Complementos de Matemática_ Mauro_4

Prévia do material em texto

2012
ME-100
Fundamentos de Matemática
Mauro S. de F. Marques
– p. 1/39
CAPÍTULO 4
Conjuntos Numéricos
msdfm
– p. 2/39
4.1 Números inteiros
Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez
mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser
a solução de equações tão simples como:
x+ 2 = 0, 2x+ 10 = 0, 4y + 4 = 0, etc...
As Ciências precisavam de símbolos para representar
temperaturas acima e abaixo de 0o C, por exemplo. Astrônomos
e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar
a atração entre dois corpos. Uma força sobre umo corpo, este
reage com outra de mesma intensidade e sentido contrário.
Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era
preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse
número criado, de modo prático e eficiente.
msdfm
– p. 3/39
Sobre a origem dos sinais
A idéia sobre os sinais vem das atividades de comercio da época.
Os comerciantes da época usavam traço (semelhante ao atual
sinal de menos) na frente da quantidade retirada de um saco de
graos e dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais)
na frente de quantidades acrescentada.
Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar
esse novo tipo de número. Com essa nova notação,os
matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas
também representar o ganho ou a perda dessas quantidades,
através de números, com sinal positivo ou negativo. msdfm
– p. 4/39
Como foi estabelecido no Capítulo 3, dados dois números
naturais n em,
∀n,m ∈ N,∃k ∈ N ∋ m = n+ k ⇔ n < k.
denotar
k = (m− n).
Note que a “notacao” (m-n) so está definida para n menor quem.
A idéia estender a “operação” − para todos os números naturais
o que so é possível estendendo-se (aumentando) também o
conjunto N. Isto pode ser feito adicionando-se um elemento
identidade (neutro) e elementos inversos para todos os
naturais com relac¸a˜o a` operaa˜o +.
msdfm
– p. 5/39
O conjunto dos nu´meros inteiros Z a
• Denote por 0 o “elemento identidade (neutro)” da soma.
• Para todo número natural n, denote por −n o “elemento
inverso” de n
• Defina
Z = N ∪ {0} ∪ N−
onde N− é o conjunto dos objetos denotados por −n, para
cada número natural n, isto é,
N− = {−n|n ∈ N}
Definic¸a˜o: Os elementos do conjunto Z são chamdos de
nu´meros interios e Z de conjunto do nu´meros interios.
msdfm
aLetra Z por Zahlen, igual a nu´mero em alema˜o
– p. 6/39
Definic¸a˜o de soma de nu´meros interios
Seja
+ : Z× Z 7→ Z
definida por:
(i) ∀z ∈ Z, z + 0 = 0 + z = z.
(ii) ∀k,m, n ∈ N ∪ {0} = {0, 1, 2, . . .} ⊂ Z ∋ m = n+ k,
(a) m+ (−n) = (−n) +m = k.
(b) (−m) + n = n+ (−m) = −k.
(c) (−m) + (−n) = −(m+ n).
Desse modo definimos de modo único a soma z1 + z2, para todo
par ordenados (z1, z2) em Z× Z. Essa soma restrita a elementos
de N coincide com a soma em N, em outras palavras, ela estende
a soma de N.
msdfm
– p. 7/39
Exercı´cio: 4.1 Considere a soma + definida em Z:
(i) Mostre que + é comutativa.
(ii) Mostre que + é associativa.
(iii) Qual é a identidade para +?
(iv) Mostre que todo elemento em Z é invertível e
para cada z em Z encontre o inverso de z?
(v) Vale a “Lei do Corte (Cancelamento)”, isto é,
z + w = u+ w ⇒ z = u.
msdfm
– p. 8/39
Definic¸a˜o de multiplicac¸a˜o de nu´meros inteiros
Seja
· : Z× Z 7→ Z
definida por:
(i) ∀z ∈ Z, z · 0 = 0 · z = 0.
(ii) ∀m,n ∈ N ⊂ Z,
(a) m · (−n) = (−n) ·m = −(m · n).
(b) (−m) · (−n) = m · n.
Desse modo definimos de modo único a soma z1 · z2, para todo
par ordenados (z1, z2) em Z× Z. Essa multiplicação restrita a
elementos de N coincide com a multiplicação em N, em outras
palavras, ela estende a multiplicação de N. msdfm
– p. 9/39
Exercı´cio:
4.2 Considere a multiplicação · definida em Z:
(i) Mostre que · é comutativa.
(ii) Mostre que · é associativa.
(iii) Qual é a identidade para ·?
