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SUMÁRIO
MATEMÁTICA
Teoria de Conjuntos 3
Representação de Conjuntos 3
Operação com Conjuntos 3
Conjuntos Numéricos 3
Função – Parte I 8
Conceito 8
Função – Parte II 14
Função – Parte III 19
Função Exponencial 25
Logarítmos 30
Geometria de Posição 35
Geometria Plana I 40
Geometria Plana II 47
Lei dos Senos, Cossenos e Cálculo de Área 53
Áreas de Figuras 60
Progressão Aritmética (PA) 66
Progressão Geométrica (PG) 71
Matemática Financeira 77
Porcentagem 77
Estatística 82
Trigonometria I - Triângulo Retângulo 90
Trigonometria II - Circunferência 96
Trigonometria III - Equações Trigonométricas 102
Relação trigonométrica fundamental 102
Matrizes 106
Determinantes 112
Sistemas Lineares 116
Poliedros 121
Prismas 127
Fórmulas 127
Cilindros 132
Pirâmides 138
Classificação 138
Cones 143
Esferas 149
Análise Combinatória 155
Binômio de Newton 160
Números Binomiais 160
Números Binomiais Complementares 160
Triângulo de Pascal ou Tartaglia 160
Probabilidade 165
Probabilidade de um Evento 165
Geomatria Analítica I - Pontos e Retas 171
Geomatria Analítica II - Circunferência 176
Geometria Analítica III - Retas e Planos 181
Números Complexos 186
Polinômios 191
Equações Polinomiais 195
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FÍSICA 
Velocidade Média e Movimento Retilíneo e Uniforme (MRU) 205
Movimento Uniformemente Variado 210
O que é um vetor? 215
Lançamento Vertical e Lançamento Oblíquo 219
Movimento Circular e Uniforme 224
Leis de Newton I 228
Leis de Newton II 232
Energia e Trabalho 238
Dinâmica Impulsiva 243
Equilíbrio de ponto material e corpo extenso 247
Hidrostática 253
Gravitação Universal 259
Termologia e Transferência de Calor Temperatura 265
Dilatação Térmica 272
Calorimetria 278
Termodinâmica 284
Princípios da Óptica 293
Reflexão em Espelhos Planos e Esféricos 299
Refração da Luz 303
Lentes Esféricas, Instrumentos Ópticos e Problemas de Visão 309
Introdução à Ondulatória 315
Fenômenos Ondulatórios - I 320
Fenômenos Ondulatórios – II 325
Acústica 331
Lei de Coulomb e Processos de Eletrização 338
Campo Elétrico (E) 345
Energia Potencial Elétrica (Ep) 352
Eletrodinâmica 359
Resistores 365
Geradores e Receptores Elétricos 372
Capacitores 379
Leis de Kirchhoff 385
Magnetismo 392
Campo Magnético 399
Força Magnética 406
Indução Magnética 413
QUÍMICA 
Substâncias e Misturas 426
Reações e Leis Ponderais 432
Método de separação 436
Modelos atômicos 441
Modelos atômicos Quântico e Distribuição Eletrônica 445
Estrutura da Tabela Periódica 449
Ligações Químicas 453
Geometria e Polaridade 458
Ácidos e Bases 464
Sais e Óxidos 469
Grandezas Química 474
Cálculos Estequiométricos 479
Gases 484
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Campo Magnético 
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Soluções e Dispersões 488
Cálculos e Concentrações 494
Propriedades Coligativas 498
Termoquímica 504
Oxirredução 510
Pilhas 515
Eletrólise 522
Radioatividade 529
Cinética 536
Equilíbrio Químico I 543
Equilíbrio Químico II 550
Introdção a Química Orgânica 557
Classificação de cadeias carbônicas 563
Hidrocarbonetos 569
Funções Oxigenadas 574
Funções Nitrogenadas 580
Isometria Plana 586
Isometria Espacial 591
Reações Orgânicas I 598
Reações Orgânicas II 603
Reações Orgânicas III 610
Petróleo e Polímeros 617
Biomoléculas 623
BIOLOGIA 
Núcleo 634
Membrana Plasmática 641
Organelas Celulares 641
Respiração Celular 648
Interfase 655
Mitose 655
Meiose 655
Teorias da Origem da Vida 661
Teoria da Biogênese 661
Evolução Química 662
Água 669
Sais minerais 669
Carboidratos 669
Lipídios 669
Proteínas 676
Ácidos Nucléicos 676
Expressão do Material Genético 676
Vitaminas 676
Embriologia 683
Histologia 690
Epitelial 690
Epitelial de Revestimento 690
Classificações do tecido epitelial de revestimento 690
Epitelial Glandular 690
Classificação das glândulas quanto a secreções 690
Conjuntivo 690
Tecido Conjuntivo Propriamente Dito 691
Tecido Conjuntivo Especializado 696
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 Teorias da Origem da Vida
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Muscular 702
Neural 702
Sistema Digestório 710
Sistema Respiratório 710
Sistema Cardiovascular 710
Sistema Excretor 717
Sistema Endócrino 717
Sistema Neural 717
Sistemática dos Seres Vivos 723
Vírus 723
Viroses 723
Reino Monera 730
Bacterioses 730
Protozoários 736
Protozooses 743
Poríferos (espongiários) 751
Cnidários 751
Platelmintos 758
Nematelmintos 758
Anelídeos 764
Moluscos 764
Artrópodes 770
Equinodermos 770
Superclasse Agnatha 776
Superclasse Gnathostomata 776
Anfíbios 783
Répteis 783
Aves 790
Mamíferos 790
Algas 796
Reino Fungi 796
Grupos Vegetais e Reprodução 802
Histologia Vegetal 808
Tecidos Embrionários (Meristemas) 808
Tecidos Permanentes 808
Raiz 808
Caule 814
Folha 814
Flor 814
Fruto 821
Semente 821
Teoria de Condução de Seivas 821
Fitormônios 821
Categorias Ecológicas 827
Divisão dos Seres de uma Comunidade 827
Hábitat e Nicho Ecológico 827
Ecótono 827
Cadeia e Teia Alimentar 827
Pirâmides Ecológicas 827
Biomas 834
Relações Ecológicas 834
Dinâmica de População 842
Sucessão Ecológica 842
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Ciclos Biogeoquímicos 842
Introdução 850
1ª Lei de Mendel 850
2ª Lei de Mendel 850
Polialelismo 857
Sistema ABO 857
Eritroblastose fetal (doença hemolítica do recém-nascido) 857
Herança Quantitativa 857
Linkage 864
Mapa Gênico 864
Herança do Sexo 864
HISTÓRIA 
História do Brasil
Formação do Estado Português 879
Período Pré-Colonial (1500-1530) 887
União Ibérica 894
Revoltas Nativistas, Era Pombalina e Tratados Territoriais 902
O ciclo do Ouro, Revoltas e Inconfidências 909
A Chegada da Família Real 917
Processo de Independência 924
I Reinado 924
Período Regencial e II Reinado 931
Revoltas Rurais 938
Revoltas Urbanas 938
Economia e Cultura 939
Era Vargas e Populistas 947
Os populistas 947
Ditadura Militar 954
Castelo Branco (1964-1967) 954
Costa e Silva (1967-1969) 954
Médici (1969-1974) 954
Geisel (1974-1979) 954
João Figueiredo (1979-1985) 954
Brasil pós 1985 962
História Geral
Egito Antigo 973
Fenícia 973
Suméria 973
Babilônia 973
Judeus 973
Grécia 980
Roma 980
O Império Bizantino e a Idade Média 987
Reforma Protestante 995
A Reação da Igreja Católica 996
Consequências 996
Expansão Marítima 1004
A América Pré-Colombiana 1004
Sistema Colonial Espanhol 1004
Enquanto isso, na América do Norte 1005
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João Figueiredo (1979-1985)
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A Revolução Inglesa 1013
O Iluminismo 1013
As ideias iluministas chegam à América 1013
A Revolução Francesa 1013
A Era Napoleônica 1014
Revolução Industrial 1021
Simón Bolívar e San Martin 1030
O Caso do México 1030
Cuba 1030
Haiti 1031
Introdução 1040
Unificação da Itália 1040
Unificação da Alemanha 1040
A Guerra de Secessão (EUA) 1040
I Guerra Mundial 1040
Revolução Russa 1049
Crise de 1929 1049
O Caso da Itália 1058
O Caso da Alemanha 1058
Segunda Guerra Mundial 1058
EUA x URSS 1068
A Guerra Fria no Mundo 1068
Caso da China 1068
O Caso de Cuba 1069
GEOGRAFIA 
Movimentos da Terra 1081
Localização e Orientação 1081
Cartografia 1081
Fórmulas para calcular escala: 1081
Estrutura Interna da Terra 1087
Tipos de Rochas 1087
Estrutura Geológica da Terra 1087
Formas de Relevo 1087
Hidrografia 1094
Conceito de Bacia Hidrográfica 1094
Bacias Hidrográficas Brasileiras 1094
Atmosfera 1102
Fatores que Influenciam o Clima 1102
Tipos de Climas 1102
Tipos de Climas no Brasil 1103
Principais Formações Vegetais da Terra 1110
Formações Vegetais do Brasil 1110
Demografia 1118
Regionalização Brasileira 1119
Espaço Urbano 1127
Espaço Rural 1127
Fontes Energéticas 1135
Processo de Industrialização 1135
Transportes 1135
Conflitos no Mundo Atual 1142
Processo de Globalização 1150
Blocos Econômicos 1150
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 Estrutura Geológica da Terra
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Ásia 1158
Continente Europeu 1158
Oceania 1159
América 1165
América Latina 1165
América do Sul 1165
África 1165
Antártida 1166
FILOSOFIA 
Cosmogonia: A explicação a partir dos Deuses 1176
Os pré-Socráticos e a busca pela Arché 1185
Tales de Mileto – (623-546 a.C.) 1185
Anaximandro de Mileto – (610-547 a.C.) 1185
