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Aula 7: Peˆndulo Simples
1 Resumo
Neste experimento, vamos encontrar a equac¸ao˜ que rege o movimento de um peˆndulo
simples (per´ıodo versus comprimento do peˆndulo) a partir da ana´lise de gra´ficos e da
ana´lise dimensional. O ajuste linear sera´ feito usando-se o me´todo dos mı´nimos quadrados.
A acelerac¸a˜o da gravidade local sera´ usada como um indicador de qualidade dos dados
experimentais.
2 Introduc¸a˜o
Um peˆndulo simples pode ser implementado experimentalmente prendendo-se uma massa
m a um fio de comprimento l. Sendo um sistema que oscila harmonicamente, um
para´metro que o caracteriza bem e´ o tempo gasto para executar uma oscilac¸a˜o completa
(per´ıodo, T ). E´ poss´ıvel deduzir a expressa˜o que relaciona T , m e l, a partir da aplicac¸a˜o
das leis de Newton. Num caso particular, onde sa˜o consideradas apenas pequenas os-
cilac¸o˜es, pode-se mostrar que:
T = 2pi
√
l
g
(1)
onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade local.
A realizac¸a˜o do experimento com peˆndulo simples permite explorar va´rios aspectos
experimentais, tais como a elaborac¸a˜o e ana´lise de gra´ficos, medic¸o˜es (me´dias, desvios,
incertezas) e ana´lise dimensional. Tambe´m alguns aspectos na implementac¸a˜o do peˆndulo
para garantir uma melhor aproximac¸a˜o como peˆndulo simples e o cuidado de realizar
medic¸o˜es com aˆngulos pequenos.
1
3 Desenvolvimento do Experimento
3.1 Objetivos
Nosso objetivo sera´ encontrar a equac¸a˜o 1 a partir da medic¸a˜o de T e l.
3.2 Peˆndulo simples ideal
Um primeiro cuidado importante para a boa realizac¸a˜o do experimento e´ tentar tornar
o peˆndulo simples o mais ideal poss´ıvel! Devemos lembrar que o peˆndulo e´ considerado
simples quando toda sua massa esta´ localizada a uma distaˆncia l do centro da oscilac¸a˜o.
Isso implica em dizer que o fio deve ser ideal (sem massa e inextens´ıvel) e a massa puntual.
Obviamente isso na˜o e´ poss´ıvel, mas temos que, como bons experimentadores, tentar nos
aproximar dessa situac¸a˜o ideal!!
A condic¸a˜o de fio inextens´ıvel na˜o e´ um grande problema!! Podemos verificar tal
condic¸a˜o suspendendo uma massa pelo fio e observando se as dimenso˜es do fio, em especial
o comprimento, sofrem alguma alterac¸a˜o. Geralmente encontramos problemas quando o
fio usado e´ produzido por fios tranc¸ados. Isso pode produzir uma rotac¸a˜o na massa, e
consequente alterac¸a˜o nas dimenso˜es do fio. Mesmo assim, o fio se estabiliza apa´s um
pouco de trac¸a˜o e torc¸a˜o, o que nos permitira´ trata´-lo como um fio inextens´ıvel!
A segunda condic¸a˜o (fio sem massa) pode parecer imposs´ıvel de ser satisfeita! Mas
observemos que um peˆndulo simples ideal deve ter toda sua massa concentrada na ponta
do fio. A massa total e´ dada por
m = mfio +mcorpo
onde mfio e´ a massa distribu´ıda ao longo do fio e mcorpo e´ a massa do corpo suspenso.
Assim, sempre que pudermos considerar mfio << mcorpo, estaremos pro´ximos da
condic¸a˜o ideal! Por exemplo, se usarmos um fio com massa da ordem de 1,0 a 2,0 gra-
mas e um corpo da ordem de 100,0 gramas, estaremos satisfazendo razoavelmente bem a
condic¸a˜o de fio ideal.
Resolvido o problema com o fio, ainda temos que pensar nas dimenso˜es do corpo
suspenso. O ideal seria que toda a massa estivesse concentrada num ponto!! Como
isso na˜o e´ poss´ıvel, temos que buscar uma condic¸a˜o mı´nima de idealizac¸a˜o. De maneira
ana´loga ao problema do fio, sempre que as dimenso˜es da massa (ex: lcorpo) for muito menor
do que o comprimento do fio (ex: lfio), podemos satisfazer razoavelmente a condic¸a˜o de
massa ideal. Assim, enquanto mantivermos aceita´vel a condic¸a˜o lcorpo << lfio poderemos
simular experimentalmente um bom peˆndulo simples. Perceba que, apesar da equac¸a˜o 1
2
na˜o depender da massa, a implementac¸a˜o do peˆndulo simples requer o uso de uma massa
grande, visando aproximar o experimento da condic¸a˜o ideal. Devemos, tambe´m, observar
que a validade da equac¸a˜o 1 esta´ restrita ao caso ideal (va´cuo, fio e massa ideais, pequenas
oscilac¸o˜es).
