Tabelas para cálculo de flexão simples normal no estádio III

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
* 
Cadeira n. 17: "ESTÁTICA E PROJETO DAS CONSTRUÇÕES" 
Prof. Catedrático : FREDERICO SCHIEL 
Disciplina : "ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO" 
CONCRETO ARMADO N. 1 
TABELAS PARA CÁLCULO DE 
FLEXÃO SIMPLES NORMAL 
NO ESTÁDIO III 
pelo 
ENG.0 LAURO MODESTO DOS SANTOS 
Publicação n. 9 
* 
SÃO CARLOS 
1957 
.... 
' 
TABELAS PARA CÁLCULO DE FLEXÃO SIMPLES 
NORMAL NO ESTÁDIO III 
pelo 
ENG 0 LAURO MODESTO DOS SANTOS 
Engenheiro Civil pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 
Instrutor das cadeiras "Ciência das Construções" e "Estática e Proje-
to das Construções " na Escola de Engenharia de São Carlos da Univer-
sidade de São Paulo . 
1 a INTRODUÇÃO 
As tabelas que se apresentam neste trabalho facilitam o cálculo de flexão 
simples normal no estádio III , por meio de fórmulas e coeficientes perfeitamente 
análogos aos que se encontram nas famosas tabelas de LÕSER para o estádio II. 
A idéia não é original * ; a presente publicação pretende apenas resolver a questão 
de maneira mais concisa, e tornar explícito como as mesmas tabelas servem para o 
cálculo de peças sub-armadas . de seção retangular ou T, com armadura simples ou du -
pla . 
2 - NÕTAÇÕES • 
As mesmas da NB-1 . Assim, por exemplo , h, b
0
, d, 4,, h, h' , x, z, Sf, Sf' , 
) 
~ck• 6f, Gf, 6e, Ef, ~ têm o significado que o capítulo I da NB-1 indica . Além 
desta~1 introduziremos as seguintes notações : 
CJR 
MR 
M 
s 
8R 
êe 
p := 
a · 
kx 
<p 
~~ := 
n· 
c 
0,75 crc 28 · "' tensão suposta de ruptura do concreto ; 
momento fle t or de ruptura : 
" " so l ic.itante : 
coeficiente de segurança "' MR/M ; 
encurtamento de ruptura do concreto : 
alongamen t o do aço correpondente ao limite de esc oamento ; 
relação entre os preços de igual volume de armadura (já montada) e de 
concreto (inclusive fôrmas e lançamento) : 
() !rL . e "'H • 
x/h 
d/h (nas vigas T) : 
S1/hh (nas seções retangulares com armadura dupla) ; 
h 1 /h ( " " " " " " ) : 
. h - h ' 
*Veja - se o trabalho do Eng 0 JOHN UL I C BURKE JR . , a quem se deve o mérito d~ 
idéia, muito interessante do ponto de vista prático, de estender ao estádio III as 
tabelas de LOSER :· "Tabelas para o cálculo de flexão simples normal no estádio III. 
Peças sub-armadas, de seção retangular com armadura simples " . Publicação da Escola 
Politécnica da Universidade de São Pa.ulo . São Paulo . 1955 
3 - UNIDADES 
Foram empregados a tonelada e o centímetro, como nas tabelas de LOSER. 
4 - FUNDAMENTO TEÓRICO 
As hipóteses de cálculo são as contidas no artigo 23 da NB-1, referentes ao 
estádio III . A distribuição uniforme das tensões de compressão no concreto foi 
proposta em 1937 pelo ilustre Eng 0 TELEMACO VAN LANGENDONCK , 
Com base nessas hipóteses, deduziremos as fórmulas que serão usadas. Consi-
derar-se - á somente o caso de peças sub-armadas, isto é,kx = x/h~ kxlim• onde 
ER 
kxlim =----
Com Ef = 2 1 00 t/cm 2 e ER = 0,15%, 
para aço de cre = 2400 kg/cm 2 
" 11 
" " 
t't n = 
11 " = 
3000 
4000 
" 
" 
.1 · 
vem: 
kxlim 0,568 
" 0,512 
" o ,441 
5 - SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA SIMPLES 
5. 1 • FÓRMULAS 
Equação de equilíbrio das fôrças normais: 
b 
---,-----.-
X 
d 
h 
cre 
~ 
F I G. 1 
o braço de alavanca .z é dado 
X 
z = h - - ; 
2 
z 
fazendo -- k Z' vem : h kx 
kz = 2 
donde.: 
ou : 
onde : 
Como 
por: 
s f 
sf 
k4 
sf 
k4 
bh 
=--
k4 
a 
=---
kx 
J.Lbh' 
J.L 
e 
bx kx 
=--=-- . bh 
a a 
( 1) 
( 2) 
resulta : 
kx = J..La ( 3) 
( 4 ) 
(5) 
Da igualdade dos momentos solicitante e resistente : 
sM = cre Sf z , 
M 
ks-
h 
vem: 
( 6) 
2 
.; 
,.. 
'• 
onde s 
Podemos escrever ainda: 
sM = bxcrR z 
ou seJa 
bh2 
M =--
s 
com ks 
kx 
a k ( 1- --) 
R X 2 
É fácil ver que 
Finalmente, h pode ser tirado de (8}: 
h 
sendo 
( 7 ) 
( 8) 
( 9) 
(lO) 
(11) 
(12) 
Os coeficientes kz, k2 , k3 , k4 e ks foram tabelados em função de kx . 
Dimensionamento econômico -
Fixado b , dado M, há várias soluções para h e Sf, conforme o valor da taxa 
de armadura ~ escolhida . A melhor solução , do ponto de vista econômico, consiste 
em fazer *· 
com 
onde Pf 
p 
a + P 
7850 P ~f 
Pc 
(13) 
(14) 
preço do kg de aço da armadura, nele incluido o custo da montagem : 
Pc preço do ms de concreto simples, inclusive fôrmas e mão de obra . 
Como ~a , o valor econômico de kx ~ dado por : 
(15) 
a + P 
Tais valores de kx são encontrados na tabela 7 . 
* TELEMACO VAN LANGENDONCK - "Cá leu lo de Concreto Armado" - V o l. II - ABCP -
São Paulo - 1950- p . 442 e p . 238 . 
3 
, 
5.2 • CALCULO DE VERIFICAÇAO 
Dada a seção com os materiais empregados, calcular o momento admissível. 
São dados b , d , h, Sf , ae, acts• s . 
~ 
Calcula-se J..L = 
bh 
verifica - se se êste valor obedece ao art~go .30 da NB- 1 : J..L ~ 0,25% . 
(a encontra - se na tabela 7) ; 
supondo que se encontre kx ~ kxlim• na tabela correspondente a ae e s, na linha do 
kx calculado, procura-se o valor · k6 ' na coluna do ac28 dado, e: 
M 
, . 
Exemplo numer1co -
Dados b = 12 em, h = 35 em S = 3"'1/2 " = 3 80 , f '+' ·' . 
ac28 = 180 kg/cm2 , calcular o momento admissível. 
3 , 80 
J..L ~ ---- 0,905% 
12 X 35 
a 17 , 778 (tabela 7) 
0,905 
kx = x 17,778 o, 161 
100 
na tabela 1 lê - se ks = 83 , 0 
M = 
12 X 35 2 
83 , 0 
177 tem - 1 , 77 tm 
5.3 - DIMENS IONAMENTO - 1° CASO -
cm2 , aço 37 -CA, s 1, 65 e 
o, 16 : 
Dados os materiais com seus preços, a largura da seção, o momento fletor so-
licitante e o coeficiente de segurança , determinar a altura útil e a seção da ar-
madura . 
calcular h e sf. 
7850Pf 
Determina - se p 
Pc 
Proc;ura-se na tabela 7 o valor kx correspondente a ae, ac 2 R · e p. 
Com êste v alor de kx, obtêm-se, na tabela correspondente, os valores k , k 
2 3 
h= k,{f ks M 
h 
4 
bh 
ou =-
-' 
,.... 
Exemplo numérico -
Dados h = 22 em , M = 500 tem , Oe = 2400 kg/cm2, o c
2 
fi 180 k g I cm2 s = 1, 6 5, 
Pc 
( peça 
Cr$3 . 000 , 00/ms , Pf Cr$20,00/kg, dimensionar . 
Da tabela 7 ~ v em : 
p 
7850 X 20 
3000 
0,25 
Donde : k 2 • 7 , 48 ; k 3 0,786 
h= 7,48 {5ff- ~ 36 em 
0,786 X 
500 
36 
1 O, 9 em~ 
52,4 
5 ~ 4 · • DIMENSIONAMENTO · 2° CASO -
Fixadas as dimensões da seção, calcular a armadura . 
Dados h , h , oe ' 0c2a ' s' M, calcular Sf· 
G.e.l,cula - se 
h h~ 
ka · =-- Se êste valor estiver dentro dos 
M 
sub- armada) , toma - se o ks correspondente e calcula - se : 
limites 
Verifica-se se 1-L = Sflbh 3;-0,25% . ·se 1-L < 0,25% , adota - se ·sf 
que se não desej e al t era r a al t ura h . 
Exemplo n u mérico -
da tabela, 
0,25 
100 bh, desde 
Dados h = 22 em , h 
s = 1,_65,calcular sf . 
36 em , M 107 tem, Oe= 3000 kg/cm2 ,<Jc 2 R"' 210 ··kg / cm2- , -
- hh2 
ka = --
M 
22 X 36 2 
107 
267 
da tabela 2 : k3 = 0 , 561 
nas 
107 
sf = 0 , 561 X -· -- = 1 ' 67 cm2 
36 
s 1 , 67 f 
1-L = 0 , 21% < 0,25% 
h h 2 2 ?< 36 
Adotar 
0 , 25 
sf = 1 oo x 22 X 36 1 , 98 cm2 • 
Para dispensar o cálculo de 1-L, foram feitas as linhas quebradas que se vêm 
tabelas . Valores de k 6 acima dessas linhas indicam que 1-L < 0 , 25%. No nosso 
exemplo, podemos ver na tabela 2 que, para Oc28 = 2l0 kg/cm
2 , k6 · = 267 encontra -
- se na zona de 1-L menor que 0,25%. 
5 . 5 · DIMENSIONAMENTO · 3~ CASO • 
Dados h e Sf, calcular h . 
5 
Neste caso, o cálculo pelas tabelas ser feito por tentativas. Esti-
mamos um certo valor de h e calculamos ka 
só pode 
bh
2 
=-- : procuramos na tabela o k 4 cor -
M bh 
respondente e Sf =--deve coincidir com Sf dado . Caso contrário, 
k4 
tentamos novo 
valor de h , até chegarmos a uma aproximação razoável. 
Não é recomendável, portanto, o uso das nossas tabelas neste caso. · É mais 
cômodo o cálculo direto , por me1.o da fórmula :· 
sM ·sfa 
h = +---
Sfae 2b 
( 16) 
que se pode deduzir ràp.idamente em vista de : 
sM X 
z = = h 
sf 0 e 2 · 
Sr 0 e Sfa 
sendo X -
para 
b 
ka . 
bO'R b 
o valor h encontradodeve ser : · 
sta 
h~ 
b kxlim 
que a peça seJa sub- armada . 
Exemp l o num~rico Q 
Dados O'e = 4000 kg / cm 2 , O'c
28 
= 180 kg/cme, 
15 em , sf = 24;;3/4 ""' 5 , 7 cm 2 , .calcular h. 
s = 2 ' o ' 
h 
a = 29 , 63 (tabela 7) 
2,0 X 380 
5 , 7 X 4 , 0 
1 
5 , 7 X 29,63 
2 X 15 
= 33,4 + 5 , 6 
2 X 5,6 
0 , 441 
25,4 em < ~9 em 
5 . 6 DIMENS IONAMENTO · 4° CASO 
Dados · ~ e h , calcular b e Sf . 
Calcula - se k = 
X ~ . 
Entra- se na tabela correspondente 
Resulta : 
k 6 M M 
b =--- e Sf ks--
h2 h 
Exemplo 
, 
numer1.co -
e 
( 17) 
M 380 tem, 
39 em 
tiram-se ks e 
i I I I • ,. • ,. .11! == 12 , 
Numa extkemidade livre de uma laje de d = 12 em , 
fazer 
deseja-se trabalhar uma "viga" que recebe M 
b = 100 tem. Adotam-se h = · 19· em e~= 1,3 %· 
F ! G.2 
6 
Calcular a armadura necessária para o refôrço que se tem em vista e a largura da 
faixa dêste refôrço . Dados: cre = 2400 kg/cm2 ; crc28 = 180 kg/cm
2 : s = 1,65 
17,778 
1 '3 
100 
X 17,778 
(tabela 7) 
0,23 
Na tabela 1 , para Gc 2a 180 kg/cm2 e kx 0,23 : 
k3 0,777 ks = 60 , 0 ; 
60,0 X 100 
h 60 em 
102 
100 
sf 0,777 
x __ 
7,77 cm2 
10 
{4ÍJ5/8"c/20) 
5 . 7 . DIMENSIONAMENTO - 5° CASO . 
Dados h e ·sf, calcular b. 
Calcula-se 
s h k3 =_._f_ Procura-se o correspondente ks e b ksM 
M 
Exemplo 
, . 
numer1.co 
Dados :h = 46 em, 'Sf = -4ÍJ5/8" 
s 1 ,65 , M 
7 , 92 X 46 
494 
7 , 92 cm2 , aço 37 - CA, Gc28 
494· tem , calcular b . 
= 0 , 7375 
180kg/cm2 , 
Pela tabela 1 , a Gc2 a 180 kg/cm2 e k3 0,7375, corresponde : · 
ks = 96, 5 
Donde : · 
96 5 X 494 
b = ' = 22 , 6 em =:; 23 em 
2 
46 
Neste último caso, o emprêgo das tabelas pode · acarretar êrro de aproxima-
çio de b da ordem de 5%, pelo fato de k3 · variar muito pouco em relaçio a k 6 • 
6 - 'SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA DUPLA 
6 . 1 - HIPÓTESES BÁSICAS 
Supõe-se semp~e neste estudo peça sub - armada (kx ~ kxlim) e convenientemen-
te dimensionada (h ' << x). 
