Apostila Cálculo I - profa. Maria Julieta - Capítulo 2

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Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática
Cálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo 
Capítulo 2: Funções
2.1- Definições
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. 
Uma função f de A em B é uma lei, regra ou correspondência que associa a cada elemento x de A 
um único elemento y de B.
O conjunto A é o domínio de f ou o conjunto onde a função é definida, e é indicado por D(f).
O conjunto B é o contradomínio de f ou campo de valores de f.
O único elemento y de B associado ao elemento x de A é indicado por f(x) (leia: f de x); diremos 
que f(x) é o valor que f assume em x ou é a imagem de x pela função f.
Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem de f, que é o 
conjunto de todos os valores assumidos pela função f, e indicado por Im(f) ou f(A). Simbolicamente, 
temos: { }AxxfAff ∈== );()()Im( .
Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por BAf →: (leia: f de A 
em B).
Duas funções BAf →: e DCg →: são iguais se, e somente se, A = C, B = D e f(x) = g(x), 
∀x ∈ A. Ou seja, duas funções são iguais quando têm o mesmo domínio, o mesmo contradomínio e a 
mesma regra de correspondência.
Uma função de uma variável real a valores reais ou função real de uma variável real é uma função 
BAf →: , onde A e B são subconjuntos de R. Até menção em contrário, só trataremos com funções 
reais de uma variável real.
- Observações:
1. Usa-se a notação )(xfx  para indicar que f faz corresponder a x o valor f(x).
 
2. Não se deve confundir f com f(x): f é a função, enquanto que f(x) é o valor que a função assume num 
ponto x do domínio, ou seja, f(x) é a imagem de x por f. 
3. Quando uma função é dada pela regra y = f(x) é comum referir-se à variável y como variável 
dependente e à variável x como variável independente. É usual dizer que y é função de x.
4. A natureza da regra que ensina como obter o valor de f(x) ∈ B quando é dado x ∈ A é inteiramente 
arbitrária, sendo sujeita apenas a duas condições:
1ª) A fim de que f tenha o conjunto A como domínio, a regra deve fornecer f(x) a todo x ∈ A;
2ª) A cada x ∈ A, a regra deve fazer corresponder um único f(x) em B, ou seja, se x = x’ em A 
então f(x) = f(x’) em B.
5. Deve-se ainda observar que uma função consta de três ingredientes: domínio, contradomínio e a lei de 
correspondência )(xfx  . Mesmo quando dizemos simplesmente “a função f”, ficam subentendidos 
12
seu domínio A e seu contradomínio B. Sem que eles sejam especificados, não existe função. Assim 
sendo, uma pergunta do tipo “Qual é o domínio da função f(x) = 1/x ?”, estritamente falando, não faz 
sentido. A pergunta correta seria: “Qual é o maior subconjunto A ⊂ R tal que a fórmula f(x) = 1/x define 
uma função RAf →: ?” Porém, muitas vezes uma função é dada pela regra )(xfx  ou, 
simplesmente, f(x) sem explicitarmos seu domínio e contradomínio; quando isso ocorrer, fica implícito 
que o contradomínio é R e que o domínio é o “maior” subconjunto de R para o qual faz sentido a regra 
em questão, ou seja, f(x) é um número real. 
- Notações:
 [ ) ( ) ( ] ( )0 , 0 , ,0 ,0 ** ∞−=∞−=∞+=∞+=
−−++ RRRR
- Exemplos e Contra-exemplos:
1. A correspondência que associa a cada número natural n seu sucessor n + 1 define uma função 
NNf →: , sendo f(n) = n + 1. D(f) = N e Im(f) = N – {1}. 
2. A regra que associa a cada [ ]2,1∈x o seu dobro define uma função [ ] Rf →2,1: , com f(x) = 2x.
D(f) = [1, 2] e Im(f) = [2, 4].
3. A fórmula A = pir2 da área A de um círculo de raio r associa a cada real positivo r um único valor de A, 
determinando assim, uma função RRf →+
*: tal que f(r) = pir2. ** )Im( e )( ++ == RfRfD .
4. Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}. As regras estabelecidas nos diagramas abaixo não definem funções 
de A em B. 
 
 
5. Seja dada a regra 24)( xxf −= . Neste caso, o maior subconjunto de R para o qual f(x) ∈ R é 
4 – x2 ≥ 0, ou seja, - 2 ≤ x ≤ 2. Logo D(f) = [-2, 2] e Im(f) = [0, 2].
 2.2- Gráfico de uma função
Seja BAf →: uma função, onde A e B são subconjuntos não vazios de R. 
O conjunto ( ){ } AxBAxxfxfG ⊂∈= ; )(, )( denomina-se gráfico de f. Assim, o gráfico de f é 
um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais.
Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode 
então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x percorre o domínio de f.
Para determinar o gráfico de uma função, assinalamos uma série de pontos, fazendo uma tabela 
que nos dá as coordenadas. No ponto em que estamos, não existe outro meio de determinar o gráfico a 
não ser este método rudimentar. Mais adiante desenvolveremos técnicas mais eficazes para o traçado de 
gráficos.
 
