AP3-MEst_II-2013-1-gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Me´todos Estatisticos II – 1/2013
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, colocando Nome, Matr´ı-
cula, Polo e Data;
• E´ permitido o uso de calculadoras;
• Devolver a folha de respostas ao responsa´vel;
• O desenvolvimento das questo˜es pode ser a
la´pis, mas as respostas tera˜o que estar a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de corretivos
nas respostas.
Questa˜o 1 [1,5 pt]
O tempo de espera (em minutos) para atendimento em uma ageˆncia banca´ria e´ uma varia´vel
aleato´ria com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo (2, 10).
(a) [0,5 ponto] Um cliente acaba de entrar na ageˆncia. Qual e´ a probabilidade de que ele
espere mais que 5 minutos?
(b) [0,5 ponto] Ache um valor t tal que a proporc¸a˜o de clientes que esperam no ma´ximo t
minutos seja 0,65.
(c) [0,5 ponto] Um cliente ja´ esta´ na fila ha´ mais de 3 minutos. Qual e´ a probabilidade de que
ele leve mais que 8 minutos para ser atendido?
Soluc¸a˜o
Seja T a varia´vel aleato´ria que representa o tempo de espera dos clientes. Enta˜o, T ∼ Unif(2, 10).
(a)
P (T > 5) =
10− 5
10− 2 =
5
8
(b)
P (T ≤ t) = 0, 65⇔ t− 2
10− 2 = 0, 65⇔ t = 7, 2
65% dos clientes levam no ma´ximo 7,2 minutos para serem atendidos.
(c)
P (T > 8|T > 3)) = P (T > 8)
P (T > 3)
=
2
7
Questa˜o 2 [1,5 pt]
Arcos de violinos cla´ssicos sa˜o feitos de diferentes madeiras para satisfazer as prefereˆncias e
exigeˆncias dos mu´sicos. Embora os arcos sejam fabricados cuidadosamente, eles variam ligeira-
mente no peso. Suponha que um fabricante de arcos afirme que o peso de seus arcos cla´ssicos e´
normalmente distribu´ıdo, com me´dia de 60 gramas e desvio-padra˜o de 3,2 gramas.
(a) [0,5 ponto] Bons mu´sicos podem detectar um peso inaceita´vel de um arco, isto e´, um peso
que difere da me´dia por mais de dois desvios-padra˜o. Qual e´ a probabilidade de que o peso
de um arco seja inaceita´vel?
(b) [0,5 ponto] Qualquer arco fabricado que pese mais de 66 gramas e´ retrabalhado para
diminuir seu peso. Qual e´ a probabilidade de que um arco desse fabricante, selecionado
aleatoriamente, precise ser retrabalhado?
(c) [0,5 ponto] Selecionam-se aleatoriamente 4 violinos desse fabricante. Qual e´ a probabili-
dade de que o peso me´dio seja maior que 64 gramas?
Soluc¸a˜o
(a) Seja A a varia´vel aelato´ria que representa o peso dos arcos desse fabricante. Enta˜o A ∼
N(60; 3, 22)
P (|A− µ| > 2σ) = P (|Z| > 2) = 1− P (−2 < Z < 2) = 1− 2× tab(2, 0) = 0, 0456
(b)
P (A > 66) = P
(
Z >
66− 60
3, 2
)
= P (Z > 1, 875) = 0, 5− tab(1, 88) = 0, 0301
(c) A ∼ N
(
60;
3, 22
4
)
P(A > 64) = P
(
Z >
64− 60
3,2
2
)
= P(Z > 2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0062
Questa˜o 3 [2,0 pts]
(a) [1,0 ponto] Determine o tamanho da amostra necessa´rio para se estimar uma proporc¸a˜o p
de modo que o erro cometido na estimac¸a˜o seja de, no ma´ximo, 0,01, com probabilidade de
90%.
(b) [1,0 ponto] Como mudaria sua resposta se lhe fosse dada a informac¸a˜o de que o verdadeiro
valor de p esta´ o intervalo [0, 2; 0, 4]?
Soluc¸a˜o
(a) 1− α = 0, 90⇒ z0,05 = 1, 64
0, 01 = 1, 64×
√
p0(1− p0)
n
⇒ n =
(
1, 64
0, 01
)2
× [p0(1− p0)]
p0 = 0, 5 – procedimento conservador correspondente ao pior caso.
n =
(
1, 64
0, 01
)2
× 0, 5× 0, 5 = 6724
2
(b) Neste caso, o pior caso corresponde a p0 = 0, 4 :
n =
(
1.64
0.01
)2
× 0.4× 0.6 = 6455
Questa˜o 4 [2,5 pontos]
O administrador geral de um hospital esta´ preocupado com a demora no atendimento a pacien-
tes muito doentes que chegam ao setor de emergeˆncia. Dados histo´ricos mostram que o tempo
me´dio para atendimento desses pacientes e´ de 20 minutos com desvio padra˜o σ = 5 minutos.