A armadura superior terá a tensio 
h' 
se ( 18) 
X 
onde cr~ e e~ sio o limite de escoamento do material da armadura superior e a res -
7 
pectiva deformação unitária . 
Nos casos usuais (peças convenientemente d~rnensionadas com aço 37~CA e 
50-CA), pode admitir-se, sem êrro apreciável, que 6{ = õe, mesmo que se não veri -
fique a desigualdade (18) , desde que se tenha * 
d . c 
j. 
F I G. 3 
X ~ 2h' 
6.2 · DEDUÇAO DAS FÓRMULAS 
h' 
X 
h 
sf . 
1\'------++-----'--
·1 
b 
EquaÇão de equilíbrio das fôrças: · 
donde 
X = 
(Sf - S{)a e 
baR 
Com a notação 
devendo ser 
Sf 
IJ. =--
bh 
X 
h 
e 
S{ 
bh 
(19) 
• vem.: · 
(20) 
Dados b e h , para um certo valor kx, resulta um coeficiente k 6 com o qual 
se determina o momento a que a seção resistiria se fôsse de armadura sirnples,pa-
ra quela posição da L . N. : 
bh
2 
Mo = --
. ks 
(21) 
A escolha de kx é relativamente arbitrária , · No parágrafo s~guinte veremos a con-
dição econômica . 
A Mo correspondente urna parcela da armadura de tração : ··sfo 
cela restante do momento dado M: 
bh/k4 • · A par-
6M = M - Mo 
será resistida pelo binário, de braço c, formado por S{ e 6Sf, sendo 6Sf 
Resultam as armaduras de tração e de compressão, respectivamente: · 
S' 
f 
s6M 
+·--
.a e c 
O· fator s/ae, constante para cada tabela, já aparece calculado. · 
6 . 3 · DIMENSIONAMENTO ECONOMICO · 
Regras práticas do dimensionamento econômico : 
*TELEMACO VAN LANGENDONCK -Obra citada- vol .II . - p . 52 e 431. 
8 
(22) 
(23) 
(24) 
a) Para h fixado , não havendo rest r ição quanto à altura, a armadura simples 
de ve ser preferida : usar a tabela 7 para a escolha de kx . 
h) Fixadas as dimensões externas , a armadura dupla convenientemente dimensi-
onada é mais econômica que a simples , quando a esta corresponder peÇa super-armad~ · 
c) Fixadas as dimensões externas , e sendo possível o emprêg~ de armadura 
simples com peça sub - armada , deve ser ela usada sempre que 
+. 7] ' 
kx <--2-.-- (25) 
onde~ < 1 / 3 é a relação h ' /h . Caso contrário , usa-se armadura dupla com o menor 
dos dois valores : ~ 
+· ~ 
2 · 
supondo - se verificada a desigualdade (19} : ' kx 3:- 2~ . 
6 . 4 • EXEMPLO DE VERIFICACAO 
' 
(26) 
Sf-=34>3 / 8 " Calcular o M admissív el da seção da fig . 4. 
Dados : aço 37 -CA ; (J C2 8 = 180 kg/cm2 : s = 1 , 6 s. 
S{ 34>3 / 8 " = 2 ' 13 cm 2 • 
Sf 44>1 " = 20 , 27 cm 2 : 
40 
a 17 , 778 (tabela 7) 
c:: 37 , 5 s 20 ' 27 
J..L = ·- f 2 , 31% 
h h 22 X40 
S{ 2 ' 13 
J..L i = -- = 0 , 242% 
h h 22X4Q 
a(.ll-11 1 )-- 17 , 778 ,... ,... (2,310-0,242)= 
1 00 
F I G . 4 0 , 368 
0 , 368 < kxl i m = 0,568 (peça sub - armada) ; 
x kxh = 0 , 368 x 40 = 14 , 7 em>. 2h ' = 5,0 em (peça convenientemente dimensiona -
Donde : 
dà) . 
bh2 22 X 40 2 
Pela tabela 1 : k4 48 , 3 : k6 = 40 , 7 ; M0 40 , 7 
S{ c 2 , 13 X 37 , 5 
llM = 116 tem . 
o' 6875 0 , 6875 
M = M + llM = 866 + 116 982 tem ~ 9 , 8 tm . o 
Como contr ô le de cálculo , podemos determinar : · 
22 X 40 
48 , 3 
1 8, 2 cm2 : 
866 tem : 
* Essa~ proP-os i ÇÕes são demonstradas por TELEMACO VAN LANGENDONCK, obra citada, 
vol . li, páginas 444 a 447 
9 
20 , 27 • 18,20 2, 07 cm2 :::. S{ . 
6.5 - EXEMPLO DE DIMENSIONAMENTO . 
Dados h = 22 em~ h= 36 em , M = ti tm, cre = 2400 kg/cm2, crc28 
s 1 , 65 , calcular a armadura mais econômica . 
180 kg/çm2, 
bh 2 
M 
22 X ~62 
1100 
25,9 . 
Na tabela 1 verificamos que, com armadura simples , teríamos peça super~armada. 
Adotemos , pois , armadura dupla . 
Pela 
Mo 
6M 
c = 
h ' 2 , 5 
0 , 0695 ; 
h 36 
1 + n 
2 
+ 0 , 0695 
2 
= 0 , 535 < kxlim 0,568 ; conclusão: adotar kx=0,535. 
tabela 1 : ke 31 , 2 e k4 33 , 2. 
bh2 22 X 362 
915 tem : 
ks 31 . 2 
M - Mo = 1100 ~ 9.15 = 185 tem: 
36,0 - 2 , 5 = 33,5 em. 
bh 6M 22 X 36 185 
+ 0 , 6875- + 0,6875 X 23 , 9 + 3,8 27,7 cm2 ; 
c 33 , 2 33 , 5 
Cálculo de z : 
Z = 0,6875 X 
M 
s f 
0 , 6875 X 
1100 
27,3 em . 
27,7 
7 - SEÇÃO DE VIGA T - ARMADURA ~IMPLES 
7 . 1 - DEDUCÃO DAS FÓRMULAS , 
h 
F I G. 5 
Na viga T, chamamos de ~ a relação : 
d 
h 
(27) 
Suponhamos que a linha neutra esteja na 
. altura da face inferior da mesa , como 1n -
dica a fig . S. Temos, neste caso, x = d,ou 
seja, kx = ~ . Tudo se passa, então,como se 
tivéssemos uma seção retangular de largura 
h e altura útil h, com kx fixado e igual a 
1 o 
~ . Valem, po1s, as fórmulas deduzidas no parágrafo 5. 1, onde adotaremos para os 
coeficientes a notação i em lugar de k, para distinguir êste caso particular : 
bh 
com (28) 
sf 
M 
1s- sendo · 1s 
h ' 
s 
(29) 
~ 
(J (1--) 
e 2 
bh2 
M 
1s · 
(30) 
s 
1s 1s . 14 (31) 
~ 
0: ~(1--) 
R 2 
Os coeficientes 13 , 14 , 1 6 são iguais, respectivamente , a k3 , k4 , k 6 , para 
kx ~ · 
Suponhamos, agora , que a linha neutra corte a nervura : x >. d . . Fixamos b,b
0
, 
d , h, e queremos calcular sf . 
I· h , = h - h0 ·I 
di ............... .,. 
+ + 
• • • 
F I G . 6 
Podemos resolver o problema por superposição, caindo nos casos anteriores já es -
tudados , como indica a fig . 6 . A armadura procurada~ : Sf = ·sf
1 
+ Sf2 · 
Calcula - se bh2 /i 6 ; lembramos que 16 corresponde a ~ . Podem ocorrer 3 casos : 
bh
2 
a ) M < ; significa que x < d, e a seção deve ser calculada com os coe-
1s 2 
íicientes k , a partir de k6 = bh IM·, resultando Sf ;= k3 M/h = bh / k4 , como no pa -
rágrafo 5. 4 . 2 . bh 
b) M isto ~. x = d . Tiram-se da respectiva tabela os coeficientes 
1s 
i na linha de ~ = d / h . 
bh
2 
c) M >-
1s 
Calcula-se 
daí 
' 
M' 
Mo 
ks 
ou seja, 
h ' h
2 
=---
1s 
M ~ M' 
h h 2 o 
= --
Mo 
X > d . 
(32 '): 
(33) 
(34) 
11 
que fornece ke e k4. 
b'h M' 
5 f1 =-- 1-14 3 h 
(3 5) 
b0 h Mo 
5 f2 k4 
k-
3 h (36) 
b ' h boh i 3 M' k3 Mo 
sf + -- ,~ 
14 k4 h h 
(37) 
Quanto à escolha de b, deve respeitar-se o art. 18 da NB~l. 
7.2 · VERIFICAÇAO 
Dada a seção, calcular o momento admissível. Calculam - se ~ = Sf/bh, kx ~a 
e <P d/h. 
Se kx ~ <P , temos seção retangular b x h, e o problemaé resolvido como no 
parágrafo 5.2 . 
·se kx = ~a > <P , a L . N. terá cortado a nervura, e o verdadeiro kx, neste ca-
so é diferente de ~a . Calculam - se 'M' = ·b ' h 2 /i 6 e Sf1 i 3 M' /h, onde i 6 e i 3 são 
funções de <P . No retângulo b0 X h, teremos: 
pondo 
teremos o ve r dadeiro kx 
Sff. Sf - Sfl 
s f2 
~o =-- (38) 
(39) 
que define a posição da L . N. A kx 
te calcular : 
~0a ~ kxlim corresponde k 6 , o que nos perm1-
donde o momento admissível procurado M Mo + M' . 
Exemp l os numer1cos 
1°) Calcular o momento admissível da seção de uma viga T . Dados : aço 
50 - CA , <Jc26 = 320 kg/cm
2 , s = 2,0, b = 100 em, b0 = 22 em , d = 7 em, h= 50 em, 
sf = 6c/:>5!8 " = 11 , 88 cm2 , 
b 
s ~:_f 
bh 
100 em> 2b
0 
d 
<P 
h 
a 12 , 5 
~= 
0 , 238 
100 
11 ,88 
100x50 
0,238% < 0,25% mas 
1 j '88 
22 X 50 
44 em ; (o art . 30 da NB- 1 está verificado). 
7 
= o, 14 ·: 
50 
(tabela 7) : 
1 , 08% > 0 , 5% e 
X 12 ·,5 ~ 0,03 < <P 0,14. Temos seção retangular 100 x 50, com 
12 
kx 
aço 
Na 
no 
= 0,03 . Pela 
20) Dados : 
37·CA , cr = C2a 
tabela 1, a <P 
tabela 5: · k6 = 
M 
·b = 
180 
l-LO: 
bh
2 
100 
k6 282 
887 tem . 
75 em , h o 
kg/cm2 , s 
25 em , d = 5 em, h= 50 em, ·sf = 5<;61" = 25,3 cm2, 
1,65 (viga de edifício), calcular M admissível . 
Sf 25,3 
bh 
0,675 
100 
0,675% 
75 X 50 
X 17,778 o, 12 > <P = o ; 1 o. 
= o, 10 correspondem : ~3 o, 724·; ~4 178: 16 . 129. 
h ' b - h o = 75 - 25 = 50 em; 
b'h2 50 .X 50
2 
M' 970 tem; 
~6 129 
5 f1 
M' 970 
~3 0,724 X 14,05 cm2 ; 
h 50 
retângulo : 5 f2 25,30 14,05 11 ' 25 cm2 :· 
s f2 11 ,25 
l-Lo =-- 0,9% ; 
hoh 25 X 50 
donde kx l-Lo O: 
0,9 
X 17,78 o, 16 ; 
100 
k3 0,747 ; k4 = .111 : k · 6 83,0 
2 
502 b0 h 25 X 
Mo =-- 754 tem 
k6 83 , 0 
M M' ,, Mo = 970 + 754 ' 1724 tem 17,24 tm 
Contrôle : 
Mo 754 
Sf2 k3 = 0,747 h 
x-- = 
50 
11 ,25 cm2 . 
7 . 3 · DIMENSIONAMENTO • 
O caso usual consiste na determinação da armadura de tração Sf , sendo fixa -
dos h, b 0 , d e h . H' vantagem em se trabalhar com todo o b disponível, pois, a 
L. N. sobe e Sf diminui , devido ao aumento de z. A marcha de c'lculo j' foi indica-
da no par,grafo 7.1. 
Exemplo num~rico 
Na seção transversal de uma laje em " caixão perdido'' , fig . 7, cada nervura 
recebe um momento fletor positivo M = 8,4 tm . Calcular a armadura necess,ria por 
nervura. Aço 37 - CA; crc
28
= 180 kg / cm2 ; s = 1,65 . 
13 
h 63 
. 4 .., 
I 
I 1 ... 
38 h = 
2 
\ ,, + I , I· . 1 5 80 1 5 80 
F I G. 7 
d 
h disponível h o + 12d = 15 + 12 X 4 ' 63 em; QJ 
h 
donde : i 3 = 0,724 : ~4 = 178 ; ~6 = 129 ; 
bh2 63 X 40
2 
780 tem <. 840 tem: 
~a · 129 
h ' h - h o = 63 - 15 = 48 em. 
b ' h 2 48 X 40
2 
M' = 595 tem 
~ ' 6 129 
Mo M ~ M' 840 - 595 245 tem 
hoh2 15 X 40
2 
ks 
Mo 
98,0 
245 
pela tabela l : k4 ' = 133 : ks o, 737. 