13
 - Observação: Podemos nos perguntar se, dada uma curva C no plano cartesiano, ela sempre representa 
o gráfico de uma função. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, um ponto de seu domínio 
pode ter somente uma imagem. Assim a curva C só representa o gráfico de uma função quando qualquer 
reta vertical corta a curva no máximo em um ponto.
 
A curva C1 representa o gráfico de uma função, enquanto a curva C2 não representa.
- Exemplos:
1. Considere a função f(x) = x2. Temos: D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e a figura abaixo esboça o gráfico de f.
 
2. Considere a função f(x) = x. Temos: D(f) = R, Im(f) = R e a figura abaixo mostra o seu gráfico.
 
3. Seja 
2 se ,4 
22 se ,2 
2 se ,2
)(por definida :



>
≤<−
−≤−
=→
x
x
x
xfRRf . Temos: D(f) = R, Im(f) = {– 2, 2, 4} e o 
gráfico de f é mostrado pela figura a seguir.
 
 
14
4. Seja xxf =)( . Então D(f) = R, Im(f) = [0, ∞) e o gráfico de f pode ser visto na figura abaixo.
 
5. Seja 
x
xf 1)( = . Então D(f) = R – {0} e Im(f) = R – {0}. A figura abaixo mostra o gráfico de f.
 
6. Seja [ ]xxf =)( = maior inteiro ≤ x. Temos que D(f) = R e Im(f) = Z. O gráfico de f é dado por:
2.3- Operações
 Operações aritméticas sobre funções
Sejam f e g duas funções, sendo D(f) = A e D(g) = B. Se A ∩ B ≠ ∅, podemos definir:
a) Função Soma de f e g: (f + g) (x) = f(x) + g(x), sendo D(f + g) = A ∩ B.
b) Função Diferença de f e g: (f – g) (x) = f(x) – g(x), sendo D(f – g) = A ∩ B.
c) Função Produto de f e g: (f . g) (x) = f(x) . g(x), sendo D(f . g) = A ∩ B.
d) Função Quociente de f por g: ( ) ( )( ) ( ){ } φ≠≠∩∈=



=



0 ; sendo , xgBAx
g
fD
xg
xfx
g
f
.
- Observação:
Se f for uma função constante, digamos f(x) = k, k ∈ R, então o produto de f e g será kg. Desta forma, 
multiplicar uma função por uma constante é um caso particular de multiplicação de duas funções.
15
- Exemplo:
Sejam as funções 1)( e 4)( 2 −=−= xxgxxf .
Então { } { }1ou 1 ;)( e 4 ;)( ≥−≤∈==≤∈== xxRxBgDxRxAfD .
Temos:
( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ; ; 14 2 ≤≤−≤∈=∩=+−+−=+ xxRxBAgfDxxxgf
( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ; ; 14 2 ≤≤−≤∈=∩=−−−−=− xxRxBAgfDxxxgf
( ) ( ) ( ) { }41ou 1 ;. ; 1.4. 2 ≤≤−≤∈=∩=−−= xxRxBAgfDxxxgf
( ) { } { }41ou 1 ;0)( ; ; 
1
4
2
≤<−<∈=≠∩∈=



−
−
=



xxRxxgBAx
g
fD
x
xx
g
f
( ) ( ) { }4 ;5 ; 4 5 )5( ≤∈==∩=−−−=− xRxAARfDxxf
 Composição de Funções
Sejam RBgRAf →→ : e : duas funções tais que Im(f) ⊂ B, ou seja,para todo x ∈ A temos 
que o valor f(x) ∈ B. A função RAgof →: definida por (gof)(x) = g(f(x)) é denominada função 
composta de g e f.
 