(iv) Mostre que, exceto pela identidade, nenhum elemento em
Z é invertível com relação a multiplicação.
4.3 Vale a “Lei do Corte”? Explique!
4.4 Mostre que:
∀x, y, z ∈ Z, x · (y + z) = (x · y) + (x · z).
msdfm
– p. 10/39
Exercı´cio:
4.5. O que pode ser dito sobre a operação binária, chamada
subtrac¸a˜o, definida em Z por:
− : Z× Z 7→ Z
(z, w) z − w = z + (−w).
msdfm
– p. 11/39
Curiosidades com nu´meros inteiros:
12345679 x 09 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999
9 x 9 + 7 = 88
9 x 98 + 6 = 888
9 x 987 + 5 = 8888
9 x 9876 + 4 = 88888
9 x 98765 + 3 = 888888
9 x 987654 + 2 = 8888888
9 x 9876543 + 1 = 88888888
9 x 98765432 + 0 = 888888888
msdfm
– p. 12/39
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
9 x 7 = 63
99 x 77 = 7623
999 x 777 = 776223
9999 x 7777 = 77762223
99999 x 77777 = 7777622223
999999 x 777777 = 777776222223
9999999 x 7777777 = 77777762222223
99999999 x 77777777 = 7777777622222223
msdfm
– p. 13/39
1 x 7 + 3 = 10
14 x 7 + 2 = 100
142 x 7 + 6 = 1000
1428 x 7 + 4 = 10000
14285 x 7 + 5 = 100000
142857 x 7 + 1 = 1000000
1428571 x 7 + 3 = 10000000
14285714 x 7 + 2 = 100000000
142857142 x 7 + 6 = 1000000000
1428571428 x 7 + 4 = 10000000000
14285714285 x 7 + 5 = 100000000000
142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000
9 x 9 = 81
99 x 99 = 9801
999 x 999 = 998001
9999 x 9999 = 99980001
99999 x 99999 = 9999800001
999999 x 999999 = 999998000001
msdfm
– p. 14/39
12 x 12 = 144, 21 x 21 = 441
13 x 13 = 169, 31 x 31 = 961
102x102 = 10404, 201x201 = 40401
103x103 = 10609, 301x301 = 90601
112x112 = 12544, 211x211 = 44521
122x122 = 14884, 221x221 = 48841
msdfm
– p. 15/39
Ordem usual em Z:
Definic¸a˜o:
Sejam z e w números inteiros. Dizemos que “z e´ menor que
w”,escrevemos z < w se existe um número natural n tal que
z + n = w. Em outros termos
z, w ∈ Z, z < w ⇔ ∃n ∈ N ∋ z + n = w.
Similarmente a N, para z e w números inteiros,
z ≤ w ⇔ ((z < w) ∨ (z = w));
z > w ⇔ w < z e z ≥ w ⇒ w ≤ z.
msdfm
– p. 16/39
4.2 Números racionais
Existem várias formas para definir rigorosamente aquilo que é
chamado de um nu´meros racionais. Como estas notas não tem
como objetivo ser um texto em estruturas algébrica, aqui
introduziremos este conceito de forma não rigorosa e resumida
levando em conta a simplicidade e o objetivo do texto. Parte do
rigor necessário será retomado na próxima secção.
Inicialmente observemos que a proposição
∀z, w ∈ Z, ∃u ∈ Z ∋ z = w + u,
é verdaderia. O mesmo não é verdade se a operação soma (+)
em Z é substituida pela operação multiplicação (·) em Z. De
fato, sabemos, por exemplo, que na˜o existe um número inteiro z
tal que 5 = 2 · z.
msdfm
– p. 17/39
Temos então que a proposição
∀z, w ∈ Z,∃u ∈ Z ∋ z = w · u
é falsa.
Note também que, em Z, o elemento 1 é a identidade, o elemento
neutro, com relação a operação multiplicação (·), ou seja
∀z ∈ Z, z · 1 = 1 · z = z
mas nem todo elemento de Z é invertível com relação a operação
multiplicação (·), isto é, a proposição
∀z ∈ Z,∃z′ ∈ Z ∋ z · z′ = z′ · z = 1
é falsa. msdfm
– p. 18/39
Podemos intuitivamete pensar em estender o conjunto dos
números inteiros Z para um conjunto Q introduzindo elementos
de forma que para que:
∀r, s ∈ Q\{0},∃t ∈ Q ∋ r = s · t.
Em particular
∀r ∈ Q\{0}∃r−1 ∈ Q ∋ r · r−1 = r·r = 1.