M' Mo 595 245 
sf ~3- + ka 0,724 X + 0,737 X 15 , 3 cm2 
h h 40 40 
M 840 
Cálculo de z : z = 0 , 6875 X 0 , 6875 X 37,8 em 
sf 15,3 
8 - SEÇÃO DE VIGA T - ARMADURA DUPLA 
8. 1 ~ GENERAL I DADES • 
40 
80 
4 
40 
0,1 O; 
bcP1") . 
r-f 
~ 
\ 
• 
Tem pouco interêsse prático , pelo fato de ser um caso raro. Calcula-se o mo-
mento M' pela fórmula (32) e acha ~ se, assim, o momento não absorvido M - M', que 
deverá ser resistido pela seção retangular b0 x h com armadura dupla. Usam - se, 
portanto , os mesmos processos já vistos . 
A viga T com armadura dupla só deve ser usada em casos excepcionais, devendo 
tomar - se cuidado para que a peça fique convenientemente dimensionada (parágrafo 
6.1). 
-8.2 - VERIFICAÇAO 
Calculam-se QJ o:(!-L-1-L') . 
Se kx = o: (I-L - 1-L 1 ) ~ QJ 
caimos no caso do parágrafo 6 . 3. 
14 
Se a(~-~ ' ) > ~ 
o verdadei r o kx é diferente daquele valor . 
b ' h
2 
M' M' = -- s l.s-· fi 
l.s . h 
para o retângulo com armadura dupla . 
~o 
donde o verdadeiro kx 
hoh2 
Mo = --
ks · 
M M0 + 6M + M' 
Exemplo numérico -
(4C 
(41) 
(42) 
Calcular o momento admissível da seção da fig. 8 . Dados: aço 50-CA, Oc2 a =150 
150 kg/cm2, s = 1 , 65. 
h = 1 o4 I 
_j_ i· ~ _l_ 
=*~~--, •. --/ •. ~--.~~~-~----~~.~ d=7 
li= 2 ' 5 \/# ::;;;-.- --- 1 
h 58 
S{= 6cP5/ 1 6 " 
a (~ - ~ ' ) 
]. . 
6 
F I G . 8 
26 , 67 
(0 , 514 - 0 , 049) 
100 
84 X 582 
130 
2175 
58 
22 , 0 
9 , 0 
20 X 58 
2175 tem : 
= 22 , O cm2 
9 , O cm2 
o, 776% ; 
d 7 
~ 
h 58 
~o , 12 
.. l.s 0,585 : ].4 222 ; l.s = 130 
S{ 2,97 cm2 ; Sf 31 ,o cm2 ; 
·s{ 31 ,o 
~ 0,514%; 
bh 104 X 58 
·s·{ 2,97 
~I = 0,049% : 
bh 104 X 58 
a 26,67 (tabela 7) ; 
o' 1 24 · > o ' 1 2 : 
15 
IJ.l o. 
2,97 
20 X 58 
0 , 256% ; 
k = 26 , 67 
X 
1 
OO ( Ü , 776 - 0 , 256) 0,139 ;;;;;.0,14: 
donde : k · 3 o, 591 ; k4 = 190 ; ks · 113. 
·boh2 20 X 58 2 
Mo = 595 tem 
ks 113 
c h ~ h' 58,0 - 2,5 55,5 em 
2,97 X 55,5 
6M "' 300 tem 0,550 
M 2175 + 595 + 300 3070 tem 30,7 
8 . 3 " DIMENSIONAMENTO -
disse no parágrafo 8.1. 
tm 
Procede-se como se 
E~emplo numérico -
Dados :- b = 100 em , b0 = 30 em , d 7 em, h = 
kg/cm2 ~ s = 1 ,65 , calcular a armadura . 
tabela 3 : · 13 
b ' 
M' 
M - M' 
d 7 -v 
<p = 0,08 : 
h 90 
0 , 430 ; 14 370 : 1s . = 159 
100 - 30 70 em. 
b ' h
2 
70 X 90 2 
159 
3560 tem : 
1s 
3560 
0 , 430 X--
90 
11000 - 3560 
17, O cm2 ; 
7440 tem ; 
30 X 902 
7440 
= 32 , 6 : 
90 em, M 11 O tm, a e 
pela tabela 3 v emos que é necessário armadura dupla: com h' = 2,5 em, ~ -
para kxlim • vem : k 6 
Mo 
+ ~ 
2 
1 ,028 
2 
35 ' 6 ; k3 
30 X 90
2 
35,6 
= 0,514 > kxlim 
0,529: 
6840 tem: 
6840 
sr = o,s29 x 
.o 90 
2 
40,2 em ·: 
16 
0,44 ; 
4000 
o, 028 
c = h - h ' = 90 - 2,5 = 87,5 em; 
liM 7440 - 6840 = 600 tem; 
liSf 0 , 4125 X 600 = 2,83 cm2 
87,5 
Donde a armadura dupla : 
S{ 2, 83 cm2 
sf 17,0 -1- 40,2 + 2,8 = 60,0 cm2 (i2cP1") 
o 
17 
TABELA t 
Aço ~ - CA : <J e =- 2 , 4 · t/ crn2 
s = 1 , 65 
Momentos em tem , comprimentos em em, armaduras em cm2, tensões em t/cm2 
Armadura simples 
M 
k - = 
3 h 
b 
X = 
b"h 
--+ 
z = 
Armadura dupla 
Mo 
bh2 
M = - · 
o k . 
6 
6M M 
bh 
- + k . 
4 
6M 
0,6875-
c 
sí 6M 0,6875-
c 
M 
Z -· 0 , 68755 
M - M' 
b h2 o 
Mo 
i M' 
~+ 
h 
d 
h b disp . = b0 + 12d 
M 
O, 687 5 Sf 
kx k3 
(J 
C2 9 =O , 125 
(J = c2 ·e o, 150 <J c2 8 = O, 1 80 (J C2 6 "' 0, 2 1 o (JCQA=0 , 32Q) 
ou kz ou 
k4 ke k . ke k4 ks k4 ks k4 ks 
k2 k2 4 k2 k2 k2 ou ou qu qu qu qu qu qu qu qu cp 1.3 1.4 te l. . ta 1.4 l.e 1. 4 ta 1.4 ta 4 
0 ,01 0 , 995 0 , 691 42 , 1 2560 1769 38 ,4 2133 1475 35 , 1 1778 1229 32 ,4 1524 1053 26 , 3 1000 691 
0 , 02 0 ,990 0 ,694 29 ,8 1280 889 27 , 2 1067 741 24 ,8 889 617 23 ,0 762 529 18 ,6 500 347 
0 ,03 0 , 985 0 ,698 24 ,4 853 596 22 ,3 711 496 20,3 593 414 18 ,8 508 355 15 ,3 333 233 
0 ,04 0 , 980 0 ,702 21 , 2 640 449 19 ,3 533 374 17 ,7 444 312 16 ,3 381 267 13 , 2 250 175 
0 , 05 0 , 975 0 ,705 19 ,0 512 361 17 ,3 427 301 15 ,8 356 251 14 ,7 305 215 11 , 9 200 141 
0 ,06 0 , 970 0 ,709 17 4 427 302 15 , 9 356 252 14 , 5 296 210 13 , 4 254 180 10 ,9 167 118 
0 , 07 0 , 965 0 ,712 16 , 2 366 261 14 ,7 305 217 13 , 5 254 181 12 , 5 218 155 10 , 1 143 102 
0,08 0 ,960 0 ,716 15 , 1 320 229 13 ,8 267 191 12 ,6 222 159 11 ,7 190 136 9 ,46 125 89,5 
0 , 09 0 , 955 0 ,720 14 ,3 284 205 13 , 1 237 171 11 , 9 198 142 11 ,o 169 122 8 , 94· 111 80 , 0 
o, 10 0 ,950 0 ,724 13 ,6 256 185 12 ,4 213 154 11 ,3 178 129 10,5 152 110 8 , 51 100 72 ,4 
o, 11 0 , 945 0 ,728 13 , 0 233 169 11 , 9 194 141 10 , 8 162 118 10 ,0 139 101 8 , 13 90,9 66 , 1 
o, 12 0 ,940 0 ,731 12 , 5 213 156 11 ,4 178 130 10 ,4 148 108 9 ,64 127 92 ,9 7 , 81 83,3 60 , 9 
o, 13 ,0 ,935 0 , 735 12 , 0 197 145 11 ,o 164 121 10 ,0 137 101 9 , 29 117 86 , 2 7 , 52 76 , 9 56 ,6 
O, 14 !0 , 930 0 ,739 11 ,6 183 135 10 ,6 152 113 9 ,69 127 93 , 9 8 , 97 109 80 , 5 7 ,27 71 ,4 52 , 8 
o, 15 ,0 ,925 0 ,743 11 , 3 171 127 10 ,3 142 106 9 ,39 119 88 , 1 8 ,69 102 75 , 5 7 , 04 66,7 49 , 5 
' 
18 
() = o, 125 () = o , 150 () C2A = o , 180 () C2A =0 , 210 () - 0 ,320 C2A C29 C28 
k.% ks 
ou kz ou k2 k4 ka k2 k4 ka k2 k4 ka k2 k4 ka k2 
k4 ka 
<p "Ls QU ou· QU ou ou ou ou Oll' ou ou 
"1.4 ia "1.4 ta "1.4 "La "1.4 Ía "1.4 ta 
o , 16 0 , 920 0 ,747 11 , o 160 120 9 ,98 133 99 ,6 9 , 11 111 83 ,0 8 , 44 95 , 2 71 ,2 6 ,83 62 ,5 46 ,7 
o , 17 0 , 915 0 ,751 10 ,6 151 113 9 , 71 125 94 ,3 8 ,86 105 78 ,6 8 , 21 89 ,6 67 ,3 6 ,65 58,8 44,2 
o , 18 0 ,910 0 ,755 10 ,4 142 107 9 , 46 119 89 , 5 8 ,64 98,8 74 ,6 8 ,00 84 ,7 64 ,0 6,48 55 ,6 42 ,0 
o , 19 0 , 905 0 ,760 10 , 1 135 102 9 , 24 112 85,3 8 ,43 93 ,6 71 '1 7 , 81 80 , 2 60 , 9 6 ,32 52 ,6 40,0 
0,20 0 , 900 0 ,764 9,89 128 97,8 9 ,03 107 81,5 8,24• 88' , 9 67 ,9 7 ,63 76 , 2 58 ,2 6 , 18 50 ,0 38,2 
0 ,21 0 , 895 0 ,768 9 ,68 122 93 , 6 8 ,83 102 78,0 8 ,07 84 ,7 65,0 7 ,47 72 , 6 55 ,7 6 ,05 47,6 36 ,6 
0 , 2_?. 0 ,_.890 0 ,772 9, 48 116 89 , 9 8 ,65 97 ,o 74 , 9 7 ,90 ~0, , 8 62 ,4 7 , 31 69 ,3 53 , 5 5 , 93 45,5 35,1 
0 , 23 0 ,885 0 ,777 9 ,30 111 86 , 5 8,49 92 ,8 72 , 1 7,75 77 ,3 60 ,0 7 ' 17 66 ,3 51 , 5 5 , 81 43,5 33,8 
0 , 24 0 ,880 0 ,781 9 , 13 107 83 ,3 8 ,33 88,9 69 ,4 7 ,61 74 , 1 57 , 9 7 ,04 63 ,5 49,6 5 ,71 41,7 32,6 
0 , 25 0 ,875 0 ,786 8 , 97 102 80 , 5 8 , 19 85;3 67 ,0 7 ,48 71 ' 1 55 , 9 6 ,92 61 , o 47 ,9 5 , 61 40 ,0 31 , 4 
0 , 26 0 ,870 0 ,790 8.,82 98 , 5 77 , 8 8 ,05 82 , 1 64 ,8 7 ,35 68 ,4 54 ,0 6 , 81 58 ,6 46 ,3 5 , 51 38 , 5 30,4 
0 ,27 0 ,865 0 ,795 8 ,68 94 ,8 75 ,3 7 , 93 79 , 0 62 ,8 7,23 65 ,8 52 ,3 6 ,70 56 ,4 44 ,9 5,43 37 ,0 29 , 4 
0 ,28 0 ,860 0 ,799 8 , 55 91 ,4 73,1 7 ,80 76 , 2 60 , 9 7 , 12 63 , 5 50 ,8 6 ,60 54,4 43 , 5 5 ,34 35 ,7 28 ,6 
0 , 29' 0 ,855 0 ,804 8 ,42 88 ,3 · 71 ,o 7 ,69 73 ,6 59 , 2 7 ,02 61 ,3 49 ,3 6 ,50 52 , 5 42 ,3 5 , 27 34,5 27,7 
0 ,30 0 ,850 0 ,809 8 , 31 85 ,3 69 ,0 7 , 58 71 ' 1 57 , 5 6,92 59 3• . , 47 ,9 6 ,41 50 ,8 41 , 1 5 , 19 33 ,3 27,0 
