıfica
desse assunto foi atribu´ıda ao cientista nascido em Pisa chamado Galileu
Galilei.
Galileu Galilei (1564 a 1642) Descobriu a lei dos corpos, enunciou o princ´ıpio
14
3.1. HISTO´RICO 15
da ine´rcia e o conceito de referencial inercial, ide´ias precursoras da Mecaˆnica
newtoniana. Os dois primeiros cap´ıtulos do seu livro “Dia´logos sobre Duas
Novas Cieˆncias“ tra´s referencias ao estudo de barras e vigas engastadas
(Figura 3.1).
Figura 3.1: Desenho de uma viga engastada no livro de Galileu. Fonte
(Arruda, 2001, [2])
Um pouco antes da mecaˆnica newtoniana se estabelecer como uma das
maiores contribuic¸o˜es do homem a cieˆncia, surge em Robert Hooke (1635 a
1703), que estudou a resisteˆncia dos materiais e deixou como legado a con-
hecida Lei de Hooke publicada em 1676.
Isaac Newton (1642 a 1727) Desenvolvedor da denominada Mecaˆnica Newto-
niana, sir Isaac Newton desenvolveu os princ´ıpios da Dinaˆmica enumerando
as treˆs leis cla´ssicas, ale´m da gravitac¸a˜o universal, ca´lculo diferencial e inte-
gral.
No se´culo 18, e´ marco para as maiores contribuic¸o˜es a mecaˆnica dos so´lidos,
partindo dos princ´ıpios enumerados por Sir. Newton, os irma˜os Bernoulli
Jaques e Johan, desenvolveram estudos de vigas em balanc¸o, rotac¸a˜o de vigas,
problemas de dinaˆmica e o princ´ıpio dos deslocamentos virtuais. Seguindo os
16 CAPI´TULO 3. INTRODUC¸A˜O A ESTA´TICA
princ´ıpios de uma famı´lia de cientistas, o filho de Johan, Daniel Bernoulli, de-
senvolveu junto com seu enta˜o aluno Leonard Euler (1707-1783), a teoria de
flexa˜o em vigas batizada e ainda valida ate´ hoje de teoria de Euler-Bernoulli.
Destaca-se ainda contribuic¸o˜es mais recentes a resisteˆncia dos materiais,
como a teoria de Timoshenko (1878 a 1972), para vigas com cisalhamento,
denominadas vigas de Timoshenko.
Albert Einstein (1879 a 1955) descobriu as limitac¸o˜es da mecaˆnica New-
toniana, entretanto em sistemas de Engenharia, a base esta´ fundamentada
na Mecaˆnica Cla´ssica de Newton.
Figura 3.2: F´ısico Alema˜o, Albert Einstein
3.2 Mecaˆnica Newtoniana
A Mecaˆnica de Newton e´ uma teoria que versa sobre o movimento dos cor-
pos e suas causas. A esseˆncia da teoria foi publicada pelo ingleˆs Isaac New-
ton no seu livro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Princ´ıpios
Matema´ticos da Filosofia Natural) publicado no ano de 1687, mas nota´veis
contribuic¸o˜es a` f´ısica ja´ tinham sido feitas, principalmente por Galileu, ao
fazer seus experimentos que contradisseram a teoria aristote´lica.
No entanto,a teoria como esta´ aqui exposta se vale de uma nova roupagem
matema´tica e conceitual desenvolvida nos se´culos que se seguiram. Nos anos
que se seguiram a Newton, diversos f´ısicos e matema´ticos aplicaram essa
3.2. MECAˆNICA NEWTONIANA 17
teoria ao movimento dos corpos na terra e tambe´m ao movimento dos cor-
pos celestes, desenvolvendo assim o grande triunfo da teoria newtoniana: a
Mecaˆnica Celeste.
Essa teoria se aplicou com bastante sucesso aos resultados experimentais
ate´ enfrentar problemas no final do se´culo XIX e in´ıcio do se´culo XX. A
mecaˆnica de Newton pode ser entendida pelos seis princ´ıpios fundamentais
(Figura 3.3 ).
Figura 3.3: Princ´ıpios da Mecaˆnica Newtoniana
3.2.1 Lei do Paralelogramo para Adic¸a˜o de Forc¸as
Estabelece que duas forc¸as atuando numa part´ıcula possam ser substitu´ıdas
por uma u´nica forc¸a, chamada resultante, obtida trac¸ando a diagonal do
paralelogramo que tem por lados as duas forc¸as dadas (Figura 3.4).
Figura 3.4: Lei do Parelelogramo
18 CAPI´TULO 3. INTRODUC¸A˜O A ESTA´TICA
3.3 1a Lei de Newton
Se a resultante das forc¸as que atuam numa part´ıcula e´ nula, esta permanecera´
em repouso (se estava inicialmente em repouso) ou mover-se-a´ com velocidade
constante segundo uma linha reta (se estava inicialmente em movimento).
3.4 2a Lei de Newton
Se a resultante que atua sobre um ponto material na˜o e´ zero, este tera´ uma
acelerac¸a˜o proporcional a` intensidade da resultante e na direc¸a˜o desta, com
o mesmo sentido, sendo sua equac¸a˜o descrita na forma simplificada pela
Equac¸a˜o 3.1 .
F = ma (3.1)
3.5 3a Lei de Newton
As forc¸as de ac¸a˜o e reac¸a˜o entre corpos interagindo teˆm as mesmas intensi-
dades, mesmas linhas de ac¸a˜o e sentidos opostos.
3.6 Princ´ıpio da Transmissibilidade
Teorema 3.1 (Princ´ıpio da Transmissibilidade). Estabelece que as condic¸o˜es
de equil´ıbrio ou de movimento de um corpo r´ıgido na˜o se alteram se sub-
stituirmos uma forc¸a atuando num ponto do corpo por outra forc¸a com a
mesma intensidade, direc¸a˜o e sentido, mas atuando em um outro ponto do
corpo, desde que ambas as forc¸as possuam a mesma linha de ac¸a˜o (Figura
3.5).
3.7 Lei da Gravitac¸a˜o Universal
Estabelece que dois pontos materiais de massas M e m sa˜o mutuamente
atra´ıdas com forc¸as iguais e opostas F e −F de intensidade F dada por (Eq.
3.2):
F =
Mm
r2
G (3.2)
3.7. LEI DA GRAVITAC¸A˜O UNIVERSAL 19
Figura 3.5: Princ´ıpio da Transmissibilidade
onde r e´ a distaˆncia que separa os corpos e G e´ a constante da gravitac¸a˜o
universal. O Exemplo abaixo ilustra como funcionam alguns a aplicac¸a˜o dos
princ´ıpios da mecaˆnica newtoniana.
Exemplo 3.1. Dado o po´rtico abaixo identificar os princ´ıpios da mecaˆnica
de newton.
Se as forc¸as T = 2kN e a forc¸a P = 1, 5kN , qual sera´ a resultante? No
caso nume´rico acima o me´todo gra´fico ilustra claramente a direc¸a˜o da forc¸a
resultante, entretanto para se achar a intensidade da mesma deve-se recorrer
a`s equac¸o˜es cla´ssicas da matema´tica vetorial: a lei dos senos e dos cossenos.
