Questão resolvida - Determine a excentricidade da elipse de equação 16x25y-4000 - Cônicas - Álgebra Linear I

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• Determine a excentricidade da elipse de equação .16x² + 25y² - 400 = 0
 
Resolução:
 
Veja que só há termos na expressão com expoente 2, dessa forma, a expressão geral para a 
elipse é;
 
+ = 1, com a > b
x
a
2
2
y
b
2
2
 
ou 
 
+ = 1, com a > b
y
a
2
2
x
b
2
2
 
Vamos reduzir a expressão da elipse a 1 desses 2 tipos;
 
16x² + 25y² - 400 = 0 16x + 25y = 400 16x + 25y = 400 ÷ 400→ 2 2 → 2 2
 
+ = + = 1
16x
400
2 25y
400
2 400
400
→
x2
400
16
y2
400
25
 
+ = 1 + = 1
x
25
2 y
16
2
→
x
5
2
( )2
y
4
2
( )2
 
 
(1)
(2)
Logo, a elipse tem o tipo de equação 1.
 A exentricidade e é dada por;
e =
c
a
Com isso, devemos achar o valor de c, dado pela seguinte relação;
 
a = b + c2 2 2
Essa relação sai do seguinte triângulo retângulo definido por e na elipse, como visto a a b
seguir;
 
 
Substitundo os valores de e , temos que o valor de é;a b c
 
a = b + c 5 = 4 + c 4 + c = 5 c = 5 - 42 2 2 → ( )2 ( )2 2 → ( )2 2 ( )2 → 2 ( )2 ( )2
 
c = 25 - 16 c = 9 c = c = 32 → 2 → 9 →
 
Substituindo os valores de c e a, temos que a exentricidade é;
 
e =
3
5
 
 
b = 4 
a = 6 
y
xc 5 -5
-4
4
cF -c, 02( ) F c, 01( )
(Resposta )