0 ,31 0 ,845 0 ,814 8 ,20 82 ;6 67 , 2 7 ,48 68 ,8 56 , 0 6 ,83 57 ,3 46 ,7 6 ,32 49 ,2 40 ,0 5 , 12 32 ,3 26,2 
0 ,32 0 ,840 0 , 818 8 ,09 80 ,0 65 ,5 7,39 66,7 54 ,6 6 ,74 55,6 45 , 5 6 ,24 47 ,6 39 ,0 5,06 31 ,2 25,6 
0 ,33 0 ,835 0 ,823 7 , 99 77 ,6 63 ,9 7 ,30 64·, 6 53 ,2 6 ,66 53,9 44 ,4 6 , 17 46 , 2 38 ,0 5 ,00 30,3 25 ,0 
0 ,34' 0 , 830 0 ,828 7 ,90 75, 3 62 , 4 7 , 21 62 ,7 52 ,0 6 , 58 52 ,3 43 ,3 6 ,09 44,8 37 , 1 4 ,94 ' 29 ,4 24 ;4 
0 ,35 0,825 0 ,833 7 ,81 73 ;1 60 , 9 7 ' 13 61 ,0 50 ,8 6 , 51 50 ,8 42 ,3 6 , 02 · 43,5 36 ,3 4 ,88 28 ,6 23 ,8 
0 ,36 0 ,820. 0 ,838 7 ,72 71 ' 1 59 ,6 7 ,05 59 ,3 49 ,7 6,44' 49 ,4 41 ,4 5 , 96 · 42 ,3 35 ,5 4 ,83 27 , 8 23 , 3 
0 ,37 0 , 815 0 ,844 7 ,64 69 ,2 58 ,4 6 , 97 57 ,7 48 ,6 6,37 48 ,0 40 , 5 5 , 89 41 , 2 34 ,7 4 ,77 27 ,o 22 , 8 
0 ,38 0 ,810 0 ,849 7 ,56 67 ,4 57 , 2 6 ,90 56 , 1 47,7 6 ,30 46 ,8 39 ,7 5 , 83 40 , 1 34·,0 4 ,73 26 ,3 22 , 3 
0 ,39 0 , 805 0 ,854 7 ,49 65 ,6 56 , 1 6 ,84 54 ', 7 46 ,7 6,24· 45 ,6 38 ,9 5 ,78 39 , 1 33,4 4 ,68 25 ,6 21,9 
0 ,40 0 ,800 o ;859 7 , 42 64 ,0 55 ,.0 6 ,77 53 ,3 45 ,8 6 , 18 44,4 38 , 2 5 ,72 38 , 1 32 ,7 4 ,63 25 ,0 21,5 
0 ,41 0 ,795 0 ,865 7 ,35 62 ,4 54 ,0 6 , 71 52 ,0 45 ,0 6 , 12 43 , 4 37 , 5 5 ,67 37 , 2 32,1 4 ', 59 24 ,4 21 '1 
0 ,42 0 ,790 0 ,870 7 ,28 61 ,o 53 ,0 6 ,65 50,8 44 ·, 2 6 ,07 42 ,3 36 ,8 5 ,62 36 ,3 31 ,6 4 , 55 23 ', 8 20 ,7 
0 ,43 0 ,785 0 ,876 7 , 22 59 , 5 52 , 1 6 , 59 49 ,6 43 ,5 6,02 41 , 3 36 , 2 5 ,57 35 ,4 31. , 0 4 , 51 ~3 , 3 20 , 4 
0 ,44 0 ;780 0 ,881 7 , 16 58 , 2 51 ,3 6 ,54 48 , 5 42 ,7 5 ,97 40 ,4 35 ,6 5 , 53 34 ,6 30 , 5 4 ,48 22 ,7 20 , 0 
0 ,45 0 ,775 0 , 887 7 , 10 56 ,9 50 , 5 6 ,49 47 ,4 42 , 1 5,, 92 39 , 5 35, 0 5 , 48 33 , 9 30 ,0 4,44 22 ,2 19 ,7 
0 ,46 0 ,770 0 ,893 7 ,05 55 ,7 49 ,7 6,44 46 ,4 41 ,4 5 ,87 38 ,6 34 , 5 5 ,44 33 ~ 1 29 ,6 4 ,41 21 ,7 19,4 
0 ,47 0 ,765 0 ,899 7 ,00 54,5 49 ,0 6,39 45 ,4 40 ,8 5 ,83 37 ,8 34 ,0 5 ,40 32 ,4 29 , 1 4,37 2·1 ,3 19 , 1 
0 ,48 0 ,760 0 ,905 6 ,95 53 ,3 48 , 2 6 ,34 44 , 4 40 , 2 5 ,79 37 ,0 33 , 5 5 ,36 31 ,7 28 ,7 4 ,34 20 ,8 18~ 8 
0 ,49 0,75.5 0 , 911 6 , 90 52 ,2 47 ,6 6 ,30 43,5 39 ,6 5 ,75 36 ,3 33 ,0 5 , 32 31 ' 1 28 ,3 4 ,31 20 ,4 1.8 , 6 
0 , 50 0 ,750 0 , 917 6 ,85 51 , 2 46 , 9 6 , 25 42,7 39 , 1 5 ,71 35 ,6 32 ,6 5 , 29 30 , 5 27 ,9 4 ,28 20 ,0 18 ,3 
0 , 51 0 ,745 0 ,923 6 ,81 50 , 2 46,3 6 , 21 41 , 8 38 ,6 5,67 34·,9 32 , 2 5 , 25 29 , 9 27 ,6 4 ,25 19 ,6 18 , 1 
0 , 52 0 ,740 0 ,929 6 ,76 49 ,2 45 ,7 6,17 41 ,0 38 , 1 5 ,64 34 , 2 31 ,8 5 , 22 29 ,3 27 , 2 4 ·, 23 19,2 17 , 9 
0 , 53 0 ,735 0 ,935 6 ,72 48 ,3 45 ,2 6,14 . 40,3 . 37 ,7 5 ,60 33 ,5 31 ', 4 5 , 19 28 , 8 26 , 9 4 , 20 18 ,9 17 ,6 
0 , 54 0 ,730 0 ,942 6 ,68 47 ,4 44 ,6 6 , 10 39 , 5 37 ,2 5 ,57 32 ,9 31 ,o 5 , 15 28 , 2 26 ,6 4 , 18 18 , 5 17 , 4 
0 , 55 0 ,725 0 , 948 6 ,64 46 ,5 44 , 1 6 , 06 38,8 36 ,8 5 ,54 32 ,3 30 ,7 5 , 13 27 ,7 26 ,3 4 , 15 18 ,2 17 , 2 
0 , 56 0 ,720 0 ,955 6 ,61 45 ,7 43 ,7 6,03 38 , 1 3~,4 5 , 51 31,7 30 ,3 5 , 10 27 , 2 26 ,0 4 , 13 17,9 17 ' 1 
* 
19 
I· 
I 
TABELA 2 
Momentos em tem , comprimentos em em, armaduras em cm2 ·, tensões em t/cm2 
Aço 50 - CA ae = 3 , 0 t/cm2 
Armadura simples 
b 
h= k {f 2 b 
h bh2 M 
k . 
R 
M bh 
s sf = ksh = k-f 
4 
s = 1 ,65 
b 
Armadura dupla 
Mo 
bh2 
ka 
c . h t.M = M - M0 
bh t.M 
sf = - + o, 55 o -
k4 c 
X = kxh z = kzh 
t.M 
S:f = 0,550-
c 
cp 
b disp . 
aC2A = o, 125 a C2A .= o, 150 
kx k 3 
ou kz 
ou k4 ka k4 ka 
k2 k OU· qu cp i3 qu qu 2 1.4 l. . 1.4 ta e 
0,01 0 ,995 0 , 553 42 , 1 3200 1769 38 ,4 2667 1475 
0 ,02 0,990 0 , 556 29 , 8 1600 889 27 ,2 1333 741 
0 ,03 0 , 985 0,558 24 ,4 1067 596 22 , 3 889 496 
0,04 0 , 980 0 , 561 21 ,2 800 449 19,3 667 374 
0,05 0 ,975 0,564 19,0 640 361 17,3 533 301 
0 ,06 0,970 0, 567 17,4 533 302 15,9 444 252 
0 ,07 0 ,965 0 , 570 16,2 457 261 14·,7 381 217 
0,08 0,960 0 , 573 15' 1 400 229 13 ,8 333 191 
0 ,09 0,955 0,576 14,3 356 205 13,1 296 171 
o, 10 0 ,950 0,579 13 , 6 320 185 12,4 267 154 
0 , 11 0,945 0,582 13 ,0 291 169 11 ,9 242 141 
o, 12 0,940 0,585 12 , 5 267 156 11 ,4 222 130 
o, 13 0,935 0,588 12 ,0 246 145 11,0 205 121 
o, 14 0 ,930 0,591 11 , 6 229 135 10 ,6 190 113 
0,15 0 , 925 0 , 595 11 ,3 213 127 10,3 178 106 
20 
X = kxh 
b 'h 
Sf = -.-
t . 
4 
M 
z = o 550-, Sf 
Mo M - M' 
b h2 o 
ka =--
Mo 
b0 h i 3M' k3 M0 +--=--. +--
k4 · h h 
M 
z = 0 , 550--
sf 
ac28 = 0 , 180 a = 0,210 C2A ac - U, 320 2A . 
k4 ka 
k2 
k4 ka 
k2 
k4 ka 
k2 ou ou qu qu qu ou 
i4 ia ia l. . ta 1.4 4 
35,1 2222 1229 32,4 1905 1053 26,3 1250 691 
24,8 1111 617 23,0 952 529 18,6 625 347 
20 ,3 741 414 18 ,8 635 355 15 3 417 233 
17,7 556 312 16,3 476 267 13,2 312 175 
15,8 444 251 14,7 381 215 11 ,9 250 141 
14,5 370 210 13 ,4 317 180 10,9 208 118 
13,5 317 181 12 ,5 272 155 10,1 179 102 
12,6 278 159 11,7 238 136 9 ,46 156 89,5 
11 , 9 247 142 11 ,o 212 122 8,94 139 80,0 
1] ,3 222 129 10 ,5 190 11 0 8 , 51 125 72,4 
10,8 202 118 10,0 173 101 8,13 114 66' 1 
10,4 185 108 9,64 159 92 ,9 7,81 104 60,9 
10, 0 171 101 9 ,29 147 86 ,2 7 ,52 96,2 56,6 
9,69 159 93 ,9 8,97 136 80 ,5 7,27 89,3 52,8 
9 ,39 148 88 , 1 8 ,69 127 75 ,5 7,04 83,3 49,5 
(J c 2a = o , 125 (J = 0 , 150 (J C28 = o , 180 (J C28 = 0 , 210 (J C28 = 0 , 320 
kx ks 
C28 r . 
ou. kz ou k4 ke k4 ke k4 ke k4 ke k4 ke k2 k2 k2 k2 k2 
<p ts ou ou ou ou ou ou ou ou ou ou 
i4 ta 1.4 te · !.4 Íe te te i4 Íe 
o , 16 0 , 920 0 ,598 11 ,o 200 120 9 , 98 167 99 ,6 9 ,11 139 83 ,0 8 ,44 11 9 171 , 2 6 ,83 78 , I 46 ,7 
o, 17 0 , 915 0 ,601 10 ,6 188 11 3 9 ,71 157 94 ,3 8 ,86 131 78 ,6 8 , 21 112 67 ,3 6 ,65 73 , 5 44 ,2 
o, 18 0 , 910 0 , 604 10,4 178 107 9 ,46 148 89 ,5 8 ,64' 123 74 ,6 8 ,00 106 64 ,0 6,48 69 ,4 42,0 
0 ,1 9 0 ,905 0 ,608 10,1 168 102 9 ,24 140 85 ,3 8 ,43 11 7 7 1, I 7 , 81 100 60 ,9 6 ,32 65 ,8 40 ,0 
0 ,20 0 ,900 0 , 611 9 ,89 160 97 , 8 9,03 133 81,5 8·, 24 111 67 , 9 7 ,63 95 , 2 58 ,2 6,18 62,5 38 , 2 
0 , 21 0 ,895 0 ,615 9 , 68 152 93 ,6 8 , 83 127 78 ,0 8,07 106 65 ,0 7 ,47 90 ,7 55 ,7 6 ,05 59 ,5 36 ,6 
0 ,22 0 ,890 0 ,618 9 ,48 145 89 ,9 8 ,65 121 74 ,9 7 , 90 10"1 62 ,4 7 , 31 86 , 6 53 , 5 5 ,93 56,8 35 , 1 
0 ,23 0 ,885 0 ,621 9 ,30 139 86 , 58 , 49 116 72 , 1 7 ,75 96 ,6 60 ,0 7 ' 17 82 ,8 . 51 ,5 5 ,81 54 ,3 33 , 8 
0 ,24 0 ,880 0 ,625 9 , 13 133 83 , 3 8 ,33 111 69 ,4 7,61 92 ,6. 57 ,9 7,04 f79,4 49 ,6 5 ,71 52 , 1. 32 , 6 
0 ,25 0 ,875 0 ,629 8 ,97 128 80 ,5 8 , 19 107 67,0 7 .,48 88,9 55 , 9 6 , 92 f76,2 47 ,9 5 , 61 50 ,0 31 , 4 
o ·, 26 0 ,870 0 ,632' 8 ,82 123 77 ,8 8 ,05 103 64 , 8 7 ,35 85 , 5 54 ,0 6 ,81 173 , 3 46 ,3 5 , 51 48 , I 30 , 4 
0,27 0,865 0 ,636 8 , 68 119 75 ,3 7 , 93 98 ,8 62 ,8 7 ,23 82.,3 52, 3 6 ,70 f70 ,6 44 ,9 5,43 46,3 29 , 4 
0,28 0 ,860 0 ,640 8 ,55 11 4 73 , I 7 ,80 95 , 2 60 ,9 7 , 12 79 ,4 50 ,8 6 , 60 68 ,0 43, 5 5 ,34 44 ,6 28 ,6 