Anaxímenes de Mileto – (588-524 a.C.) 1185
Pitágoras de Samos – (570-490 a.C.) 1185
Heráclito de Éfeso – (535-475 a.C.) 1185
Parmênides de Eleia – (510-470 a.C.) 1185
Empédocles (490-430 a.C.) 1186
Zenão de Eleia (488-430 a.C.) 1186
Sócrates: A sistematização da ontologia 1193
Patrística e Escolástica 1202
Francis Bacon: A destruição dos ídolos 1209
Maquiavel: O Verdadeiro Príncipe 1217
Thomas Hobbes: O Grande Leviatã 1217
Jean-Jacques Rousseau: O bom selvagem 1217
John Locke: A propriedade privada 1218
A crise da Ciência 1226
O Círculo de Viena – A morte da Metafísica 1226
Auguste Comte – A Sacralidade da Ciência 1226
Karl Popper – O Falseabilidade 1226
por método 1226
Thomas Kuhn – Os Paradigmas Científicos 1226
Paul K Feyerabend – O Anarquista Epistemológico 1227
Fenomenologia: O Resgate da Consciência 1235
Edmund Husserl: O Pai da Fenomenologia 1235
Existencialismo: A Legitimidade do Existir 1235
SØren Kierkegaard – O Homem religioso 1235
Friedrich Nietzsche: 1235
A Genealogia da Moral 1235
Jean-Paul Sartre: 1235
O Homem Condenado a Ser Livre 1235
Arthur Schopenhauer: A Angústia e o Tédio 1236
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Paul K Feyerabend – O Anarquista Epistemológico 
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Fenomenologia: O Resgate da Consciência 
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SOCIOLOGIA 
Sociologia: A Ciência da Sociedade 1246
O surgimento da Sociologia 1246
Auguste Comte: O Pai da Sociologia 1246
Sociedade e educação – Émile Durkeim 1255
Processo de socialização 1255
Fato Social – Émile Durkheim 1255
As formas de solidariedade 1255
Anomia Social 1255
O Suicídio (1897) 1256
Max Weber – A importância do Indivíduo 1264
Ação social 1264
Estratificação Social em Weber 1264
Forma de Dominação para Max Weber 1264
Karl Marx – Censura à Sociedade capitalista 1273
Materialismo dialético 1273
Luta de Classe 1273
Cultura Popular 1283
Cultura Erudita 1283
Cultura de Massa 1283
Indústria Cultural 1283
Os Contratualistas 1292
Surgimento do Estado Moderno 1292
Neoliberalismo 1292
Estado para o Marxismo 1292
Democracia no Brasil 1292
Movimentos Sociais 1293
As Religiões no Brasil 1301
Religião para Karl Marx 1301
Religião para Émile Durkheim 1302
Religião para Max Weber 1302
Sérgio Buarque de Holanda 1311
Gilberto Freyre 1311
Florestan Fernandes 1311
Darcy Ribeiro 1312
Octavio Ianni 1312
Caio Prado Jr 1312
GRAMÁTICA 
Fonética 1324
Acentuação Tônica 1330
Classes Gramaticais I 1335
Classes Gramaticais II 1340
Sintaxe do Período Simples 1345
Sintaxe do Período Composto 1350
Concordância Verbal e Nominal I 1355
Concordância Verbal e Nominal II 1360
Regência Verbal e Nominal 1365
Crase 1370
Figuras de Linguagem 1375
Pontuação 1380
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LITERATURA 
Quinhentismo 1389
Barroco 1399
Arcadismo 1409
Romantismo I: Poesia 1420
Romantismo II: Prosa 1430
Realismo 1440
Naturalismo 1450
Parnasianismo e Simbolismo 1460
Pré-Modernismo 1470
Modernismo 1º fase 1480
Modernismo 2º fase 1488
Modernismo 3º fase 1500
Produções contemporâneas 1500
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QUÍMICAQUÍMICA
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3
M
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AULA O1
Teoria de Conjuntos
Introdução
Alguns conceitos na Matemática não têm definição. Esses 
conceitos são a base de todas as definições da Matemática. 
Os conjuntos passam uma ideia de agrupamento de coi-
sas e objetos em geral.
Esses objetos formadores dos conjuntos são denomina-
dos de elementos do conjunto. 
Exemplo 1: Conjunto dos números pares positivos: P = 
{2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}.
Exemplo 2: Conjunto de dias da semana que começam 
com a letra D: S = {domingo}.
Um elemento pode ou não pertencer ao conjunto. Utili-
zamos para indicar a pertinência o símbolo ∈ (Pertence) e 
para a não pertinência usamos o símbolo ∉ (Não pertence). 
Representação de Conjuntos
Por Extensão ou por Enumeração dos Elementos
Escrevem-se os elementos entre chaves e separados por 
vírgula.
Exemplo: Conjunto das vogais da palavraMATEMÁTICA.
M = {a, e, i} Obs: Cada elemento aparece uma única vez 
na enumeração, ou seja, nunca são repetidos.
Pela Propriedade Característica dos Elementos
Exemplo: Conjunto dos números Naturais menores que 9.
I = {x ∈ a N | x < 9}
Pelo diagrama de Venn
Os diagramas de Venn são utilizados para denotar grafica-
mente algumas propriedades dos conjuntos.
Exemplo: Conjunto dos números Naturais menores ou 
iguais a 6 e maiores que 0. 
TIPOS DE CONJUNTOS
VAZIO: Não possui elementos. Indica-se { } ou Ø;
UNITÁRIO: É o conjunto que possui apenas um elemento;
UNIVERSO: É o conjunto formado por todos os elementos 
que fazem parte do assunto em questão;
FINITO ou INFINITO: Um conjunto é dito finito ou infinito 
dependendo da quantidade de elementos diferentes per-
tencentes a ele.
Operação com Conjuntos
União
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, cha-
mamos união, um conjunto C, formado pelos elementos 
que pertencem a A ou B.
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Interseção
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, 
chamamos interseção, um conjunto C, formado pelos 
elementos que pertencem a A e B, simultaneamente.
A ∩ B = {4, 5}
Diferença ou Complementar
 Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 
6, 7}, chamamos diferença ou complementar, um conjunto 
C, formado pelos elementos que pertencem a A e não per-
tencem a B.
B
AC = A – B = {1, 2, 3} ***Leitura: Complementar de B em 
relação a A é igual a A menos B.
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais (N)
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}
Conjuntos dos Números Racionais (Q)
Compreende o conjunto dos números Naturais e os con-
juntos dos números Inteiros, além das frações decimais 
finitas ou periódicas.
Q = {x | x = a/b, com a ϵ Z, b ϵ Z e b ≠ 0}.
Conjuntos dos números irracionais (I)
É o conjunto formado pelas decimais infinitas não peri-
ódicas e pelas raízes não exatas, ou qualquer número que 
não possa ser escrito na forma a/b.
*** Um número irracional muito conhecido é o π (Pi) = 
3,1415926535...
Pr
oib
ida
 
Os diagramas de Venn são utilizados para denotar grafica
Pr
oib
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Os diagramas de Venn são utilizados para denotar grafica
mente algumas propriedades dos conjuntos.Pr
oib
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mente algumas propriedades dos conjuntos.
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 : Conjunto dos números Naturais menores que 9.
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: Conjunto dos números Naturais menores que 9.
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, 
: Conjunto dos números Naturais menores que 9.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
dis
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, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
dis
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uiç
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, 
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}
dis
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, 
Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}
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Conjunto dos Números Naturais (N)
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Conjunto dos Números Naturais (N)
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N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}do
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N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
ou
 Conjuntos Numéricos
ou
 Conjuntos Numéricosve
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a!relação a A é igual a A menos B.
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Conjuntos Numéricos
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Conjuntos dos Números reais (R)
União do conjunto dos números Racionais com o conjunto 
dos números Irracionais.
R = Q ∪ Ir = {x | x ∈ Q ou x ∈ Ir}
O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos 
vistos até aqui. 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) (Udesc 2019) Foi solicitado que um grupo de 64 pes-
soas escolhesse um número natural maior do que 3. 