O conjunto Q é chamado conjunto dos nu´meros racionais e
seus elementos de nu´meros racionais.
msdfm
– p. 19/39
Pode ser mostrado que os números racionais podemser expressos com a “razão” de dois números
inteiros. Ou seja,
r ∈ Q⇔ r =
p
q
, p, q ∈ Z, q 6= 0.
Identificando
z =
z
1
, ∀z ∈ Z ⇒ Z ⊂ Q.
Além disto,
∀r1, r2 ∈ Q, r1 =
p1
q1
, r2 =
p2
q2
,
(i) r1 + r2 = p1q1 +
p2
q2
= p1·q2+p2·q1
q1·q2
(ii) r1 · r2 = p1q1 ·
p2
q2
= p1·p2
q1·q2
estão bem definidas, estendem a soma e a multiplicação de Z, são comutativas e associativas.
Temos também que 0 (0/1) e 1 (= 1/1) são, respectivamente, os elementos identidade da soma
e da multiplicação e todo racional, exceto 0, é invertível com relação a multiplicação, a saber
∀r =
p
q
∈ Q, r 6= 0, r−1 =
q
p
.
msdfm
– p. 20/39
3.3 Números reais
A equação
x · x = 2
não tem solução em Q. Isto nos motiva a prosseguir no nosso processo de extensão de estruturas
numéricas mais completas.
Axioma R1: Seja R um conjunto com duas operações binárias + (soma) e · (multiplicação) tal
que:
(i) + e · são comutativas e associativas.
(ii) ∃0 ∈ R ∋, ∀x ∈ R, 0 + x = x+ 0 = x
(0 é a identidade para +).
(iii) ∃1 ∈ R ∋, ∀x ∈ R, 1 · x = x · 1 = x
(1 é a identidade para ·).
(iv) ∀x ∈ R, ∃(−x) ∈ R,∋ (−x) + x = x+ (−x) = 0
(todo elemento é invertível com relação a +).
(v) ∀x ∈ R, x 6= 0, ∃(x−1) ≡ 1
x
∈ R,∋ (x−1) · x = x · (x−1) = 1.
(exceto 0, todo elemento é invertível com relação a ·).
(vi) ∀x, s, t ∈ R, x · (s+ t) = (x · s) + (x · t)
(a adição é distributiva com relação a soma)
msdfm
– p. 21/39
Teorema 1. ∀a, b, c ∈ R,
(i) a · 0 = 0.
(ii) (−a) · b = −(a · b).
(iii) (a 6= 0 ∧ a · b = a · c)⇒ b = c.
Demonstrac¸a˜o:
(i)
a+ (a · 0)
R1(iii)
= (a · 1) + (a · 0)
R1(vi)
= a · (1 + 0)
R1(ii)
= a · 1
R1(iii)
= a.
Ou seja,
a+ (a · 0) = a.
Como o elemento identidade é único (Teorema 2.13),
a · 0 = 0.
msdfm– p. 22/39
(ii) ∀a, b ∈ R,
0
(i)
= 0 · b
R1(iv)
= (a+ (−a)) · b
R1(vi)
= a · b+ (−a) · b.
Isto é
0 = a · b+ (−a) · b.
Pela unicidade do inverso
−(a · b) = (−a) · b.
(iii)
a 6= 0
R1(v)
⇒ (∃a−1 ∋ a−1 · a = 1).
a · b = a · c ⇒ a−1 · (a · b) = a−1 · (a · c)
R1(i)
⇒
(a−1 · a) · b = (a−1 · a) · c
R1(v)
⇒ 1 · b = 1 · c
R1(iii)
⇒ b = c.
c.q.d
msdfm
– p. 23/39
Axioma R2: Existe um subconjunto R+ de R tal que:
(i) ∀a, b ∈ R+, (a+ b ∈ R+) ∧ (a · b ∈ R+).
(ii) ∀a ∈ R, (a ∈ R+) ∨ (a = 0) ∨ (−a ∈ R+).
Definic¸a˜o: Dados a e b em R dizemos que a é menor que b (ou b
maior que a), escrevemos a < b (b > a) se e somente de
b+ (−a) é um elemento de R+. Em outras palavras
∀a, b ∈ R, a < b ⇔ b+ (−a) ∈ R+.
Como anteriormante, a menor ou igual a b (ou b maior ou igual a
a), lemos a ≤ b (b ≥ a) significa
a ≤ b ⇔ (a < b) ∨ (a = b) (b ≥ a ⇔ b > a ∨ b = a).
msdfm
– p. 24/39
Exercı´cio:
4.6 Mostre que:
(i) (−1) · (−1) = 1.