3.3 Medic¸o˜es: T x l
Sendo o per´ıodo (T ) uma grandeza f´ısica que caracteriza um importante aspecto do
peˆndulo simples (tempo de uma oscilac¸a˜o completa) e sabendo que esta depende do com-
primento do fio (l), devemos medir que valores T assume, quando variamos l. Os pontos
(l, T ) podem ser organizados em uma tabela.
A medic¸a˜o do comprimento do fio (l) requer apenas um pouco de cuidado. Precisamos
identificar como o fio esta´ preso ao suporte que o sustenta para localizar a origem do
mesmo. O final do fio geralmente e´ definido no centro de massa do corpo suspenso.
Como tal comprimento praticamente na˜o e´ afetado por erros estat´ısticos, podemos med´ı-
lo 2 ou 3 vezes apenas para maior seguranc¸a, e considerar a incerteza do instrumento
de medic¸a˜o (geralmente uma trena: σ = 0, 5mm). Obviamente temos que evitar erros
sistema´ticos (geralmente causados por paralaxe ou displiceˆncia do experimentador!!!).
Uma dica importante para reduzir eventuais efeitos de extensa˜o do fio e´ comec¸ar a medir
l pelos comprimentos maiores.
A medic¸a˜o do per´ıodo e´ um pouco mais delicada. Em princ´ıpio bastaria acionar o
cronoˆmetro no in´ıcio do movimento e desliga´-lo ao final de um per´ıodo. Mas, o processo
de acionar/desligar um cronoˆmetro envolve um tempo de retardo do operador (tr), geral-
mente estimado em 0, 1s. Em princ´ıpio o tempo gasta para aciona´-lo e´ pro´ximo ao tempo
gasto para desliga´-lo, de forma que eles se compensam!! Se isso e´ verdade, na˜o havera´
problemas da medic¸a˜o do per´ıodo. No entanto, se na˜o for, estaremos acrescentando um
erro sistema´tico desconhecido a`s medic¸o˜es.
Minimizar este problema e´ fa´cil. Vamos supor que o per´ıodo verdadeiro de oscilac¸a˜o
seja Tv e o erro sistema´tico devido ao tempo de retardo, tr. Se fizermos a medic¸a˜o de uma
oscilac¸a˜o obteremos:
Texp = Tv + tr
Vamos supor um caso cr´ıtico tal que Tv = 0, 5s e tr = 0, 1s. Nesse caso estaremos
cometendo um erro percentual de 20%!! Mais ainda, devemos perceber que medir um
tempo de 0, 5s na˜o e´ tarefa trivial para um ser humano!!! Assim, precisamos aprimorar
nosso protocolo de medic¸a˜o.
3
Vamos medir, enta˜o, o tempo de n oscilac¸o˜es completa (Tn). Como iremos acionar e
desligar o cronoˆmetro apenas 1 vez, o tempo total medido sera´:
tn = nTexp = nTv + tr
Se dividirmos tn por n obteremos o tempo de uma oscilac¸a˜o, ou seja o per´ıodo experimental
(Texp):
Texp = Tv +
tr
n
(2)
A expressa˜o 2 nos diz que a diferenc¸a entre o per´ıodo experimental (Texp) e o per´ıodo
verdadeiro (Tv) e o tempo de retardo dividido por n, ou seja, ficamos n vezes mais ra´pidos
sem nenhum esforc¸o!!! Ale´m disso, devemos observar que a incerteza instrumental deve
ser associada e´ medic¸a˜o de tn. Sendo n um nu´mero exato, ao dividirmos tn por n fazemos
o cronoˆmetro ficar com uma resoluc¸a˜o n vezes maior!!
Em resumo, podemos usar o seguinte protocolo experimental:
• medir 5 vezes o tempo de 10 oscilac¸o˜es;
• calcular o valor me´dio e incerteza associada com os 5 valores;
• dividir o resultado por 10, para obter o per´ıodo.