Após análise das escolhas, constatou-se que: 12 pessoas 
escolheram um número primo, 30 um número par, 14 
um múltiplo de 3 e 6 um múltiplo de 6
O número de pessoas que escolheu um número ímpar, 
não múltiplo de 3 foi igual a:
a) 14
b) 26
c) 12
d) 20
e) 34
2) (Esam – PI) Sejam os conjuntos X e Y, cujos elementos 
são as letras das palavras Maria e Mariana, respectiva-
mente. O número de elementos do conjunto X ∩ Y é:
a) 11
b) 9
c) 6
d) 5
e) 4
3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M  N = 
{1, 2, 3, 4, 5, 6}, M ∩ N = {1, 2} e N – M = {3, 4}. Assinale 
a alternativa correta.
a) M = {1, 2, 3} 
b) M = {1, 2, 5, 6} 
c) N = {1, 2, 4}
d) N = {1, 2}
e) M = {1, 2, 3, 4}
4) (PUC-MG) Considere os seguintes subconjuntos de nú-
meros naturais:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}
P = { x ∈ |N / 6 ≤ x ≤ 20}
A = { x ∈ P / x é par}
B = { x ∈ P / x é divisor de 48}
C = { x ∈ P / x é múltiplo de 5}
O número de elementos do conjunto (A – B) ∩ C é:
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 6
5) (UFPI)Considerando os conjuntos A, B e C na figura a 
seguir, a região hachurada representa:
a) B – (A – C) b) B ∩ (A – C)
c) B  (A ∩ C) d) B ∩ (A  C)
e) B – (A  C)
6) (UEPA) Cabelo e vestuário são itens que se destacam 
no rol de preocupações das adolescentes que costumam 
frequentar as “baladas” belenenses – é o que aponta a 
pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária en-
tre 15 e 19 anos. Destas, 205 comparecem a esse tipo de 
festa se adquirem um traje inédito; 382 se fazem presen-
tes após uma boa “escova” no cabeleireiro; 102 apare-
cem nos locais onde acontecem as “baladas” com traje 
inédito e depois de uma “escova” no cabeleireiro. Per-
gunta-se: quantas são as adolescentes consultadas que 
não se preocupam em ir ao cabeleireiro fazer “escova”, 
nem em vestir uma roupa inédita?
a) 39 b) 63 
c) 102 d) 165
e) 177
7) (PUC-RJ) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 
15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. 
Sabendo que dez destas pessoas não usam o produto B 
e que duas destas pessoas não usam o produto A, qual 
é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B?
8) (Acafe-SC) Dos 540 alunos inscritos em uma academia, 
200 fazem musculação, 250, natação e 240 fazem outras 
modalidades de esportes.
Assinale a alternativa correta.
a) O número de alunos que faz apenas musculação é 100.
b) O número de alunos que faz apenas natação é 50.
c) 450 alunos fazem natação ou musculação.
d) 150 alunos fazem natação e musculação.
e) 300 fazem apenas uma modalidade de esporte.
Pr
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 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M 
Pr
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 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M ∩ N = {1, 2} e N – M = {3, 4}. Assinale 
Pr
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 {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M ∩ N = {1, 2} e N – M = {3, 4}. Assinale a
 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M a 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M c
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3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M 
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, pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária en
tre 15 e 19 anos. Destas, 205 comparecem a esse tipo de 
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tre 15 e 19 anos. Destas, 205 comparecem a esse tipo de 
festa se adquirem um traje inédito; 382 se fazem presen
dis
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, 
festa se adquirem um traje inédito; 382 se fazem presen
tes após uma boa “escova” no cabeleireiro; 102 apare
dis
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, 
tes após uma boa “escova” no cabeleireiro; 102 apare
do
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 6) (UEPA) Cabelo e vestuário são itens que se destacam 
do
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 6) (UEPA) Cabelo e vestuário são itens que se destacam 
no rol de preocupações das adolescentes que costumam 
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no rol de preocupações das adolescentes que costumam 
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frequentar as “baladas” belenenses – é o que aponta a do
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frequentar as “baladas” belenenses – é o que aponta a 
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pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária en
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6) (UEPA) Cabelo e vestuário são itens que se destacam 
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1.B 2. E 3. B 4. A 5.E
6. D 7. 03 8. D 9. B 10. D
9) (Cefet – CE) Qual dos conjuntos abaixo é unitário?
a) {x ∈ Z / x < 1}
b) {x ∈ N / 1 < 2x < 4}
c) {x ∈ R / x² = 1}
d) {x ∈ Q / x² < 2}
e) {x ∈ Z / x² > 0}
10) (Ufsm) Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada 
uma das afirmações a seguir.
( ) A letra grega pi representa o número racional que vale 
3,14159265.
( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos nú-
meros irracionais são subconjuntos dos números reais e 
possuem apenas um ponto em comum.
( ) Toda dízima periódica provém de uma divisão de dois 
números inteiros, portanto é um número racional.
A sequência correta é:
a) F – V – V
b) V – V – F
c) V – F – V
d) F – F – V
e) F – V – F
EXERCÍCIOS EXTRAS
01. (PUC-RS) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, d} 
e C = {a, b, d}, o conjunto X tal que A  C = B  X e B ∩ 
X = Ø é:
a) {a}
b) {b}
c) {c}
d) {a, b}
e) {b, c}
02. (Unifor-CE) Dados os conjuntos A = {x ∈ Z | -2 ≤ x < 3}, 
B = {x ∈ Q | x² = 2} e C = {x ∈ N | 1 ≤ x < 4} é verdade que:
a) A ⊃ C
b) B ⊂ (A ∩ C)
c) B  C = Ø
d) A ∩ B = A
e) (A  B) ⊂ (A ∩ C)
3. (G1 - cftmg 2017 – Adaptado) Sejam os conjuntos 
A= {x ∈ R| 0 < x ≤ -5}, B= {x ∈ R| x ≥ 5} e C= {x ∈ R |x ≤ 0}. 
Pode-se afirmar que
a) (A – B)  C = C 
b) (A – C) ∩ A = Ø 
c) (B  C) ∩ A = R 
d) (B ∩ C) ∩ A = A 
e) Nenhuma das alternativas
4. (Cefet-PR) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 
5, 6, 7}; C – A = {7, 8, 9}; C – B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}. 
O número de elementos do conjunto C é:
a) 6
b) 7
c) 3
d) 4
e) 5
5. (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o 
conjunto 
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
I. Ø ∈ U e n(U) = 10
II. Ø ⊂ U e n(U) = 10 
III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U 
IV. {0, 1, 2, 5} ∩ {5} = 5
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s):
a) apenas I e III.
b) apenas II e IV.
c) apenas II e III.
d) apenas IV.
e) todas as afirmações
6. (UEFS) Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 
3 elementos e C com 4 elementos, então:
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 X e B ∩ 
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 X e B ∩ 
4. (Cefet-PR) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 
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4. (Cefet-PR) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 
5, 6, 7}; C – A = {7, 8, 9}; C – B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}. 
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5, 6, 7}; C – A = {7, 8, 9}; C – B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}. 
O número de elementos do conjunto C é:
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O número de elementos do conjunto C é:
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Qual a porcentagem dos empregados que não se enqua-
dra em nenhuma das situações anteriores?
(Sugestão: utilize o diagrama de VENN para facilitar os 
cálculos.)
a) 25% d) 40%
b) 30% e) 45%
c) 35%
11. (Ufla-MG) Em um avião os passageiros são de quatro 
nacionalidades: argentina, brasileira, colombiana e do-
minicana, nas seguintes proporções: 20% de argentinos, 
85% de não colombianos e 70% de não dominicanos. As 
porcentagens de passageiros que são brasileiros, que 
são argentinos, e que não são brasileiros e não são do-
minicanos, são respectivamente:
a) 50%, 35% e 35%
b) 35%, 50% e 30%
c) 35%, 35% e 35%
d) 30%, 50% e 35%
e) 25%, 30% e 60%
12. (Unesp) Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam 
de Matemática e 20, de História. O número de alunos 
desta classe que gosta de Matemática e de História é:
a) exatamente 16 d) no mínimo 6
b) exatamente 10 e) exatamente 18
c) exatamente 6
13. (Uneb-BA) Em um vestibular, 80 alunos acertaram 
pelo menos uma questão entre as questões nº 1 e nº 2. 
Sabe-se que 70 deles acertaram a questão nº 1 e 50 acer-
taram a questão nº 2. O número de alunos que acertou 
ambas as questões é igual a:
a) 40 d) 60
b) 35 e) 120
c) 20
14. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos 
estes dados:
• 40% dos entrevistados lêem o jornal A.
• 55% dos entrevistados lêem o jornal B.
• 35% dos entrevistados lêem o jornal C.
• 12% dos entrevistados lêem os jornais A e B.
• 15% dos entrevistados lêem os jornais A e C.
• 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C.
01. A ∩ B não pode ter mais que 2 elementos.
02. A  C tem no máximo 5 elementos.
04. (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos. 
08. (A  B) ∩ C tem no máximo 2 elementos.
16.A ∩ Ø tem pelo menos 2 elementos.
Some os itens corretos.
7. (Unifei-SP) No diagrama abaixo, é correto afirmar que 
a parte sombreada representa:
a) (F ∩ G) – E c) F ∩ G ∩ E
b) G – (E ∩ F) d) (E ∩ G) – F
8. (UFF-RJ) Os muçulmanos não se limitam aos países 
de etnia árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a 
maior concentração de muçulmanos do mundo encon-
tra-se na Indonésia, que não é um país de etnia árabe.
Adaptado da Superinteressante, ed. 169, out. 2001.
Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; 
M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e 
A o conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo 
que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode-
-se representar o conjunto de pessoas do mundo que 
não são muçulmanas nem árabes por:
a) T – (A ∩ M) b) T – A
c) T – (A U M) d) (A – M) ∩ (M – A)
e) M – A
9. (UFAC) Numa universidade estudam, nos diversos 
cursos oferecidos, 1.500 alunos. Destes, 35 cursam En-
genharia Elétrica, 30 cursam Engenharia Civil e 8 cursam 
ambos os cursos. O número de estudantes da universi-
dade que não estuda em nenhum dos dois cursos é:
a) 1.450 d) 1.435
b) 1.443 e) 1.427
c) 1.440
10. (PUC-PR) Em uma pesquisa feita com 120 emprega-
dos de uma firma, verificou-se o seguinte:
– têm casa própria: 38
– têm curso superior: 42
– têm plano de saúde: 70
– têm casa própria e plano de saúde: 34
– têm casa própria e curso superior: 17
– têm curso superior e plano de saúde: 24
– têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15
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9. (UFAC) Numa universidade estudam, nos diversos 
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9. (UFAC) Numa universidade estudam, nos diversos 
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12. (Unesp) Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam 
dis
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12. (Unesp) Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam -se representar o conjunto de pessoas do mundo que 
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-se representar o conjunto de pessoas do mundo que 
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são argentinos, e que não são brasileiros e não são do
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minicanos, são respectivamente:
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18. (Udesc) Seja A o conjunto dos naturais menores que 
10 e seja B o outro conjunto tal que:
A  B = A,
A ∩ B é o conjunto dos pares menores que 10.