0 ,29 0 ,855 0 ,643 8 ,42 11 0 71 , o 7 , 69 92 ,0 59 , 2 7 ,02 76 ,6 49 ,3 6 , 50 65 ,7 42 , 3 5,27 43 , I 27 ,7 
0 ,30 0 ,850 0 ,647 8 ,31 107 69 ,0 7 ,58 88 ,9 57 ,5 6,92 74 ,1 47 , 9 6 , 41 63 , 5 41,1 5 ,1 9 41 ,7 • 27,0 
0 ,31 0 ,845 0 ,651 8 ,20 103 67 , 2 7 ,48 86 ,0 56,0 6 ,83 71,7 46,7 6 ,32 61 ,4 40,0 5,12 40,3 26 ,2 
0,32 0 ,840 0 , 655 8,09 100 65 , 5 7 , 39 83 , 3 54 ,6 6 ,74 69 ,4 45 , 5 6 ,24 59 , 5 39 ,0 5,06 39 ,1 25 ,6 
0 ,33 0 , 835 0 ,659 7 ,99 97 ,0 63,9 7 ,30 80 , 8 53,2 6 , 66 67 ,3 44 ,4 6 ,1 7 57 ,7 38 ,0 5 ,00 37 ,9 25 ,0 
0 ,34 0 ,830 0 ,663 7 , 90 94 ,1 62 ,4 7,21 78 ,4 52 ,0 6, 58 65 ,4 43 ,3 6 ,09 56 ,0 37 ,I 4 ,94 36 ,8 24 , 4 
0 ,35 0 ,825 0 ,667 7 ,8l 91 ,4 60 , 9 7 ' 13 76 , 2 50 , 8 6 ,51 63 , 5 42 ,3 6 ,02 54 ,4 36 ,3 4,88 35 ,7 23 ,8 
0 ,36 0 ,820 0,671 7 ,72 88 ,9 59 ,6 7 ,05 74 ,1 49 ,7 6 ,44 61,7 41,4 5 , 96 52 , 9 35 , 5 4,83 34,7 23,3 
0,37 0 ,815 0 , 675 7 ,64 86 ,5 58 ,4 6 ,97 72 ,1 48 ,6 6 ,37 60, I 40 , 5 5 ,89 51 . 5 34 ,7 4,77 33 ,8 22 ,8 
0 ,38 0 ,810 0 ,679 7 , 56 84 , 2 57 , 2 6 , 90 70 , 2 47 ,7 6 ,30 58 ,5 39 ,7 5 ,83 50 ,1 34 ,0 4 ,73 32 ,9 22 ,3 
0,39 0 ,805 0 ,683 7 ,49 82 , 1. 56 ,1 6 ,84 68 ,4 46 ,7 6 ,24. 57 ,0 38 ,9 5 ,78 48 , 8 33 ,4 4 ,68 32,1 21 ,9 
0 ,40 0 ,800 0 , 688 7 , 42 80 ,0 55 ,0 6 ,77 66 ,7 45,8 6 ,1 8 55 ,6. 38 ', 2 5 ,72 47 , 6 32 ,7 4 ,63 31 ,2 21,5 
0 ~41 0 ,795 0 , 692 7 ,35 78 ,0 54 ,0 6 ,71 65 ,0 45 ,0 6 ,1 2 54,2 37 ,5 5 , 67 46 , 5 32 ,1 4 , 59 30, 5 21 , I 
0 ,42 0 ,790 0,696 7,28 76 ,2 53 ,0 6 ,65 63 , 5 44 , 2 6 ,07 52 ,9 36 ,8 5 ,62 45 , 4 31,6 4,55 29 , 8 20 ,7 
0 ,43 0 ,785 0 ,701 7,22 74 ,4 52 ,1 6,59 62 , 0 43,5 6 ,02 51 ,7 36 , 2 5 , 57 44, 3 31 ,o 4 , 51 29 , I 20 , 4 
0 ,44 0 ,780 0 ,705 7 ' 16 72 ,7 51, 3 6 , 54 60 ,6 42 ,7 5 ,97 50 , 5 35,6 5 , 53 43 ,3 30 ,5 4,48 28 ,4 20 ,0 
0 ,45 0 ,775 0 ,710 7 D 10 71, I 50 , 5 6 ,49 59 ,3 42 ,1 5 , 92 49 ,4 35 ,0 5 ,48 42 , 3 30,0 4 ,44 27 ,8 19,7 
0 ,46 0 ,770 0,714 7 ,05 69 ,6 49 ,7 6 , 44 58 ,0 41 , 4 5 , 87 48,3 34 , 5 5,44 41 , 4 29 ,6 4 , 41 27 ,2 19 , 4 
0 ,47 0,765 0,719 7 ,00 68 , I 49,0 6 , 39 56 ,7 40 ,8 5 ,83 47 ,3 34 ,0 5 ,40 40 , 5 29 , I 4,37 26 ,6 19, I 
0 ,48 0 ,760 0 ,724 6 ,95 66 ,7 48 ,2 6 ,34 55 ,6 40 , 2 5 ,79 46.,3 33 , 5 5 , 36 39 ,7 28 ,7 4,34 26 ,0 18,8 
0 ,49 0 ,755 0 ,728 6 ,90 65, 3 47 ,6 6 ,30 54,4 39 ,6 5 .75 45 ,4 33 ,0 5 , 32 38, 9 28 ,3 4,31 25 ,5 18,6 
0,50 0 ,750 0 ,733 6 ,85 64 ,0 46 ,9 6 ,25 53 , 3 39 , I 5,7 1 44 ,4 32 ,6 5 ,29 38 ,1 27 ,9 4 ,28 25,0 18 , 3 
0 , 51 0 ,745 0 ,738 6 ,81 62 ,7 46 ,3 6,21 52 ,3 38 ,6 5 , 67 43 ,6 32 ,2 5 , 25 37, 3 27 ,6 4 ,25 24 , 5 18 , I 
• 
21 
TABELA 3 
Aço com : ae = 4,0 t/cm 2 . 
s=1,65 
Momentos em tem, comprimentos em em, armaduras em <Cm2, tensões em ti cm 2 
b Armadura simples b Armadura dupla 
h = k{f bh
2 
2 b Mo 
h 
bh2 h 
k6 -· 
c 
M 
k6 
6M = M - Mo 
M bh bh 6M 
Sf Sf = ks - sf Y-0,4125--h k4 • k4 6M c 
S,f 0,4125-
c 
M 
X - kxh z = kz h X = kx h z = 0,4125 
sf 
b b , h2 
I 
M 
~ 
i6 
Mo M - M' 
bo h2 
k6 
Mo 
b'h b0 h is M' ksMo 
'Sf + -- + 
~4 k4 h h 
b' 1 2 bo b' 1 2 M 
d z = 0,4125 
qJ =h b disp . bo + 12d Sf 
kx ks 
ac =o , 125 
28 
a 
C2A 
=o, 1 so a =o,180 
C28 a C2A "" 0,210 a C28 =0,320 
ou kz ou 
qJ ~3 k4 k6 k4 k6 k4 ka k4 ka 
k2 
k4 ka 
k2 ou qu k2 qu ou k2 ou qu k2 qu qu qu qu 
~4 ~6 ~4 i6 i4 ~6 ~4 ~6 ~4 · ~6 
0,01 0 ,995 0,415 42,1 4267 1769 38 ,4 3556 1475 35,1 2963 1229 32,4 2540 1053 26,3 1667 691 
0,02 0,990 0 ,417 29,8 2133 889 27 , 2 1778 741 24,8 1481 617 23,0 1270 529 18,6 833 347 
0,03 0 ,985 0 ,419 24,4 1422 596 22 ,3 1185 496 20 ,3 988 414 18 ,8 847 355 15,3 556 233 
0,04 0 ,980 0 ,421 21,2 1067 449 19 , 3 889 374 17 ,7 741 312 16,3 635 267 13,2 417 175 
0,05 0 ,975 0,423 19 ,0 853 361 17,3 711 301 15,8 593 251 14,7 508 215 11 ,9 333 141 
0 ,06 0,970 0 , 425 17 ,4 711 302 15,9 593 252 14,5 494 210 13,4 423 180 10,9 278 118 
0,07 0,965 0 , 427 16 ,2 610 261 14,7 508 217 13 5 423 181 12,5 363 155 10 , 1 238 102 
0,08 0 ,960 0 , 430 15 ,1 533 229 13,8 444 191 12 ,6 370 159 11 '7 317 136 9,46 208 89,5 
0,09 0,955 0,432 14,3 474 205 13,1 395 171 11 , 9 329 142 11 ,o 282 122 8,94 185 80,0 
o, 10 0,950 0,434 13,6 427 185 12,4 356 154 11 ,3 296 129 10 , 5 254 110 8,51 167 72,4 
o, 11 0,945 0 ,437 13,0 388 169 11 '9 323 141 10,8 269 118 10,0 231 101 8,13 152 66 , 1 
0,12 0,940 0,439 12 ,5 356 156 11 ,4 296 130 10 ,4 247 108 9,64 212 92,9 7 , 81 139 60,9 
0,13 0,935 0,441 12,0 328 145 11 ,o 274 121 10,0 228 101 9,29 195 86 ,2 7,52 128 56,6 
0 , 14 0,930 0,444 11 ,6 305 135 10 ,6 254 113 9,69 212 93 ,9 8,97 181 80,5 7,27 119 52,8 
0,15 0 ,925 0,446 11 ,3 284 127 10 ,3 237 106 9 , 39 198 88,1 8 ,69 169 75 , 5 7 ,04 111 49,5 
22 
kx ks 
(J C
28 
= 0, 1 2 5 (J c 28 = o ' 1 5 o ac =o,180 28 Oc =0,210 28 0 =o,320 C28 
ou kz ou 
k2 k4 ka k2 
k4 ' ka k2 k4 ka k2 
k4 ' ka k2 k4 ka <p is ou ou ou ou qu qu qu qu ou ou 
'1.4 I. a i4 ia '1.4 I. a '1.4 I.s i4 ia 
0,16 0,920 0 ,448 11,0 267 120 9,98 222 99,6 9.11 185 83,0 8 ,44 159 71 ,2 6,83 104 46,7 
0 , 17 0 ,915 0,451 10,6 251 113 9,71 209 94 ,3 8,86 174 78,6 8 , 21 149 67,3 6,65 98,0 44,2 
·o , 18 0,910 0,453 10,4 237 107 9,46 198 89,5 8,64 165 74,6 8,00 141 64,0 6 ,48 92,6 42,0 
0,19 0,905 0 ,456 10,1 225 102 9,24 187 85,3 8,43 156 71,1 7,81 134 60,9 6,32 87,7 40,0 
0,20 0,900 0 ,458 9,89 213 97,8 9,03 178 81 , 5 8,24 148 67,9 7,63 127 58,2 6,18 83,3 38,2 
0 , 21 0,895 0,461 9,68 203 93,6 8 ,83 169 78 , 0 8,07 141 65,0 7 ,47 121 55,7 6,05 79,4 36,6 
0,22 0,890 0 ,463 9,48 194 89,9 8,65 162 74 , 9 7,9G ·1 95 62,4 7,31 115 53, 5 5,93 75,8 35,1 
0 ,23 0,885 0,466 9,30 186 86,5 8 ,49 155 72,1 7,75 129 60,0 7,17 110 51,5 5,81 72,5 33,8 
0 ,24 0,880 0,469 9,13 178 83,3 8,33 148 69,4 7,61 123 57,9 7,04 106 49,6 5,71 69,4 32,6 
0,25 0,875 0,471 8,97 171 80 , 5 8,19 142 67,0 7,48 119 55 , 9 6,92 102 47 , 9 5,61 66,7 31,4 
. . 
0,26 0,870 0,474 8,82 164 77 ,8 8 ,05 137 64,8 7 ,35 114 54,0 6,81 97 ,7 46 ,3 5 ,51 64,1 30,4 
0 ,27 0,865 0,477 8,68 158 75,3 7,93 132 62,8 7,23 11 o 52,3 6,70 94,1 44,9 5,43 61,7 29 ,4 
0 ,28 0,860 0,480 8,55 152 73,1 7,80 127 60,9 7 ' 12 106 50,8 6,60 90,7 43,5 5,34 59,5 28,6 
0,29 0,855 0 ,482 8 ,42 147 71, 0 7 , 69 123 59,2 7,02 102 49,3 6,50 87,6 42,3 5 ,27 57,5 27,7 
0,30 0,850 0 ,485 8,31 142 69,0 7,58 119 57,5 6,92 98,8 47 , 9 6,41 84,7 41 ,.1 5,19 55,6 27,0 
0 ,31 0,845 0,488 8, 20 138 67 ·,2 7 ,48 115 56,0 6,83 95,6 46,7 6,32 81 ,9 40,0 5,12 53,8 26,2 
0,32 0,840 0,491 8,09 133 65,5 7,39 111 . 54,6 6,74 92,6 45,5 6,24 79,4. 39,0 5,06 52,1 25,6 
0 , 33 o.835 0,494 7,99 129 63 ,9 7,30 108 53 , 2 6,66 89,8 44,4 6,17 77 ,0 38,0 5,00 50,5 25 ,0 
0,34 0,830 0,497 7 , 90 125 62,4 7 ,21 105. 52,0 6 , 58 87 ' 1 43,3 6,09 74 ,7 37.1 4,94 49,0 24,4 
0,35 0 ,825 0,500 7,81 122 60,9 7,13 102 50 , 8 6,5 í 84 ,7 42,3 6,02 72,6 36,3 4,88 47,6 23,8 
~ '; . 