3.7.1 Lei dos Cossenos
Dados dois vetores como indicado na Figura abaixo, a lei dos cossenos re-
tornara´ a resultante desses vetores (Eq. 3.3).
r =
√
a2 + b2 + 2ab · cos(θ) (3.3)
20 CAPI´TULO 3. INTRODUC¸A˜O A ESTA´TICA
Para vetores com a posic¸a˜o ponta−cauda como mostrado na Figura abaixo,
a lei dos cossenos se resume a Equac¸a˜o (3.5)
r =
√
a2 + b2 − 2ab · cos(θ) (3.4)
3.7. LEI DA GRAVITAC¸A˜O UNIVERSAL 21
3.7.2 Lei dos Senos
Uma segunda lei muito importante para o estudo da estabilidade das con-
struc¸o˜es esta´ na chamada lei dos senos. A lei dos senos leva em considerac¸a˜o
o lado de um vetor fechado em forma de triaˆngulo e seu respectivo aˆngulo
oposto.
a
sin(α)
=
b
sin(β)
=
c
sin(δ)
(3.5)
Exemplo 3.2. Encontrar a resultante dos vetores mostrados na figura abaixo
e o aˆngulo que a resultante faz com o eixo horizontal.
r =
√
a2 + b2 + 2ab · cos(θ)
22 CAPI´TULO 3. INTRODUC¸A˜O A ESTA´TICA
=
√
22 + 1, 52 + 2 · 2 · 1, 5 · cos(120o)
=
√
3, 25 = 1, 803kN
a
sin(α)
=
b
sin(β)
=
c
sin(δ)
R
sin(60o)
=
P
sin(x)
sin(x) =
P
R · sin(60o)
sin(x) =
1, 5
1, 803 · sin(60o)
sin(x) = 0, 7206
x = 46, 10o
= 46, 10− 30 = 16, 10o
3.8. ESTA´TICA 23
Exemplo 3.3. Calcule o a trac¸a˜o nos cabos da figura abaixo
∑
Fx = 0
Tab · cos(30o)− Tac · cos(50o) = 0
∑
Fy = 0
Tab · sin(30o) + Tac · sin(50o) = 750
0, 866 · Tab − 0, 643 · Tac = 0
0, 5 · Tab + 0, 766 · Tac = 750
Tab = 486, 84N
Tac = 657, 89N
3.8 Esta´tica
A esta´tica e´ a parte da f´ısica que estuda sistemas sob a ac¸a˜o de forc¸as que
se equilibram. De acordo com a segunda lei de Newton, a acelerac¸a˜o destes
sistemas e´ nula.
∑
F = 0 (3.6)
De acordo com a primeira lei de Newton, todas as partes de um sistema
em equil´ıbrio tambe´m esta˜o em equil´ıbrio. Este fato permite determinar as
24 CAPI´TULO 3. INTRODUC¸A˜O A ESTA´TICA
forc¸as internas de um corpo a partir do valor das forc¸as externas.
De uma forma simplificada, as estruturas sa˜o submetidas a diversos car-
regamentos combinados e para que se possa garantir que ela na˜o se movera´,
deve-se garantir que:o.
 Primeiramente, que ela na˜o translade, ou seja, o somato´rio de todas as
forc¸as tem que ser nulo;
 Segundo, que ela na˜o rotacione, ou seja, o somato´rio dos momentos
aplicados a qualquer ponto da estrutura devera´ ser nulo. Mais adiante
descobriremos e falaremos mais sobre essas duas condic¸o˜es de equil´ıbrio
esta´tic
3.9 Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
1. Defina estrutura?
2. Defina estrutura?
3. Qual a func¸a˜o das estruturas?
4. Os elementos estruturais sa˜o classificados de acordo com as suas di-
menso˜es; Classifique os elementos estruturais e cite exemplos para cada
classificac¸a˜o.
5. De forma geral o que uma estrutura deve possuir?
6. Defina Cargas Permanentes e Cargas Acidentais; Deˆ exemplos.
7. Para execuc¸a˜o de obras de engenharia, deve se optar por crite´rios de
projetos, como: Equil´ıbrio, Estabilidade e Rigidez. Defina-os.
8. A mecaˆnica de Newton pode ser entendida por seis princ´ıpios, quais?
9. O que voceˆ entende por esta´tica?
Cap´ıtulo 4
Esta´tica dos Pontos Materiais
4.1 Introduc¸a˜o
Em Mecaˆnica, ponto material e´ uma abstrac¸a˜o feita para representar qual-
quer objeto que em virtude do fenoˆmeno tem dimenso˜es desprez´ıveis, ou seja,
dimenso˜es tais que na˜o afetam o estudo do fenoˆmeno. Por exemplo, no es-
tudo dos movimentos planetas, dada a distaˆncia que separa esses corpos suas
dimenso˜es sa˜o desprez´ıveis e eles podem ser considerados pontos materiais.
Esse cap´ıtulo contempla o estudo do efeito de forc¸as sobre pontos materi-
ais. Um exemplo pra´tico foi discutido e analisado no capitulo anterior sobre
a o´tica da ac¸a˜o de apenas duas forc¸as.
Em problemas de engenharia as ac¸o˜es sobre pontos materiais na˜o sa˜o con-
stitu´ıdas de duas u´nicas forc¸as e sim de uma combinac¸a˜o de forc¸as. E´ fato
que os corpos r´ıgidos influenciam no sistema, entretanto para in´ıcio de estudo
devemos tratar os pontos materiais.
O que devemos trabalhar e´ a substituic¸a˜o de duas ou mais forc¸as por uma
u´nica forc¸a representativa chamada de forc¸a resultante. Os princ´ıpios da lei
dos senos e cossenos sa˜o va´lidos para mais de uma forc¸a, pore´m demanda
um trabalho razoa´vel para sua utilizac¸a˜o.
Nesse sentido busca-se a utilizac¸a˜o da decomposic¸a˜o de forc¸as como uma
alternativa ra´pida e de fa´cil entendimento para determinac¸a˜o da resultante
de forc¸as.
25
26 CAPI´TULO 4. ESTA´TICA DOS PONTOS MATERIAIS
4.2 Resultante de Forc¸as sobre Ponto Mate-
rial
O Vetor Resultante independe de qual sequ¨eˆncia de vetores sera´ tomada
como base. Obedecendo ao sistema Ponta-a-cauda, o resultado sempre sera´o mesmo (Figura 4.1).
Figura 4.1: Resultante dos vetores de forc¸as
Qualquer que seja a sequ¨eˆncia tomada, a direc¸a˜o do vetor resultante na˜o
se altera, esse sistema e´ denominado regra do pol´ıgono.
4.3 Componentes de uma Forc¸a
Para sistemas de mais de dois vetores, a te´cnica de decomposic¸a˜o vetorial
e´ importante para definic¸a˜o do vetor resultante. A decomposic¸a˜o parte do
princ´ıpio que qualquer forc¸a pode ser decomposta em direc¸o˜es principais, em
geral definidas pelo eixo cartesiano. Entretanto qualquer forc¸a pode ser de-
composta em qualquer direc¸a˜o, para esse primeiro caso trabalharemos apenas
com as direc¸o˜es principais.
Uma forc¸a u´nica pode ser substitu´ıda por duas ou mais forc¸as que, juntas,
geram o mesmo efeito sobre o corpo, essas forc¸as sa˜o chamadas de compo-
nentes da forc¸a original, e o processo de substituic¸a˜o da original por ela e´
denominado decomposic¸a˜o dos componentes da forc¸a. Para cada forc¸a existe
um nu´mero infinito de poss´ıveis conjuntos de componentes.