Então o conjunto B é:
a) vazio
b) A ∩ B
c) {x ∈ N | x < 10}
d) {x ∈ N | x é par}
e) qualquer conjunto de números pares que contenha A 
∩ B
19. (PUC-MG) Sendo A= {x ∈ R / –2 ≤ x < 3} e B = {x ∈ 
Z/–2 < x ≤ 3}, é correto afirmar:
a) A U B = A
b) A U B ⊂ Z
c) A ∩ B = A
d) A ∩ B ⊂ Z
e) A ∩ B = B
20. (Inatel-MG) No texto a seguir há uma argumentação 
e uma conclusão. “Como 1/3 = 0,333..., multiplicandoambos os membros por 3 encontramos 1 = 0,999... . Por-
tanto, 0,999...= 1”. Assim, podemos afirmar que:
a) A conclusão está incorreta, pois 0,999... < 1.
b) A argumentação está incorreta, pois 1/3 não é igual a 
0,333... .
c) A argumentação está incorreta, pois 3 x 0,333... não é 
igual a 0,9999... .
d) A argumentação e a conclusão estão incorretas.
e) A argumentação e a conclusão estão corretas.
Gabarito
1. E 2. B 3. A 4. E 5. C
6. 05 (01 + 04) 7. A 8. C 9. B
10. A 11. C 12. D 13. A 14. B
15. D 16. E 17. C 18. B 19. D 20. E
• 7% dos entrevistados lêem os três jornais.
• 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três 
jornais.
Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o nú-
mero total de entrevistados foi:
a) 1.200 c) 1.250
b) 1.500 d) 1.350
15. (UPF-RS) Feita uma pesquisa com 600 estudantes 
sobre as universidades em que pretendem prestar ves-
tibular, observou-se que 245 pretendem prestar vestibu-
lar na universidade A; 270, na universidade B; 285, na 
universidade C; 130, nas universidades A e B; 120, nas 
universidades A e C; 110, nas universidades B e C; e 50, 
nas três universidades citadas (A, B e C). Com base na 
pesquisa, é incorreto o que se afirma na alternativa:
a) 230 estudantes pretendem prestar vestibular apenas 
em uma universidade.
b) 110 estudantes não pretendem prestar vestibular nas 
três universidades.
c) 80 estudantes pretendem prestar vestibular apenas na 
universidade B.
d) 70 estudantes pretendem prestar vestibular apenas na 
universidade C.
e) 210 estudantes pretendem prestar vestibular em duas 
das três universidades citadas.
16. (Vunesp) Suponhamos que numa equipe de 10 estu-
dantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O número de es-
tudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é:
a) exatamente 6.
b) exatamente 2.
c) no mínimo 6.
d) no máximo 5.
e) no mínimo 4.
17. (UEL-PR) Um grupo de estudante resolveu fazer uma 
pesquisa sobre as preferências dos alunos quanto ao car-
dápio do Restaurante Universitário. Nove alunos opta-
ram somente por carne de frango, 3 somente por peixes, 
7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 
4 pelos três tipos de carne. Considerando que 20 alunos 
se manifestaram vegetarianos, 36 não optaram por car-
ne bovina e 42 não optaram por peixe, assinale a alter-
nativa que apresenta o número de alunos entrevistados.
a) 38
b) 42
c) 58
d) 62
e) 78
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, tanto, 0,999...= 1”. Assim, podemos afirmar que:
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, tanto, 0,999...= 1”. Assim, podemos afirmar que:
a) A conclusão está incorreta, pois 0,999... < 1.
dis
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, 
a) A conclusão está incorreta, pois 0,999... < 1.
b) A argumentação está incorreta, pois 1/3 não é igual a 
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b) A argumentação está incorreta, pois 1/3 não é igual a 
0,333... .
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0,333... .tudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é:
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 20. (Inatel-MG) No texto a seguir há uma argumentação 
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 20. (Inatel-MG) No texto a seguir há uma argumentação 
e uma conclusão. “Como 1/3 = 0,333..., multiplicando 
do
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e uma conclusão. “Como 1/3 = 0,333..., multiplicando 
ambos os membros por 3 encontramos 1 = 0,999... . Por
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ambos os membros por 3 encontramos 1 = 0,999... . Por
tanto, 0,999...= 1”. Assim, podemos afirmar que:do
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tanto, 0,999...= 1”. Assim, podemos afirmar que:
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20. (Inatel-MG) No texto a seguir há uma argumentação ou
 
20. (Inatel-MG) No texto a seguir há uma argumentação 
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Função Crescente e Decrescente
Pode ser considerada a classificação de uma função o valor 
do coeficiente a. Se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, 
a função é decrescente. 
Função Par e Ímpar
Quando o gráfico de uma função apresenta simetria em re-
lação ao eixo das ordenadas, é considerada uma função PAR. 
Definição: Uma função f é denominada par quando 
f(x)=f(-x), para todo x do Dom f.
Já quando o gráfico de uma função apresenta simetria em 
relação a origem, é considerada uma função Ímpar.
Definição: Uma função f é denominada ímpar quando 
f(x)=-f(-x), para todo x do Dom f. 
Função – Parte I
Conceito
Sendo dois conjuntos A e B, não vazios, uma função de A 
em B é uma Lei (regra) em que é associado cada elemento 
do conjunto A (Domínio) a um e apenas um elemento do 
conjunto B (Contradomínio).
Notação
F: A →B ***Leitura f é uma função de A em B.
Noção de Função Através de Conjuntos – 
Condições de Existência
Domínio, Imagem e Contradomínio
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 2, 4, 5, 6, 7}; va-
mos considerar a função f: A→ B definida por y = x + 4 ou 
f(x) = x + 4.
Dada uma função f de A em B, o conjunto A é denomi-
nado DOMÍNIO da função, sendo o conjunto B o CONTRA-
DOMÍNIO desta função. Já o conjunto de todas as respos-
tas obtidas, chama-se IMAGEM da função.
Sistema Cartesiano Ortogonal
É um sistema constituído por dois eixos x e y, perpendicu-
lares entre si.
AULA O2
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Pr
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Domínio, Imagem e ContradomínioPr
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Domínio, Imagem e Contradomínio
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Quando o gráfico de uma função apresenta simetria em re
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, 
Quando o gráfico de uma função apresenta simetria em re
lação ao eixo das ordenadas, é considerada uma função PAR. 
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lação ao eixo das ordenadas, é considerada uma função PAR. 
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Função Par e Ímpar
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Função Par e Ímpar
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Função Inversa
Podemos dizer que a inversa de uma função f, denotada 
por f-1, é a função que desfaz a operação executada pela 
função f. 
Exemplo:
Dada a função y = 7x – 3 determinaremos a sua inversa 
da seguinte maneira:
1º passo: isolar x.
y = 7x – 3 → y + 3 = 7x → x = (y + 3)/7
2º passo: troca-se x por y e y por x.
y = (x + 3)/7
Portanto, a função f(x) = 7x – 3 terá inversa igual a 
f –1 (x) = (x + 3)/7
Função Composta
Tomando uma terceira função denominada C, formada 
pela junção das funções A e B, é considerada função com-
posta. Temos que f: A → B e g: B → C, denomina a for-
mação da função composta de g com f, sendo h: A → C. 
Dizemos função g composta com a função f, representada 
por gof ou g(f(x)).
Exemplo:
Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, encontre fog. 
fog = 2(3x + 2) – 1 
fog = 6x + 4 – 1 
fog = 6x + 3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) (INFO) Dadas as proposições:
p: Existem funções que não são pares nem ímpares.
q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em 
relação ao eixo dos y.
r: Toda função de A em B é uma relação de A em B.
s: A composição de funções é uma operação comutativa.
t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta.
Podemos afirmar que são falsas:
a)nenhuma b) todas
c) p,q e r d) s e t
e) r, s e t
2. (UFU-MG) Quais dos seguintes diagramas definem 
uma função
de X em Y, com X = {a, b, c, d} e Y = {x, y, z, w}?
a) II, III e IV.
b) IV e V.
c) I, II e V.
d) I e IV.
e) I, IV e V.
3. (UCSal) O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) 
= ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos 
(a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é:
a) 4
b) -4
c) 5
d) -5
e) 0
4. (PUC-RS) A função real f é definida por f(x) = g(x). A 
representação gráfica de g está na figura a seguir.
O domínio da função f é:
a) [– 12; 4]
b) [0; 4]
c) (0; 4)
d) (– 2; 2)
e) [– 2; 2]
Pr
oib
ida
 de X em Y, com X = {a, b, c, d} e Y = {x, y, z, w}?
Pr
oib
ida
 de X em Y, com X = {a, b, c, d} e Y = {x, y, z, w}?