0,36 0 ,820 0 , 503 7 ,72 119 . 59 ,6 7,05 98 ,8 49,7 6,44 82 ,3 41 ,4 5 ,96 70 ,5 35,5 4,83 46,3 23,3 
0,37 0,815 0,506 7,64 115 58 ,4 6 ,97 96,1 48,6 6 ,37 80 ,1 40,5 5 ,89 68,6 34,7 4 ,77 45,0 22,8 
0,38 0,810 0 , 509 7,56 112 57,2 6,90 93,6 47,7 6,30 78,0 39,7 5,83 66,8 34 , 0 4,73 43,9 22 ,3 
0 ,39 0,805 0,512 7,49 109 56,1 6,84 91,2 46,7 6 , 24 76,0 38 ,9 5,78 65 ,1 33,4 4,68 42 ,7 21 ,9 
0,40 0,800 0,516 7,42 107 55 ,0 6,77 88 , 9 45,8 6 ,1 8 74,1 38,2 5,72 63,5 32 ,7 4,63 41,7 21 ,5 
0,41 0,795 0,519 7,35 104 54 ,0 6 ,71 86 ,7 45,0 6,12 72,3 37,5 5,67 61,9 32,1 4 , 59 40,721 '1 
0,42 0,790 0,522 7,28 102 53 ,0 6,65 84 ,7 44,2 6 ,07 70 , 5 36 ,8 5 ,62 60,5 31,6 4,55 39 ,7 20,7 
0,43 0,785 0,525 7 ,22 99,2 52,1 6,59 82,7 43,5 6,02 68,9 36,2 5,57 59,1 31 ,o 4,51 38,8 20 ,4 
0,44 0,780 0,529 7' 16 97 ,o 51,3 6,54 80,8 42,7 5,97 67,3 35,6 5 , 53 57 ,7 30,5 4,48 37,9 20,0 
* 
23 
b 
I· 
X 
kx 
ou 
q> 
0 ,01 
0 ,02 
0 , 03 
0 ,04 
0 , 05 
0 ,06 
0 , 07 
0 , 08 
0 ,09 
0 ,1 0 
0 , 11 
o , 12 
o , 13 
0 ,1 4 
o , 15 
TABELA 4 
Aço 37-CA : O"e = 2 , 4 t / cm2 
s '-= 2, 10 
Momen t os em tem , comp r imentos em em , armaduras em cm2, t ensões em t / cm2 
A rmadura s imples 
h 
b 
S ' t-I --i 
f~ 
A rmadura dupla 
h ' 
M 
s
1 
= k .!!_ 
3 h 
r~ch ~M M - Mo 
bh 
z 
X 
b ' /2 
() .== 0 125 0" CQA =0 , 150 
k3 C2A ' 
kz 
ou 
k2 k 4 ka k2 k4 ka ou qu qu ou 
l.s 1.4 I. a 1.4 ia 
0 ,995 0 ,838 46 , 3 2560 2144 42 ,3 2133 1787 
0 ,990 0 ,842 32 , 8 1280 1\577 30, 0 1067 898 
0 ,985 0 ,846 26 ,9 853 722 24 , 5 711 602 
0 , 980 0 , 850 23 , 3 640 544 21 , 3 533 454 
0 , 975 0 ,855 20 ,9 512 438 19 , 1 427 365 
0 ,970 0 ,859 19 , 1 427 367 17 , 5 356 305 
0 , 965 0 ,864 17 , 8 366 316 16 , 2 305 263 
0 , 960 0 ,868 16 ,7 320 278 15 , 2 267 231 
0 , 955 0 ,873 15 ,7 284 248 14 , 4 237 207 
0,950 0 ,877 15 , 0 256 225 13 ,7 213 187 
0 , 945 0 ,882 14, 3 233 205 13 , 1 194 17 1 
0 ,940 0 , 887 13 ,7 213 189 12 ,6 178 158 
0 , 935 0 , 891 13 ,2 197 175 12 ,1 164 146 
0 ,930 0 ,896 12 ,8 183 164 11.7 152 137 
0 ,925 0 , 901 12 , 4 171 154 jj , 3 142 128 
24 
X 
z :: 0 , 833 
cr c
28
.=o , 180 
k2 k 4 ka qu ou 
1. 4 i s 
38 ,6 1778 1489 
27 ,4 889 748 
22 , 4 593 501 
19 , 4 444 378 
17 , 4 356 304 
16 , 0 296 255 
14 , 8 254 219 
13 , 9 222 193 
13 , 1 198 172 
12 , 5 178 156 
11, 9 162 143 
11 , 5 148 131 
11,0 137 122 
10 ,7 127 11 4 
10 , 3 119 107 
z 
' ~M 
Sf "' O , 8 3 3 -e-
M 
0,833 
sf 
b ' h2 
M' = --.-
L a 
Mo 
M 
c 
O"C!2A =0 , 2 10 cr c28 =o , 320 
k2 k 4 ka k2 k4 ka qu ou ou ou 
1.4 . is i4 Ís 
35 ,7 1524 1276 28 , 9 100C 838 
25 , 3 762 641 20 , 5 50 C 421 
20 , 7 508 430 16 , 8 333 282 
18 , 0 381 324 14 , 6 250 213 
16 ,1 305 260 13 , 1 200 171 
14 ,8 254 218 12 ,0 167 143 
13 ,7 218 188 11 , 1 143 123 
12 , 9 190 165 10 ,4 125 109 
12 ,2 169 148 9 ,85 111 97 ,0 
11 , 6 152 134 9 , 37 100 87 ,7 
11 , 0 139 122 8 , 95 90 , 9 80 , 2 
10 , 6 127 11 3 8 ,60 83 , 3 73 , 9 
10 , 2 11 7 104 8 , 28 76 , 9 68 , 6 
9 ,87 109 97 , 5 8 ,00 71 ,4 64 ,0 
9 , 57 102 91, 5 7 ,75 66 ,7 60 , 1 
I 
ou ou 
0 , 16 0 , 920 0 ,906 12 ,0 
0 , 17 0 ,915 0 ,911 11,7 
0 , 18 0 ,910 0 , 916 11 , 4 
o, 19 0 ,905 0 ,921 11, 1 
0 , 20 0 , 900 0 ,926 10 ,9 
0 , 21 0 , 895 0 , 931 10 ,7 
0 ,22 0 ,890 0 , 936 10 ,4 
0 , 23 0 ,885 0 , 942 10 , 2 
0 , 24 0 ,880 0 , 947 ' 10 ,0 
0 , 25 0 , 875 0 , 952 9 ,87 
(J _ ,.. ·--
C 28 - v , JoV 
160 145 11 ,0 133 121 10 ,0 111 101 
151 137 10 ,7 125 11 4 9 ,76 105 95 ,2 
142 130 10,4 11 9 109 9, 51 98 , 8 90 , 5 
135 124 10 , 1 11 2 103 9 , 28 93 ,6 86 ,2 
128 11 9 9 , 94 107 98 ,8 9 ,07 88, 9 82 , 3 
- - -· '"'· .- ....... v C
2
B - v 9 t:.. 1 v 
9 , 29 95 ,2 86 ,3 
9 ,03 89 , 6 81, 6 
8 , 80 84 ,7 77 ,5 
8 , 59 80 , 2 73 , 9 
8 ,40 76 , 2 70 , 5 
V CQA = C , 3 ~G 
7 ,52 
7 ,32 
7 , 13 
6 , 96 
6 ,80 
' ' ·· "4 ~ -- /'(. a 
qu qu 
ta t a 
62 , 5 56 , 6 
58 ,8 53 , 6 
55 ,6 50 , 9 
52 ,6 48 ,5 
50 ,0 46 ,3 
122 11 4 9 ,73 102 94 , 6 8 ,88 B4n7 78 , 8 8 , 22 72 ,6 67 ,6 6 , 66 47 ,6 44 ,3 
116 109 9 , 53 97 , 0 90 ,8 8 ,70 80 ,8 75 ,7 8 ,05 69 ,3 64 ,9 6 , 52 45 , 5 42 , 6 
11 1 105 9, 35 92 , 8 87 ,3 8 , 53 77 ,3 72 ,8 7 , 90 66 , 3 62 ,4 6 ,40 43 ,5 40, 9 
107 101 9 , 17 88 , 9 84 ,2 8 ,38 74 , 1 70 ,1 7 ,75 63 , 5 60 ,1 6 , 28 41,7 39 , 5 
102 97 , 5 9 ,01 85 ,3 81 ,3 8 ,23 71, 1 67 ,7 7 , 62 61 ,o 58 , 1 6 ,17 40 ,0 38 , 1 
0 , 26 0 ,870 0 , 958 9,71 98 , 5 94 , 3 8 ,87 82 , 1 78 , 6 8 ,09 68 ,4 65 ,5 7 ,49 58 ,6 56 , 1 6 , 07 38 ,5 36 , 8 
0 ,27 0 , 865 0 , 963 9, 56 94 ,8 91,3 8 ,73 79 ,0 76 , 1 7 ,96 65 ,8 63 ,4 7 ,37 56 ,4 54 ,4 5 ,97 37 ,0 35 ,7 
0 ,28 0 , 860 0 , 969 9,41 91,4 88 , 6 8 , 59 76 ,2 73 ,8 7 ,84 63 , 5 61, 5 7 , 26 54 ,4 52 ,7 5 ,88 35 ,7 34 , 6 
0 , 29 0 ,855 0 ,975 9 ,27 88 ,3 86 ,0 8 ,47 73 , 6 71,7 7 ,73 61.3 59 , 8 7 ,1 6 52 , 5 51,2 5 ,80 34 , 5 33 , 6 
0 ,30 0 , 850 0 , 980 9, 15 85 ,3 83 ,7 8 ,35 7 1, 1 69 ,7 7 ,62 59 ,3 58 , 1 7 ,06 50 , 8 49 ,8 5 ,72 33 ,3 32 ,7 
0 ,31 0 ,845 ,0 ,986 9 ,02 82 , 6 81,4 8 ,24 68 , 8 67 ,9 7 ,52 57 ,3 56 , 6 6 ,96 49 ,2 48 ,5 5 ,64 32 ,3 31 ,8 
0 ,32 0 ,840 0 , 992 8 , 91 80 ,0 79 ,4 8 , 13 66 ,7 66 , 1 7 ,42 55 ,6 55 ,1 6 ,87 47 ,6 47 ~2 5 ,57 31 ,2 31 ,0 
0 ,33 0 ,835 0 ,998 8 ,80 77 ,6 77 ,4 8 ,03 64 ,6 64 , 5 7 ,33 53 ,9 53 ,8 6 ,79 46 ,2 46 , 1 5 ,50 30 ,3 30 , 2 
0 , 34 0 ,830 1,004 8 ,69 75 ,3 75 ,6 7 ,94 62 ,7 63 ,0 7 , 24 52 .,3 52 , 5 6 ,71 44 ,8 45 ,0 5 ,43 29 ,4 29 , 5 
0 ,35 0 , 825 1,0 i 0 8 ,60 73 ,1 73 , 9 7 , 85 61,0 61,6 7 ,1 6 50 ,8 51, 3 6 ,63 43 ,5 44 ,0 5 ,37 28 ,6 28 , 9 
0 , 36 0 ,820 !, 016 8. 50 7 1, 1 72 , 3 7,76 59 , 3 60 , 2 7 ,08 49 ,4 50 ,2 6 ,56 42 , 3 43 ,0 5 , 31 27 ,8 28 , 2 
0 ,37 0 ,815 1, 022 8 ,41 69 , 2 70 ,7 7 , 68 57 ,7 59 ,0 7 ,0 1 48 ,0 49,1 6 , 49 41, 2 42 , 1 5 ,26 27 ,0 27,6 
0 , 38 0 , 810 1,029 8 , 32 67 , 4 69 ,3 7 ,60 56 , 1 57 ,8 6 ,94 46 ,8 48 ,1 6 ,42 40 ,1 41,3 5 , 20 26 ,3 27 , 1 
0 , 39 0 ,805 1,035 8 , 24 65 ,6 68 ,0 7 ,53 54 ,7 56 ,6 6 ,87 45 ,6 47 , 2 6 , 36 39 , 1 40 ,4 5 , 15 25 ,6 26 , 5 
0 ,40 0 ,800 ! ,042 8 , 17 64 ,0 66 ,7 7 ,45 53 ,3 55 , 6 6 ,80 44 , 4 46 ,3 6 , 30 38 ,1 39 ,7 5 , 10 25 ,0 26 ,0 
0 ,41 0 ,795 1,048 8 ,09 62 ,4 65 ,4 7 ,39 52 , 0 54 , 5 6 ,74 43 ,4 45, 5 6 , 24 37 , 2 39 ,0 5 ,06 24 ,4 25 , 6 
0 ,42 0 ,790 1,055 8 ,02 61 ,o 64 ,3 7 , 32 50 ,8 53 ,6 6 ,68 42 ,3 44 ,6 6 ,1 9 36 ,3 38 ,3 5 , 01 23 ,8 25 ,1 
0 ,43 0 ,785 1, 062 7 ,95 59 , 5 63 , 2 7 , 26 49 , 6 52 ,7 6 ,62 41,3 43 ,9 6 ,1 3 35 ,4 37 , 6 4 , 97 23 ,3 24 ,7 
0 ,44 0 ,780 1,068 7 ,88 58 ,2 62 , 2 7 , 20 48 , 5 51,8 6 , 57 40 ,4 43 , 2 6 , 08 34 ,6 37 ,0 4 , 93 22 ,7 24 ,3 
0 ,45 0 ,775 1,075 7 ,82 56 , 9 61,2 7 ,1 4 47 , 4 51,0 6 , 52 39 , 5 42 , 5 6 ,03 33 , 9 36 ,4 4 ,89 22 ,2 23 , 9 
0 , 46 0 ,770 1,082 7 ,76 55 ,7 60 ,2 7 , 08 46 ,4 50 ,2 6 , 47 38 ,6 41,8 5 ,99 33 ,1 35 ,9 4 ,85 21 ,7 23 , 5 
0 ,47 0 ,765 1,089 7 ,70 54 ,5 59 , 3 7 ,03 45 ,4 49 ,4 6 ,42 37 , 8 41 , 2 5 ,94 32 ,4 35 ,3 4 ,81 21,3 23 ,2 
0 ,48 0 ,760 1,096 7 ,65 53 , 3 58 ,5 6 , 98 44 ,4 48 ,7 6 ,37 37 ,0 40 ,6 5 , 90 31 ,7 34 ,8 4 ,78 20 ,8 22 , 8 
0 ,49 0 ,755 1,1 04 7 ,59 52 ,2 57 ,7 6 , 93 43 . 5 48 . 1 6 . 33 36 ,3 40 .0 5 ,86 31. 1 34 ,3 4 ,75 20 .4 22,5 
0 ,50 0 ,750 1,1 11 7 , 54 51,2 56 ,9 6 ,88 42 ,7 47 ,4 6 ,29 35 ,6 39 , 5 5 ,82 30, 5 33 , 9 4 ,71 20 ,0 22 , 2 
0 , 51 0 ,745 1, 11 9 7 ,49 50 ,2 56 , 1 6 ,84 41, 8 46 ,8 6 ,24 34 ,9 39 ,0 5 ,78 29 ,9 33 ,4 4 ,68 19,6' 21, 9 
0 , 52 0 ,740 1, 126 7 ,45 49 ,2 55 ,4 6 ,80 41,0 46 ,2 6 , 20 34, 2 38 , 5 5 ,74 29 ,3 33 ,0 4 ,65 19 ,2 21,7 
0 , 53 0 ,735 1. 134 7 ,40 48 ,3 54 ,8 6 ,76 40, 3 45 ,6 6 , 17 33 ,5 38 ,0 5 ,71 28 ,8 32 ,6 4 ,62 18 , 9 21, 4 
0 ,54 0 ,730 1, 142 7 ,36 47, 4 54 ,1 6 ,72 39 , 5 45 , 1 6 ,1 3 32 ,9 37 ,6 5 , 68 28 , 2 32 ,2 4, 60 18 ,5 21,1 
0,55 0 ,725 1, 149 7 ,31 46 . 5 53 ,5 6 ,68 38 ,8 44 ,6 6 , 10 32, 3 37 ,2 5 .64 27,7 31,8 4,57 18 ,2 20 ,9 
25 
k 
X 
ou 
cp 
0,01 
0 ,02 
0,03 
0,04 
0 ,05 
0 ,06 
0,07 
0,08 
0,09 
o, 10 
o, 11 
0,12 
0 ,1 3 
0, 14 
o, 15 
TABELA 5 
Aço 50 - CA ae=3,0 t/cm 2 : s=2 , 0 
Momentos em tem, comprimentos em em, armaduras em cm 2 , tensões em t/cm2 
k• 
z 
0 ,995 
0,990 
0,985 
0,980 
0,975 
0,970 
0,965 
0,960 
0,955 
0,950 
0,945 
0,940 
0,935 
0,930 
0,925 
Armadura simples 
z 
d 
h 
h=k 1 JM"' 
2 Vb" 
M 
bh
2 
M bh 
sf ks- =-
h k4 • 
b di sp. 
