Questão resolvida - A taxa de variação da função f(x,y,z)x-xy-z, no ponto (1,1,0), na direção do vetor - Cálculo I - UNIPAC

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: (71) 9927-17449
 
• A taxa de variação da função , no ponto , na direção f x, y, z = x³- xy²- z( ) 1, 1, 0( )
do vetor é aproxiamdamente:= 2 - 3 + 6v i j k
A) 0, 6
B) 0, 3
C) 1
D) 1, 2
E) 0, 8
 
Resolução:
 
A derivada direcional é dada por:
 
D f x, y, z = ⋅ u + ⋅ u + ⋅ uu ( )
𝜕f
𝜕x
1
𝜕f
𝜕y
2
𝜕f
𝜕z
3
, e são as componentes do vetor , unitário de , para achar fazemos:u1 u2 u3 u v u
 
= ⋅ + ⋅ + ⋅u
2
2 + -3 + 6( )2 ( )2 ( )2
i
-6( )
2 + -3 + 6( )2 ( )2 ( )2
j
3
2 + -3 + 6( )2 ( )2 ( )2
k
 
= - +u
2
4 + 9 + 36
i
3
4 + 9 + 36
j
6
4 + 9 + 36
k
 
= - + = - +u
2
49
i
3
49
j
6
49
k→ u
2
7
i
3
7
j
6
7
k
 
Agora, fazemos as derivadas parciais em relação a , e , após, substituimos o ponto x y z
;1, 1, 0( )
f x, y, z = x³- xy²- z = 3x - y²; = - 2xy; = - 1( ) →
𝜕f
𝜕x
2
𝜕f
𝜕y
𝜕f
𝜕z
 
1, 1, 0 = 3 1 - 1 ² = 3 ⋅ 1- 1 = 3- 1 = 2
𝜕f
𝜕x
( ) ( )2 ( )
 
 
 
1, 1, 0 = - 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = - 2
𝜕f
𝜕y
( )
 
1, 1, 0 = - 1
𝜕f
𝜕z
( )
 
A derivada direcional de na direção do vetor em é;f v 1, 1, 0( )
D f 1, 1, 0 = 2 ⋅ + -2 ⋅ - + -1 ⋅u ( )
2
7
( )
3
7
( )
6
7
D f 1, 1, 0 = + - = ≅ 0, 5714u ( )
4
7
6
7
6
7
4
7
 
D f 1, 1, 0 ≅ 0, 6u ( )
 
 
(Resposta)