- Exemplos:
1. Sejam f e g funções dadas por f(x) = 3x – 2 e g(x) = x2 + 4x. Determinar as funções gof e fog.
Temos: 
D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = R; Im(g) = [-4, ∞).
Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g(3x – 2) = (3x – 2)2 + 4 (3x – 2) = 9x2 – 4 e D(gof) = D(f) = R.
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2 + 4x) = 3(x2 + 4x) – 2 = 3x2 + 12x – 2 e D(fog) = D(g) = R.
Logo: 2123)(por dada : e 49)(por definida : 22 −+=→−=→ xxxfogRRfogxxgofRRgof .
2. Sejam f e g funções dadas por 2)( e )( xxgxxf == . Determinar as funções gof e fog.
Temos: 
D(f) = R+; Im(f) = R+; D(g) = R; Im(g) = R+.
Im(f) ⊂ D(g) ⇒ gof(x) = g(f(x)) = g( x ) = ( x )2 = x = x, pois D(gof) = D(f) = R+.
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ fog(x) = f(g(x)) = f(x2) = xx =2 , pois D(fog) = D(g) = R.
Logo: xxfogRRfogxxgofRRgof =→=→+ )(por dada : e )(por definida : .
- Observações:
1. A função h: R → R definida por h(x) = (x2 – 1)10 pode ser considerada como a composta gof das 
funções f: R → R dada por f(x) = x2 – 1 e g: R → R definida por g(x) = x10 .
2. O livro texto contempla a possibilidade de definir a composta gof, sendo Im(f) ⊄ D(g). Neste caso, 
{ })()();()( gDxffDxgofD ∈∈= . 
Por exemplo: xxgxxf =−= )( e 32)( . Temos:
16
D(f) = R; Im(f) = R; D(g) = [0, +∞); Im(g) = [0, +∞).
Im(f) ⊄ D(g) ⇒ { } { } 


+ ∞=≥−∈=∈∈=−= ,
2
3032;)()();()( e 32)( xRxgDxffDxgofDxxgof .
Im(g) ⊂ D(f) ⇒ [ )+ ∞==−= ,0)()( e 32)( gDfogDxxfog .
 
 
2.4- Exercícios
Páginas 20, 21, 22, 23 e 24 do livro texto. 
2.5- Funções Especiais
 Função Constante
 fixo real número um sendo ,)(por definida : kkxfRRf =→
 D(f) = R e Im(f) = {k}
 Exemplo: 3)( ;: −=→ xfRRf 
 
 Função Identidade
 )(por definida : xxfRRf =→ (Notação: f = idR)
 D(f) = R e Im(f) = R 
 
 Função do 1º Grau
 0 a e reais números b e a sendo ,)(por definida : ≠+=→ baxxfRRf
 D(f) = R e Im(f) = R
 Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e de 
coeficiente linear.
 Quando a > 0, a função f(x) = ax + b é crescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) 
também cresce.
 Quando a < 0, a função f(x) = ax + b é decrescente, isto é, à medida que x cresce, f(x) 
decresce.
 O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados.
 Exemplos:
a) f(x) = 2x + 3 é uma função do 1º grau crescente pois a = 2 > 0.
b) f(x) = – 3x + 1 é uma função do 1º grau decrescente pois a = – 3 < 0. 
17
 
 Função Módulo
 )(por definida : xxfRRf =→
 D(f) = R e Im(f) = [0, +∞)
 
 Função Quadrática ou Função do 2º Grau
 0 a e reais números c e b a, sendo ,)(por definida : 2 ≠++=→ cbxaxxfRRf
 D(f) = R
 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo 
vertical (y).
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
 Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
 A interseção da parábola com o eixo horizontal (x) define os zeros da função.
 , então )( quadrática função da zeros os são e Se 21
2
21 a
bxxScbxaxxfxx −=+=++= 
 ).)(()( )( e . 21
2
21 xxxxaPSxxaxfa
cxxP −−=+−===
 A interseção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice, de 
coordenadas 

 ∆−−
aa
b
4
,
2
, sendo acb 42 −=∆ .
 Dada uma função quadrática )( 2 cbxaxxf ++= , usando a técnica de completar os 
quadrados, podemos escrevê-la na forma ( ) vv yxxaxf +−= 2)( , sendo ( )vv yx , o vértice 
da parábola. Neste caso, o eixo de simetria é dado por x = xv.
 
18
 
 
 
 Função Polinomial
função.
dagrau o determina que negativo não inteiro um e 0, es,coeficient chamados reais números
 , , ... , , , sendo , x ... )(por definida : 121001
2
2
1
1
na
aaaaaaxaaxaxaxfRRf
n
nn
n
n
n
n
≠
+++++=→
−
−
−
 D(f) = R
 Exemplos:
a) A função constante f(x) = k é uma função polinomial de grau zero.
b) A função f(x) = ax + b, a ≠ 0, é uma função polinomial do 1º grau (grau 1).
c) A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma função polinomial do 2º grau 
(grau 2).
d) A função f(x) = x3 é uma função polinomial de grau 3 chamada função cúbica.
 
e) A função f(x) = x4 – 1 é uma função polinomial de grau 4. 
 