(ii) ∀a ∈ R, −a = (−1) · a
(iii) ∀a, b ∈ R,−(a+ (−b)) = (−a) + b.
(iv) a ∈ R+ ⇔ 0 < a.
Teorema 2. (Ordem total)
∀a, b ∈ R, (a < b) ∨ (a = b) ∨ (b < a).
Demonstrac¸a˜o:
a 6= b⇔ a+ (−b) 6= 0
R2(ii)
⇒
(a+ (−b) ∈ R+) ∨ (−(a+ (−b)) = (−a) + b = b+ (−a) ∈ R+) ⇒ (a > b) ∨ (b > a).
c.q.d
msdfm
– p. 25/39
Teorema 3. ∀a, b, c ∈ R,
(i) a < b ⇒ a+ c < b+ c.
(ii) (a < b) ∧ (0 < c) ⇒ a · c < b · c.
Demonstrac¸a˜o:
(i) a < b⇒ b+ (−a) ∈ R+.
Por outro lado,
(b+ c) + (−(a+ c)) = (b+ c) + ((−a) + (−c)) =
(b+(−a))+(c+(−c)) = (b+(−a))+0 = b+(−a) ∈ R+.
Logo
a+ c < b+ c.
msdfm
– p. 26/39
(ii) Inicialmente observe que
(0 = −0) ∧ (0 < c)⇒ c = c+ 0 = c+ (−0) ∈ R+
e
a < b ⇒ b+ (−a) ∈ R+.
Pelo Axioma R2(i),
((b+ (−a)) · c) ∈ R+,
ou seja,
(b+ (−a)) · c = b · c+ (−a) · c = b · c+ (−(a · c)) ∈ R+,
mostrando que
a · c < b · c.
c.q.d
msdfm
– p. 27/39
Definic¸a˜o: Seja A um subconjunto de R
• Dizemos que um um elemento U de R é uma cota superior para A se
∀a ∈ A ⊂ R, a ≤ U.
• Dizemos que um um elemento L de R é uma cota inferior para A se
∀a ∈ A ⊂ R, L ≤ a.
• Se A tem uma cota superior dizemos que A é limitado superiormente
• Se A tem uma cota inferior dizemos que A é limitado inferiormente
• Dizemos que é limitado se ele é limitado superiormente e inferiormente.
msdfm
– p. 28/39
Definic¸a˜o: Seja A ⊂ R.
• Dizemos que a é o infimo de A, escrevemos a = inf(A), se
1. a é uma cota inferior para A, ou seja,
∀a ∈ A ⊂ R, a ≤ a.
2. a é a maior cota inferior para A, ou seja,
L ≤ a, ∀a ∈ A ⇒ L ≤ a.
• Dizemos que a é o supremo de A, escrevemos
a = sup(A), se
1. a é uma cota superior para A, ou seja,
∀a ∈ A ⊂ R, a ≤ a.
2. a é a menor cota superior para A, ou seja,
a ≤ U,∀a ∈ A ⇒ a ≤ U.
msdfm
– p. 29/39
Teorema 4. Seja A um subconjunto de R, enta˜o
(i) a = sup(A) ⇔ (∀a ∈ A, a ≤ a)) ∧ (∀ǫ > 0, ∃x ∈ A, a− ǫ < x ≤ a.)
(ii) a = inf(A) ⇔ (∀a ∈ A, a ≤ a) ∧ (∀ǫ > 0, ∃x ∈ A, a ≤ x < a+ ǫ.
Demonstrac¸a˜o: (i) Suponhamos que a = sup(A).
Claramente,
∀a ∈ A, a ≤ a.
Vamos assumir que a proposição em (i) é falsa, isto é,
∃ǫ0 > 0 ∋ ∀x ∈ A, x ≤ a− ǫ0.
Isto implica que a− ǫ0 é uma cota superior.
Mas isto é uma contradição pois, por definição, a é a menor cota superior para A e
a− ǫ0 < a.
Logo a proposição em (i) é verdadeira.
msdfm
– p. 30/39
Tomando agora como premissas
(∀a ∈ A, a ≤ a)) ∧ (∀ǫ > 0,∃x ∈ A, a− ǫ < x ≤ a),
trivialmente a é uma cota superior.
Por outro lado, seja U uma cota superior para A. Suponhamos
que
U < a.
U < a⇔ 0 < a+ (−U).
Seja
ǫ = a+ (−U).
msdfm
– p. 31/39
Pela segunda premissa
∃x ∈ A, a− ǫ < x ≤ a.