Exemplo 4.1. Problema vetorial com treˆs vetores.
decompondo o vetor v na direc¸a˜o ortogonal tem−se:
vx = v · cos(35o)
vy = v · sen(35o)
4.3. COMPONENTES DE UMA FORC¸A 27
decompondo o vetor w na direc¸a˜o ortogonal tem−se:
wx = w · cos(45o)
wy = w · sen(45o)
decompondo o vetor u na direc¸a˜o ortogonal tem−se:
ux = w · cos(20o)
uy = w · sen(20o)
procedendo o somato´rio das forc¸as nas duas direc¸o˜es principais. tem−se:
∑
Fx = vx − wx + ux
∑
Fx = v · cos(35o)− w · cos(45o) + u · cos(20o)
∑
Fx = 3, 5 · 0, 8192− 4, 0 · 0, 7071 + 2, 0 · 0, 9397
∑
Fx = 2, 8670− 2, 8284 + 1, 8794 = 1,9180
na direc¸a˜o vertical temos:
∑
Fy = vy + wy − uy
∑
Fy = v · sin(35o) + w · sin(45o)− u · sin(20o)
∑
Fy = 3, 5 · 0, 5736 + 4, 0 · 0, 7071− 2, 0 · 0, 3420
∑
Fy = 2, 0076 + 2, 8284− 0, 6840 = 4,1520
Aplicando o teorema de Pita´goras para os vetores ortogoanis encontrados
tem−se:
R = F 2x + F
2
y
28 CAPI´TULO 4. ESTA´TICA DOS PONTOS MATERIAIS
R = 1, 91802 + 4, 15202
R = 3, 6787 + 17, 2391
R = 20, 9178
R = 4,5736 kN
Para achar o aˆngulo da resultaante com a hrizontal:
sin(α) =
F 2y
R
sin(α) =
4, 1520
4, 5736
sin(α) = 0, 9078
α = 65, 20o
4.4 Me´todos de Ana´lise de Forc¸as
Como vimos existem dois me´todos ba´sicos para ana´lise da composic¸a˜o de
forc¸as, o primeiro e´ o me´todo gra´fico utilizando o processo vetor-ponta-cauda,
onde pode-se encontrar a resultante de um sistema de va´rias forc¸as. Proced-
imento semelhante pode ser observado com a aplicac¸a˜o da regra do paralel-
ogramo, sendo um me´todo com pouca precisa˜o.
O segundo me´todo consiste na interpretac¸a˜o nume´rica das forc¸as utilizando
duas vertentes, a lei dos cossenos e senos ou decomposic¸a˜o de forc¸as.
4.5 Exerc´ıcios de Esta´tica de Ponto Material
Problemas retirados do (Beer e Johnston Jr, 1991), com algumas adaptac¸o˜es.
4.5. EXERCI´CIOS DE ESTA´TICA DE PONTO MATERIAL 29
4.5.1 Fase 1: Aquecimento
1. As forc¸as P e Q agem sobre um
parafuso. Determinar sua resul-
tante e o aˆngulo de inclinac¸a˜o
da resultante com a horizontal.
2. Dada a chapa parafusada abaixo,
pede-se, a resultante das forc¸as
que agem na chapa e o aˆngulo
de inclinac¸a˜o da mesma com a
horizontal.
3. Quatro forc¸as atuam no para-
fuso da figura abaixo. Deter-
mine a resultante das forc¸as que
agem no parafuso.
4. Dada a estrutura de sustentac¸a˜o
abaixo, sabendo que a trac¸a˜o no
cabo AC e´ de 370N. Determine
a componente horizontal e ver-
tical da forc¸a exercida em C.
5. Uma estaca e´ arrancada do solo
com o auxilio de duas cordas,
como mostrado na figura ao lado.
Com θ = 30o e determine o mo´dulo
da forc¸a P necessa´rio para que
a resultante na estaca seja ver-
tical.
6. Calcule a resultante das forc¸as
mostrado no sistema abaixo.
7. Dado o parafuso da figura abaixo
submetido a diversas forc¸as, pergunta-
30 CAPI´TULO 4. ESTA´TICA DOS PONTOS MATERIAIS
se: Qual a resultante das forc¸as
e o aˆngulo que a resultante faz
com o eixo Y.
8. Um homem puxa com a forc¸a
de 300N uma corda amarrada
a um edif´ıcio, como mostra a
figura. Quais sa˜o as componentes
horizontais e verticais e a resul-
tante da forc¸a exercida pela corda.
9. A figura representa uma barra
homogeˆnea de peso igual a 200N,
articulada em P e mantida em
equil´ıbrio por meio do fio ideal
AB.O corpo pendurado na ex-
tremidade A da barra tem peso
de 100N. Determine a intensi-
dade da forc¸a de tensa˜o no fio
AB.
4.5.2 Fase 2: Aprofunda-
mento
1. Determine a trac¸a˜o nos fios ideais
AB e BC, sabendo-se que o sis-
tema esta´ e equil´ıbrio na posic¸a˜o
4.5. EXERCI´CIOS DE ESTA´TICA DE PONTO MATERIAL 31
indicada. Dados: sen(θ) = 0, 6; cos(θ) =
0, 8; P = 90N
2. Para o sistema da figura, em equil´ıbrio,
qual a relac¸a˜o entre o peso PA
e PB dos corpos A e B? Os fios
e a polia sa˜o ideais.
3. Dado um corpo arbitra´rio com
massa 12kg concentrada em um
ponto P ligado a outro de massa
10kg concentrada em um ponto
Q ligado por um fio ideal que
atravessa uma polia ideal, assim
como na figura abaixo. Qual
deve ser o coeficiente de atrito
para que este sistema esteja em
equil´ıbrio?
4.5.3 Fase 3: Desafio
1. Um equilibrista de peso “P“, esta´
andando sobre uma corda bamba
de comprimento “L“, quando o
equilibrista chega a um terc¸o do
percurso, o mesmo causa um deslo-
camento vertical na corda “y“.
Qual a tensa˜o na corda nesse
ponto.
4.5.4 Fase 4: Caiu na Prova
1. [2008] As treˆs forc¸as da figura
abaixo agem na cabec¸a de um
parafuso. Determinar sua resul-
tante e o aˆngulo de inclinac¸a˜o
da resultante com a horizontal.
Para das duas configurac¸o˜es ao
lado.
2. [2008] Dado o sistema abaixo sob
ac¸a˜o de duas forc¸as pede-se, en-
contrar a resultante das forc¸as e
o aˆngulo de inclinac¸a˜o da mesma
com a horizontal.
3. [2010] Qual o aˆngulo theta para
que a resultante das duas forc¸as
32 CAPI´TULO 4. ESTA´TICA DOS PONTOS MATERIAIS
tenha intensidade de 1500N? Nes-
sas condic¸o˜es qual o aˆngulo que
a resultante faz com a horizon-
tal?
Respostas, Fase 1: Aquecimento
1. R = 98N, θ = 35o
2. R = 5, 84kN
3. R = 199, 6N,= 4, 11o
4. 261Ne− 168N
5. 101N
6. 1, 28N
7. 65, 23kN
8. Rx : 240N,Ry : 180N
9. T : 424, 26N
Respostas, Fase 2: Aprofunda-
mento
1. R =
2. R = tg(60o)
3. R = 0, 83
Respostas, Fase 3: Desafio
1. 2PL
9y
Respostas, Fase 4: Caiu na Prova
1. R =
2. R =
3. R =
Cap´ıtulo 5
Esta´tica de Corpos R´ıgidos
5.1 Introduc¸a˜o
O corpo r´ıgido e´ um corpo ideal, resultante da combinac¸a˜o de um nu´mero fini-
tos de part´ıculas ocupando posic¸o˜es fixas no espac¸o. Como dito no cap´ıtulo
anterior a esta´tica de pontos materiais considera o corpo como sendo apenas
um ponto, desprezando sua massa e a relac¸a˜o de atuac¸a˜o da forc¸a no mesmo.
Na esta´tica de ponto material, todas as forc¸as atuam em um mesmo ponto,
fato que na˜o acontece comumente na pra´tica da engenharia. Em contra-
partida tem-se como va´lvula de escape o estudo da esta´tica de corpos r´ıgidos,
onde se considera cada corpo como uma composic¸a˜o de pontos materiais,
sendo assim, deve-se a partir desse momento levar em considerac¸a˜o o tamanho,
o peso, a geometria, dentre outros fatores.