a c
28 
=o , 125 ac
28 
=o, 150 
ks 
ou k4 ke k4 ke k2 qu ou k2 qu qu 
ts · 1.4 l.e o 1.4 l.e 
0,670 46,3 3200 2144 42,3 2667 1787 
0,673 32,8 1600 1 CJ77 . 30,0 1333 898 
0 ,677 26,9 1067 722 24 ,5 889 602 
0,680 23,3 800 544 21 , 3 667 454 
0,684 20,9 640 438 19,1 . 533 365 
o • .s87 19 ,1 533 367 17,5 444 305 
0 ,691 J 7, 8 457316 16,2 381 263 
o ;694 16,7 400 278 15,2 333 231 
0,698 15,7 356 248 14,4 296 207 
0,702 15,0 320 225 13 ,7 267 187 
0,705 14,3 291 205 13,1 242 171 
0,709 13,7 267 189 12,6 222 158 
0,713 13,2 246 175 12.1 205 146 
0,7 17 12,8 229 164 t1,7 190 137 
0,721 12,4 . 213 154 ti ,3 178 128 
X 
Armadura dupla 
h ' 
c h M - Mo 
bh liM 
sf =- +o,667-
k4 c 
liM 
S > f = 0 , 667 -c 
M 
0,667 s 
f 
z 
) b 'h 
2 
M = --
te 
M0 = M - M' 
boh
2 
ker=--
Mo 
b 'h b0 h s =--+--= i 3 M' k3 M0 --+--
f i4 • k4 h h 
M 
z 0,667-:s 
f 
a c
28 
=o, 1 ao a c
28 
=o, 21 o a c
28 
=0, 320 
ka k4 ka k4 ke k 4 k2 qu qu k2 ou ou k2 qu ou 
1.4 l.e .1.4 l.e 1.4 l.e 
38,6 2222 1489 35,7 1905 1276 28,9 1250 838 
27,4 1111 748 25,3 952 641 20,5 625 421 
22,4 741 . 501 20,7 635 430 16,8 417 282 
19,4 556 378 18,0 476 324 14,6 312 213 
17,4 444 304 16,1 381 260 13,1 250 171 
16,0 370 255 14,8 317 218 12,0 208 143 
14,8 317 219 13,7 272 183 11 '1 179 123 
13,9 278 193 12,9 238 165 10,4 156 109 
13,1 247 172 12,2 212 148 9g85 139 97,0 
12,5 222 156 1 J ,6 190 134 9 ,37 125 87.7 
11 ,9 202 143 11 ,o 173 122 8 , 95 114 80,2 
1.1 , 5 185 131 10,6 159 113 8,60 104 73,9 
11,0 171 122 10,2 147 104 8,28 96,2 68,6 
10,7 159 114 9,87 136 97 ,5 8,00 89,3 64,0 
10,3 148 107 9, 57 127 91,5 7 ,75 83 , 3 60 , 1 
• 
(5 "' 0 .1 25 (5 CQS =O. 1 50 cr c
2
a =o , 1 ao (5 CQS "' 0 , 2 1 0 crc2a =o , 320 
kx ks C28 
9 
ou 
kz 
ou k4 ke k4 ke k4 ke k4 ke k4 ks 
k2 qu ou k2 ou ou k2 ou qu k2 qu qu k2 ou ou 
q> ts t4 te t4 te t4 te t4 te t4 i e 
o , 16 0 ,920 0 ,725 12,0 200 145 11 ,o i 67 121 10, 0 139 101 9,29 11 9 86 ,3 7,52 78,1 56 ,6 
o , 17 0 , 915 0 ,729 11,7 188 137 10,7 157 114 9 ,76 131 95 , 2 9,03 11 2 81 ,6 7 ,32 73 ,5 53,6 
0,18 0 , 910 0 ,733 11 , 4 178 130 10 ,4 148 109 9 , 51 123 90 , 5 8 ,80 106 77,5 7 ,1 3 69,4 50,9 
0,19 0,905 0,737 11 '1 168 124 10,1 140 103 9·,28 117 86 ,2 8,59 100 73 ,9 6,96 65,8 48,5 
0,20 0 , 900 0,741 10 ,9 160 119 9,94 133 98,8 9,07 111 82 , 3 8 ,40 95 ,2 70 , 5 6 ,80 62,5 46,3 
0,21 0 , 895 0,745 W,7 152 114 9 ,73 127 94 ,6 8,88 106 78 ,8 8·,22 90 ,7 67 ,6 6 ,66 59,5 44,3 
0,22 0,890 0,749 10,4 145 109 9,53 121 90 , 8 8 ,70 101 75,7 8 ,05 86 ,6 64 , 9 6,52 56,8 42,6 
0,23 0,885 0 ,753 10,2 139 105 9 , 35 11 6 87 , 3 8 , 53 96 ,6 72 , 8 7 ,90 82 ,8 62 , 4 6 . 40 54 ,3 40,9 
0,24 0,880 0 ,758 10,0 133 101 9 ,1 7 111 84 ,2 8,38 92 ,6 70,1 7 ,75 79,4 60,1 6 928 52 ,1 39,5 
0;,25 0 ,875 0,762 9 ,87 128 97 , 5 9 ,01 107 81 ,3 8 ,23 88 ,9 67 ,7 7 ,62 76,2 . 58 ,1 6 ,17 50,0 38,1 
-
0,26 0 ,870 0,766 9 ,71 123 94 ,3 8 ,87 103 78,6 8 ,09 85,5 65 , 5 7 ,49 73,3 56 ,1 6 ,07 48 ,1 36,8 
0,27 0 ,865 0,771 9,56 119 91,3 8,73 98 ,8 76,1 7,96 82,3 63 ,4 7,37 70,5 54 ,4 5 ,97 46 ,3 35,7 
0,28 0,860 0,775 9,41 114 88 ,6 8 , 59 95 ,2 73,8 7 ,84 79 ,4 61 , 5 7,26 68 ,0 52 ,7 5 ,88 44 ,6 34 ,6 
0 ,29 0 ,855 0 ,780 9·,27 H O 86,0 8 ,47 92,0 71 ,7 7 ,73 76 ,6 59 ,8 7,16 65 ,7 51, 2 5_,80 43 ,t 33,6 
0 ,30 0 ,850 0,784 9 o 15 107 83,7 8 ,35 88 ,9 69 ,7 7 ,62 74 ,1 58 ,1 7 ,06 63 , 5 49,8 5 ,72 41 ,7 32 ,7 
0,31 0,845 0 ,789 9 ,02 ' 103 81 ,4 8 , 24 86 ,0 67 .9 7,52 71 ,7 56 ,6 6,96 61 ,4 48,5 5,64 40 ,3 31,8 
0,32 0,840 0,794 8 ,91 100 79 .4 8 ,1 3 83 , 3 66 . v 7,42 69 ,4 55 ,1 6,87 59 ,5 47 , 2 5 ,57 39,1 3·1,0 
0,33 0,835 0,798 8 ,80 97 ,0 77,4 8 ,03 80 ,8 64 ,5 7.33 67 , 3 53 ,8 6 ,79 57,7 46,1 5 ,50 37,9 30,2 
0,34 0,830 0 ,803 8,69 94 ,1 75,6 7,94 78,4 63 ,0 7,24 65 ,4 52 ,5 6 ,71 56 ,0 45,0 5 ,43 36,8 29,5 
0,35 0 , 825 0 , 808 8 ,60 91 ,4 73,9 7 ,85 76 ~ 2 61,6 7. ~6 33,5 51 . 3 6 ,63 54,4 44,0 5,37 35 ,7 28,9 
0,36 0 ,820 0 , 813 8 , 50 88 ,9 72,3 7,76 74 ,1 60,2 7,08 61 ,I 50,2 6 , 56 52,9 43,0 5 ,31 34 ,7 28 , 2 
0,37 0 ,815 0 , 818 8 ,41 86 ,5 70,7 7,68 72,1 59 ,0 7 ,01 60 ,1 49.1 6 ,49 51.5 42,1 5,26 33 ,8 27,6 
0,38 0 , 810 0 ,823 8 9 32 84,2 69 , 3 7 ,60 70 ,2 57,8 6 , 94 58,5 48,1 6 ,42 50 ,1 41 ,3 5,20 32 , 9 27 ,1 
0,39 0 ,805 0 ,828 8·,24 82 ,1 68 ,0 7 , 53 68,4 56,6 6 ,87 57 ,0 47,2 6 ,36 48,8 40.4 5 ' 15 32,1 26,5 
0,40 0 ,800 0,833 a , t7 ao .o 66 ,7 7,45 66 ,7 55 , 6 6 , 80 55 ,6 46 ,3 6 ,30 47 , 6 39 ,7 5 ,1 0 31,2 26 ,0 
0,41 0,795 0,839 8 ,09 78,0 65 ,4 7,39 65 ,0 54 , 5 6 ,74 54 ,2 45.5 6 ,24 46,5 39 ,0 5 ,06 30, 5 25,6 
0 , 42 0 ,790 0,844· 8 ,02 76 ,2 64 ~ 3 7, 32 63 , 5 53 , 6 6 , 68 52 , 9 44,6 6 ,19 45,4 38 , 3 5 ,01 29 , 8 25 ,1 
o.43 Op785 o . 849 7,95 74 .4 63 .2 7,26 62 ,0 52 .7 6 ,62 51 ,7 43 ,9 s ; t 3 44,3 37 ,6 4 ,97 29 .1 24 ,7 
0 ,44 0 ,780 0 , 855 7,88 72 ,7 62 ,2 7 ,20 60 .6 51 ,8 6 , 57 50 , 5 43 . 2 6 , 08 43 ,3 37 ,o 4,93 28 ,4 24,3 
0 .45 0 ,775 0 , 860 7,82 71 D 1 61,2 7 D 14 59 ,3 51 ,0 6 , 52 49 ,4 42 , 5 6,03 42,3 36 ,4 4,89 27 ,8 23 , 9 
0 ,46 o,no 0 ,866 7 ,76 69 ,6 60 ,2 7 ,08 58,0 50. 2 6 ,47 48 , 3 41 ,8 5,99 4] ,4 35 , 9 4,85 27 ,2 23~ 5 
0 ,47 0 ,765 o .871 7.70 68 ,1 59 ,3 7,03 56 ,7 49,4 6,42 47 ,3 .41 ,2 5 ,94 40,5 35 ,3 4,81 26 ,6 23 , 2 
0 ,48 0 ,760 0 ,877 7 ,65 66 ,7 58,5 6 , 98 55 .6 48,7 6 ,37 46,3 40 ,6 5 ,90 39 ,7 34 ,8 4,78 26 .0 22,8 
0,49 0.755 0,883 7 , 59 65 . 3 57 ,7 6,93 54 ,4 48,1 6,33 45 ,4 40.0 5 ,86 38 , 9 34 ,3 4 ,75 2.5 , 5 22. , 5 
o .5o 0 ,750 0 ,889 7,54 64,0 56 , 9 6 ,88 53,3 47 ,4 6 ,29 44,4 39 , 5 5 , 82 38 ,1 33 , 9 4 ,71 25 ,0 22 , 2 
o.5t 0 ,745 0,895 7 .49 62 ,7 56 ,1 6 , 84 52,3 46,8 6 ,24 43 ,6 39~0 5p78 37 ,3 33 . 4 4 ,68 24,5 21,9 
• 
2'1 
X 
TABELA 6 
Aço com ae = 4 , 0 t/cm2 
s = 2 ' o 
Momen t os em t em , comp r i men tos em cm, armadu ras em cm2 , t ens5es em t/ cm2 
Arm.adu ra s i mples Armadura dupla 
b 
k {f 
bh
2 
h = Mo 
2 b ka 
bh2 
6M "' M - M0 M h 
k s 
M bh bh 6M s =- + O, 500--sf k - = - f k4 3 h k4' c 
sf sf 
) 6M 
sf = 0 , 500-
c 
kxh ·- kz:h M z X kxh z=o , soo 
kx 
ou 
cp 
0 ,01 
0 ,02 
0 ,03 
0 , 04 
0 ,05 
0 .06 
0 ,07 
0 ,08 
0 ,09 
0 , 10 
0 ,11 
0 ,1 2 
0 ,1 3 
o , 14 
0 ,1 5 
b '/2 
cp 
k s 
kz ou 
Ls 
0 , 995 0 , 503 
0 , 990 0 , 505 
0 ,985 0 , 508 
0 , 980 0 , 510 
0, 975 0 , 513 
0 , 970 o. 515 
0 , 965 0, 5~ 8 
0, 960 0 , 521 
0 ,955 0, 524 
0 , 950 0 , 526 
0 , 945 0 , 529 
0 , 940 o . 532 
0 ,935 0 , 535 
0 , 930 o .538 
0 , 925 0 ,541 
b ' / 2 
a C QA "' 0 , 1 2 5 a C 2 A = 0 , 1 50 
k4 ks k 4 ka 
k2 o u ~u k2 qu qu 
i 4 '. j.Õ' L4 La 
46 ,3 4267 2144 42 , 3 3556 1787 
32,8 2133 1077 30,0 1778 898 
26 ,9 1422 722 24, 5 11 85 602 
23 , 3 1067 544 ' 21 ,3 889 454 
20, 9 853 438 19 D 1 711 365 
19 0 1 71 1 367 17,5 593 305 
17 ,8 610 316 16 ,2 508 263 
16 ,7 533 278 15 ,2 444 231 
15 ,7 474 248 14,4 395 2.07 
15, 0 427 225 13 ,7 356 187 
14 .3 388 205 13 .1 323 171 
13 ,7 356 189 12 ,6 296 158 
13', 2 328 175 12 o 1 274 146 
12 ,8 305 164 H ,7 254 137 
12 ,4 284 154 11 ,3 237 12.8 
s 
) b ' h
2 
M = - . -
Ls 
M0 = M - M' 
boh2 
k = --
6 Mo 
b ' h b0 h i 3 M ' ksMo = -- + -- = -- + --
z = 
L4 k4 h h 
M 
o , 500-
sf 
ac
2
a "' 0 , 180 a c 2a =o, 2 1 o a C 2 A = 0 , 3 20 
k4 k s k4 ka k4 ka 
k2 qu qu k2 ou ou k2 ou ou 
L4 Ls L4 Ls L4 La 
38 ,6 2963 1489 35 ,7 2540 1276 ' 28 ,9 1667 838 
27,4 1481 748 25 , 3 1270 641 20 , 5 833 421 
22 ,4 988 501 2.0 ,7 847 430 16,8 556 282 
19, 4 741 378 18,0 635 324 1 4~ 6 417 213 
17,4 593 304 16 , 1 508 260 13 ,1 333 171 
16.,0 494. 255 14.1._8 423 218 12 , 0 278 143 
14 ,8 423 219 13 ,7 363 188 11 , I 238 123 
13,9 370 193 12 , 9 317 165 10 ,4 208 109 
13 ,1 329 172 12 ,2 282 148 9 ,85 185 97 ,0 
12 ,5 296 156 11 ,6 254 134 9 .37 167 87 ,7 
11 ,9 269 143 11 ,o 231 122 8 ,95 152 80. 2 
1J ,5 247 ~ 3 1 10,6 21 2 113 8 ,60 139 73 , 9 
H , O 228 122 10 ,2 195 104 8 .28 128 68 ,6 
10 .7 212 114 9 , 87 181 97, 5 8,00 11 9 64,0 
10,3 198 'i 07 9 , 57 ~ 6 9 91, 5 7 ,75 111 60 , 1 
.. 