E assim, todo esse procedimento (medic¸a˜o de l e T ) produz 1 ponto na tabela!! Repe-
tindo tal procedimento 5 vezes, teremos uma tabela com 5 pares (l, T ) que dara˜o origem
a gra´ficos com 5 pontos experimentais. Como exemplo, segue a tabela 1:
Tabela 1: Resultados Experimentais: l x T
l(m) δl T (s) δT
1,7000 0,0005 2,62 0,05
1,3800 0,0005 2,36 0,05
1,1500 0,0005 2,15 0,05
0,7500 0,0005 1,74 0,05
0,3000 0,0005 1,10 0,05
As medidas de l sa˜o dadas em metros e de T segundos. δl e δl sa˜o as incertezas
associadas as medidas l e T , respectivamente.
4
3.4 Ana´lise Gra´fica
De posse da tabela com os dados experimentais podemos iniciar a ana´lise gra´fica. O
primeiro gra´fico que deve ser feito e´ (T x l) em papel milimetrado, para que possamos ter
uma ideia de como e´ a relac¸a˜o entre as varia´veis.
Este gra´fico mostra que a relac¸a˜o entre T e l na˜o e´ linear!Para tentar determinar qual
e´ a relac¸a˜o, podemos “graficar ”T e l em papel dilog.
Agora podemos perceber que existe uma relac¸a˜o linear em papel dilog, que indica que
a relac¸a˜o entre T e l e´ do tipo T = Clp, com os paraˆmetros C e p a determinar pela
ana´lise do gra´fico, conforme indicado abaixo:
C = T (l = 1) = 2, 01 (3)
p = log 2,62−log 1,10
log 1,7000−log 0,3000 = 0, 500
Assim, podemos concluir que
T = 2, 01
√
l (4)
3.5 Ana´lise dimensional
Uma vez que ja´ conhecemos a relac¸a˜o 4, podemos analisar as dimenso˜es das varia´veis.
Considerando que T e´ dado em segundos e l em metros, podemos encontrar a unidade da
constante C na equac¸a˜o, conforme mostrado a seguir:
T = C
√
l
[T ] = [C]
√
[l]
s = [C]m
1
2
[C] = s
m
1
2
[C] = ( s
2
m
)1/2
Da ana´lise dimensional podemos concluir que a constante C tem como unidade
√
s2
m
.
Isso nos permite especular que C tem alguma relac¸a˜o com a raiz quadrada do inverso da
acelerac¸a˜o gravitacional local (g). Tal especulac¸a˜o na˜o e´ ta˜o absurda se pensarmos que o
movimento do peˆndulo deve-se a aplicac¸a˜o de uma forc¸a, em especial, de uma componente
5
da forc¸a peso da massa suspensa, que depende da acelerac¸a˜o da gravidade local. Por mais
que parec¸a lo´gico, ainda e´ uma especulac¸a˜o!!!
Se a constante C tem tal relac¸a˜o com g, podemos escrever:
C =
k√
g
onde k e´ uma outra constante.
Se substituirmos os valores nume´ricos de C (2,01) e g (9,8), obtemos:
C = k√
g
2, 01 = k√
9,8
⇒ k = 6, 29
Com um pouco de inspirac¸a˜o podemos associar o valor da constante k com 2pi!!
(6,2832. . . )
Assim, podemos concluir (com especulac¸a˜o e inspirac¸a˜o) que a relac¸a˜o entre T e l e´
dada por
T = 2pi
√
l
g
que e´ justamente a relac¸a˜o obtida teoricamente para um peˆndulo simples submetido a
pequenas oscilac¸o˜es!!!
3.6 Um pouco mais de realidade!!
Os valores mostrados na tabela 1 foram escolhidos de forma a permitir que nosso racioc´ınio
especulativo e inspirado pudesse nos levar a resposta correta! Nem sempre uma medic¸a˜o
feita num laborato´rio de ensino, em um curso para alunos iniciantes, nos leva a resultados
ta˜o corretos! Na pra´tica, se usarmos valores experimentais to´picos do nosso contexto, na˜o
podemos garantir que as constantes C e p da equac¸a˜o 4 assumira˜o os valores corretos.
Para avaliar a qualidade dos dados experimentais obtidos, podemos verificar se eles
nos conduzem a um valor coerente da acelerac¸a˜o da gravidade local. Isso significa que a
determinac¸a˜o de g pode ser vista como um crite´rio de qualidade dos dados experimentais.
A partir da equac¸a˜o 1 podemos escrever:
g =
4pi2l
T 2
(5)
6
Para cada ponto experimental (T, l), podemos calcular um valor de g. Considerando
5 medidas, podemos calcular g como um valor me´dio e incerteza associada.
Outra maneira de determinar g a partir de uma se´rie de medidas e´ pelo me´todo gra´fico.
