P2GASL11_2

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2a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Curso de Cieˆncias Exatas - 21/10/2011
Departamento de Matema´tica - ICE - UFJF
Quest. Notas
1
2
3
4
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
Observac¸o˜es: Esta prova deve conter 4 questo˜es em 2 folhas, encerrando-se no item
4(c). A prova e´ individual, sem consulta e na˜o e´ permitido o uso de calculadora.
1. Considere o paralelep´ıpedo obl´ıquo representado abaixo no sistema tridimensional de
eixos cartesianos.
(a) Determine as coordenadas do ve´rtice F . (10 pts)
(b) Usando a a´lgebra de vetores, calcule a a´rea da face ABFE do paralelep´ıpedo. (15 pts)
2. Considere os vetores U = (2, 1, 1) e W = (1, 2, 2).
(a) Calcule as normas dos vetores U e W e o aˆngulo entre eles. (10 pts)
(b) Determine vetor V de norma igual a 1, ortogonal a U e que faz com o vetor W um
aˆngulo de
pi
3
rad. (15 pts)
3. (a) Escreva equac¸o˜es parame´tricas para a reta r que passa pelo ponto P = (3, 4,−2)
e e´ perpendicular ao plano pi1 : 3x− 2y + z = 3. (10 pts)
(b) Encontre uma equac¸a˜o geral do plano pi que conte´m o ponto Q = (−2, 2, 5) e e´
paralelo a`s retas: r1 :

x = 2− 2t
y = −3 + 3t
z = 2 + t
e r2 :

x = −t
y = 4
z = 3− 2t
, t ∈ R. (20 pts)
4. Classifique cada uma das afirmac¸o˜es abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se ver-
dadeira, prove; se falsa, prove ou deˆ um contra-exemplo. (20 pts)
(a) Se U , V e W forem vetores tais que U × V = W × V e V 6= 0¯, enta˜o U = W .
(b) Dado o vetor U = (3, 1) do plano e´ poss´ıvel obter um vetor V do plano de mesma
direc¸a˜o de U tal que ‖U‖ · ‖V ‖ · cos θ = −20, onde θ e´ o aˆngulo entre o vetores U
e V .
(c) Os vetores U = (3,−2, 4), V = (5, 6,−2) e W = (2,−3, 6) sa˜o coplanares.