P2GASL10_11

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2a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Curso de Cieˆncias Exatas - 02/05/2010
Departamento de Matema´tica - ICE - UFJF
Quest. Notas
1
2
3
4
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
Observac¸o˜es: Esta prova deve conter 4 questo˜es em 3 folhas, encerrando-se no item
4(d). A prova e´ individual, sem consulta e na˜o e´ permitido o uso de calculadora.
1. Considere o paralelep´ıpedo que tem um dos ve´rtices no ponto A = (2, 2, 4) e os treˆs
ve´rtices adjacentes a A nos pontos B = (7, 0, 7), C = (−3, 4, 6) e D = (1, 1, 12). (30 pts)
(a) Determine as coordenadas do ve´rtice E oposto ao ve´rtice A (veja a figura).
(b) Calcule a a´rea da face que conte´m os pontos A, B e C.
(c) Calcule o volume deste paralelep´ıpedo.
2. Escreva o vetor V = 10~i− 6~j + 5~k como a soma de dois vetores V = V1 +V2 tais que V1
e´ paralelo ao vetor W = −4~i+~j e V2 e´ perpendicular a V1. (20 pts)
3. (a) Escreva equac¸o˜es parame´tricas para a reta r que passa pelo ponto P = (1,−2,−1)
e e´ perpendicular ao plano pi1 : 2x+ y − z = 1. (30 pts)
(b) Encontre uma equac¸a˜o geral do plano pi que conte´m o ponto P = (2,−1, 3) e e´
paralelo a`s retas r1 : X = (1 + 2t,−2 + t, 3) e r2 : X = (−2 + t, 4− t, 8− t), t ∈ R.
4. Classifique cada uma das afirmac¸o˜es abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se ver-
dadeira, prove; se falsa, prove ou deˆ um contra-exemplo. (20 pts)
(a) O aˆngulo entre os vetores U = (1, 0,−1) e V = (1,√6,−1) e´ igual a pi
3
rad.
(b) Se o vetor V e´ ortogonal aos vetores W1 e W2 enta˜o V e´ ortogonal ao vetor
αW1 + βW2 para quaisquer escalares α e β na˜o nulos.
(c) Se U , V e W sa˜o vetores tais que V × U = V ×W e V 6= 0¯, enta˜o U = W .
(d) Se V e W sa˜o vetores tais que V ·W = 0 enta˜o V = 0¯ ou W = 0¯.