Pr
oib
ida
 a de X em Y, com X = {a, b, c, d} e Y = {x, y, z, w}?a de X em Y, com X = {a, b, c, d}e Y = {x, y, z, w}?
có
pia
, 
2. (UFU-MG) Quais dos seguintes diagramas definem 
có
pia
, 
2. (UFU-MG) Quais dos seguintes diagramas definem 
dis
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, = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos 
dis
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uiç
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, = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos 
dis
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, (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é:
dis
trib
uiç
ão
, (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é:
a) 4
dis
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uiç
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, 
a) 4
b) -4
dis
trib
uiç
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, 
b) -4
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3. (UCSal) O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) 
do
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ão
 
3. (UCSal) O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) 
= ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos do
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= ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos 
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9) (INFO) Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 
1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:
a) 2 - 2x
b) 3 - 3x
c) 2x - 5
d) 5 - 2x
e) uma função par.
10) (PUC-RS) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. 
O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é:
a) 0
b) 2/5
c) -3
d) 3/4
e) 4/3
Gabarito
1. D 2. D 3. A 4. E 5. E
6. C 7. B 8. D 9. D 10.D 
5. (Unifor-CE) Se f é uma função real de variável real, tal 
que 
( )
( )
5
1
+
-
f x
f x
 = x, é correto afirmar que o domínio de f é:
a) R* d) R – {5}
b) R+ e) R – {1}
c) R
6) (Unicamp) Se f é uma função de IR em IR tal que f(x) = 
3x3 + x2, então f(0) + f(1) + f(–1) é igual a:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
7) (PUC – PR) Considere 
2 1( )
2
xf x
x
-
=
-
 e ( ) 1g x x= - . 
Calcule f(g(x)) para x = 4:
a) 6 b) 8 c) 2 d) 1 e) 4
8) (SEDUC RJ – 2011). Considere a função de variável real 
f(x) = (3x + 8)/2. Qual o valor de f-¹(10)?
a) 1 ⁄ 19
b) 6
c) 0,25
d) 4
e) 19
EXERCÍCIOS EXTRAS
1. (UEL-PR) Uma papelaria faz cópias xerográficas e co-
bra de acordo com a seguinte tabela de preços:
Número de cópias Preço, em reais por cópia
20 ou menor 0,10
maior que 20 até 50 0,08
maior que 50 até 100 0,05
maior que 100 0,04
Segundo essa tabela, uma pessoa ao fotocopiar, por 
exemplo, 28 cópias, pagará R$ 0,08 a cópia. Se y for o 
preço total e x a quantidade de cópias, a função preço 
pode ser representada pelo gráfico:
2. (Uel) Se uma função f, do primeiro grau, é tal que f(1) 
= 190 e f(50) = 2.052, então f(20) é igual a 
a) 901
b) 909
c) 912
d) 937
e) 981
Pr
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ida
 
Pr
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Pr
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Pr
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Preço, em reais por 
Pr
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Preço, em reais por 
a bra de acordo com a seguinte tabela de preços:a bra de acordo com a seguinte tabela de preços:c
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, EXERCÍCIOS 
1. (UEL-PR) Uma papelaria faz cópias xerográficas e co
có
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1. (UEL-PR) Uma papelaria faz cópias xerográficas e co
bra de acordo com a seguinte tabela de preços:có
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, 
bra de acordo com a seguinte tabela de preços:
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6. C
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, 
6. C 7. B
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, 
7. B
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EXERCÍCIOS dis
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EXERCÍCIOS 
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Dessa forma, o número médio de hóspedes por semana,
a) em 1995, foi de 322
b) em 1994, foi de 345
c) em 1993, foi de 370
d) em 1992, foi de 392
e) em 1991, foi de 411
7. (Uepg-pss 1 2019) O lucro semanal, em reais, de uma 
empresa é representado pela função L(x) = -x² + 32x - 31 
onde x é a quantidade semanal vendida. Em relação ao 
exposto, assinale o que for correto. 
01) O lucro semanal é máximo quando a quantidade ven-
dida for maior que 31. 
02) Para um lucro semanal de R$ 161,00 a quantidade se-
manal vendida deve ser de no mínimo 8. 
04) O lucro semanal é nulo quando a quantidade semanal 
vendida for 1 ou 31. 
08) O lucro máximo semanal é de R$ 225,00 
8. (ESPM-SP) O gráfico mostra como variam as vendas de 
um certo produto conforme o preço cobrado por unida-
de. Com base somente nesses dados, podemos determi-
nar o preço que fornece a máxima receita. Esse preço é: 
a) R$ 8,00 b) R$ 10,00
c) R$ 12,00 d) R$ 14,00
e) R$ 16,00
9. (Cesgranrio-RJ) Os pontos de intersecção da parábola 
y = x² – 3x + 4 com a reta y = x + 1 são: 
a) (2, 3) e (–1, 0) d) (1, 2) e (2, 3)
b) (1, 2) e (3, 4) e) (3, 4) e (–1, 0)
c) (1/2, 3/2) e (–1, 0)
 
10. (Uespi) O lucro mensal de uma fábrica é dado por 
L (x) = –x² + 60 x – 10, em que x é a quantidade mensal de 
unidades fabricadas e vendidas de um certo bem, pro-
duzido por esta empresa, e L é expresso em reais (Obs.: 
Real é unidade monetária).
O maior lucro mensal possível que a empresa poderá ter 
é dado por:
a) R$ 890,00 d) R$ 1.080,00
b) R$ 910,00 e) R$ 1.180,00
c) R$ 980,00. 
3. (FEFISA – SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto 
(y) por uma empresa de cosméticos na produção de per-
fume varia com a quantidade de perfume produzida (x). 
Assim, podemos afirmar que:
a) Quando a empresa não produz, não gasta.
b) Para produzir três litros de perfume, a empresa gasta 
R$ 76,00.
c) Para produzir dois litros de perfume, a empresa gasta 
R$ 54,00.
d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá cin-
co litros de perfume.
e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gas-
ta menos do que fabricar o quinto litro.
4. (UERGS-RS) Observe o gráfico apresentado.
A função representada nesse gráfico é:
a) y = – 3/2 x + 3 d) y = 2/3 x + 3
b) y = 3/2 x + 2 e) y = 2/3 x + 2
c) y = – 2/3 x + 3
5. (UFPE) A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao 
longo do dia. Em certo dia, a concentração de poluentes no 
ar, às 8h, era de 20 partículas em cada milhão de partículas 
e, às 12h, era de 80 partículas em cada milhão de partículas. 
Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia 
é uma função afim do tempo, qual o número de partículas 
poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 10h20?
a) 45 d) 60
b) 50 e) 65
c) 55
6. (Fatec) O dono de uma rede hoteleira verificou que em 
certa região tem havido um decréscimo no número de 
hóspedes em seus pacotes promocionais, e esse decrés-
cimo tem sido linear em relação ao tempo. Em 1982, a 
média foi de 600 pessoas por semana, enquanto que em 
1990 a média semanal foi de 432.
Pr
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e) y = 2/3 x + 2
Pr
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e) y = 2/3 x + 2
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Com base nessas informações, considere as seguintes 
afirmativas: 
I. A função q(t) é crescente no intervalo [0, 48]. 
II. A quantidade máxima de bactérias é atingida 24 horas 
após o contágio, aproximadamente. 
III. 60 horas após o contágio, a quantidade de bactérias 
está abaixo de 1500 por mm3 . 
Assinale a alternativa correta: 
a) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
e) Somente a afirmativa III é verdadeira.
14. (PUC-MG)Considere f(x) = X + 3 e f(g(x)) = 3X + 4. 
Valor de g(3) é: 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 13 e) 16
15. (FGV) Considere as funções f(x) e g(x), definidas para 
todos os números reais, tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x 
+ 3. Se h(x) é a função inversa de g(x), então o valor de 
f(h(x)), para x = 7 é igual a: 
a) 4
b) 22
c) 7
d) 17
e) 52
16. (UNICAMP – 2016) O gráfico abaixo exibe o lucro lí-
quido (em milhares de reais) de três pequenas empresas 
A, B e C, nos anos de 2013 e 2014.
Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que
a) A teve um crescimento maior do que C.
b) C teve um crescimento maior do que B.
c) B teve um crescimento igual a A.
d) C teve um crescimento menor do que B.
17. (FGV – SP) Uma locadora A de automóveis cobra R$ 
90,00 por dia de aluguel de um certo carro. Uma outra loca-
dora B cobra, pelo mesmo modelo de carro, um valor fixo 
de R$ 210,00, mais R$ 80,00 por dia de aluguel. Seja n o 
número de dias que um cliente pretende alugar este carro.
11. (UFPE) Um laboratório farmacêutico, após estudo do 
mercado, verificou que o lucro obtido com a venda de x 
milhares do produto A era dado pela fórmula: L (x) = 100 
• (12.000 – x) • (x – 4.000).
Analisando-se as afirmações, tem-se que:
01. o laboratório terá lucro para qualquer quantidade ven-
dida do produto A.
02. o laboratório terá lucro, se vender mais de 4.000
e menos de 12.000 unidades do produto A.
04. se o laboratório vender mais de 12.000 unidades
do produto A, ele terá prejuízo.
08. o lucro do laboratório será máximo se forem vendidas 
8.000 unidades do produto A.
16. se o laboratório vender 4.000 unidades do produto A, 
não terá lucro.
12. (PUC – PR) Sejam as funções reais definidas por f(x) 
= x – 1, g(x) = ax + b e f(g(x)) = –2x, o gráfico de g(x) é: 
13. (UFPR) Um estudo feito com certo tipo de bactéria 
detectou que, no decorrer de uma infecção, a quantida-
de dessas bactérias no corpo de um paciente varia apro-
ximadamente segundo uma função q(t) que fornece o 
número de bactérias em milhares por mm³ de sangue no 
instante t. O gráfico da função q(t) encontra-se esboçado 
ao lado. O tempo é medido em horas, e o instante t = 0 
corresponde ao momento do contágio.