Logo,
U = a− (a+ (−U)) = a− ǫ < x
Mas
U < x, x ∈ A
é uma contradição, pois U é uma cota superior. Logo a é a menor
cota superior, isto é,
a = sup(A).
(ii) Exercício
msdfm
– p. 32/39
Axioma R3: Se A é um subconjunto não vazio de R, limitado
superiormente, então A tem uma menor cota superior em R.
Esse último axioma faz com que o conjunto R não tenha
“buracos” como é o caso dos racionais Q. Por exemplo,
{x ∈ R : x · x < 2}
é limitado superiormente, por R3 ele tem uma menor cota
superior em R que denotaremos por
√
2. Já o conjunto
{x ∈ Q : x · x < 2}
não tem uma menor cota superior em Q (Exercício).
msdfm
– p. 33/39
Definic¸a˜o: A estrutura R definida pelos Aximos R1-R3 é
conhecida como o conjunto dos números reais e o subconjunto
R+ definido em R2 de conjunto dos reais positivos.
Em R podemos definir o conceito de distância entre seus
elementos. Existe distintas maneiras para definir uma distancia
em R, a mais usual envolve o conceito de valor albsoluto ou
modulo.
Definic¸a˜o: Seja x um elemento de R o valor absoluto (ou
modulo) de x, escreve-se |x|, é definido por;
|x| =


x se x ≥ 0
−x se x < 0
msdfm
– p. 34/39
Exercı´cios:
4.7. O que pode ser dito sobre a operação binária, chamada
subtrac¸a˜o, definida em R por:
− : R× R 7→ R
(x, y) x− y = x+ (−y).
4.8. Mostre que 1 ∈ R+
4.9. Mostre que N ⊂ R+
4.10. Mostre que
− sup(A) = inf(−A) ∧ inf(A) = sup(−A),
onde −A = {−a : a ∈ A}.
msdfm
– p. 35/39
4.11. Mostre que, quando definidos,
∀A,B ∈ P(R), B ⊂ A, inf(A) ≤ inf(B) ≤ sup(B) ≤ sup(A)
4.12. Seja u ∈ R. Mostre que
sup{x ∈ R : x < u} = u.
4.13. Mostre que o conjunto {x ∈ Q : x · x < 3} não tem uma
menor cota superior em Q.
4.14 Mostre que a seguinte proposição é verdadeira:
∀x, y, z ∈ R, (x < y) ∧ (z < 0)→ (y · z < x · z)
msdfm
– p. 36/39
Note que | · | é uma função:
| · | : R 7−→ {0} ∪ R+.
Definic¸a˜o: Dado um conjunto X, uma função
d(·, · · · ) : X× X 7−→ R
é chamada uma distaˆncia em X se:
(i) ∀x, y ∈ X, d(x, y) ≥ 0.
(ii) ∀x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x).
(iii) ∀x, y ∈ X, d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
(iv) ∀x, y, z ∈ X, d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z).
msdfm
– p. 37/39
Proposic¸a˜o 1. Em R× R defina a seguinte func¸a˜o:
d(·, · · · ) R× R 7→ R
(x, y) d(x, y) = |x− y|.
Enta˜o d(·, · · · ) e´ uma distaˆncia em R.
Demonstrac¸a˜o:Exercício.
c.q.d
Definic¸a˜o: Seja x um elemento de R e ǫ um real positivo. Um
conjunto da forma
Nǫ(x) = {y ∈ R : d(x, y) = |x− y| < ǫ}
é chamado uma vizinhanc¸a de x com ra´io ǫ.
msdfm
– p. 38/39
Definic¸a˜o: Dizemos que um subconjunto O de R é aberto se
∀x ∈ A,∃ǫ > 0 ∋ Nǫ(x) ⊂ A.
Dizemos que um subconjunto F de R é fechado se F c é aberto.
Exercı´cios:
4.15 Demonstre a Proposição 1.
4.16. Verifique que
Nǫ(x) = {y ∈ R : d(x, y) = |x− y| < ǫ} = {y ∈ R : x− ǫ < y < x+ ǫ} ≡ (x− ǫ, x+ ǫ).
4.17. Verifique que
(i) ∀x ∈ R, | − x| = |x|.
(ii) ∀x, y ∈ R, x = y ↔ ∀ǫ > 0, |x− y| < ǫ.
4.18. Demosntre que ∅ e R são ambos abertos e fechados.
msdfm
– p. 39/39
	small 4.1 N'umeros inteiros
	small 4.2 N'umeros racionais
	small 3.3 N'umeros reais