 
 
 
 Função Racional
Uma função racional f é uma função dada por )(
)()(
xq
xpxf = , onde p e q são funções 
polinomiais.
19
 { }0)( ;)( ≠∈= xqRxfD 
 Exemplos:
a) A função 
1
1)(
+
−
=
x
xxf é racional de domínio { }1)( −−= RfD .
 
b) A função 
( ) ( )
( ) ( )3.12
9.43)( 2
22
+−+
−−+
=
xxx
xxxxf é racional de domínio { }3,3,4)( −−−= RfD .
 
2.6- Função Par e Função Ímpar
Uma função RAf →: diz-se par quando para todo Ax ∈ tem-se Ax ∈− e )()( xfxf =− .
 O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.
 Exemplo: 2)( ;: xxfRRf =→
Uma função RAf →: diz-se ímpar quando para todo Ax ∈ tem-se Ax ∈− e )()( xfxf −=−
.
 O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
 Exemplo: 53)( ;: xxxfRRf +=→
2.7- Funções Periódicas
Uma função RAf →: é dita periódica quando existe um número real p > 0 tal que para todo 
Ax ∈ tem-se Apx ∈± e )()( xfpxf =+ .
 O menor número p com esta propriedade é chamado o período de f.
 O gráfico de uma função periódica se repete a cada intervalo de comprimento p.
 Exemplos: xxgsenxxf cos)( e )( == são periódicas de período 2pi.
20
2.8- Funções Injetoras, Sobrejetoras e Bijetoras
Dizemos que uma função BAf →: é injetora quando, para quaisquer 
)()( se- tem, com , 212121 xfxfxxAxx ≠≠∈ . Em outras palavras, dizemos que BAf →: é injetora 
se 212121 então , em e com , )()( xxAxxxfxf == . 
 
 Exemplo: injetora. é )(por definida : xxfRRf =→+
Dizemos que uma função BAf →: é sobrejetora quando, para todo y ∈ B, existe x ∈ A tal que 
y = f(x). Em outros termos, BAf →: é sobrejetora quando Im(f) = B. 
 
 Exemplo: a.sobrejetor é )(por definida : 2xxfRRf =→ +
Dizemos que uma função BAf →: é bijetora quando é injetora e sobrejetora.
 
 Exemplo: bijetora. é )(por definida : 3xxfRRf =→
2.9- Função Inversa de uma Função Bijetora
Seja BAf →: uma função bijetora. Sendo f sobrejetora, Im(f) = B, o que significa dizer que 
para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y, e esse x é único porque f é injetora. 
Podemos, então, definir uma função ABg →: que a y ∈ B associa o único x ∈ A tal que f(x) = y, ou 
seja, yxfxyg =⇔= )( )( .
Se BAf →: é uma função bijetora, a função ABg →: definida por yxfxyg =⇔= )( )( 
denomina-se função inversa da função f e denotada por 1−f .
 
 
 AxidxyfxffAAidoff AA ∈∀===→= −−− (x),)())(( pois ,: 111
 ByyidyxfyffBBidfof BB ∈∀===→= −− ),()())(( pois ,: 11
 Graficamente podemos determinar se uma função f admite inversa passando retas paralelas 
ao eixo x por pontos do contradomínio de f; cada uma dessas retas deve cortar o gráfico de 
f em apenas um ponto.
 Os gráficos da função bijetora BAf →: e de sua inversa ABf →− :1 são simétricosem 
relação à bissetriz y = x do 1º e 3º quadrantes, pois 
 )(),()()()(),( 11 −− ∈⇔=⇔=⇔∈ fGxyyfxxfyfGyx
 Tendo o gráfico da função bijetora f, para fazermos o gráfico da função inversa de f basta 
traçarmos a reta y = x e observamos a simetria.
21
 Exemplos:
a) A função 13)(por dada : +=→ xxfRRf é bijetora. Logo, admite inversa RRf →− :1 .
Vamos apresentar dois modos para se obter uma fórmula para 1−f .
1º modo: Sendo y = 3x + 1, basta tirar x em função de y, isto é, 
3
1−
=
yx . Logo,
RxxxfRyyyf ∈∀−=∈∀−= −− ,
3
1)( seja,ou , ,
3
1)( 11 .
2º modo: Sendo seja,ou ,1)(3 que segue , ,))(( 11 yyfRyyyff =+∈∀= −−
Ryyyf ∈∀−=− ,
3
1)(1 . 
 
b) A função 
x
xfRRf 1)(por dada : ** =→ é bijetora. Logo, admite inversa **1 : RRf →− 
dada por 
x
xf 1)(1 =− . Excepcionalmente temos 1−= ff .
 
c) O gráfico abaixo ilustra a função 2)(por dada : xxfRRf =→ que não possui inversa. 
Fazendo uma restrição conveniente no domínio, essa mesma função pode admitir inversa. 
Por exemplo, a função [ ) [ ) 2)(por definida ,0 ,0: xxff =∞+→∞+ tem como inversa a 
função [ ) [ ) xxff =∞+→∞+ −− )(por dada ,0 ,0: 11 .
 
