HIDROSTÁTICA Lei Hidrostática de Pressões

Prévia do material em texto

Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐1 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
3. HIDROSTÁTICA 
3.1. Lei Hidrostática de Pressões 
“There are no shear stresses in fluids at rest; hence only normal pressure forces are present. Therefore the pressure 
at any point in a fluid at rest is the same in every direction”. 
A hidrostática ocupa‐se do estudo de fluidos em repouso, razão pela qual a força de contacto 
exercida  sobre  uma  área  tem  apenas  a  componente  vertical  (normal).  Designa‐se  por 
pressão a força aplicada por unidade de superfície (área). 
Admitindo  um  corpo  de  volume ∀,  limitado  pela  superfície  A,  mergulhado  numa  massa 
líquida;  e  considerando  que  dA  representa  um  elemento  de  área  nessa  superfície  e  dF  a 
força perpendicular que actua sobre a área elementar (dA), ver Figura 3.1, a pressão (p) é 
expressa por: 
dA
dFp =   (3.1)
 
Atenção:  a  força  é  sempre  perpendicular  a  superfície, 
conforme ilustra a figura ao lado. 
Quando  se  considera  toda  a  área,  o  efeito  da  pressão 
produzirá uma força resultante (impulsão ou pressão total) 
que é obtida pela equação: 
∫=
A
pdAπ , ou quando a pressão é a mesma em toda a 
área  pA=π . 
Figura 3.1 – Representação da pressão exercida sobre uma área elementar. 
De acordo com a lei de Pascal (estabelecida por Leonardo da Vinci) “em qualquer ponto 
no interior de um líquido em repouso, a pressão é a mesma em todas as direcções”. 
Vamos  demonstrar  a  lei  considerando  um  prisma  imaginário  de  dimensões  elementares: 
comprimento  dx,  altura  dz  e  espessura  dy  (ver  Figura  3.2).  O  p  é  a  pressão  média  em 
qualquer direcção no plano de papel, px e pz são, respectivamente, as pressões médias nas 
direcções horizontal e vertical. 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐2 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
 
 
x = ρ cosθ 
z = ρ senθ 
22 zx +=ρ
 
x
zarctg=θ  
(a)  Pressão  nas  faces  perpendiculares  ao  plano  do 
papel 
(b) Revisão básica da trigonometria 
Figura 3.2 – Prisma imaginário no interior de um líquido em repouso. 
Pelo facto do prisma estar em equilíbrio, o somatório das forças é nulo. 
Portanto, para direcção de X: 
 
 
Deste modo,  
senθdypddydzpx ρ= , com  ρddzsen θ =  
ρρ d
dzdypddydzpx =  
pdydzdydzpx =  
ppx =  
Para direcção de Z: 
0=zFΣ  
Deste modo,  
dxdydzθcosdypddxdypz γρ 2
1+= , com  ρd
dx
θcos =  
O  terceiro  termo  ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ dxdydzγ
2
1 é  de  ordem  superior  em  relação  aos  outros  dois  termos  e 
pode ser desprezado1. 
 
1  Nota:  na  demonstração  acima  desprezou‐se  o  peso  pelo  facto  do  prisma  ser  de  dimensões  elementares.  A  força 
correspondente ao peso do triângulo é dada por: γ*área do prisma triangular*largura (i.e.  γ*½ dxdz*dy). 
↓→½γdxdzdy 
0=xFΣ
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐3 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
ρρ d
dxdypddxdypz =  
pdxdydxdypz =  
ppz =  
Finalmente, tem‐se que 
  ppp zx ==  
Nota: na demonstração acima desprezou‐se o peso pelo facto do prisma ser de dimensões elementares. 
De acordo com a lei de Stevin (pressão exercida por uma coluna líquida) “a diferença de 
pressões entre dois pontos de massa de um líquido em equilíbrio é igual à diferença 
de profundidade multiplicada pelo peso volúmico do líquido (e.g. γágua = 9800 N/m3)”. 
 
O  somatório  das  forças  que  actuam,  na 
vertical, sobre o prisma deve ser: 
0=yFΣ  
Logo, 
021 =−+ AphAAp γ  
hpp γ=− 21  
hpp =−γ
21
 
Figura 3.3 – Ilustração da pressão exercida, por uma coluna líquida em repouso, num prisma ideal. 
Finalmente, importa referir que a Hidrostática estuda fluidos em repouso, considerando a 
massa volúmica constante (ρ = constante). 
Portanto,  de  acordo  com  a  Lei  Hidrostática  de  Pressões,  a  pressão  num  líquido  em 
repouso será: 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐4 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
tetanconszp =+γ  ou  tetanconszpg =+ρ
1
 
