Questão resolvida - Encontre o limite da função tendendo a 1 Lim(x^4-1)_(x^3-1) - Limite - Cálculo I

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• Encontre o limite da função tendendo a 1:
 
lim
x-1
x - 1
x - 1
4
3
 
Resolução:
 
Substituindo o limite;
 
= = = indeterminação!lim
x-1
x - 1
x - 1
4
3
1 - 1
1 - 1
( )4
( )3
1 - 1
1 - 1
0
0
→
 
Veja que a indeterminação foi do tipo , isso indica que 1 é raiz tanto do númerador quanto 
0
0
do denominador, como se trata de função polinomial é possível encontrar uma forma de 
fatoração que possibilite simplificar as expressões e retirar a indeterminação, assim, vamos 
separademente fatorar as expressões do numerador e denominador;
 
Numerador
x - 1 = x - 1 usando a fatoração genérica para a diferença do quadrado4 2
2
( )2 →
da diferença de 2 termos :
 
a - b = a + b a - b x - 1 = x + 1 x - 12 2 ( )( ) ⏫⏪⏪⏪ 
2
2
( )2 2 2
aplicando novamente a fatoração para : x - 1 = x - 1 x + 12 ( )( )
 
Com isso, a expressão do numerador fica : x - 1 = x - 1 x + 1 x + 14 ( )( ) 2
Denominador
 
x - 1 = x - 1 usando a fatoração genérica para a diferença de 2 cubos :3 3 ( )3 →
 
a - b = a - b a + ab + b x - 1 x + 1 ⋅ x + 1 = x - 1 x + x + 13 3 ( ) 2 2 ⏫⏪⏪⏪ ( )
2 ( )2 ( ) 2
 
 
Temos
Temos
Substituindo no limite, temos;
 
=lim
x-1
x - 1
x - 1
4
3
lim
x-1
x - 1 x + 1 x + 1
x - 1 x + x + 1
( )( ) 2
( ) 2
 
Simplificando o termo comum do númerador e denominador;
 
lim
x-1
x + 1 x + 1
x + x + 1
( ) 2
2
Substituindo o limite;
 
=lim
x-1
x + 1 x + 1
x + x + 1
( ) 2
2
1 + 1 1 + 1
1 + 1 + 1
( ) ( )2
( )2
 
= =
2 1 + 1
1 + 2
( ) 2 ⋅ 2
3
 
=lim
x-1
x - 1
x - 1
4
3
4
3
 
 
(Resposta )