 
22
2.10- Algumas Funções Elementares
 Função Exponencial de base a
A função ,10 real, número um sendo ,)(por definida : ≠<=→ aaaxfRRf x é denominada 
função exponencial de base a.
 D(f) = R e Im(f) = *R + = (0, + ∞)
 O gráfico de xaxf =)( está todo acima do eixo das abscissas (x), pois 0>= xay para 
todo x ∈ R.
 O gráfico de xaxf =)( corta o eixo das ordenadas (y) no ponto (0, 1), pois a0 = 1.
 Quando a > 1, xaxf =)( é crescente.
 Quando 0 < a < 1, xaxf =)( é decrescente.
 Um caso particular importante é a função exponencial xexf =)( , onde e é o número 
irracional conhecido por constante de Euler (e ... 597182818284,2≅ ).
 Propriedades:
 Se a, x, y são números reais e a > 0, então: 
( )
( )
x
x
xxx
y
x
yxyxyx
x
xxyyx
aa
bbaba
a
aaaaa
a
aaa
11
0 para , ..
 particular em , .
1 particular em , 
=


>=
==
==
−+
−
 
 Função Logarítmica de base a
A função ,10 real, número um sendo ,log)(por definida : * ≠<=→+ aaxxfRRf a é denominada 
função logarítmica de base a.
 D(f) = *R + e Im(f) = R
23
 O gráfico de xxf alog)( = está todo à direita do eixo y.
 O gráfico de xxf alog)( = corta o eixo das abscissas (x) no ponto (1, 0), pois loga1 =0.
 Quando a > 1, xxf alog)( = é crescente.
 Quando 0 < a < 1, xxf alog)( = é decrescente.
 As funções xxfRRf alog)(por definida :
*
=→+ e 
xaxgRRg =→ + )(por definida :
* , 
sendo a um número real, 0 < a ≠ 1, são inversas uma da outra, pois ya axxy =⇔= log . 
Assim, o gráfico de f é simétrico ao gráfico de g em relação à reta y = x.
 Um caso particular importante é a função logarítmica de base e, chamada função 
logarítmica natural, que denotamos por xxf ln)( = .
 Propriedades:
Se 0 < a ≠ 1 e x e y números reais positivos, então:
( )
yx
y
x
yxyx
dxdx
aaa
aaa
a
d
a
logloglog
loglog.log
 real númeroqualquer para , loglog
−=



+=
=
 
 Funções Trigonométricas
• Medida de ângulo em radiano (rad)
É fato que a razão entre o comprimento do arco determinado por um ângulo em um círculo, cujo 
centro é o vértice do ângulo, e o raio do círculo é um número real que só depende do ângulo, isto é, não 
depende do raio do círculo. Esta propriedade nos permite definir o seguinte:
A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo 
ângulo em um círculo, cujo centro é o vértice do ângulo, e o comprimento do raio do círculo. 
 
24
Rs
R
s
R
sÔBA
R
sAÔB
ÔBAAÔB
.
radianos 
'
'''
radianos 
''
αα
α
=⇒=
=
=
==
 A medida de um ângulo de “uma volta”, ou seja, 360o, em radianos é 2pi rad, pois 
rad 2 2 piααpiα =⇒=⇒= RRRs .
 Um ângulo mede 1 radiano quando o comprimento do arco determinado por ele em um círculo, 
cujo centro é o seu vértice, é igual ao raio do círculo. 



≅


=
o
o
rad 57
2
3601
pi
 .
 Quando o raio R do círculo é igual a 1, a medida do ângulo em radianos coincide com o 
comprimento do arco determinado pelo ângulo; isto nos permite fazer uma identificação entre 
ângulos e números reais.
• Círculo Trigonométrico
 
 
• Relações Fundamentais
 
xgx
x
x
tgx
senx
xgx
tgx
gx
x
senxtgx
senx
xxxsen
22
22
22
cot1seccos 
cos
1sec
x 1sec coscot
 1cot 
cos
1seccos 1cos
+==
+==
==
==+
• Ângulos Notáveis
 
0
6
pi
4
pi
3
pi
2
pi pi
2
3pi 2pi
0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
Seno 0
2
1
2
2
2
3 1 0 -1 0
Cosseno 1
2
3
2
2
2
1 0 -1 0 1
Tangente 0
3
3 1 3 Não existe 0 Não existe 0
25
. eixo u: eixo dos cossenos
. eixo v: eixo dos senos
. eixo t: eixo das tangentes
. eixo c: eixo das cotangentes
xOD
xOS
gxBC
tgxAT
xOP
senxOP
OA
seccos
sec
cot
cos
1
2
1
=
=
=
=
=
=
=
 