(3.2)
onde: 
p – pressão num dado ponto (Pascal ou N/m2). Nota: 1 kgf/m2 = 9,8 N/m2 e  
1 bar = 1,012*105 N/m2; 
z – cota geométrica do ponto, a que se refere a pressão, em relação a um plano horizontal de 
referência (m); 
γ – peso volúmico (N/m3); 
zp +γ –  cota  piezométrica  em  relação  a  um  plano  horizontal  de  referência  (assume  uma 
valor constante em todos os pontos de um líquido) (m); e   γ
p
 é altura piezométrica (ou de 
pressão) (m). 
3.1.1. Pressões Absolutas e Relativas 
Entre a pressão absoluta e relativa existe a seguinte relação: 
aatmosféricrelativaabsoluta ppp += (3.3)
A pressão  exercida na  superfície  de  um  líquido  é  exercida pelos  gases  sobrejacentes  (e.g. 
pressão atmosférica). 
Considerando a pressão atmosférica (ver Figura 3.4), tem‐se a seguinte situação: 
11 hpp a γ+=  
 
212 hpp γ+=  
 
( )212 hhpp a ++= γ  
Figura 3.4 – Representação da pressão num ponto no interior de um líquido em repouso. 
Na  hidráulica,  geralmente,  trabalha‐se  com  pressões  relativas  (também  pode  receber  a 
designação de pressão manométrica ou pressão efectiva) visto que o que interessa calcular 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐5 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
ou medir é a diferença de pressão entre os pontos. Assim, como a pressão atmosférica actua 
de  igual modo  em  todos  os  pontos  é  comum  não  ser  considerada.  Ver  a  Figura 3.5  que 
corresponde à uma situação em que se pretende determinar a pressão exercida pela massa 
líquida na parede do reservatório. 
 
Figura 3.5 – Pressão exercida pelo líquido, em repouso, na parede do reservatório. 
Como a pressão atmosférica actua de ambos os lados da parede, ela anula‐se no ponto π. 
Nota  Importante:   no caso de estudo dos gases a pressão atmosférica deverá ser  sempre 
considerada.  Saliente‐se  que  a  pressão  atmosférica  normal  (i.e. 
correspondendo  ao  nível  médio  do  mar)  assume  o  valor  de 
1,012x105  N/m2  (1,033x104  kgf/m2)  que  equivale  à  uma  altura  de 
coluna de água de 10,33 m (i.e.,  3310,pa =γ m). 
Exercício 3.1 (modificado de Quintela, 2005: 14) 
Considere um reservatório de água, com superfície  livre à pressão atmosférica normal, no 
qual mergulham os extremos de um tubo em U invertido, cheio de água (ver Figura 3.6). 
 
Figura 3.6 – Reservatório com tubo em U invertido (cheio de água). 
a) Calcular a pressão (absoluta e relativa) no ponto A no interior do tubo, situado 6,0 m 
acima da superfície livre. 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐6 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
b) Calcular a altura máxima h para que não haja vaporização da água no ponto B (ev = 
2450 N/m2). 
Resolução: na sala de aulas. 
3.1.2. Medição das Pressões: Tubo Piezométrico e Manómetros 
A técnica mais simples para medição da pressão consiste no uso de um tubo piezométrico 
(também conhecido como piezómetro). 
Para  o  caso  de  escoamento  sob  pressão  no  interior  de  um  conduto  (i.e.  escoamento  de 
líquido sem superfície livre), a altura piezométrica ( γ
p
) corresponde à altura a que subiria 
a superfície livre do líquido (acima do conduto), num tubo (geralmente vertical) de pequeno 
diâmetro  (convém que  o  diâmetro  seja > 1 cm  para  ser  desprezável  os  efeitos  da  tensão 
superficial ou da capilaridade) designado por tubo piezométrico (ver Figura 3.7).  
 
Figura 3.7 – Ilustração do tubo piezométrico inserido num conduto horizontal. 
Manómetro  é  um  instrumento  utilizado  para  medir  a  pressão.  Utiliza‐se  uma  coluna  de 
líquido  para  medir  a  diferença  de  pressão  entre  um  ponto  e  a  atmosfera,ou  entre  dois 
pontos, dos quais nenhum está à pressão atmosférica.  
O  tubo  piezométrico  supracitado  só  é  aplicável  em  situações  em  que  se  pretende  medir 
pequenas pressões (manométricas) em líquidos (ver Figura 3.7). Porém, quando se trata de 
pressões elevadas é preciso recorrer a manómetros de líquido. 
O manómetro  de  coluna  líquida  (técnica muito  antiga)  pode  ser  simplesmente  um  tubo 
transparente  com  a  forma  de U  no  qual  se  coloca  uma  certa  quantidade  de  líquido  (ver 
Figura 3.8). O líquido introduzido no tubo terá que respeitar às seguintes condições: 
i) ser  imiscível  com  o  líquido  (cuja  pressão  se  pretende  medir)  que  se  encontra  no 
conduto ou recipiente; 
ii) possuir densidade superior a do líquido que se encontra no conduto ou recipiente. 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐7 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
Os manómetros de coluna líquida podem ser em U (só assim será possível medir pressões 
negativas) ou ter uma única coluna que pode ser vertical ou inclinada. 
 
