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UPE Campus Petrolina _ Licenciatura em Matemática 
 
 
 
Componente Curricular: Álgebra LinearI Profª: Nancy L. Costa 
Semestre: 2015.2 Conteúdo: Matrizes 
Discente:_____________________________________________________________ 
 
Lista 01 
 
1) Sejam 𝐴 = (
1 −2 3
4 1 0
) e 𝐵 = (
−1 2 0
1 −2 0
). Determine 2𝐴, 3𝐵 𝑒 2𝐴 − 3𝐵. 
2) Determine os valores de x, y e z em R para que as matrizes A e B dadas sejam iguais 
𝐴 = (
𝑥 + 𝑦 0
𝑧 𝑥 − 2𝑦
) 𝑒 (
13 0
1 4
). 
3) Considere as matrizes 
𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]4𝑥5, 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 − 𝑗; 
 
𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]5𝑥9, 𝑐𝑜𝑚 𝑏𝑖𝑗 = 𝑗 + 1; 𝑒 
𝐶 = [𝑐𝑖𝑗]4𝑥5 , 𝑐𝑜𝑚 𝐶 = 𝐴𝐵. 
a) É possível determinar 𝑐63? Justifique a resposta. 
b) Determine 𝑐35. 
4) Dada uma matriz A, dizemos uma matriz X comuta com A se AX=XA. Determine todas 
as matrizes que comutam com 𝐴 = (
1 0
0 3
). 
5) Calcule todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que 𝑋2 = 0. 
6) Determine x, y, z de modo que a matriz 𝐴 = (
0 −4 2
𝑥 0 1 − 𝑧
𝑦 2𝑧 0
) seja antissimétrica (isto 
é 𝐴𝑡 = −𝐴) 
7) Julgue os itens como verdadeiro ou falso, se verdadeiro demonstre caso contrário 
apresente um contraexemplo. 
a) (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 + 𝐴𝑇 
b) Se 𝐴𝐵 = 0 então 𝐴 = 0 𝑜𝑢 𝐵 = 0. 
c) Se A e B são matrizes simétricas então AB=BA. 
d) Se A.B= 0 então BA = 0 
e) Em geral (𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2. 
 
8) Verifque se 𝐴 = (
1 2
4 −3
) é raiz do polinômio: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥 + 5 b) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 11 
9) Seja A=(
1 2
0 1
), encontre 𝐴𝑛 . 
10) Sendo A e B matrizes inversíveis de ordem n, isole X a partir de cada equação abaixo: 
 
a) 𝐴𝑋 = 𝐵 
b) 𝐴𝑋𝐵 = 𝐼𝑛 
c) (𝐴𝑋)−1 = 𝐵 
d) (𝐴 + 𝑋)𝑡 = 𝐵 
 
 
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11) Provar que se A, B e C são matrizes inversíveis de ordem n, então 
(𝐴𝐵𝐶)−1 = 𝐶−1𝐵−1𝐴−1. 
12) Demonstre que se A tem uma linha nula, então AB tem uma linha nula. 
13) Mostre que a soma, o produto e multiplicação por escalar de: 
a) Matrizes triangulares superiores é triangular superior; 
b) Matrizes diagonal é diagonal. 
14) Em que condições a matriz diagonal 𝐴 = (
𝑎11 0 ⋯ 0
0 𝑎22 … 0
0 ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
) é inversível e qual é 
sua inversa? 
15) Reduza a matriz A à forma escalonada e depois à sua forma canônica por linhas, onde: 
a) 𝐴 = (
1 2 −1 2 1
2 4 1 −2 3
3 6 2 −6 5
) 𝑏) 𝐴 = (
0 1 3 −2
0 4 −1 3
0 0 2 1
0 5 −3 4
) 
16) Encontre a inversa de cada matriz : 
a) 𝐴 = (
3 2
7 5
) b) 𝐴 = (
2 1 −1
0 2 1
5 2 −3
) 
17) Dada a matriz 𝐴 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
), mostre que: 
a) Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0, então 𝐴 é inversível e 𝐴−1 =
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
. (
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
); 
b) Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0 então A não é inversível. 
 
Gabarito 
15) 
a) (
1 2 −1 2 1
0 0 3 −6 1
0 0 0 −6 1
) 𝑒 (
1 2 0 0
4
3
0 0 1 0 0
0 0 0 1 −1\6 
) 
b) (
0 1 3 −2
0 0 −13 11
0 0 0 35
0 0 0 0
) e (
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
) 
 
16) a)(
5 −2
−7 3
) b)(
8 −1 −3
−5 1 2
10 −1 −4
)