Os corpos r´ıgidos sa˜o tratados dentro da mecaˆnica cla´ssica como sendo cor-
pos indeforma´veis, entretanto sabemos que todos os corpos quando sujeitos
a carregamentos deformam.
Os problemas de deformac¸a˜o de corpos r´ıgidos sa˜o estudados pela cieˆncia
denominada Resisteˆncia dos Materiais, e na˜o sera´ alvo de estudo dentro do
curso te´cnico em edificac¸o˜es.
33
34 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA DE CORPOS RI´GIDOS
5.2 O que se Estuda na Esta´tica de Corpos
R´ıgidos?
Da mesma forma que no cap´ıtulo anterior, a esta´tica de uma forma geral
estuda a ac¸a˜o de forc¸a sobre os corpos,sendo que na esta´tica de corpo r´ıgido
na˜o se tem a restric¸a˜o de um ponto de aplicac¸a˜o de forc¸a e sim a forc¸a pode
atuar em qualquer ponto da geometria do corpo.
Os efeitos das forc¸as na˜o pontuais em um corpo pode ser entendido a anal-
isado por 3 paraˆmetros:
 Sistema equivalente de forc¸a−bina´rios
 Momento de uma forc¸a em relac¸a˜o a um ponto
 Forc¸as externas e forc¸as internas.
Tomemos como exemplo o caminha˜o nas condic¸o˜es de carregamento abaixo:
Exemplo 5.1. Aplicac¸a˜o das leis de Newton na esta´tica de corpos r´ıgidos.
No problema acima tem um caminha˜o sendo rebocado por uma corda,
sendo assim podemos destacar as forc¸as atuantes no sistema como sendo:
Destacando o peso pro´prio por “P“, as reac¸o˜es do solo nas rodas como sendo
“R1“ e “R2“ e a forc¸a que reboca o caminha˜o por “F“.
O Princ´ıpio da transmissibilidade pode ser usado livremente para o ca´lculo
de forc¸as externas e determinac¸a˜o da condic¸a˜o de equil´ıbrio ou movimento
de um corpo r´ıgido, entretanto deve ser evitado para o ca´lculo das forc¸as
internas (Fig. 5.1).
Quando se fala de forc¸as externas na˜o existem problemas quanto ao uso
5.3. MOMENTO DE UMA FORC¸A EM RELAC¸A˜O A UM PONTO 35
Figura 5.1: Princ´ıpio da Transmissibilidade para Corpos R´ıgidos
Figura 5.2: Restric¸a˜o do princ´ıpio transmissibilidade para corpos r´ıgidos.
do princ´ıpio enunciado por Newton, entretanto, analisando a aplicac¸a˜o do
princ´ıpio da transmissibilidade na Figura (5.2), abaixo.
No sistema descrito na Figura (5.2), em ambas as situac¸o˜es a resultante
externa sera´ sempre nula, ou seja, o deslocamento da forc¸a “P1“, na˜o influ-
enciou no sistema de equac¸o˜es externas, entretanto para forc¸as internas os
dois sistemas estudados sa˜o completamente diferentes
No primeiro o corpo esta´ tracionado e no segundo o corpo esta´ comprim-
ido. O estudo de forc¸as internas se dara´ nos pro´ximos cap´ıtulos.
5.3 Momento de uma Forc¸a em Relac¸a˜o a um
Ponto
Definic¸a˜o 8. Momento e´ a tendeˆncia que uma forc¸a, atuando sobre um corpo
que tenha a possibilidade de gira´-lo em torno de um ponto fixo. O momento
depende somente da intensidade da forc¸a e do seu brac¸o de alavanca.
No caso de ponto material, basta garantir que o corpo na˜o translade,
estara´ garantido que o corpo estara´ em equil´ıbrio. No caso de uma barra
36 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA DE CORPOS RI´GIDOS
ou uma ponte (corpos extensos) teremos que garantir que o corpo na˜o rota-
cione tambe´m. A grandeza f´ısica que relaciona forc¸a e rotac¸a˜o num ponto e´
chamada de momento ou torque.
Obte´m-se o momento de uma forc¸a em relac¸a˜o a um ponto multiplicando-se
a intensidade da forc¸a pela distaˆncia do ponto a` linha de ac¸a˜o da forc¸a (Fig.
5.3). O momento depende somente da intensidade da forc¸a e do seu brac¸o
Figura 5.3: Momento de uma forc¸a em relac¸a˜o a um ponto.
de alavanca (Eq. 5.1).
M = F · r (5.1)
Retomando o exemplo 4, anterior: Qual o momento das forc¸as em relac¸a˜o ao
ponto A:
Tem-se que definir a convenc¸a˜o do sinal do momento. Em geral utiliza-se a
regra da ma˜o direita. Como mostrado abaixo, os momento sa˜o calculados
multiplicando as forc¸as pelo seu respectivo brac¸o de alavanca ate´ o ponto
escolhido, lembrando que forc¸as verticais o brac¸o de alavanca sera´ horizontal
e forc¸as horizontais tera˜o brac¸o de alavanca vertical.
Mf = F · h
5.4. EXERCI´CIOS DE ESTA´TICA DE CORPO RI´GIDO 37
Mp = P · L
Mr2 = R2 · x
MR1 = R1 · 0
Exemplo 5.2. Problema nume´rico: esta´tica de corpos r´ıgidos.
Suponha que o corpo estejam em equilibrio, sob a ac¸a˜o das forc¸as ilustradas
na figura acima: Qual sera´ o valor das resultantes H1, R1 e R2?
Nessa situac¸a˜o pode-se aplicar o princ´ıpio da esta´ticas onde diz que para o
corpo em equil´ıbrio todas as forc¸as que agem nas direc¸o˜es principais, bem
como as rotac¸o˜es devem ser nula, sendo assim tem-se:
∑
Fx = 0
−F + H1 = 0
H1 = 5kN∑
Fy = 0
R1 + R2 − P = 0
R1 + R2 = 10∑
M = 0
F · 0, 2− P · 2 + R2 · 3− H1 · 0, 5 = 0
5 · 0, 2− 10 · 2 + R2 · 3− 5 · 0, 5 = 0
R2 = 7, 16kN
R1 + R2 = 10kN
R1 + 7, 16 = 10kN
R1 = 2, 84kN
5.4 Exerc´ıcios de Esta´tica de Corpo R´ıgido
Problemas retirados do (Beer e Johnston Jr, 1991), com algumas adaptac¸o˜es.
38 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA DE CORPOS RI´GIDOS
5.4.1 Fase 1: Aquecimento
1. Calcular o momento no ponto
A.
2. Calcular o momento no ponto
A.
3. Dada a` viga sujeita a ac¸a˜o de
forc¸as abaixo, pede-se. Calcu-
lar o momento no ponto A.
4. Calcular o momento no ponto
A, do po´rtico abaixo.
5. A forc¸a inclinada atua em um
po´rtico, como mostrado na figura
ao lado. Calcular o momento no
ponto A.
5.4.2 Fase 2: Aprofunda-
mento
1. Dada a figura de uma retro es-
cavadeira abaixo, pede-se calcu-
lar o momento das forc¸as atu-
antes na retro-escavadeira no ponto
A (Figura 5.4).
2. Encontrar o momento no ponto
A da figura abaixo.
5.4. EXERCI´CIOS DE ESTA´TICA DE CORPO RI´GIDO 39
3. Uma barra homogenia AB de
peso P=10N e comprimento L=50
cm esta apoiada num corpo de
peso Q1=50N. A que distaˆncia
x de B deve ser colocada um
corpo de peso Q2=10N para que
a barra fique em equil´ıbrio na
horizontal? O peso Q1 esta´ dis-
tante de O, 5cm.