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a!15. (FGV) Considere as funções f(x) e g(x), definidas para todos os números reais, tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x 
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a!todos os números reais, tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x 
+ 3. Se h(x) é a função inversa de g(x), então o valor de ve
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+ 3. Se h(x) é a função inversa de g(x), então o valor de 
f(h(x)), para x = 7 é igual a: v
en
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f(h(x)), para x = 7 é igual a: 
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a) Após ter sido administrado, quantos minutos de- corre-
rão para que o analgésico comece a fazer efeito;
b) Por quanto tempo a ação do analgésico permanecerá.
20. (Uepg-pss 1 2019) Considerando as funções f(x) = x² + 
2x - 15 e g(x) = 3x – 1, assinale o que for correto. 
01) f( g(x)) = 9x² - 16. 
02) Os zeros da função f(x) não estão contidos no domínio 
da função h(x) = log(x² + 2x - 24) 
04) Se g-1(x) representa a função inversa de g(x), g�1(5) – 
f(2) é um número múltiplo de três. 
08) Se j(x) = 2g(x) – 1 então j(1) é um número par. 
Gabarito
1. C 2. C 3. C 4. A 5. C
6. E 7. 14 (02 + 04 + 08) 8. D
9. B 10. A 11. 30 12.C 13. A
14. C 15. C 16. B 17. A 18. C
19. a) 48 minutos após a ingestão
b) 5 horas e 12 minuto
20. 07 (01 + 02 + 04)
 
a) n < 25
b) n > 25
c) n > 12
d) n > 21
e) n < 21
18. (UEM – PR) Um artesão produz lembranças que ven-
de a turistas por x reais cada uma. Com esse preço, ele 
sabe, por experiência, que seu lucro mensal é obtido da 
expressão L(x) = 400 (15 – x) (x – 3). Determine, em re-
ais, o preço pelo qual ele deverá vender cada lembrança 
para obter o maior lucro mensal possível.
a) 144
b) 1.440
c) 14.400
d) 24.400
e) 2.440
19) (Vunesp) Uma empresa farmacêutica lançou no mer-
cado um analgésico. A concentração do analgésico, de-
notada por C (t), em decigramas por litro de sangue, t 
horas após ter sido administrado a uma pessoa, está re-
presentada no gráfico esboçado. Sabe-se que esse anal-
gésico só produz efeito se a sua concentração for supe-
rior a 1 decigrama por litro de sangue.
Analisando o gráfico, determine:
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Zero ou Raíz da Função
Uma função do 1º grau pode ser escrita da seguinte ma-
neira: ( ) , 0f x ax b onde a= + ≠
Sendo assim, o zero de uma função do 1º grau é dado 
por: ( ) 0 0f x ax b ax b= = + → + =
 Sendo assim, o zero da função é encontrado pelo valor 
de x que faz que a função assuma o valor zero. Para encon-
trar esse valor de x, basta resolver a equação do 1º grau. 
Geometricamente, o zero da função do 1º grau é a abs-
cissa (valor de x) do ponto em que a reta corta o eixo x.
Sinal da função Afim
Gráfico no Sistema Cartesiano
1º CASO (a > 0)
f(x) = 2x – 1
x y = f(x)
-2 -5
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
Função – Parte II
Definição
Uma função da forma f: R → R chama-se AFIM quando 
dada a existência de dois números reais a e b tal que f(x) = 
ax + b, para x pertencendo aos Reais. Exemplo: y = 8x + 4 
onde a = 8 e b = 4
Casos especiais
Função identidade: f(x) = x
Função constante: f(x) = b
Função linear: f(x) = ax
AULA O3
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Gráfico no Sistema Cartesiano
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Gráfico no Sistema Cartesiano
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2º CASO (a < 0)
f(x) = – 3x + 2
x y = f(x)
-1 5
0 2
1 -1
2 -4
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (UFMA) A representação da função y = -3 é uma reta: 
a) paralela ao eixo das ordenadas
 b) perpendicular ao eixo das ordenadas 
c) perpendicular ao eixo das abcissas 
d) que intercepta os dois eixos 
e) nda
02. (PUC-SP) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando: 
a) a < 2 d) a > 0
b) a < 0 e) a = 2
c) a = 0 
03. (ITAJUBA-MG) O gráfico abaixo pode representar 
qual das expressões? 
a) y = 2x - 3 d) 3y = - 2x
b) y = - 2x + 3 e) y = - 1,5x + 3
c) y = 1,5 x + 3 
4. (FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos 
pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é: 
a) - 13/5 
b) 22/5 
c) 7/5 
d) 13/5 
e) 2,4 07. 
5) (PUC-MG) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e 
f(3)=-3. Então f(0) é igual a : 
a) 0 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) -1
6. (Fatec) Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja 
voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma dieta 
alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 
200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará 
seu objetivo ao fim de: 
a) 67 semanas. d) 70 semanas.
b) 68 semanas. e) 71 semanas.
c) 69 semanas. 
7) (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n in-
teiro positivo), uma empresa deve investir R$200.000,00 
em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção 
de cada peça. Nessas condições, o custo C, em reais, da 
produção de n peças é uma função de n dada por: 
a) C(n) = 200 000 + 0,50 
b) C(n) = 200 000n 
c) C(n) = n/2 + 200 000 
d) C(n) = 200 000 - 0,50n 
e) C(n) = (200 000 + n)/2
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5) (PUC-MG) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e 
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5) (PUC-MG) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e 
f(3)=-3. Então f(0)é igual a : 
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f(3)=-3. Então f(0) é igual a : 
a) 0 
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pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é: 
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pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é: 
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10) (ACAFE) Um táxi começa uma corrida com o taxíme-
tro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro rodado custa 
R$1,50. Se ao final de uma corrida, o passageiro pagou 
R$ 37,00, a quantidade de quilômetros percorridos foi:
a)26 
b)11 
c)33 
d)22 
e)32
Gabarito
1. B 2. B 3. C 4. B 5. C
6. D 7. C 8. C 9. B 10.D 
8) (Ufsm) Seja f: R → R uma função definida por f(x) = 
mx + p. Se f passa pelos pontos A(0, 4) e B(3, 0), então f-1 
passa pelo ponto
a) (8, -2)
b) (8, 3)
c) (8, -3)
d) (8, 2)
e) (8, 1)
9) (UFPI) A função real de variável real, definida por f (x) 
= (3 – 2a).x + 2, é crescente quando:
a) a > 0
b) a < 3/2
c) a = 3/2
d) a > 3/2
e) a < 3
EXERCÍCIOS EXTRAS
01. (Cefet-MG) Sabendo-se que f(x) = ax + b, que f(– 1) = 
4 e que f(2) = 7, deduz-se que f(8) vale:
a) 0 d) 23
b) 3 e) 33
c) 13
2) (UNIFOR) A função f, do 1° grau, é definida por f(x) = 
3x + k. O valor de k para que o gráfico de f corte o eixo 
das ordenadas no ponto de ordenada 5 é:
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 5
3) (FGV-SP )Seja a função f de R em R, definida por f(x) = mx 
+ t, representada pelo gráfico a seguir. Nestas condições:
a) m = 2t d) m = t
b) t = 2m e) m – t = 4
c) m + t = 0
4) (Acafe-SC) Dois atletas A e B fazem teste de cooper numa pis-
ta retilínea, ambos correndo com velocidade constante. A dis-
tância (d) que cada um percorre é mostrada no gráfico abaixo. 
Com base no gráfico, a alternativa correta é:
a) A é mais veloz que B, pois percorre 600 m em 20 min.
b) B percorre 1 km em 20 min.
c) B é mais veloz que A, pois percorre 400 m em 5 min.
d) A e B correm na mesma velocidade.
e) A percorre 400 m em 30 min.
5) (UEPB) Em um telefone residencial, a conta mensal 
para as ligações locais é dada pela função y = ax + b, em 
que x é o número de chamadas mensais e y é o total a ser 
pago em reais. No mês de abril, houve 100 chamadas e a 
conta mensal foi de 170 reais. Já no mês de maio, houve 
120 chamadas, e a conta mensal foi de 198 reais. Qual o 
total a ser pago no mês com 180 chamadas?
a) R$ 320,00 d) R$ 251,00
b) R$ 282,00 e) R$ 305,00
c) R$ 222,00
6) (G1 – ifce 2019) Rafael chamou um Uber para ir ao 
cinema com sua namorada, mas a atendente informou 
que o valor final a ser pago é compreendido por uma 
parcela fixa de R$ 3,00, mais R$ 1,50 cobrado por qui-
lômetro rodado. Sabendo que Rafael pagou R$ 48,00, a 
distância de casa de Rafael para o cinema, em km, é
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3) (FGV-SP )Seja a função f de R em R, definida por f(x) = mx Pr
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3) (FGV-SP )Seja a função f de R em R, definida por f(x) = mx 
+ t, representada pelo gráfico a seguir. Nestas condições:P
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Com base no gráfico, a alternativa correta é:
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TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. 