 
Figura 3.8 – Ilustração do manómetro (de líquido) em U. 
Questão: Como determinaria as pressões em X, Y e a pressão p (a pressão na linha média do 
conduto) do líquido A no interior do conduto? 
A pressão em X:  pghphp aAaX +=+= ργ  
A pressão em Y:  bBby ghhp ρ=γ= (porque a extremidade do tubo está em contacto com 
a atmosfera) 
A pressão no interior do condutoℜ, p:  bBaAyx ghpghpp ρρ =+⇔=  
Para  aprofundar  este  assunto deverá  consultar,  por  exemplo  Azevedo Netto  et  al.  (1998: 
27‐29)  e  Massey  (2002:  83‐84).  O  último  autor  descreve  (ver  p.  90‐91)  um  outro 
dispositivo usado na medição de pressão, o barómetro. 
 
ℜ Quando o fluído A é gasoso e o B líquido, pode‐se desprezar o ρA. 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐8 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
 
Figura 3.9  – Manómetro.  (a)  Para medir  diferença  de  pressão Δp  em  líquidos  ou  gases.  (b)  Para 
medir Δp nos líquidos apenas (adaptada de Daugherty et al., 1985: 36). 
 
3.1.3. Prensa hidráulica e o Macaco hidráulico 
O facto de um aumento de pressão, num fluído confinado, ser  transmitido uniformemente 
através  do  fluído,  é  aproveitado  em  dispositivos  hidráulicos  (e.g.  prensa  hidráulica  e  o 
macaco hidráulico) (Massey, 2002: 84‐85). 
 
Figura 3.9 – Prensa hidráulica. 
Ao aplicar uma pequena força Fa sobre um pistão de área Aa (ver Figura 3.9) exerce‐se um 
força FB, sobre um pistão de área AB, sujeitando‐o a uma pressão  BB A/Fp = . 
a
B
aB
a
a
B
B
A
AFF
A
F
A
F =⇔=  
(3.4)
 
γγ
B
BA
A pzsyzp =+−−
 
syzzpp BABA +−=− γγ
 
syypp BA +−=− γγ 
 
( )yspp BA 1−=− γγ 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐9 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
3.2. Impulsão Hidrostática 
Por  impulsão hidrostática  (ou simplesmente  impulsão) entende‐se a  força aplicada sobre 
superfícies mergulhadas. 
Aspectos a ter em consideração: 
ƒ a pressão do líquido provoca forças sobre a superfície com a qual contacta; 
ƒ as forças distribuídas sobre a superfície têm uma resultante (é esta força resultante 
que na prática interessa determinar a grandeza, a direcção e a linha de acção); 
ƒ quando a  superfície é plana e horizontal,  o  contacto  com o  líquido em repouso dá 
origem  à  uma  força  resultante  (ou  força  total)  que  corresponde  ao  produto  da 
pressão (p) pela área da superfície (A) (ver Figura 3.10) 
ghApA ρπ ==   (3.5)
 
 
Nessa situação:  i) a direcção de actuação da 
força  é  perpendicular  ao  plano  (no  sentido 
do  fluído  para  o  plano);  ii)  o  ponto  de 
actuação da força é o centróide♣ (≈ centro de 
gravidade) do plano. 
Figura 3.10 – Pressão e impulsão sobre superfície horizontal. 
ƒ quando a superfície não é horizontal, a pressão varia de ponto para ponto, sobre a 
superfície, e o cálculo da força total (impulsão) é menos simples. 
 
♣ O centróide do volume, corresponde ao centro de impulsão, depende da forma do volume considerado. Importa referir que 
não é  exactamente o mesmo que o  centro da gravidade  do  corpo que depende do modo  como o peso está distribuído pelo 
corpo (ver Massey, 2002: 116). 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐10 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
3.2.1. Impulsão sobre superfície plana 
Considere uma superfície plana, mergulhada num líquido em repouso, que faz um ângulo θ 
com a superfície livre do líquido (ver Figura 3.11). 
 