40 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA DE CORPOS RI´GIDOS
Figura 5.4: Prob. 1 - Fase Aprofundamento
Respostas, Fase 1: Aquecimento
1. R =
2. MA = 31, 25kNm
3. MA = 9, 75kNm
4. R =
5. R =
6. R =
Respostas, Fase 2: Aprofundamento
1. R =
2. R =
3. R =
Respostas, Fase 3: Desafio
Respostas, Fase 4: Caiu na Prova
Cap´ıtulo 6
Carregamentos Distribu´ıdos
6.1 Cargas Pontuais e Carregamentos Distribu´ıdos
As cargas atuantes nas estruturas sa˜o definidas em dois tipos, concentrada,
ou seja, aplicada em um u´nico ponto, esse tipo de carga pode ser uma forc¸a
ou uma rotac¸a˜o (carga momento) ou distribu´ıda, composta por um nu´mero
infinito de forc¸as concentradas ou rotac¸o˜es.
Suponha a viga mostrada na Figura (6.1), onde tem-se uma segunda viga
apoiada na mesma. Ao lado encontra-se o modelo de ca´lculo desse estrutura,
onde substitui-se o peso da viga apoiada por uma carga concentrada no eixo
de apoio da viga. Lembra-se que nesse modelo na˜o se contabilizou o peso da
viga principal bi-apoiada.
Figura 6.1: Exemplo de um Modelo de Ca´lculo de uma Carga Concentrada.
41
42 CAPI´TULO 6. CARREGAMENTOS DISTRIBUI´DOS
Suponha agora a estrutura mostrada na Figura (6.2), onde ale´m de uma
viga apoiada, a estrutura serve de suporte para uma parede. Nesse caso, uma
carga apoiada na˜o se ade´qua para o modelo de ca´lculo do sistema, e sim uma
se´rie de cargas representativas.
Figura 6.2: Exemplo de um Modelo de Ca´lculo de uma Carga Distribu´ıda
Sabemos manipular vetores, as operac¸o˜es ba´sicas e decomposic¸a˜o veto-
rial, a pergunta e´: como trabalharemos com um nu´mero infinito de vetores,
como mostrado na Figura (6.2)? E´ muito simples, iremos converter essas
cargas distribu´ıdas em um u´nico vetor representativo aplicado no centro de
gravidade do carregamento.
Definic¸a˜o 9. Centro de Gravidade: e´ um ponto em torno do qual o
peso do corpo esta´ igualmente distribu´ıdo em todas as direc¸o˜es. O centro de
gravidade de um corpo coincide com seu centro de massa quando a acelerac¸a˜o
da gravidade tiver o mesmo valor em toda extensa˜o do corpo. Isso significa
que corpos com dimensa˜o pequena comparada a` Terra, como teˆm o mesmo
valor de acelerac¸a˜o da gravidade para todas as diferentes partes do corpo, seu
centro de gravidade coincide com seu centro de massa.
Definic¸a˜o 10. Centro de Massa: um corpo extenso ou de um sistema de
part´ıculas e´ uma idealizac¸a˜o utilizada em F´ısica para reduzir o problema da
ac¸a˜o de forc¸as externas sobre este corpo ou sistema de part´ıculas. A ide´ia
e´ tentar reduzi-los a uma part´ıcula de massa igual a` massa total do corpo6.1. CARGAS PONTUAIS E CARREGAMENTOS DISTRIBUI´DOS 43
extenso ou do sistema de part´ıculas, posicionada justamente no centro de
massa.
Abaixo encontram-se com os principais centros de gravidades a serem
utilizados no nosso curso.
6.1.1 Retaˆngulo
Um retaˆngulo e´ um paralelogramo cujos lados formam aˆngulos retos entre
si e que, por isso, possui dois pares de lados de mesma medida. Para figura
Figura 6.3: Centro de Gravidade de um Retaˆngulo
geome´trica retaˆngulo Figura (6.3) o centro de gravidade, onde o corpo se
equilibrara´ estara´ nas coordenadas xg e yg:
xg =
b
2
, yg =
h
2
(6.1)
6.1.2 Quadrado
Um quadrado e´ um quadrila´tero (pol´ıgono de 4 lados)com tamanhos iguais.
Para figura geome´trica quadrado Figura (6.4) o centro de gravidade, onde o
corpo se equilibrara´ estara´ nas coordenadas xg e yg:
xg =
L
2
, yg =
L
2
(6.2)
6.1.3 Triaˆngulo
Um triaˆngulo e´ a figura geome´trica que ocupa o espac¸o interno limitado
por treˆs linhas retas que concorrem, duas a duas, em treˆs pontos diferentes
44 CAPI´TULO 6. CARREGAMENTOS DISTRIBUI´DOS
Figura 6.4: Centro de Gravidade de um Quadrado
Figura 6.5: Centro de Gravidade de um Triaˆngulo
formando treˆs lados e treˆs aˆngulos internos que somam 180◦. Para figura
geome´trica triaˆngulo Figura (6.5) o centro de gravidade, onde o corpo se
equilibrara´ estara´ nas coordenadas xg e yg:
xg =
b
3
, yg =
2h
3
(6.3)
Exemplo 6.1. Problema de Conversa˜o de Carga Distribu´ıda em Concen-
trada.
Como o carregamento e´ um retaˆngulo de base 5m e altura 15N/m, pode-
mos calcular o centro de gravidade da figura. Nota-se que so´ precisa calcular
o eixo X.
xg =
b
2
=
5
2
= 2, 5m
Convertendo em forc¸a
6.1. CARGAS PONTUAIS E CARREGAMENTOS DISTRIBUI´DOS 45
F = 15N/m · 5m = 75N
Exemplo 6.2. Problema de Conversa˜o de Carga Distribu´ıda em Concen-
trada.
No caso abaixo tem-se dois problemas distintos, onde pode-se dividir a
figura em duas, sendo um retaˆngulo e um triaˆngulo, e a partir dai comec¸ar a
trabalhar
1o passo: Achar o centro de gravidade para o retaˆngulo de base 9m e altura
10N/m
xg =
b
2
=
9
2
= 4, 5m
Convertendo em forc¸a
v2 = 10N/m · 9m = 90N
2o passo: Achar o centro de gravidade para o triaˆngulo de base 9m e al-
tura 15N/m, (25N/m - 10N/m)
46 CAPI´TULO 6. CARREGAMENTOS DISTRIBUI´DOS
xg =
1b
3
=
1 · 9
3
= 3, 0m
Convertendo em forc¸a
v1 =
15N/m · 9m
2
= 67, 5N
Por fim tem-se os carregamentos distribu´ıdos convertidos em cargas pon-
tuais, como mostrado na figura abaixo.
Sempre que houver figuras na˜o conhecidas, as mesmas podem ser subdividi-
das em figuras conhecidas como, retaˆngulos, triaˆngulos, quadrados etc.
Quando na˜o e´ poss´ıvel utilizar essa te´cnica, a mecaˆnica disponibiliza out-
ros me´todos para encontrar o centro de gravidade de figuras complexas, o
que na˜o e´ o objetivo principal dessa apostila.
