Apostila 6 - Probabilidades

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
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PROBABILIDADES 
 
1 - CONCEITOS PRELIMINARES 
 
O estudo de probabilidades diz respeito a experiências aleatórias, cujo resultado não pode ser co-
nhecido "a priori" antes que a experiência seja efetivamente realizada e o seu resultado observado. 
Embora o resultado de uma experiência aleatória seja imprevisível existe um certo tipo de regula-
ridade presente neste tipo de experiência, e isto nos permite criar modelos para representar fenô-
menos aleatórios. 
 
1.1- Experimento Aleatório (  ) 
Experimentos cujos resultados podem apresentar variações, mesmo quando realizados em condi-
ções praticamente iguais. 
Ex.: 1 = lançamento de um dado 
 2 = observação do sexo de recém-nascidos 
 3 = lançamento de uma moeda 
 4 = contagem de chamadas telefônicas por hora, em determinado aparelho 
 5 = jogar duas moedas 
 6 = observação de um fusível 
 7 = tempo, em horas, até a falha de um equipamento 
 8 = resultado de um exame de gravidez 
 9 = medir as alturas de indivíduos de 0,5m até 2m 
 
1.2- Espaço Amostral ( S ) 
Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório . 
Ex.: S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
 S2 = { M, F } 
 S3 = { C , K } onde, C = cara K= coroa 
 S4 = { 0 , 1 , 2 , 3 ,... } 
 S5 = { CC, CK, KC, KK } 
 S6 = { B , D } B = bom D = defeituoso 
 S7 = { t; t  0 } onde, t = tempo 
 S8 = { positivo , negativo } 
 S8 = { valores de x, para 0,5  x  2 } onde, x = altura em metros 
 
Obs.:1) os resultados do experimento aleatório podem ser de natureza quantitativa e qualitativa. 
 2) os espaços amostrais podem ser finitos ou infinitos, em relação ao número de elementos. 
Os espaços amostrais finitos contém 2n resultados possíveis, sendo n os diferentes elemen-
tos. 
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Dois tipos de conjuntos infinitos: enumeráveis (ou contáveis) e não enumeráveis. 
A={ 2,4,6,8,....} B={1,1/2,1/4,1/8,...} = contáveis 
C={x : 0  x  1} = não é contável 
Qualquer intervalo de números reais são conjuntos não enumeráveis 
 
1.3- Evento 
É qualquer subconjunto do espaço amostral, geralmente denotado por letras maiúsculas. 
Ex.:  = lançamento de um dado 
 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 
 A = sair face par 
 
 
a) Evento Simples: formado apenas por um elemento do espaço amostral. 
Ex.: B = sair face 4 
 
b) Evento Composto: formado por dois ou mais elementos do espaço amostral. 
Ex.: C = sair face maior que 3 
 
c) Evento Certo: ocorre em qualquer das realizações do experimento. 
Ex.: D = sair face menor que 7 
 
d) Evento Impossível: não ocorre em qualquer realização do experimento. 
Ex.: E = sair face maior que 6 
 
e) Evento Complementar: dado um evento A qualquer, chamamos de complementar de A o e-
vento formado pelos elementos do espaço amostral que não pertencem a A. 
 
 
 
 
 
 
 
f) União: é o evento que consiste dos elementos de A, ou de B, ou de ambos. 
 
 
 
 
 
S 
A 
S 
 
 
A
C 
 
A 
S 
A 
B 
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g) Interseção: é o evento que consiste de todos elementos contidos simultaneamente em A e B. 
 
 
 
 
 
f) Eventos Mutuamente Exclusivos ou Excludentes: quando dois eventos, A e B, não possuem 
elementos em comum. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: todos os eventos complementares são necessariamente excludentes, mas a recíproca não é 
verdadeira. 
 
2 - DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADES 
Suponha que uma experiência aleatória tem apenas um número finito de resultados possíveis. 
Seja A um evento associado a essa experiência aleatória. Então a probabilidade do evento A é da-
da por: 
 
 P ( A ) = N.º de casos favoráveis à ocorrência do evento A 
 N. º total de casos possíveis 
 
3 - AXIOMAS 
Seja S o espaço amostral e A um subconjunto qualquer deste espaço. Uma função de probabilida-
de que atua sobre este espaço amostral satisfaz: 
a) 0  P(A)  1 
b) P(S) = 1 
c) P() = 0 
d) P(A1 U A2 U A3 U...) = P(A1 ) + P (A2 ) + P(A3 ) + ... onde os Ai são mutuamente excludentes 
e) Se AC é o complemento de A, então: P (AC) = 1 - P (A) 
 
S 
A B 
S 
A 
B 
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4 – TEOREMA DA SOMA 
P (A+B) = P (A) + P(B) - P (A  B) , se A  B   
P (A+B) = P (A) + P(B) , se A  B =  
 
5 - PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Sejam A e B eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral. Definimos probabilidade 
condicional de A dado que B ocorre (A/B) como: 
 P(A/B) = 
)B(P
)BA(P 
 , se P(B)  0 
 
Beventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero
BAeventodoocorrênciaàfavoráveiscasosdenúmero
)B/A(P


 
 
6 - EVENTOS INDEPENDENTES 
Sejam A e B eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral. Se A e B são independentes, 
então: 
P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B) 
DEFINIÇÃO: A e B são eventos independentes se P(A  B) = P(A).P(B). 
Obs.: 
 Para verificar se 3 eventos A, B e C são independentes, as 4 suposições deverão ser satisfeitas: 
1- P(ABC) = P(A). P(B). P(C) 
2- P(AB) = P(A). P(B) 
3- P(AC) = P(A). P(C) 
4- P(BC) = P(B) . P(C) 
Se apenas uma não for satisfeita, os eventos não são independentes. 
 Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre, B não 
ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não ocorrência do outro. 
 
7 - TEOREMA DO PRODUTO 
Sejam A e B eventos que pertencem ao mesmo espaço amostral. Então: 
P(A  B) = P(A). P(B/A) se A e B forem dependentes 
P(A  B) = P(A). P(B) se A e B forem independentes 
 
A generalização do teorema do produto é: 
Se os eventos A1 , A2 , ... An são dependentes: 
)A...AA/A(P)...AA/A(P).A/A(P).A(PAP 1n21n123121
n
1i
i 











 
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Se os eventos A1 , A2 , ... An são independentes: 










 n
1i
in321
n
1i
i )A(P)A(P)...A(P).A(P).A(PAP 
 
 
8 - TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL 
Suponha que os eventos A1 , A2 , ... , Ai, constituam uma partição de S associada ao experimento 
aleatório . Se B é um evento qualquer de S, então a sua probabilidade de ocorrência será dada 
por: 
P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... + P(An).P(B/An) = „¸ P(Ai).P(B/Ai) 
 
9 - TEOREMA DE BAYES 
Sejam A1 , A2 , ... , Ai eventos que formam uma partição de S. 
 
Seja B um evento desse espaço amostral. Sejam conhecidas P(Ai) e P(B/Ai). Então: