Aula 6 - Derivadas

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Aula 6 – Derivadas 
Prof. Ronaldo Portela 
Roteiro de Aula 
• A reta tangente e a derivada; 
• Derivada de uma função; 
• Derivabilidade e Continuidade; 
• Teoremas sobre derivação de funções algébricas; 
2 
A reta tangente e a derivada 
3 
Reta tangente à curva no 
ponto P . 
P 
x 
y 
Reta tangente a uma 
circunferência. 
A reta tangente e a derivada 
• Definindo , a inclinação da reta é dada 
pela seguinte equação: 
 
 
2 1x x x  
P(x1, f (x1)) 
Q(x2, f(x2)) 
f (x2) – f (x1) 
2 1x x x  
x 
y 
1 1( ) ( ) .PQ
f x x f x
m
x
  


4 
Derivada de uma função 
• Definição: A derivada de uma função f é a função 
denotada por f’, tal que seu valor em qualquer 
número x do domínio de f seja dado por: 
 
 
 se esse limite existir. 
 
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x 
  
 

5 
Derivada de uma função 
• Aplicando a definição... 
• Exemplo: Determine a equação da reta tangente ao 
gráfico da função definida por no 
ponto (2,24). 
 
• Exemplo: Determine a inclinação da reta tangente ao 
gráfico da função definida por y = x3 – 3x + 4 no 
ponto (2, 6). 
 
2( ) 3 12f x x 
6 
Derivada de uma função 
• Considere a fórmula da derivada de uma função: 
 
 
 
• Nessa fórmula seja 
• Então 
• Desta forma, obtemos: 
1 1
1
0
( ) ( )
( ) lim
x
f x x f x
f x
x 
  
 

7 
1x x x  
1" 0" equivale a " ".x x x  
1
1
1
1
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x
x x

 

Derivada de uma função 
• Exemplo: 
Calcule a derivada de 
8 
2( ) 3 12 no ponto 2.f x x x  
Derivabilidade e Continuidade 
• Teorema: Se uma função for derivável em x1, então f 
será contínua em x1. 
• Uma função pode deixar de ser derivável em um 
número c por uma das seguintes razões: 
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Derivação de Funções Algébricas 
1
 Seja uma constante e ( ) , então
( ) 0.
 Seja um inteiro positivo e ( ) ,
então ( ) .
 Seja uma função, uma constante e
( ) ( ), então ( ) (
n
n
c f x c
f x
n f x x
f x nx
f c
g x c f x g x c f x


 

 
    
Teorema :
Teorema :
Teorema :
).
 Seja e funções e ( ) ( ) ( )
então ( ) ( ) ( ).
f g h x f x g x
h x f x g x
 
   
Teorema :
10 
Derivação de funções algébricas 
• Exemplo: 
Calcule a derivada de 
 
• Exemplo: 
Calcule a derivada de 
 
2( ) 3 12.f x x 
11 
3 2( ) 4 12 5 3.f x x x x   
Derivação de funções algébricas 
• 
 
 
 
• Exemplo: 
Determine a derivada de 
 Seja e funções e ( ) ( ) ( ),
então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), se existirem
( ) e ( ).
f g h x f x g x
h x f x g x f x g x
f x g x
 
     
 
Teorema :
( ) (2 4)(3 1).h x x x  
12 
Derivação de funções algébricas 
• 
 
 
 
 
• Exemplo: 
Determine a derivada de 
2
( )
 Seja e funções e ( ) , ( ) 0,
( )
( ) ( ) ( ) ( )
então ( ) , se existirem
[ ( )]
( ) e ( ).
f x
f g h x g x
g x
f x g x f x g x
h x
g x
f x g x
 
   
 
 
Teorema :
(2 4)
( ) .
(3 1)
x
h x
x



13 
Referências Bibliográficas 
• LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria 
Analítica. Volume 1. 3ª edição. São Paulo, Harbra, 
1994. 
 
• STEWART, J. Cálculo. Volume 1. 5ª edição. São 
Paulo, Thomsom Learning. 2006. 
 
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