• Fórmulas de Transformação
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
tgbtga
tgbtgabatg
tgbtga
tgbtgabatg
senbsenababa
senbsenababa
asenbbsenabasen
asenbbsenabasen
.1
.1
.cos.coscos
.cos.coscos
cos.cos.
cos.cos.
+
−
=−
−
+
=+
+=−
−=+
−=−
+=+
 
 
( )
( )
ba
basentgbtga
ba
basentgbtga
babasensenbsena
babasensenbsena
basenbasenba
bababa
cos.cos
cos.cos
2
cos.
2
2
2
cos.
2
2
2
.
2
2coscos
2
cos.
2
cos2coscos
−
=−
+
=+
+−
=−
−+
=+
−+
−=−
−+
=+
• Função Seno
senxOPxfRRf ==→ 1)(por definida :
 D(f) = R e Im(f) = [-1, 1]
 A função senxxf =)( é ímpar, pois ( ) senxxsen −=− .
 A função senxxf =)( é periódica de período 2pi, pois ( ) senxxsen =+ pi2 .
 A função senxxf =)( é crescente nos intervalos [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] e decrescente 
no intervalo [pi/2, 3pi/2].
 O gráfico da função senxxf =)( é denominado senóide.
 
• Função Cosseno
xOPxfRRf cos)(por definida : 2 ==→
 D(f) = R e Im(f) = [-1, 1]
 A função xxf cos)( = é par, pois ( ) xx coscos =− .
 A função xxf cos)( = é periódica de período 2pi, pois ( ) xx cos2cos =+ pi .
 A função xxf cos)( = é decrescente no intervalo [0, pi] e crescente no intervalo 
[pi, 2pi].
 O gráfico da função xxf cos)( = é denominado cossenóide.
 
26
a
aatg
aa
aasen
atg
tgaatg
asenaasenaa
asenaasen
2cos1
2cos1
2
2cos1cos
2
2cos1
1
22
211cos2cos2cos
cos.22 
2
2
2
2
2222
+
−
=
+
=
−
=
−
=
−=−=−=
=
• Função Tangente
x
senxtgxATxfRZkkxRxf
cos
)(por definida ,
2
 ;: ===→



∈+≠∈ pi
pi
 



∈+≠∈= ZkkxRxfD ,
2
 ;)( pipi e Rf =)Im(
 A função tgxxf =)( é ímpar, pois ( ) tgxxtg −=− .
 A função tgxxf =)( é periódica de período pi, pois ( ) tgxxtg =+ pi .
 A função tgxxf =)( é crescente nos intervalos [0, pi/2), (pi/2, 3pi/2) e (3pi/2, 2pi].
 O gráfico da função tgxxf =)( é denominado tangentóide.
 
• Função Cotangente
{ }
tgxsenx
xgxBCxfRZkkxRxf 1coscot)(pordefinida , ;: ====→∈≠∈ pi
 { }ZkkxRxfD ∈≠∈= , ;)( pi e Rf =)Im(
 A função gxxf cot)( = é ímpar, pois ( ) gxxg cotcot −=− .
 A função gxxf cot)( = é periódica de período pi, pois ( ) gxxg cotcot =+ pi .
 A função gxxf cot)( = é decrescente nos intervalos (0, pi) e (pi, 2pi).
 
• Função Secante
x
xOSxfRZkkxRxf
cos
1sec)(por definida ,
2
 ;: ===→



∈+≠∈ pi
pi
 



∈+≠∈= ZkkxRxfD ,
2
 ;)( pipi e ( )1,1)Im( −−= Rf
 A função xxf sec)( = é par, pois ( ) xx secsec =− .
 A função xxf sec)( = é periódica de período 2pi, pois ( ) xx sec2sec =+ pi .
 A função xxf sec)( = é crescente nos intervalos [0, pi/2) e (pi/2, pi] e decrescente 
nos intervalos [pi, 3pi/2) e (3pi/2, 2pi].
 
 
27
• Função Cossecante
{ }
senx
xODxfRZkkxRxf 1seccos)(por definida , ;: ===→∈≠∈ pi
 { }ZkkxRxfD ∈≠∈= , ;)( pi e ( )1 ,1)Im( −−= Rf
 A função xxf seccos)( = é ímpar, pois ( ) xx seccosseccos −=− .
 A função xxf seccos)( = é periódica de período 2pi, pois 
( ) xx seccos2seccos =+ pi .
 A função xxf seccos)( = é crescente nos intervalos [pi/2, pi) e (pi, 3pi/2] e 
decrescente nos intervalos (0, pi/2] e [3pi/2, 2pi).
 