6.2 Exerc´ıcios de Cargas Pontuais e Carrega-
mentos Distribu´ıdos
6.2. EXERCI´CIOS DE CARGAS PONTUAIS E CARREGAMENTOS DISTRIBUI´DOS47
6.2.1 Fase 2: Aprofunda-
mento
1. Dado o po´rtico engastado abaixo,
submetido a carregamentos dis-
tribu´ıdos como mostrado na figura,
pede-se: mostre que o momento
no ponto A (Engaste) e´ dado
pela equac¸a˜o (Considerando rotac¸a˜o
hora´ria positiva):
∑
MA =
L2
8
· [4Q− 3q]
Cap´ıtulo 7
Tipos de Estruturas de Apoio
7.1 Introduc¸a˜o
As estruturas de engenharia podem ser classificadas em relac¸a˜o aos graus
de liberdade em que ela esta´ executada. Quanto mais r´ıgida for a estrutura
maior sera´ o impedimento ao movimento. Em engenharia existem seis graus
Figura 7.1: Classificac¸a˜o das estruturas segundo os graus de liberdade.
de liberdade, sendo treˆs translac¸o˜es, nas direc¸o˜es X, Y e Z, e treˆs rotac¸o˜es,
nas direc¸o˜es RX, RY e RZ. A Figura (7.1) mostra os tipos de estruturas
segundo os graus de liberdade impedidos, sa˜o elas:
48
7.1. INTRODUC¸A˜O 49
Definic¸a˜o 11. Hiposta´tica: onde as equac¸o˜es da esta´tica, sa˜o superiores
aos nu´meros de inco´gnita do problema, as caracter´ısticas desse tipo de estru-
tura e´ a instabilidade constante: ex, balanc¸o, gangorra etc.
Figura 7.2: Exemplo de Estrutura Hiposta´tica.
Definic¸a˜o 12. Isosta´tica: as estruturas isosta´ticas, o nu´mero de equac¸o˜es
e´ exatamente igual ao nu´mero de inco´gnitas. Esse tipo de estrutura e´ bastante
utilizado na engenharia, e sera´ bastante utilizada no nosso curso.
Figura 7.3: Exemplo de Estrutura Isosta´tica.
Definic¸a˜o 13. Hiperesta´tica: as estruturas hiperesta´ticas, o nu´mero de
equac¸o˜es e´ menor que o nu´mero de inco´gnitas, nesse caso na˜o se consegue
resolver o problema apenas com as equac¸o˜es cla´ssicas da esta´tica, necessi-
tando do uso de outras equac¸o˜es.
No curso te´cnico, na˜o trabalharemos com estruturas hiperesta´ticas, ape-
nas com estruturas isosta´ticas.
50 CAPI´TULO 7. TIPOS DE ESTRUTURAS DE APOIO
Figura 7.4: Exemplo de Estrutura Hiperesta´tica.
7.2 Reac¸o˜es de Apoio
As reac¸o˜es de apoio, sa˜o os graus de liberdade travados do sistema, como
dito anteriormente uma estrutura isosta´tica possu´ı, 3 reac¸o˜es de apoio, uma
estrutura hiperesta´tica mais de 3 e uma estrutura hiposta´tica menos de 3.
A Figura (7.5), mostra a simbologia, o tipo e as reac¸o˜es a serem travadas.
Em relac¸a˜o ao tipo, as reac¸o˜es podem ser classificadas como do primeiro,
segundo e terceiro geˆneros.
Figura 7.5: Nomenclatura das Estruturas de Apoio.
Exemplo 7.1. Calcular as reac¸o˜es de apoio para estrutura da figura abaixo.
7.2. REAC¸O˜ES DE APOIO 51
Como observado na figura o lado esquerdo possui um apoio do primeiro
geˆnero enquanto o apoio esquerdo e´ um apoio do segundo geˆnero.
∑
Fx = 0
Rxa = 0
∑
Fy = 0
Rya + Ryb − 15 · 5 = 0
Rya + Ryb = 75
∑
Ma = 0
−Ryb · 5 + 75 · 5
2
= 0
Ryb = 37, 5N
Rya + Ryb = 75
Rya + 37, 5 = 75
Rya = 37, 5N
52 CAPI´TULO 7. TIPOS DE ESTRUTURAS DE APOIO
7.3 Exerc´ıcios de Reac¸o˜es de Apoio
7.3.1 Fase 1: Aquecimento
1. Dada a trelic¸a abaixo, sujeta a duas forc¸a concentradas, pede-se para
calcular as reac¸o˜es de apoio.
2. Para a viga bi-apoiada abaixo, encontrar as reac¸o˜es de apoio.
3. Calcular as reac¸o˜es de apoio para estrutura abaixo (Figura 7.6).
4. Calcular as reac¸o˜es de apoio para estrutura abaixo (Figura 7.7).
5. Calcular as reac¸o˜es de apoio do po´rtico abaixo (Figura 7.8).
7.3. EXERCI´CIOS DE REAC¸O˜ES DE APOIO 53
Figura 7.6: Problema 03 - Fase Aquecimento
Figura 7.7: Problema 04 - Fase Aquecimento
Figura 7.8: Problema 05 - Fase Aquecimento
7.3.2 Fase 2: Aprofundamento
Calcular as Reac¸o˜es de Apoio da Viga Abaixo.
54 CAPI´TULO 7. TIPOS DE ESTRUTURAS DE APOIO
Figura 7.9: Problema 01 - Fase Aprofundamento
Figura 7.10: Problema 02 - Fase Aprofundamento
Figura 7.11: Problema 03 - Fase Aprofundamento
7.3. EXERCI´CIOS DE REAC¸O˜ES DE APOIO 55
Figura 7.12: Problema 04 - Fase Aprofundamento
Figura 7.13: Problema 05 - Fase Aprofundamento
56 CAPI´TULO 7. TIPOS DE ESTRUTURAS DE APOIO
Respostas, Fase 1: Aquecimento
1. Va = 78kN ,
Vb = 66kN ,
Ha = 18kN
Respostas, Fase 2: Aprofunda-
mento
Prob. 1: Va = Vb = 27, 5kN ,
Ha = 25, 98kN
Prob. 2: Va = −5kN ,
Vb = 95kN ,
Ha = 0kN
Prob. 3: Va = 0, 59kN ,
Vb = 51, 05kN ,
Hb = −14kN
Prob. 4: Va = 57, 4kN ,
Vb = 55, 1kN ,
Ha = 0kN
Prob. 5: Va = −8, 75kN ,
Vb = 8, 75kN ,
Ha = 0kN
Respostas, Fase 3: Desafio
Respostas, Fase 4: Caiu na Prova
Cap´ıtulo 8
Esforc¸os Internos Solicitantes
8.1 Introduc¸a˜o
Dado um corpo r´ıgido sujeito a carregamentos combinados, as forc¸as exter-
nas sa˜o convertidas em ac¸o˜es a exemplos: compressa˜o, trac¸a˜o, cisalhamento,
flexa˜o dentre outras.
Figura 8.1: Exemplo de Estrutura de Corpo R´ıgido Submetido a Carrega-
mentos CombinadosAo tentar romper uma estrutura, existem forc¸as contra´rias, ja´ descritas pela
3a lei de Newton, Para estrutura esta´ em equil´ıbrio as forc¸as internas tambe´m
devera˜o obrigatoriamente esta´ em equil´ıbrio.
Os esforc¸os internos encontrados nas estruturas, sa˜o caracterizados por ligac¸o˜es
internas de tenso˜es, ao longo de uma sec¸a˜o transversal.
57
58 CAPI´TULO 8. ESFORC¸OS INTERNOS SOLICITANTES
Figura 8.2: Forc¸as Internas no Corpo R´ıgido
8.2 Equac¸o˜es Diferenciais de Equil´ıbrio*
O primeiro passo do estudo e´ determinar os esforc¸os internos solicitantes nas
sec¸o˜es (S1) e (S2), da viga que encontra-se na Figura (8.3).
Figura 8.3: Viga Submetida a Carregamentos Combinaods
Figura 8.4: Viga Seccionada, Explicitando as Forc¸a Internas
8.2. EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS DE EQUILI´BRIO* 59
para sec¸a˜o localizada em (S1), temos:
N =
3pL
4
Q =
3qL
4
M =
−9qL2
32
para sec¸a˜o localizada em (S2), temos:
N =
1pL
2
Q =
1qL
2
M =
−1qL2
8
Conclui-se que, os esforc¸os internos solicitantes variam ao longo do ele-
mento estrutural e que os esforc¸os internos solicitantes sa˜o func¸o˜es de paraˆmetros
das ac¸o˜es externas e de paraˆmetros geome´tricos.
