Gabarito AP3 2012-2 Métodos Estatísticos II

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Me´todos Estatisticos II – 2/2012 – GABARITO
Questa˜o 1 [2,5 pts]
Nas Figuras 1 a 3 sa˜o dados os graficos de treˆs func¸o˜es.
(a) [1,5 pontos] Determine quais delas representam uma func¸a˜o de densidade de probabilidade
de uma varia´vel aleato´ria X. Justifique sua resposta.
(b) [1,0 ponto] Para aquelas que sa˜o func¸a˜o de densidade, calcule P (X > 2, 5|X > 2).
Figura 1: Func¸a˜o 1 Figura 2: Func¸a˜o 2 Figura 3: Func¸a˜o 3
SOLUC¸A˜O
(a) Func¸a˜o 1: Na˜o e´ fdp, pois na˜o satisfaz a condic¸a˜o f(x) ≥ 0.
Func¸a˜o 2: Na˜o e´ fdp, pois na˜o satisfaz a condic¸a˜o de a´rea 1 sob a curva.
Func¸a˜o 3: E´ fdp, pois f(x) ≥ 0 e a a´rea sob a curva e´ 1, decomposta como soma da a´rea de
um triaˆngulo de base 2 e altura 0,5 e de um retaˆngulo de lados 1 e 0,5.
(b) Para a Func¸a˜o 3
P (X > 2, 5|X > 2) = P (X > 2, 5)
P (X > 2
=
0, 25
0, 5
= 0, 5
Questa˜o 2 [2,0 pts]
Em cada um dos seguintes problemas, a me´dia amostral, o desvio padra˜o amostral, o tama-
nho amostral e o n´ıvel de significaˆncia sa˜o dados. Suponha que a populac¸a˜o subjacente seja
normalmente distribu´ıda. Realize o teste de hipo´tese apropriado para a afirmativa dada sobre
a me´dia populacional. Certifique-se de explicitar as hipo´teses nula e alternativa, bem como a
regia˜o cr´ıtica.
(a) [1,0 ponto]
x = 226 s = 9 n = 16 α = 5% Afirmativa: A me´dia e´, no ma´ximo, 220.
(b) [1,0 ponto]
x = 2285 s = 719 n = 27 α = 5% Afirmativa: A me´dia e´ diferente de 2550.
SOLUC¸A˜O
1
(a) Afirmativa dada: µ ≤ 220.
H0 : µ = 220
H1 : µ > 220
Teste unilateral a` direita: t15;0,05 = 1, 753. Regia˜o cr´ıtica: T0 > 1, 753.
Valor observado da estat´ıstica de teste: t0 =
226− 220
9/4
= 2, 67 > 1, 753 =⇒ Rejeita-se H0.
(b) Afirmativa dada: µ 6= 2550.
H0 : µ = 2550
H1 : µ 6= 2550
Teste bilateral: t26;0,025 = 2, 056. Regia˜o cr´ıtica: T0 > 2, 056 ou T0 < −2, 056.
Valor observado da estat´ıstica de teste: t0 =
2285− 2550
719/
√
27
= −1, 915 � −2, 056 =⇒ Na˜o se
rejeita H0.
Questa˜o 3 [2,0 pts]
De uma populac¸a˜o normal com desvio padra˜o 3, extrai-se uma amostra de tamanho 25 com o
objetivo de se testar
H0 : µ = 7
H1 : µ < 7
(a) [1,0 ponto] Estabelec¸a a regra de decisa˜o para um n´ıvel de significaˆncia de 1%.
(b) [0,5 ponto] Se a me´dia amostral e´ 5,5, estabelec¸a a conclusa˜o.
(c) [0,5 ponto] Calcule o valor P.
SOLUC¸A˜O
(a) Teste unilateral a` esquerda – regia˜o cr´ıtica Z0 < −2, 33 onde Z0 = X − 7
3/5
(b) Valor observado da estat´ıstica de teste: Z0 =
5, 5− 7
3/5
= −2, 5 < −2, 33 =⇒ Rejeita-se H0.
(c) P = P (Z < −2, 5) = 0, 5− tab(2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0062.
Questa˜o 4 [1,5 pts]
Em cada um dos itens a seguir, X ∼ Bin(n, p). Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para
aproximac¸a˜o da binomial pela normal e calcule as probabilidades pedidas, usando a correc¸a˜o de
continuidade.
(a) n = 100 p = 0, 25 P (X > 32)
(b) n = 200 p = 0, 35 P (X ≤ 89)
(c) n = 1000 p = 0, 85 P (810 ≤ X < 875)
2
SOLUC¸A˜O
(a)
n ≥ 30
100× 0.25 = 25 ≥ 5
100× (1− 0, 25) = 75 ≥ 5
 =⇒ X ≈ N (100× 0.25; 100× 0.25× 0.75) = N(25; 18, 75)
P (X > 32) = P (X ≥ 33) ≈ P
(
Z ≥ 32, 5− 25√
18, 75
)
= P (Z ≥ 1, 73) = 0, 5−0, 4582 = 0, 0418
(b)
n ≥ 30
200× 0, 35 = 70 ≥ 5
200× (1− 0, 35) = 130 ≥ 5
 =⇒ X ≈ N (200× 0, 35; 200× 0, 35× 0, 65) = N(70; 45, 5)
P (X ≤ 89) ≈ P
(
Z ≤ 89, 5− 70√
45, 5
)
= P (Z ≤ 1, 41) = 0, 5 + 0, 4207 = 0, 9207
(c)
n ≥ 30
1000× 0, 85 = 850 ≥ 5
1000× (1− 0, 85) = 150 ≥ 5
 =⇒ X ≈ N (1000× 0, 85; 1000× 0, 85× 0, 15) = N(850; 127, 5)
P (810 ≤ X < 875) = P (810 ≤ X ≤ 874) ≈ P
(
Z ≤ 809, 5− 850√
127, 5
≤ Z ≤ 874, 5− 850√
127, 5
)
= P (−3, 59 ≤ Z ≤ 0, 69) = 0, 2549 + 0, 4998 = 0, 7547
Questa˜o 5 [2,0 pts]
1. (1,0 ponto) Qual deve ser o tamanho da amostra mı´nimo necessa´rio para se obter um
intervalo de confianc¸a de 90% para uma proporc¸a˜o populacional, que se sabe ser no ma´ximo
25%, se o erro ma´ximo tolera´vel e´ de 8% ?
2. (1,0 ponto) Uma amostra de tamanho igual ao calculado no item anterior acusa pro-
porc¸a˜o amostral igual a 0,34. Esses dados corroboram a hipo´tese feita de que a proporc¸a˜o
populacional e´ no ma´ximo 25%? Responda a essa pergunta fazendo um teste de hipo´tese
ao n´ıvel de significaˆncia de 5%.
SOLUC¸A˜O
(a)
� ≤ 0, 08 =⇒ 1, 64
√
0, 25× 0, 75
n
≤ 0, 08 =⇒ n ≥
(
1, 64
0, 08
)2
×0, 25×0, 75 = 78, 797 =⇒ n = 79
3
(b) Afirmativa dada: p ≤ 0, 25.
H0 : p = 0, 25
H1 : p > 0, 25
Teste unilateral a` direita: z0,05 = 1, 64. Regia˜o cr´ıtica: Z0 > 1, 64.
Valor observado da estat´ıstica de teste: z0 =
0, 34− 0, 25√
0, 25× 0, 75
79
= 1, 8474 > 1, 64 =⇒ Rejeita-
se H0.
4