 
 Funções Trigonométricas Inversas
• Função Arco Seno
É impossível definir uma função inversa para a função senxxfRRf =→ )(por dada : , 
pois a função seno não é injetora e não é sobrejetora. Para definirmos a função inversa de
senxxf =)( necessitamos restringir o domínio. Este fato ocorre com todas as funções 
trigonométricas.
Seja [ ] senxxff =−→


− )(por definida função a 1 ,1
2
 ,
2
: pipi . Esta função é bijetora e, 
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco seno e denotada por 
[ ] xsenarcxff )( onde 
2
 ,
2
1 ,1: 11 =


−→− −−
pipi
. 
Simbolicamente, para : temos,
22
pipi
≤≤− y xsenyxsenarcy =⇔= .
 
 senxxf =)( xsenarcxf )(1 =−
28
Observação: Na definição da função arco seno poderíamos ter restringido o domínio de 
senxxf =)( a qualquer dos seguintes intervalos: [pi/2, 3pi/2], [3pi/2, 5pi/2], [5pi/2, 7pi/2], ... ou 
[-3pi/2, -pi/2], [-5pi/2, -3pi/2], [-7pi/2, -5pi/2], ... . 
• Função Arco Cosseno
Seja [ ] [ ] xxff cos)(por definida função a 1 ,1 ,0: =−→pi . Esta função é bijetora e, 
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco cosseno e denotada por 
[ ] [ ] xarcxff cos )( onde ,01 ,1: 11 =→− −− pi . 
Simbolicamente, para : temos,0 pi≤≤ y xyxarcy =⇔= cos cos .
 
 xxf cos)( = xarcxf cos )(1 =−
Observação: 
A função xarcy cos = pode ser definida também pela equação xsenarcxarc 
2
 cos −= pi . 
 
• Função Arco Tangente
Seja tgxxfRf =→


− )(por definida função a 
2
 ,
2
: pipi . Esta função é bijetora e, 
portanto, admite inversa. A função inversa de f(x) será chamada arco tangente e denotada por 
xtgarcxfRf )( onde 
2
 ,
2
: 11 =


−→ −−
pipi
. 
Simbolicamente, para : temos,
22
pipi
<<− y xtgyxtgarcy =⇔= .
 
 
 tgxxf =)( xtgarcxf )(1 =−
29
• Função Arco Cotangente, Arco Secante e Arco Cossecante
 ( ) bijetora é cot)( ; ,0: gxxfRf =→pi . 
 ( ) tgxarcgxarcxfRf 
2
cot )( ; ,0: 11 −==→ −− pipi . 
 ( ] [ ) bijetora é sec)( ; ,1 1 , ,
2
 
2
 ,0: xxff =∞+−∞−→




 pi
pipi
. 
 ( ] [ ) 


==




→∞+−∞− −−
x
arcxarcxff 1cos sec )( ; ,
2
 
2
 ,0 ,1 1 ,: 11 pipipi  . 
 ( ] [ ) bijetora é seccos)( ; ,1 1 ,
2
 ,0 0 ,
2
: xxff =∞+−∞−→




− 
pipi
. 

( ] [ ) 


==




−→∞+−∞− −−
x
senarcxarcxff 1 seccos )( ; 
2
 ,0 0 ,
2
 ,1 1 ,: 11 pipi  . 
 
 
 Funções Hiperbólicas
• Função Seno Hiperbólico
2
)(por definida :
xx eesenhxxfRRf
−
−
==→
 D(f) = R e Im(f) = R
• Função Cosseno Hiperbólico
2
cosh)(por definida :
xx eexxfRRf
−+
==→
 D(f) = R e Im(f) = [1, +∞)
 
30
Observação: A figura abaixo representa um fio de telefone ou de luz. Observamos que a curva 
representada pelo fio aparenta a forma de uma parábola; no entanto, é possível mostrar que a equação 
correspondente é 


=
a
xy cosh , onde a ∈ R e a ≠ 0. Esta curva recebe a denominação de catenária. 
 