10. (Faap) Medições realizadas mostram que a tempe-
ratura no interior da terra aumenta, aproximadamente, 
3°C a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 
100m de profundidade, a temperatura é de 25°C. Nessas 
condições, podemos afirmar que:
A temperatura a 1.500m de profundidade é: 
a) 70°C 
b) 45°C 
c) 42°C 
d) 60°C 
e) 67°C 
11. (Faap) Encontrando-se uma fonte de água mineral a 
46°C, a profundidade dela será igual a: 
a) 700 m b) 600 m 
c) 800 m d) 900 m 
e) 500 m
12. (INFO) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas 
condições, f(3x + 2) é igual a:
a) 2x + 3
b) 3x + 2
c) (2x + 3) / 2
d) (9x + 1) /2
e) (9x - 1) / 3
13. (Ufes) Uma produtora pretende lançar um filme em 
fita de vídeo e prevê uma venda de 20.000 cópias. O cus-
to fixo de produção do filme foi R$150.000,00 e o custo 
por unidade foi de R$20,00 (fita virgem, processo de co-
piar e embalagem). Qual o preço mínimo que deverá ser 
cobrado por fita, para não haver prejuízo? 
a) R$ 20,00 d) R$ 27,50
b) R$ 22,50 e) R$ 35,00
c) R$ 25,00 
14. (Pucmg) O gráfico da função f(x) = ax + b está repre-
sentado na figura. 
O valor de a + b é: 
a) -1
b) 2/5
c) 3/2
d) 2
a) 40. d) 60.
b) 50. e) 70.
c) 30.
7) (FMTM-MG) Um termômetro descalibrado indica 10 
°C quando a temperatura real é 13 °C. Quando indica 20 
°C, a temperatura real é de 21 °C. Porém, mesmo estan-
do descalibrado, a relação entre a temperatura real e a 
temperatura indicada é linear. Assim sendo, a única tem-
peratura em que a leitura do termômetro descalibrado 
corresponderá à temperatura real é:
a) 22 °C d) 25 °C
b) 23 °C e) 26 °C
c) 24 °C
8) (FGV-SP) Um terreno vale hoje R$ 40.000,00 e estima-se 
que daqui a 4 anos seu valor seja R$ 42.000,00. Admitindo 
que o valor do imóvel seja função do 1º grau do tempo 
(medido em anos e com valor zero na data de hoje), seu 
valor daqui a 6 anos e 4 meses será aproximadamente:
a) R$ 43.066,00
b) R$ 43.166,00
c) R$ 43.266,00
d) R$ 43.366,00
e) R$ 43.466,00
9) (Ufsm) Recomendações
Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas re-
comendações. Transformadas em políticas públicas, po-
deriam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia 
urbana do trânsito. 
A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a 
gravidade dos acidentes. 
A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja 
frota equivale a 10% do total, mas cujos custos corres-
pondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a 
empresa, R$8. É um exército de garotos em disparada. 
O pedestre forma o contingente mais vulnerável no trân-
sito e necessita de maior proteção, diz a terceira reco-
mendação da pesquisa. Entre a 0h e as 18h da quinta-fei-
ra, as ambulâncias vermelhas do Resgate recolheram 16 
atropelados nas ruas de São Paulo. 
Fonte: "Folha de São Paulo", 1Ž.06.03, p. C1 (adaptado). 
Conforme o texto, num dia de trabalho, são necessárias 
12 entregas para um motoboy receber R$24,00. Por me-
dida de segurança, a empresa limitará a 10 a quantidade 
de entregas por dia. Como compensação, pagará um adi-
cional fixo de p reais ao dia a quem atingir esse limite, 
porém reduzirá para R$1,80 o valor pago por cada entre-
ga. O valor de p que manterá inalterada a quantia diária 
recebida pelo motoboy, ou seja, R$24,00, será: 
a) R$ 5,40 d) R$ 6,00
b) R$ 5,60 e) R$ 6,20
c) R$ 5,80 
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A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja 
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A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja 
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pondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a Pr
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pondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a 
empresa, R$8. É um exército de garotos em disparada. P
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13. (Ufes) Uma produtora pretende lançar um filme em 
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13. (Ufes) Uma produtora pretende lançar um filme em comendações. Transformadas em políticas públicas, po
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a!12. (INFO) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas 
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a!12. (INFO) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas 
condições, f(3x + 2) é igual a:ve
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condições, f(3x + 2) é igual a:
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19. (Enem PPL 2018) Na intenção de ampliar suas fa-
tias de mercado, as operadoras de telefonia apresentam 
diferentes planos e promoções. Uma operadora oferece 
três diferentes planos baseados na quantidade de mi-
nutos utilizados mensalmente, apresentados no gráfico. 
Um casal foi à loja dessa operadora para comprar dois 
celulares, um para a esposa e outro para o marido. Ela 
utiliza o telefone, em média, 30 minutos por mês, en-
quanto ele, em média, utiliza 90 minutos por mês.
Com base nas informações do gráfico, qual é o plano de 
menor custo mensal para cada um deles? 
a) O plano A para ambos. 
b) O plano B para ambos. 
c) O plano C para ambos. 
d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. 
e) O plano C para a esposa e o plano B para o marido. 
20) (Pucrj 2017) Dadas as funções f, g: R → R definidas por 
f(x) = x² -13x + 36 e g(x) = -2x + 12. 
a) Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas 
funções.
b) Encontre os valores reais de x para os quais f(x) ≥ g(x). 
c) Encontre os valores reais de x que satisfazem 
f(x+1) = g(x-2).
Gabarito
1. C 2. D 3. D 4. B 5. B
6. C 7. D 8. B 9. D 10. E
11. C 12. D 13. D 14. C 15.D
16. A 17.30(02 + 04 + 08 + 16) 
18. a) F=95 b) C = 160 19. E 
20.a. (3, 6) e (8, -4) 
b. x 3 ou x 8 
c. x = 1 ou x = 8 
15. (Enem 2019) Uma empresa tem diversos funcionários. 
Um deles é o gerente, que recebe R$ 1.000,00,00 por sema-
na. Os outros funcionários são diaristas. Cada um trabalha 
2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado.
Chamando de X a quantidade total de funcionários da em-
presa, a quantia Y, em reais, que esta empresa gasta se-
manalmente para pagar seus funcionários é expressa por
a) Y = 80X + 920. d) Y = 160X + 840.
b) Y = 80X + 1.000. e) Y = 160X + 1.000.
c) Y = 80X + 1.080. 
16. (Faap) A taxa de inscrição num clube de natação é de 
R$150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se 
inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linear-
mente. Expresse a taxa de inscrição em função do nú-
mero de semanas transcorridas desde o início do curso: 
a) T = 12,50 (12 - x)
b) T = 12,50x
c) T = 12,50x -12
d) T = 12,50 (x + 12)
e) T = 12,50x + 12
17. (Uem 2018) A maior e mais importante artéria do corpo 
humano é a aorta. Sua porção ascendente possui em tor-
no de 5 cm e seu diâmetro D, em milímetros, usualmente 
é estimado em função da idade i, em anos, do indivíduo, 
pela fórmula D(i) = 31 + 0,16i. O diâmetro d da porção des-
cendente da aorta, também em milímetros, é estimado em 
função da idade i, pela fórmula d(i) = 21 + 0,16i. 
Assinale o que for correto. 
01) A aorta é importante porque, por meio dela, o sangue é 
levado do ventrículo direito até o pulmão, onde é oxigenado. 
02) Pelas fórmulas dadas, quanto maior a idade do indiví-
duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascen-
dente e descendente da aorta. 
04) Pelas fórmulas dadas, a diferença entre os diâmetros 
da aorta ascendente e da aorta descendente deve ser sem-
pre de 1 cm, independentemente da idade do indivíduo. 
08) O sistema circulatório dos humanos é fechado, o cora-
ção tem quatro câmaras, e não ocorre mistura entre san-
gue venoso e arterial. 
16) Os diâmetros das porções ascendente e descendente 
da aorta, em um indivíduo típico de anos, devem ser, res-
pectivamente, 39 mm e 29 mm. 
18. (Unicamp) Para transformar graus Fahrenheit em 
graus centígrados usa-se a fórmula: 
C = 5 (F - 32) / 9
Onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número 
de graus centígrados. 
a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. 
b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que 
o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de 
graus centígrados?
Pr
oib
ida
 duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascen
Pr
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ida
 duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascen
04) Pelas fórmulas dadas, a diferença entre os diâmetros 
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04) Pelas fórmulas dadas, a diferença entre os diâmetros 
da aorta ascendente e da aorta descendente deve ser semPr
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da aorta ascendente e da aorta descendente deve ser sem
pre de 1 cm, independentemente da idade do indivíduo. P
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pre de 1 cm, independentemente da idade do indivíduo. 
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 01) A aorta é importante porque, por meio dela, o sangue é 
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, 01) A aorta é importante porque, por meio dela, o sangue é levado do ventrículo direito até o pulmão, onde é oxigenado. 
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02) Pelas fórmulas dadas, quanto maior a idade do indiví
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duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascen
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, 20) (Pucrj 2017) Dadas as funções f, g: R → R definidas por 
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, 20) (Pucrj 2017) Dadas as funções f, g: R → R definidas por 
f(x) = x² -13x + 36 e g(x) = -2x + 12. 
dis
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, 
f(x) = x² -13x + 36 e g(x) = -2x + 12. 
a) Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas 
dis
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a) Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas 
funções.
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funções.
01) A aorta é importante porque, por meio dela, o sangue é dis
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01) A aorta é importante porque, por meio dela, o sangue é 
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 d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. 
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 d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. 
e) O plano C para a esposa e o plano B para o marido. 
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e) O plano C para a esposa e o plano B para o marido. 
20) (Pucrj 2017) Dadas as funções f, g: R → R definidas por d
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20) (Pucrj 2017) Dadas as funções f, g: R → R definidas por 
ou
 c) O plano C para ambos. 