Exemplo 8.1. Expressar matematicamente a lei de variac¸a˜o dos esforc¸os
internos solicitantes ao longo do elemento estrutural, [Problema retirado das
notas de aula do prof. Eduardo Nobre]
Construindo o diagrama de corpo livre de um pequeno segmento de
comprimento Δs, a partir da sec¸a˜o referenciada pela coordenada s, e es-
tabelecendo as equac¸o˜es de equil´ıbrio, tem-se: Procedendo o somato´rio das
60 CAPI´TULO 8. ESFORC¸OS INTERNOS SOLICITANTES
equac¸o˜es de equil´ıbrio da esta´tica temos:
∑
Flongitudinal = 0
(N(s) + ΔN)− N(s) + p(s) ·Δs = 0
ΔN(s) = −p(s) ·Δs
ΔN(s)
Δs
= −p(s)
lim
Δs→0
ΔN(s)
Δ(s)
=
dN(s)
ds
= −p(s)
Utilizando o mesmo racioc´ınio para direc¸a˜o transversal, temos:
∑
Ftransversal = 0
−(Q(s) + ΔQ) + Q(s)− q(s) ·Δs = 0
−ΔQ(s) = q(s) ·Δs
ΔQ(s)
Δs
= −q(s)
lim
Δs→0
ΔQ(s)
Δs
=
dQ(s)
ds
= −q(s)
por fim calculando o momento em (s + Δs), com rotac¸a˜o positiva anti-
hora´ria, temos:
∑
Ms+Δs = 0
−Q(s)Δs −M(s) + (M(s) + ΔM) + q(s)ΔsΔs
2
+ m(s)Δs = 0
−Q(s)Δs + ΔM + q(s)Δs
2
2
+ m(s)Δs = 0
8.3. DIAGRAMA DE ESFORC¸OS INTERNOS SOLICITANTES 61
ΔM(s) = Q(s)Δs − q(s)Δs
2
2
− m(s)Δs
ΔM(s)
Δs
= Q(s)− q(s)Δs
2
− m(s)
lim
Δs→0
ΔM(s)
Δs
=
dM(s)
ds
= Q(s)−m(s)
Desta feita, tem-se as equac¸o˜es diferenciais de equil´ıbrio:
dN(s)
ds
= −p(s) (8.1)
dQ(s)
ds
= −q(s) (8.2)
dM(s)
ds
= Q(s)−m(s) (8.3)
Das equac¸o˜es acima deduzidas pode-se concluir que as func¸o˜es que descrevem
os esforc¸os normal e cortante apresentam complexidades com uma ordem
a mais que as func¸o˜es que descrevem as forc¸as distribu´ıdas longitudinal e
transversal, respectivamente.
A func¸a˜o que descreve o momento fletor apresenta complexidade com duas
ordens a mais que a func¸a˜o que descreve a forc¸a distribu´ıda transversal com-
binada com uma ordem a mais que a func¸a˜o que descreve o momento dis-
tribu´ıdo.
Notar que a equac¸a˜o diferencial de equil´ıbrio referente ao esforc¸o normal
e´ totalmente desacoplada das duas outras equac¸o˜es diferenciais.
8.3 Diagrama de Esforc¸os Internos Solicitantes
Sabemos da sec¸a˜o anterior que os esforc¸os internos exitem e que na maioria
das vezes, variam de acordo com a distaˆncia onde se calcula. Disnte deste
fato tomemos como exemplo inicial uma viga de carregamento disbu´ıdo e
analizaremos todos os esforc¸os nela embutida.
Exemplo 8.2. Problema de Ana´lise de Esforc¸os
Primeiramente procede-se um corte da estrutura em uma sec¸a˜o imagina´ria
s. A distaˆncia do apoio do primeiro geˆneto para o corte denominaremos de
x.
62 CAPI´TULO 8. ESFORC¸OS INTERNOS SOLICITANTES
As reac¸o˜es de apoio da estrutura deve ser pre´viamente calculada uma vez
que essas sa˜o ico´gnitas iniciais do problema. Assim tem-se Rax = 0, Ray =
37, 5, Rby = 37, 5 como calculado anteriormente. Se tomarmos como re-
fereˆncia a figura 8.3, e analisarmos as forc¸as pertinentes a uma viga com car-
regamento distribu´ıdo apenas temos como resultado do euquil´ıbrio na direc¸a˜o
x:
∑
Fx = 0
Rax + N = 0
N = −Rax
N = 0
Na direc¸a˜o vertical temos:
∑
Fy = 0
Ray − Q− 15 · x = 0
Q = 37, 5− 15 · x
8.3. DIAGRAMA DE ESFORC¸OS INTERNOS SOLICITANTES 63
Calculando os momento considerando rotac¸a˜o positiva o sentido hora´rio temos:
∑
Ms = 0
−M + Ray · x − 15 · x · x
2
= 0
M = 37, 5x− 7, 5x2
De posse das equac¸oes que representam os esforc¸os internos na estrutura
podemos desenhar os respectivos diagramas. Para construc¸a˜o dos diagramas
toma-se cinco pontos distintos na estrutrura, verificando os esforc¸os nas re-
spectivas func¸o˜es acima encontradas.
Para o esforc¸o normal na viaga temos:
N(x) = 0
sendo assim para qualquer valor de x tomado na func¸a˜o normal o resultado
sera´ nulo. Abaixo tem-se o diagrama de esforc¸o normal.
Figura 8.5: Diagrama de Esforc¸o Normal
Para o esforc¸o cortante temos:
Q(x) = 37, 5− 15 · x
Q(0) = 37, 5− 15 · 0 = 37, 5
Q(1, 25) = 37, 5− 15 · 1, 25 = 18, 7
Q(2, 5) = 37, 5− 15 · 2, 5 = 0
Q(3, 75) = 37, 5− 15 · 3, 75 = −18, 7
Q(5) = 37, 5− 15 · 5 = −37, 5
O resultado do diagrama pode ser observado na figura (8.6). Para o ca´lculo
do diagrama de momento fletor procede-se de forma semelhante ao anterior.
M(x) = 37, 5 · x − 7, 5 · x2
M(0) = 37, 5 · 0− 7, 5 · 02 = 0
M(1, 25) = 37, 5 · 1, 25− 7, 5 · 1, 252 = 32, 5
M(2, 5) = 37, 5 · 2, 5− 7, 5 · 2, 52 = 46, 9
M(3, 75) = 37, 5 · 3, 75− 7, 5 · 3, 752 = 32, 5
M(5) = 37, 5 · 5− 7, 5 · 52 = 0
64 CAPI´TULO 8. ESFORC¸OS INTERNOS SOLICITANTES
Figura 8.6: Diagrama de Esforc¸o Cortante
Figura 8.7: Diagrama de Momento Fletor
Algumas regras deve ser respeitada quando se deseja calcular os esforc¸os
internos de uma estrutura.
Aqui em especial o exemplo nos trouxe uma estrutura cont´ınua com apenas
um carregamento distribu´ıdo, desta feita precisou-se fazer apenas um corte
na estrutura para analisa-la, pore´m existem casos em sa˜o necessa´rios mais
de um corte para poder solucionar o problema, para as excec¸o˜es destaca-se:
1. Carga Concentradas;
2. Carga Momento;
3. Mudanc¸a de geormetria da sec¸a˜o transversal;
8.4 Exerc´ıcios EIS - Esforc¸os Internos Solici-
tantes
8.4.1 Fase 1: Aquecimento
1. Dada a viga abaixo, pede-se calcular os diagramas de esforc¸os internos
soliciatntes.