 
• Funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas
As funções Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas, denotadas 
respectivamente por tgh, cotgh, sech e cossech, são definidas por:
 ( ) ( ) ( )1 ,1Im e ; 
cosh
−==
+
−
==
−
−
tghRtghD
ee
ee
x
senhxtghx xx
xx

( ) { } ( ) ( ) ( )∞+−∞−=−=
−
+
==
−
−
 ,11 ,cotIm e 0cot ; coshcot ghRghD
ee
ee
senhx
xghx xx
xx
 ( ) ( ) ( ]1 ,0secIm e sec ; 2
cosh
1sec ==
+
==
−
hRhD
eex
hx xx
 ( ) { } ( ) { }0seccosIm e 0seccos ; 21seccos −=−=
−
==
−
RhRhD
eesenhx
hx xx
 
 
• Identidades Hiperbólicas
 
xghxh
xtghxh
ghx
tghx
xsenhx
22
22
22
cot1seccos
1sec
cot
1
1cosh
−=−
−=
=
=−
31
 Funções Hiperbólicas Inversas
• Função Inversa do Seno Hiperbólico
Analisando o gráfico da função senhxxf =)( vemos que ela é bijetora; logo admite 
inversa. A função inversa do seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e 
denotada por arg senh, é definida por:
senhxxfRRf arg)( ; : 11 =→ −− .
 RfRfD == −− )Im( e )( 11
 
 senhyxsenhxy =⇔= arg 
• Função Inversa do Cosseno Hiperbólico
Seja [ ) [ )∞+→∞+ ,1 ,0:f a função dada por xxf cosh)( = . Esta função é bijetora. A sua 
inversa, chamada argumento do cosseno hiperbólico e denotada por arg cosh, é definida por:
[ ) [ ) xxff cosharg)( ; ,0 ,1: 11 =∞+→∞+ −− . 
 [ ) [ )∞+=∞+= −− ,0)Im( e ,1)( 11 ffD
 0 , cosh cosharg ≥=⇔= yyxxy
 
 
• Funções Inversas da Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante Hiperbólicas
 ( ) bijetora é )( ; 1 ,1: tghxxfRf =−→ . 
 ( ) tghxxff arg)( ; R1 ,1: 11 =→− −− . 
 { } ( ) ( ) bijetora é cot)( ; 1, 1,0: ghxxfRf =+ ∞−∞−→−  . 
 ( ) ( ) { } ghxxfRf cotarg)( ; 01, 1,: 11 =−→+ ∞−∞− −−  . 
 [ ) ( ] bijetora é sec)( ; 1 ,0,0: hxxff =→+ ∞ . 
 ( ] [ ) hxxff secarg)( ; ,01 ,0: 11 =+ ∞→ −− . 
 { } { } bijetora é seccos)( ; 00: hxxfRRf =−→− . 
 { } { } hxxfRRf seccosarg)( ; 00: 11 =−→− −− . 
32
 
 
 
 
• Expressões das Funções Hiperbólicas Inversas
 
( )
( )
0 , 11lnseccosarg
10 , 11lnsecarg
1 , 
1
1ln
2
1cotarg
11 , 
1
1ln
2
1arg
1 , 1lncosharg
 , 1lnarg
2
2
2
2
≠


 +
+=
≤<



−+
=
>


−
+
=
<<−


−+
=
≥−+=
∈++=
x
x
x
x
hx
x
x
xhx
x
x
xghx
x
x
xtghx
xxxx
Rxxxsenhx
33
2.11- Aplicações
1. Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis e condensou as 
informações recebidas na tabela seguinte:
Opções Diária Preço por km rodado
Locadora 1 R$ 50,00 R$ 0,20
Locadora 2 R$ 30,00 R$ 0,40
Locadora 3 R$ 65,00 km livre 
a) Obtenha uma equação que defina o preço y da locação por dia, em função do número de km rodados, 
em cada uma das situações apresentadas na tabela.
b) Represente, no mesmo plano cartesiano, os gráficos dessas equações.
c) A partir de quantos quilômetros o turista deve preferir a Locadora 1 ao invés da Locadora 2?
d) A partir de quantos quilômetros o turista deve optar pela Locadora 3?
2. Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro 
R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o número de passageiros que torna 
máxima a receita da companhia? 
3. A massa de materiais radioativos, como o rádio, o urânio ou o carbono-14, se desintegra com o passar 
do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de 
meia-vida desses materiais. A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário 
para que sua massa seja reduzida à metade.
 Denotando por M0 a massa inicial (corresponde ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante 
qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada por kteMM −= 0 , sendo k > 0 uma 
constante. Essa equação é conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante k depende do 
material radioativo considerado e está relacionada com a meia-vida dele.
 Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5730 anos, determinar:
a) a constante K, do modelo de decaimento exponencial, para esse material;
b) a quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M0;
c) a idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste é 80% da 
quantidade original.
4. Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo total em mil reais, dada por 
47520)( 2 ++= qqqCT , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A função receita total em mil reais é dada 
por qqR 120)( = . 
a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades.
b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo?
5. Veja outros exemplos no livro texto, páginas 43 a 53.
2.12- Exercícios
Páginas 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59 do livro texto.
34