Considerando que esse tempo de espera e´ muito longo para pacientes muito doentes, o adminis-
trador resolve experimentar uma nova forma de abordagem dos pacientes. Depois de dois meses
da implementac¸a˜o dessa nova forma de abordagem, seleciona-se uma amostra aleato´ria de 36
pacientes muito doentes e registra-se o tempo para o atendimento de cada um. O tempo me´dio
amostral e´ x = 17 minutos. O administrador precisa saber se a nova forma de abordagem me-
lhora o tempo de atendimento. Voceˆ vai ajuda´-lo nesse processo de decisa˜o, realizando um teste
de hipo´tese com n´ıvel de significaˆncia α = 0, 05 e supondo que o desvio padra˜o populacional
na˜o se alterou.
(a) [0,5 ponto] Defina as hipo´teses nula e alternativa.
(b) [0,5 ponto] Defina a estat´ıstica de teste e sua distribuic¸a˜o e a regia˜o de rejeic¸a˜o.
(c) [0,5 ponto] Estabelec¸a a conclusa˜o com base nos dados observados. Certifique-se de inter-
pretar o resultado a` luz do problema em questa˜o.
(d) [0,5 ponto] Calcule o valor P .
(e) [0,5 ponto] Obtenha o intervalo de confianc¸a para o verdadeiro novo tempo me´dio de
espera. Use o n´ıvel de confianc¸a de 95%.
Soluc¸a˜o
(a)
H0 : µ = 20
Ha : µ < 20
(b)
Z =
√
36
X − 20
5
∼ N(0; 1)
RR : Z < −1, 64
(c) O valor observado da estat´ıstica de teste e´
z0 =
√
36
17− 20
5
= −3, 6
Como −3, 6 < −1, 64, rejeita-se a hipo´tese nula, ou seja, os dados indicam que a nova
abordagem reduz o tempo de espera para atendimento a pacientes muito doentes que chegam
ao setor de emergeˆncia desse hospital.
3
(d)
P = P (Z < −3, 6) = P (Z > 3, 6) = 0, 5− tab(3, 6) = 0, 5− 0, 4998 = 0, 0002
(e) (
17− 1, 96× 5
6
; 17 + 1, 96× 5
6
)
= (15, 367; 18, 633)
Questa˜o 5 [2,5 pts]
De uma populac¸a˜o normal, extrai-se uma amostra aleato´ria de tamanho 15 que acusa os seguintes
valores:
380 350 290 370 280
300 320 330 300 290
340 326 340 324 320
(a) [0,5 ponto] Calcule a me´dia e o desvio-padra˜o amostrais. (Dica:
15∑
i=1
xi = 4860;
15∑
i=1
x2i =
1586552)
(b) [1,0 ponto] Use os dados amostrais para testar
H0 : µ = 300
H1 : µ > 300
ao n´ıvel de significaˆncia de 5%.
(c) [1,0 ponto] Determine um intervalo de confianc¸a de 90% para a me´dia populacional µ.
Soluc¸a˜o
(a)
x =
4860
15
= 324
s =
√
1
14
(
1586552− 4860
2
15
)
= 29, 16946
(b)
H0 : µ = 300
H1 : µ > 300
Como a populac¸a˜o e´ Normal, podemos usar a distribuic¸a˜o t de Student para a estat´ıstica
de teste:
t0 =
√
15× 324− 300
29, 16946
= 3, 1866
O valor cr´ıtico da t(14) e´ t14;0,10 = 1, 345. Como o valor observado t0 encontra-se na regia˜o
cr´ıtica, conclui-se que os dados fornecem evideˆncia de que µ > 300.
(c) t14;0,05 = 1, 761[
324− 1, 761× 29, 16946√
15
; 324 + 1, 761× 29, 16946√
15
]
= [310, 74 ; 337, 26]
4
Resultados importantes e fo´rmulas
Distribuic¸o˜es Amostrais
X ∼ N (µ;σ2) =⇒

X − µ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − µ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = P̂ ≈ N
(
p;
p(1− p)
n
)
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(
Xi −X
)2
=
1
n− 1
[
n∑
i=1
X2i − nX2
]
=
1
n− 1
[
n∑
i=1
X2i −
(
∑
Xi)
2
n
]
Regio˜es cr´ıticas
X < µ0 − zα/2 σ√
n
ou X > µ0 + zα/2
σ√
n
X > µ0 + zα
σ√
n
X < µ0 − zα σ√n
X < µ0 − tn−1;α/2 S√
n
ou X > µ0 + tn−1;α/2
S√
n
X > µ0 + tn−1;α
S√
n
X < µ0 − tn−1;α S√
n
P̂ < p0 − zα/2
√
p0(1−p0)
n
ou P̂ > p0 + zα/2
√
p0(1−p0)
n
P̂ > p0 + zα
√
p0(1−p0)
n
P̂ < p0 − zα
√
p0(1−p0)
n
5