AP3-MEst_II-2012-1-gab

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
3a Prova Presencial - 1o. semestre de 2012
Profa. Ana Maria Farias
1. O rótulo de uma embalagem de pó de café indica que o conteúdo é de 1000 gramas. Suponha
que a linha de produção encha as embalagens de forma que o peso tenha a seguinte densidade
de probabilidade:
Figura 1: Função de densidade f(x) para o peso das embalagens de café - Questão 1
(a) (0,5 ponto) Determine o valor de k para que f(x) seja uma função de densidade.
Solução
Temos que ter k ≥ 0 e a área sob a reta deve ser 1. Logo, k = 1/60.
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma embalagem tenha peso superior a 1020
gramas?
Solução
P (X > 1020) =
30
60
=
1
2
(c) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma embalagem tenha peso superior a 1030,
sabendo que seu peso é superior a 1020 gramas?
Solução
P (X > 1030|X > 1020) = P (X > 1030)
P (X > 1020)
=
20
60
1
2
=
2
3
2. Os valores anuais das vendas num grande escritório imobiliário podem ser aproximados por
uma distribuição normal com média de 90 unidades monetárias (u.m.) e desvio padrão de 20
u.m..
(a) (0,5 ponto) Os corretores que acumularem vendas superiores a 110 u.m. recebem uma
comissão especial ao final do ano. Que percentual de corretores receberá essa comissão
especial?
Solução
Seja V o valor das vendas. Então, V ∼ N(90; 202).O problema pede
Pr(V > 110) = Pr
µ
Z >
110− 90
20
¶
= Pr(Z > 1) = 0, 5−tab(1) = 0, 5−0, 34134 = 0, 15866
15,87% dos corretores receberão a comissão especial.
1
(b) (0,5 ponto) Os corretores que acumularem vendas inferiores a 44 u.m. receberão uma
advertência. Que percentual de corretores receberá advertência?
Solução
Pr(V < 44) = Pr
µ
Z <
44− 90
20
¶
= Pr(Z < −2, 3) = Pr(Z > 2, 3) =
= 0, 5− tab(2, 3) = 0, 5− 0, 48928 = 0, 01072
1,07% dos corretores receberão advertência.
3. Consulte a tabela da distribuição t de student para responder às perguntas seguintes.
(a) (0,5 ponto) Na distribuição t(10) encontre a abscissa t10;0,05.
Solução: t10;0,05 = 1, 812
(b) (0,5 ponto) Na distribuição t(18) encontre a abscissa t tal que Pr(t(18) < t) = 0, 10.
Solução: t = −t18;0,10 = −1, 33
4. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa referentes às afirmativas seguintes. Certifique-se de
usar a notação apropriada para os parâmetros envolvidos.
(a) (0,5 ponto) O tempo médio é, no máximo, 15 minutos.
Solução:
afirmativa dada: μ ≤ 15
complementar: μ > 15
H0 : μ = 15
H1 : μ > 15
(b) (0,5 ponto) Há, em média, pelo menos 15 clientes.
Solução
afirmativa dada: μ ≥ 15
complementar: μ < 15
H0 : μ = 15
H1 : μ < 15
(c) (0,5 ponto) A proporção de defeituosos tem que ser, no máximo, 5%.
Solução:
afirmativa dada: p ≤ 0, 05
complementar: p > 0, 05
H0 : p = 0, 05
H1 : p > 0, 05
5. De uma população normal com desvio padrão 2, extrai-se uma amostra de tamanho 36 com o
objetivo de testar
H0 : μ = 8
H1 : μ 6= 8
(a) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%.
Solução
α = 5%, teste bilateral: z0,025 = 1, 96 e a regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 8
2√
36
< −1, 96⇐⇒ X < 8− 1.96× 2
6
= 7, 3467
ou
X − 8
2√
36
> 1, 96⇐⇒ X > 8 + 1.96× 2
6
= 8, 6533
2
(b) (1,0 ponto) Se a média amostral é 7,2 estabeleça a conclusão.
Solução
O valor observado da estatística de teste é
7.2− 8
2
6
= −2, 40 < −1, 96
Como o valor observado da estatística de teste ou da média amostral está na região crítica
(−2, 4 < −1, 96 ou 7, 2 < 7, 3467), devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, as evidências
amostrais indicam que a média é menor que 8.
6. (1,0 ponto) Calcule o tamanho da amostra necessário para se obter um intervalo de confiança
de 90% para uma proporção populacional com erro máximo de 8%, sabendo que a proporção
populacional é de, no máximo, 30%.
Solução
1− α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64
0, 08 = 1, 64×
r
0, 3× 0, 7
n
=⇒ n ≥ 89
7. (2,0 pontos) Uma indústria farmacêutica lança um novo remédio para dor de cabeça, afir-
mando que o mesmo leva menos de 5 minutos para fazer efeito. Uma amostra de 9 sujeitos,
tomados aleatoriamente, acusou uma média de 4,8 minutos e desvio padrão de 1,2 minutos.
Com 5% de siginificância, teste a alegação do fabricante. Certifique-se de explicitar todas
etapas do procedimento de teste de hipótese, indicando as suposições feitas.
Solução
Temos que supor que o tempo de atuação possa ser aproximado por uma distribuição normal
N(μ;σ2). A alegação do fabricante é que μ < 5.Logo, nossas hipóteses são
H0 : μ = 5
H1 : μ < 5
e a estatística de teste é T0 =
√
9
X − 5
1, 2
∼ t(n− 1).
A abscissa da distribuição t de Student com 8 graus de liberdade que deixa 5% na cauda
inferior é t8;0,95 = −1, 86 e, portanto, a regra de decisão é rejeitar H0 se T0 < −1, 86. O valor
observado da estatística de teste é
t0 =
√
9× 4, 8− 5
1, 2
= −0, 5
Logo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os dados indicam que a alegação do fabricante
não é verdadeira, ou seja, o medicamento leva 5 minutos ou mais para começar a fazer efeito.
3
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
"
nP
i=1
X2i −
(
P
Xi)2
n
#
4