Podemos reescrever a equac¸a˜oo 4 como:
T 2 =
1
g
4pi2l (6)
Observando a equac¸a˜o 6, podemos entender que se fizermos um gra´fico de (T 2 x 4pi2l),
obtermos uma reta cujo coeficiente angular e´ 1
g
. Sendo uma reta, podemos observar
(e calcular) quanto que os pontos experimentais se ajustam a` reta me´dia. Ale´m disso,
podemos verificar se a reta me´dia passa pela origem dos eixos coordenados (coeficiente
linear = zero). Assim, teremos informac¸o˜es gra´ficas e via ca´lculo de me´dias que permitiram
dar um parecer sobre a qualidade dos dados experimentais.
4 Me´todo dos mı´nimos quadrados
A obtenc¸a˜o da reta me´dia, a partir de uma se´rie de pontos experimentais pode ser feita
de maneira mais rigorosa do que a ana´lise visual. Em princ´ıpio, um bom ajuste linear e´
aquele que faz com que as diferenc¸as entre o ponto experimental e a reta me´dia (desvio)
sejam mı´nimas. Ou seja, se considerarmos m pontos experimentais, podemos impor a
condic¸a˜o de que a somato´rio do quadrado dos m desvios seja mı´nima. Essa e´ a base do
me´todo dos mı´nimos quadrados, cuja versa˜o simplificada discutiremos a seguir.
4.1 Ajuste linear
Vamos supor que o resultado de um experimento possa ser registrado na forma de tabela,
conforme o exemplo a seguir (tabela 2):
Tabela 2: Resultados Experimentais Genericos
x[ux] y[uy]
x1 y1
x2 y2
x3 y3
...
...
xm ym
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Estamos a procura de uma func¸a˜o do tipo y = ax + b que se ajuste bem a tais
resultados, ou seja, queremos determinar os melhores paraˆmetros a e b. Mas que crite´rio
usar para definir o que e´ melhor?!?!
Vamos definir a diferenc¸a entre o ponto experimental e a reta me´dia como um desvio,
dado por:
di = yi − yg
onde yi e´ um valor medido e yg e´ o valor da reta me´dia, para o mesmo xi. Assumindo que
yg = axi + b, podemos escrever:
di = yi − axi − b
A condic¸a˜o de melhor ajuste pode ser imposta pela minimizac¸a˜o da soma dos quadra-
dos dos desvios, ou seja:
min[
m∑
i=1
d2i ] (7)
Para calcular o mı´nimo de uma func¸a˜o, podemos usar o conhecimento de Matema´tica,
sobre derivadas. Derivando-se a equac¸a˜o 7 em relac¸a˜o aos paraˆmetros a e b, e igualando
a zero, obtemos:
∂
∂a
m∑
i=1
d2i =
m∑
i=1
2(yi − axi − b)(−xi)
m∑
i=1
(−xiyi + ax2i + bxi) = 0
a
m∑
i=1
x2i + b
m∑
i=1
xi =
m∑
i=1
xiyi (8)
Continuando,
∂
∂b
m∑
i=1
d2i =
m∑
i=1
2(yi − axi − b)(−1)
m∑
i=1
(−yi + axi + b) = 0
mb+ a
m∑
i=1
xi =
m∑
i=1
yi (9)
As equac¸o˜es 8 e 9 formam um sistema de duas equac¸o˜es com duas incognitas (a e b)
que pode ser resolvido sem muitas dificuldades.
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Para avaliar se os paraˆmetros encontrados para a reta me´dia representam bem os
pontos experimentais, podemos calcular o coeficiente de correlac¸a˜o, dado por:
r2 =
(∑m
i=1 xiyi −
P
m
i=1
xi
P
m
i=1
yi
m
)2
(∑m
i=1 x
2
i − (
P
m
i=1
xi)2
m
)(∑m
i=1 y
2
i − (
P
m
i=1
yi)2
m
) (10)
O coeficiente de correlac¸a˜o (r2) assume valores entre zero e um (0 ≤ r2 ≤ 1) e indica
a qualidade do ajuste entre os pontos experimentais e os paraˆmetros ajustados. Quanto
maior r2 melhor sera´ o ajuste.
Sempre que precisarmos ajustar pontos experimentais a func¸a˜o tipo y = axb e y = aebx,
devemos usar o racioc´ınio usado para linear tais curvas (ver cap´ıtulo sobre gra´ficos). Ou
seja, no caso de y = axb temos que transformar a tabela (x, y) em (log x, logy) e depois
executar os ca´lculos do ajuste quadra´tico. No caso de y = aebx temos que transformar a
tabela (x, y) em (x, log y).
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