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 c) O plano C para ambos. 
d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. ou
 
d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. 
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a!a) O plano A para ambos. b) O plano B para ambos. 
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Δ = 0 = a parábola é tangente ao eixo Ox.
Δ > 0 = a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos 
distintos.
Coordenadas do Vértice da Parábola
 
2v
x b
a
-
=
 
4v
y
a
-∆
=
Valor MÍNIMO: a > 0.
Valor MÁXIMO: A < 0.
Gráfico no Sistema Cartesiano
1º CASO (a > 0)
f(x) = x2 – 2x – 3
x y 
-2 5
-1 0
0 -3
1 -4
2 -3
3 0
4 5
Função – Parte III
Definição
Função Polinomial do 2o Grau ou Função Quadrática é a 
função real definida por:
f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são coeficientes reais, 
sendo a ≠ 0. 
Exemplos de função quadrática:
a) y = x2 – 6x + 5, na qual a = 1, b = -6 e c = 5
b) y = - x2 +2 x + 4, na qual a = - 1, b = 2 e c = 4 
c) y = 3x2 – 6x, na qual a = 3, b = -6 e c = 0 
d) y = 2x2 – 3, na qual a = 2, b = 0 e c = -3
Gráfico de uma Função Quadrática
O gráfico da Função Polinomial do 2o Grau y = ax2 + bx + c é 
uma parábola em que o eixo de simetria é uma reta para-
lela ao eixo das ordenadas ou pode ser até o próprio eixo 
y,passando pelo vértice da parábola.
A representação gráfica de uma função do 2º grau é 
uma parábola, que dependendo do sinal do coeficiente a 
pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
Raízes ou Zeros da Função
Significa determinar os pontos de interseção da parábola 
com o eixo das abscissas no plano cartesiano. Dada a fun-
ção f(x) = ax² + bx + c, podemos determinar sua(s) raiz(es) 
considerando f(x) = y = 0. Assim sendo, conseguimos a 
equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que pode ser resolvida 
pela fórmula Bháskara. 
2 4
2
b b acx
a
 - ± -
=  
 
Sendo ∆ = b2 – 4ac, podemos abranger que: 
Δ < 0 = a parábola não intercepta o eixo Ox.
AULA O4
Pr
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ida
 pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
Pr
oib
ida
 pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
Pr
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 a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
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A representação gráfica de uma função do 2º grau é 
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A representação gráfica de uma função do 2º grau é 
uma parábola, que dependendo do sinal do coeficiente a có
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uma parábola, que dependendo do sinal do coeficiente a 
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pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
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2º CASO (a < 0)
f(x) = – x2 + 2x + 3
x y 
-2 -5
-1 0
0 3
1 4
2 3
3 0
4 -5
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (PUCCamp-SP) Seja a função f, de R em R, definida 
por f(x) = x² – 3x + 4.
Num sistema de coordenadas ortogonais, o vértice da 
parábola que representa localiza-se:
a) no primeiro quadrante.
b) no segundo quadrante.
c) no terceiro quadrante.
d) sobre o eixo das ordenadas.
e) sobre o eixo das abscissas.
02) (UFMG) O trinômio y = ax2 + bx + c está representado 
na figura.
A afirmativa correta é:
a) a > 0, b > 0 e c < 0 
b) a < 0, b < 0 e c < 0 
c) a < 0, b > 0 e c < 0
d) a < 0, b < 0 e c > 0
e) a < 0, b > 0 e c > 0
03. (UFRR ) A única função cujo gráfico pode ser a pará-
bola representada na figura abaixo é:
a) y = x² + 6x + 9 
b) y = x² – 6x + 9 
c) y = x² + 3x – 10
d) y = x² + 7x + 10
e) y = x² – 7x + 10
04. (UFAM) Em relação ao gráfico da função f(x) = –x2 + 
7x – 10. pode-se afirmar que:
a) intersecta o eixo das abscissas em P(5, 0) e Q(–5, 0).
b) seu vértice é o ponto 7 9,
2 4
 
 
 
.
c) é uma parábola de concavidade voltada para cima.
d) o seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas.
e) intercepta o eixo das ordenadas em R (0,10).
5) (Funcab) Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 
9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola de-
finida por f(x), é:
a) V = (-7; 1)
b) V = (1; -7)
c) V = (0; 1)
d) V = (-7; 0)
e) V = (0; 0)
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a) y = x² + 6x + 9 
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a) y = x² + 6x + 9 
b) y = x² – 6x + 9 
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b) y = x² – 6x + 9 
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EXERCÍCIOS EXTRAS
9) (Efomm 2019) Examine a função real f(x) = 2x – 3x² quan-
to à existência de valores e pontos de máximos e mínimos. 
Analise o problema e assinale a alternativa CORRETA. 
a) A função atinge o valor máximo de 2/3, no ponto x = 1/3 
b) A função atinge o valor mínimo de 1/3, no ponto x = 1/3 
c) A função atinge o valor máximo de 1/3, no ponto x = 2/3 
d) A função atinge o valor mínimo de 2/3, no ponto x = 1/3
e) A função atinge o valor máximo de 2/3, no ponto x = 1/3. 
10) (Ueg 2019) Em um jogo de futebol, um jogador chuta 
uma bola parada, que descreve uma parábola até cair 
novamente no gramado. Sabendo-se que a parábola é 
descrita pela função y = 20x – x² a altura máxima atingi-
da pela bola é 
a) 100 m 
b) 80 m
c) 60 m
d) 40 m
e) 20 m
Gabarito
1. A 2. B 3. E 4. B 5. B
6. A 7. A 8. B 9. E 10. A
6) (Funcab). Determine o valor de x que provoca o valor 
máximo da função real f(x) = -x² + 7x – 10.
a) 3,5
b) – 2
c) 0
d) 10
e) – 1,5
7) (Fatec) A função f, de IR em IR, definida por f(x) = ax² 
+ bx + c, admite duas raízes reais iguais. Se a >0 e a sequ-
ência (a,b,c) é uma progressão aritmética de razão 3 , 
então o gráfico de f corta o eixo das ordenadas no ponto
a) (0, 2 + 3 )
b) (0, 1 - 3 )
c) (0, 3 )
d) (2 - 3 , 0)
e) (2 + 3 , 0)
08) (Ueg 2019) As raízes da função quadrática y = ax² + bx 
+ c são -1 e 3. Sabendo-se que o vértice é o ponto (1, -4) 
os valores de a, b e c são, respectivamente: 
a) -1, -2 e -3 d) 1, 2 e 3
b) 1, -2 e -3 e) -1, -2 e 3 
c) 1, 2 e -3 
01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia 
um alvo desenhado. Quando estava exatamente 25 m acima 
do alvo, soltou uma bomba que caiu em queda livre forman-
do uma trajetória parabólica. Se a bomba caiu 5 m distante 
do alvo, qual a função que descreve a trajetória da bomba?
a) y = –x2 + 25 d) y = –x2 +10x – 25
b) y = x2 – 25 e) y = –10x2 + 50x – 60
c) y = x2 – 10x + 25
02. (Fuvest 2019) Considere a função polinomial f: →  
definida por f(x) = ax² +bx + c em que a, b, c  e a 0. No 
plano cartesiano xy, a única intersecção da reta y = 2 com o 
gráfico de f é o ponto (2; 2) e a intersecção da reta x = 0 com 
o gráfico de f é o ponto (0; 6). O valor de a + b + c é 
a) -2 d) 4
b) 0 e) 6
c) 2 
03. (FURB-SC) O gráfico abaixo representa uma função 
quadrática: y = ax2 + bx + c. Os valores de a, b e c, respec-
tivamente, são:
a) – 1, – 2 e – 1 
b) 1, – 2 e 1 
c) – 1, – 2 e 1
d) – 1, 2 e – 1
e) 1, 2 e 1
Pr
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ida
 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia 
Pr
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 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia 
um alvo desenhado. Quando estava exatamente 25 m acima 
Pr
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um alvo desenhado. Quando estava exatamente 25 m acima 
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do alvo, soltou uma bomba que caiu em queda livre forman
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do alvo, soltou uma bomba que caiu em queda livre forman
do uma trajetória parabólica. Se a bomba caiu 5 m distante Pr
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do uma trajetória parabólica. Se a bomba caiu 5 m distante 
do alvo, qual a função que descreve a trajetória da bomba?P
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do alvo, qual a função que descreve a trajetória da bomba?
a 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia a 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia c
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EXERCÍCIOS 
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EXERCÍCIOS 
01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia 
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01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia 
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, Gabarito
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1. A
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1. A 2. B
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2. B
6. A
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6. A
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07. (Vunesp) Considere os conjuntos A e B:
A = {– 30, – 20, – 10, 0, 10, 20, 30}
B = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}, e 
a função f: A → B, f(x) = x² + 100
O conjunto imagem de f é:
a) {– 30, – 20, – 10, 0, 10, 20, 30}.
b) {100, 200, 500, 1000}.
c) {300, 400, 600, 700, 800, 900}.
d) {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}.
e) conjunto vazio.
08. (UFPE) Um laboratório farmacêutico, após estudo do 
mercado, verificou que o lucro obtido com a venda de x 
milhares do produto A era dado pela fórmula: L (x) = 100 
· (12.000 – x) · (x – 4.000).
Analisando-se as afirmações, indique a soma da(s) pro-
posição(ões) CORRETA(S).
01. o laboratório terá lucro para qualquer quantidade ven-
dida do produto A.
02. o laboratório terá lucro, se vender mais