8.4. EXERCI´CIOS EIS - ESFORC¸OS INTERNOS SOLICITANTES 65
2. Dada a viga abaixo, pede-se calcular os diagramas de esforc¸os internos
soliciatntes.
8.4.2 Fase 4: Caiu na Prova
1. [2009] Dada a viga abaixo, pede-se calcular os diagramas de esforc¸os
internos soliciatntes.
Respostas, Fase 1: Aquecimento
1. Prob.01 Diagramas - Esforc¸o Normal, Esforc¸o Cortante e Momento
Fletor
66 CAPI´TULO 8. ESFORC¸OS INTERNOS SOLICITANTES
2. Prob.02
Diagramas - Esforc¸o Normal, Esforc¸o Cortante e Momento Fletor
8.4. EXERCI´CIOS EIS - ESFORC¸OS INTERNOS SOLICITANTES 67
Cap´ıtulo 9
Trelic¸as
9.1 Introduc¸a˜o
Trelic¸as, sa˜o elementos estruturais contitu´ıdos por elementos lineares (bar-
ras) e no´s (articulac¸o˜es), desta feita, as ac¸o˜es atuantes nos elementos consiste
de forc¸as normais (trac¸a˜o ou compressa˜o).
As trelic¸as podem ser divididas em dois grupos distintos:
1. Trelic¸as Planas: Quando todos os elementos estejam em um u´nico
plano;
2. Trelic¸as Espaciais: Quando existem elementos em diversos planos no
espac¸o.
68
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] Beer, F. P., and Johnston Jr, E. R. (1991). Mecaˆnica Vetorial para
Engenheiros. Sa˜o Paulo: Makron Books.
[2] Arruda, J. R. (2001). Introduc¸a˜o Histo´rica a` Mecaˆnica dos So´lidos.
Campinas, Sa˜o Paulo,Brasil.
[3] Hallyday, D. and Resnick, J.W(2009). Fundamentals of Physics, New
York, USA.
69
Cap´ıtulo 10
Exerc´ıcios Resolvidos
10.1 Esta´tica de Ponto Material
70
10.1. ESTA´TICA DE PONTO MATERIAL 71
10.1.1 Fase 1: Aquecimento
1. As forc¸as P e Q agem sobre um
parafuso. Determinar sua resul-
tante e o aˆngulo de inclinac¸a˜o
da resultante com a horizontal.
Primeiro passo decompor todas
as forc¸as inclinadas nas direc¸o˜es
principais x e y
Qx = Q · cos(45o)
Qx = 60 · cos(45o)
Qx = 42, 4264
Qy = Q · sen(45o)
Qy = 60 · sen(45o)
Qy = 42, 426
Px = P · cos(20o)
Px = 40 · cos(20o)
Px = 37, 587
Py = 40 · sen(20o)
Py = 40 · sen(20o)
Py = 13, 681
Rx =
∑
Fx
= Qx + Px
= 42, 4264 + 37, 587
Rx = 80, 043
Ry =
∑
Fy
= Qy + Py
= 42, 4264 + 13, 681
Ry = 56, 1074
R2 = R2y + R
2
x
R2 = 80, 0432 + 56, 10742
R =
√
9.554, 9862
R = 97, 7496N
Achando agora o aˆngulo de in-
clinac¸a˜o da resultante com a hor-
izontal:
tg(θ) =
Ry
Rx
tg(θ) =
56, 1074
80, 043
tg(θ) = 0, 7010
tg−1 = 35, 03o
θ = 35, 03o
2. Dada a chapa parafusada abaixo,
pede-se, a resultante das forc¸as
que agem na chapa e o aˆngulo
de inclinac¸a˜o da mesma com a
horizontal.
Aplicando a lei dos cossenos para
achar a resultante das forc¸as en-
tre os dois vetores:
R =
√
52 + 3, 52 + 2 · 5 · 3 · cos(95o)
=
√
25 + 12, 5− 3, 0505
= 5, 848kN
72 CAPI´TULO 10. EXERCI´CIOS RESOLVIDOS
3. Quatro forc¸as atuam no para-
fuso da figura abaixo. Deter-
mine a resultante das forc¸as que
agem no parafuso.
F1y = 110N
F2x = F2 · sen(20o)
= 80 · sen(20o)
F2x = 27, 361N
F2y = F2 · cos(20o)
= 80 · cos(20o)
F2y = 75, 175N
F3x = F3 · cos(30o)
= 150 · cos(30o)
F3x = 129, 903N
F3y = F3 · sen(30o)
= 150 · sen(30o)
F3y = 75, 0N
F4x = F4 · cos(15o)
= 100 · cos(15o)
F4x = 96, 592N
F4y = F4 · sen(15o)
= 100 · sen(15o)
F4y = 25, 882N
Rx =
∑
Fx
= F3x + F4x − F2x
= 129, 903 + 96, 592− 27, 361
Rx = 199, 13N
Ry =
∑
Fy
= F2y + F3y − F4y − F1y
= 75, 175 + 75− 25, 88− 110
Ry = 14, 295N
R2 = R2y + R
2
x
R2 = 14, 2952 + 199, 132
R =
√
38.858, 697
R = 199, 646N
Achando agora o aˆngulo de in-
clinac¸a˜o da resultante com a hor-
izontal:
tg(θ) =
Ry
Rx
tg(θ) =
14, 295
199, 13
tg(θ) = 0, 07018
10.1. ESTA´TICA DE PONTO MATERIAL 73
tg−1 = 4, 10o
θ = 4, 10o
4. Dada a estrutura de sustentac¸a˜o
abaixo, sabendo que a trac¸a˜o no
cabo AC e´ de 370N. Determine
a componente horizontal e ver-
tical da forc¸a exercida em C.
5. Uma estaca e´ arrancada do solo
com o auxilio de duas cordas,
como mostrado na figura ao lado.
Com θ = 30o e determine o mo´dulo
da forc¸a P necessa´rio para que
a resultante na estaca seja ver-
tical.
6. Calcule a resultante das forc¸as
mostrado no sistema abaixo.
7. Dado o parafuso da figura abaixo
submetido a diversas forc¸as, pergunta-
se: Qual a resultante das forc¸as
e o aˆngulo que a resultante faz
com o eixo Y.
8. Um homem puxa com a forc¸a
de 300N uma corda amarrada
a um edif´ıcio, como mostra a
figura. Quais sa˜o as componentes
horizontais e verticais e a resul-
tante da forc¸a exercida pela corda.
9. A figura representa uma barra
homogeˆnea de peso igual a 200N,
articulada em P e mantida em
equil´ıbrio por meio do fio ideal
74 CAPI´TULO 10. EXERCI´CIOS RESOLVIDOS
AB.O corpo pendurado na ex-
tremidade A da barra tem peso
de 100N. Determine a intensi-
dade da forc¸a de tensa˜o no fio
AB.
10.1.2 Fase 2: Aprofunda-
mento
10.1.3 Fase 3: Desafio
1. Um equilibrista de peso “P“, esta´
andando sobre uma corda bamba
de comprimento “L“, quando o
equilibrista chega a um terc¸o do
percurso, o mesmo causa um deslo-
camento vertical na corda “y“.
Qual a tensa˜o na corda nesse
ponto.
10.1.4 Fase 4: Caiu na Prova
1. [2008] As treˆs forc¸as da figura
abaixo agem na cabec¸a de um
parafuso. Determinar sua resul-
tante e o aˆngulo de inclinac¸a˜o
da resultante com a horizontal.
Para das duas configurac¸o˜es ao
lado.
2. [2008] Dado o sistema abaixo sob
ac¸a˜o de duas forc¸as pede-se, en-
contrar a resultante das forc¸as e
o aˆngulo de inclinac¸a˜o da mesma
com a horizontal.