. . 
\ 
1 
kx k 3 0C 2A.=0 , 125 0C28 ~ 0 ,1 50 
crc =o , 1so z.:; 0 C 28 '~ 0 1 2 1 0 0C28 =0,320 
kz 
k4 ka k4 ka k4 ke k4 ke k4 ke ou ou 
k2 ou ou k2 ou ou k2 
ou ou k2 ou ou k2 ou ou 
cp t3 1.4 te t4 i e t4 ta !.4 te 1.4 i e 
O, 16 0 , 920 0 , 543 12 ,0 267 145 11,0 222 121 10 ,0 185 101 9,29 159 86 ,3 7 , 52 104 56 ,6 
o , 17 0 , 915 0 , 546 11 ,7 251 137 10,7 209 114 9,76 174 95 , 2 9 ,03 149 81,67 ,32 98 ,0 53.,6 
o , 18 0 , 910 0 , 549 11 ,4 237 130 10,4 198 109 9,51 165 90, 5 8 ,80 141 77 , 5 7 ,1 3 92 ,6 50,9 
o , 19 0 ,905 0,552 1] D 1 225 124 10,1 187 103 9 ,28 156 86 ,2 8 , 59 134 73,9 6 ,96 87 ,7 48,5 
0 ,20 0 , 900 0,556 10 , 9 '213 119 9,94 . 178 98,8 9,07 148 82 , 3 8 ,40 127 70 , 5 6 ,80 83,3 46,3 
0 ,21 0 ~ 895 0, 559 10,7 203 11 4 9 ,73 169 94 ,6 8 ,88 141 78 ,8 8 , 22 121 67,6 6 ,66 79,4 44,3 
0,22 0 ,890 0 , 562 10,4 194 109 9 , 53 162 90 ,8 8,70 135 75 ,7 8 ,05 11 5 64 ,9 6 ,52 75,8 42,6 
0 , 23 0 ,885 0 ,565 10·,2 186 105 9 , 35 155 87,3 8 , 53 129 72,8 .7 , 90 110 62,4 6 ,40 72,5 40,9 
0 ,24 0 ,880 0 ,568 10,0 178 101 9, 17 148 84;,2 8 ,38 123 70 ,.1 7 ,75 106 60,1 6 ,28 69 ,4 39,5 
0,25 0 ,875 0 ,571 9,87 171 97,5 9,01 142 81,3 8. 23 119 67 ,7 7,62 102 58 ,1 6,17 66,7 38,1 
0,26 0,870 0,575 9 ,71 164 94,3 8 , 87 137 78 ,6 8 ,09 114 65 , 5 7,49 97 ,7 56 ' 1. 6,07 64 ,1 36 ,8 •. 
0>27 0,865 0, 578 9, 56 158 91 ,3 8 ,73' 132 76 ,1 7 ,~, 110 63,4 7 , 37 94,1 54 ,4 5,97 61,7 35,7 
0 , 28 0 ,860 0 ,581 9 ,41 152 88 ,6 8 , 59 127 73,8 7 ,84_ 106 61 , 5 7 ,26 90 ,7 52 ,7 5 ,88 59,5 34,6 
0,29 0 ,855 0 , 585 9 ,27 147 86,0 8,47 123 71 ,7 7,73 102 59 , 8 7,1 6 87,6 51 ,2 5 ,80 57 ,5 33,6 
·0 , 30 0,850 0,588 9,15 f42 83,7 8 ,35 119 69 ,7 7,62 98 , 8. 58 ,1 7,06 84 ,7 49,8 5 ,72 55 ,6 32 ,7 
0,31 0 ,845 0,592 9,02 138 81,4 8 , 24 115 67 ,9 7,52 95 ,6: 56 ,6 6,96 81,9 48,5 5 ,64 53,8 31 ,8 
0 ,32 0,840 0,595 8 ' 91 133 79,4 8 ,1 3 111 66 ,1 7,42 92,6 55, 1 6 , 87 79,4 47,2 5 , 57 52 ,1 31,0 
0, 33 0 ,835 0,599 8 ,80 129 77 ,4 8,03 108 64 ~ 5 7,33 89,8 53,8 6 ,79 77,0 46,1 5 ,50 50, 5 30 ,2 
0,34 0,830 0 ,602 8 ,69 125 75,6 7,94 105 63,0 7, 24 87 ,1 52,5 6 ,71 74,7 45,0 5 ,43 49,0 29 , 5 
0,35 0 ,825 0,606 8 ,60 122 73,9 7,85 102 61 ,.6 7 ' ~ 6 84,7 51,3 6 , 63 72 ,6 44,0 5 ,37 47 ,6 28 , 9 
0 , 36 0,820 0,610 8,50 11 9 72 , 3 7,76 98,8 60,2 7,08 82 , 3 50,2 6,56 70,5 43,0 5,31 46,3 28,2 
0 , 37 0 ,815 0 ,613 8 ,41 11 5 70,7 7 ,68 96,1 59 ,0 7,01 80,1 49,1 6,49 68,6 42,1. 5,26 45,0 27,6 
o,sa 0,810 0,617 8 ,32 11 2 69,3 7,60 93 ,6 57 . 8 6 , 94 78 ,0 48,1 6 ,42 66 ,8 41,3 5, 20 43,9 27 ,1 
0 , 39 0 ,805 0 ,621 8 ,24 109 68 ,0 7,53 91 ,2 56,6 6,87 76 ,0 47,2 6 ,36 65 ,1 40,4 5 ,1 5 42 ,7 26,5 
0,40 0,800 0,625 8 ,17 107 66,7 7,45 88 , 9 55 ,6 6 .80 74 ,1 46,3 6 , 30 63 ,5 39 ,7 5,10 41 ,7 26 ,0 
0,41 0,795 0 ,629 8 ,09 104 65,4 7,39 86,7 54,5 6 ,74 72,3 45,5 6,24 61 ,9 39 ,0 5,06 40 ,7 25 ,6 
0,42 0 ,790 0,633 8 ,02 102 64 ,3 7 , 32 84,7 53 ,6 6.68 70,5 44,6 6 ,1 9 60 ,5 38 ,3 5,01 39 .7 25 ,1 
0.43 0.785 0 ,637 7,95 99 ,2 63 ,2 7,26 82,7 52,7 6,62 68 , 9 43,9 6 ,1 3 59 ,1 37 ,6 4,97 38 ,8 24 ,7 
0,44 0,780 0,641 7 ,88 97,0 62,2 7,20 80 ,8 51 ,_8 6>57 67,3 43,2 6,08 57 ,7 37 ,0 4,93 37,9 24 , 3 
o 
' 
2.9 
UI 
o 
p 
30 
35 
40 
45 
50 
55 
60 
65 
70 
75 
80 
90 
100 
110 
120 
Cl = 
(J = e 
(JC28 
125 150 
0,46 0 , 42 
0 ,42 0,38 
0 ,39 0 ,35 
0 ,36 0,32 
0,34 0 ,30 
0 ,32 0,28 
0 ,30 0 , 26 
0 , 28 o ;25 
0 ,27 0,23 
0 , 25 0,22 
0 , 24 0 , 21 
0,22 o , 19 
0 , 20 o , 18 
o , 19 o , 16 
o , 18 o, 15 
25,600 21 , 333 
TABELA 7 
Valores econômicos de kx 
Vigas de seção retangular com armadura simples 
2400 kglcm2 (J = e 3000 kglcm2 
em kglcm2 (J em kglcm2 C2 8 
180 210 320 125 150 180 210 320 
0 , 37 0,34 o ;25 0 , 51 0 ,47 0 ,43 0 , 39 0 , 29 
0 ,34 0 ,30 0,22 0 ,48 0 , 43 0,39 0,35 0 , 26 
0 , 31 o ; 28 o ;2o 0 ,44 ' 0 , 40 0 ,36 0 ,32 0 ,24 
0 , 28 0,25 o , 18 0 ,42 0 , 37 0 ,33 0 ,30 0,22 
0,26 0,28 o, 17 0 ,39 0,35' 0 ,31 0,28 0,20 
0 , 24• 0 , 22 o , 15 0 ,37 0,33 0,29 o ;26 o, 19 
0 ,23 0 , 20 o , 14: 0 ,35 0 , 31 0,27 o ; 24 · o , 17 
0 ;21 o, 19 o, 13 0 ,33 0 , 29 0,25 0,23 o , 16 
0 , 20 0 , 18 o , 12 0 ,31 0,28 0,24 0,21 o, 15 
o , 19 o , 17 o , 12 0 ,30 0 , 26 0,23 0 , 20 o , 14 
o, 18 o , 16 o , 11 0 , 29 0 ,25 0 , 22 o , 19 o, 14• 
o , 16 o, 14· o , 10 0 , 26 0 , 23 o ;2o o , 17 o , 12 
o , 15 o , 13 0 ,09 0,24. 0,21 o , 18 o, 16 o, 11 
0,14 o , 12 0,08 0 ,22 0 ,20 0 , 17 o , 15 o , 10 
0,13 o, 11 0 ,08 0 , 21 o, 18 o, 16 0,14 0,09 
17,778 15 , 238 10,000 32,000 26,667 22,222 19 ,048 12,500 
(J = e 4000 kg I cm2 
(J em k g I cm2 C2B 
125 150 180 210 320 
0 ,44 0, 44 o ;44 0 ,44 0 , 36 
0,44 0, 44 0,44 0,42 0 ,32 
0,44 0, 44 0 , 43 0 ,39 0 , 29 . 
0 ,44 0, 44 0 ,40 0 ,36 0,27 
0 , 44 0,42 0 ,37 0 ,34 0 ,25 
0 ,44 0,39 0 ,35 0,32 0 , 23 
0 ,41 0, 37 0 ,33 0,30 0 , 22 
0,40 o, 35 0,31 0,28 0 ,20 
0,38 0,34 0 , 30 0,27 o , 19 
0 , 36 0, 32 o;28 0,25 o , 18 
0 , 35 0, 31 0 , 27 0,24 o, 17 
0 ,32 0,28 0,25 0 , 22 o , 16 
0 ,30 0, 26 0 , 23 0 ,20 0,14 
0 , 28 0,24 0,21 o , 19 o, 13 
0 ,26 0,23 0,20 0,18 0 , 12 
42,667 35, 556 29,630 25,397 16,667