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Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Cieˆncias Exatas
Professora: Laura Senos Lacerda Fenandez
Primeira Lista de Exerc´ıcios Extras
Integrais Duplas
1. Use integrais duplas para calcular a a´rea das regio˜es indicadas.
(a) O lac¸o direito da curva r2 = 2a2 sen (2θ).
(b) O interior de r = 2 + sen (3θ).
(c) A regia˜o interior a` curva r = a(1 + cos(θ)) e exterior a r = a.
(d) Interior da curva r = 1 + cos(θ) e a` direita de x = 3/4.
2. Inverta a ordem de integrac¸a˜o e calcule a integral
∫ 4
0
∫ 2
√
y
y cosx5dxdy.
3. Seja R limitada pelas curvas y = x, y = 0 e x = 1. Calcule
∫ ∫
R
1
(1 + x2 + y2)3/2
dxdy.
4. Calcule a integral
∫ ∫
R
(x2 + y2)2dxdy onde R e´ a regia˜o resultado da intersec¸a˜o das regio˜es
x2 + y2 − 4x− 6y + 12 ≤ 0 e y + x ≤ 5.
5. Calcule a a´rea da regia˜o resultado da intersec¸a˜o das regio˜es xy − 3x− 2y + 5 ≤ 0, 2y − x− 4 ≤ 0
e y − 4x+ 2 ≥ 0.
Integrais Triplas
1. Determine o volume do so´lido limitado superiormente por z = 2x + y + 4 e inferiormente por
z = −x− y + 2 e lateralmente pela regia˜o D limitada pelas curvas y = x2 − 4 e y = x22 − 2.
2. Determine o volume do so´lido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados, pelo plano
x+ z = 3 e pelo cilindro x = 9− y2.
3. Determine o volume do so´lido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 16 e pelos planos z = −y e z = y.
4. Determine o volume do so´lido delimitado pelo cilindro (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 e pelos planos
y − z = 2 e y + z = 2.
5. Use coordenadas cil´ındricas para resolver as seguintes questo˜es.
(a) Calcule o volume da regia˜o limitada acima pela superf´ıcie z = x+ y, abaixo pelo plano-xy e
nos lados pelas superf´ıcies x2 + y2 = a2, x = a e y = a.
(b) Calcule o volume da regia˜o limitada acima por z = x2+y2, abaixo pelo plano-xy e lateralmente
por x2 + y2 = 1 +
z2
4
.
(c) Calcule o volume da regia˜o no interior da superf´ıcie r = a sen (θ) (dada em coordenadas
cil´ındricas), limitada acima por x2 + y2 + z2 = a2 e abaixo pela metada superior da superf´ıcie
x2
a2
+
y2
a2
+
z2
b2
= 1, (b < a).
(d) Calcule o volume da regia˜o limitada acima pela superf´ıcie x2 + y2 + z2 = a2 e abaixo por
z = r ctg (α) (dada em coordenadas cil´ındricas com α constante). Use este resultado para
calcular o volume de um hemisfe´rio de raio a.
(e) Calcule o volume do segmento esfe´rico de altura h retirado de uma esfera de raio a por um
plano a uma distaˆncia a− h do centro.
6. Use coordenadas esfe´ricas para resolver as seguintes questo˜es.
1
(a) Calcule o volume da superf´ıcie ρ = 2a sen (ϕ) (dada em coordenadas esfe´ricas).
(b) Uma cunha e´ retirada de uma esfera so´lida de raio a, formada por dois planos que se in-
terceptam sobre um diaˆmetro. Sendo α o aˆngulo entre esses planos, calcume o volume da
cunha.
(c) Use integral tripla (em coordenadas esfe´ricas) para verificar que o volume de um cone de
altura h e raio r e´ V =
1
3
pir2h.
(d) Esboc¸e a regia˜o limitada pela superf´ıcie ρ = a(1 − cos(ϕ)) (dada em coordenadas esfe´ricas),
e calcule seu volume.
(e) Calcule a massa de uma esfera so´lida de raio a centrada na origem supondo-se a densidade
num ponto P igual ao produto das distaˆncias de P a` origem e ao eixo-z.
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