Figura 3.11 – Impulsão hidrostática sobre superfície plana inclinada. 
Questão: como determinar a força resultante (impulsão) sobre uma superfície plana 
e inclinada? 
Regras básicas: 
1. considerar que o eixo Oy coincide com o plano inclinado; 
2. o eixo Ox é perpendicular ao eixo Oy (i.e. Ox é perpendicular ao plano inclinado); 
3. ter  em  atenção  que  qualquer  área  elementar  (ou  porção)  da  superfície  submersa 
está sob a acção de uma força devido à pressão do líquido; 
4. saber  que  sobre  qualquer  porção  de  superfície  (superfície  elementar)  dA 
mergulhada a uma profundidade h actua uma pressão p que é dada por  ghp ρ= . 
Logo, a força correspondente sobre a porção da superfície será: 
AghAp ∂=∂=∂ ρπ , com  θysenh =   (3.6a)
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐11 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
Agysen ∂=∂ θρπ   (3.6b)
onde:  π∂ é  a  força  elementar;  h  é  a  profundidade  da  porção  da  área  A∂ que  se 
relaciona com a coordenada y por  θysenh = . 
5. ter  presente  que  não  são  exercidas  forças  tangenciais  sobre  o  plano  da  superfície 
porque  o  líquido  está  em  repouso.  Logo,  a  força  é  perpendicular  ao  elemento  (ou 
porção)  da  superfície  que  por  ser  plana  faz  com  que  todas  as  forças  elementares 
sejam paralelas entre si. 
Portanto, a força total (impulsão hidrostática) que actua num dos lados da superfície plana 
vem expressa da seguinte maneira: 
AygsenAgysen
AA
∂∫=∂∫= θρθρπ   (3.7a)
Nota:  Ay
A
∂∫  é o momento estático da área e respeita a condição  
0AyAy
A
=∂∫   (3.7b)
onde: A é a área total e y0 ( )y ,x  a coordenada (ou posição) do centro de gravidade. 
Finalmente,  
AhgAygsen ρθρπ == 0 , com  0ysenh θ=   (3.7c)
Além  dos  aspectos  supracitados,  é  preciso  conhecer  a  linha  de  acção  da  força  total 
(perpendicular ao plano) e determinar o ponto no qual a linha de acção da força encontra o 
plano. Este ponto designa‐se por Centro de Impulsão (CI) ou Centro de Pressão. 
A distância que separa o CI da superfície é medida sobre o plano inclinado e é igual a: 
distância ao centro de gravidade + uma distância d  (3.8a)
 
0Ay
Id 'GG=   (3.8b)
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐12 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
onde:  IGG’  é o momento de  inércia2 da área da superfície plana em relação ao eixo 0x, A  a 
área da superfície e  0y a coordenada do centro de gravidade (medida, desde a superfície, 
sobre o plano – vertical ou inclinado – em que se encontra a placa). 
Quintela (2005: 22) apresenta uma tabela com a posição do centro de gravidade, área e o 
momento de inércia para várias figuras planas. 
QUADRO 3.1 – Momento de inércia (IGG’) e área de formas geométricas comuns. 
Designação  Esquema  Área (A)  IGG’ 
Rectângulo 
 
 
ba   12
3baI 'GG =  
Triângulo  ba2
1
 
36
3baI 'GG =  
Círculo 
 
2Rπ   4
4RI 'GG
π=  
Semicírculo 
 
( )
8
2 2Rπ
  8
4Rπ
 
Parábola 
 
bh
3
2
 
3
2
hb  
 
2 Momento de inércia mede a distribuição damassa de um corpo em torno de um eixo de rotação. 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐13 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
3.2.1.1. Impulsão sobre superfície plana premida em duas faces 
No  caso  de  superfícies  planas  premidas  nas  duas  faces  (i.e.  nos  dois  lados)  pelo  mesmo 
líquido  e  com  superfície  livre  do  líquido  exibindo  uma  diferença  de  nível hs  (ver  Figura 
3.12), a resultante das forças de pressão será: 
( ) dAhdAppdF sγ=−= 12   (3.9)
onde: γ e hs são constantes. 
 
Figura 3.12 – Superfície plana(a) e vertical premidas nas duas faces. 
A  impulsão  resultante,  com o ponto de aplicação  (centro de  impulsão)  coincidente  com o 
centro de gravidade da superfície, é expressa pela equação: 
Ahsγπ =   (3.10)
A equação (3.10) só é valida quando se despreza a espessura da superfície onde é exercida a 
impulsão excepto quando se trata de parede vertical. 
3.2.2. Impulsão sobre superfície curva 
Ao  contrário  do  que  acontece  com  a  superfície  plana,  no  caso  das  superfícies  curvas  a 
resultante  do  sistema  de  forças  de  pressão  não  é  uma  força  única.  Nesse  caso  tem‐se: 
impulsão vertical (πv) e impulsão horizontal (πh).   
O  cálculo  da  impulsão  hidrostática  numa  superfície  curva  tem  procedimento  diferente 
relativamente  ao  caso  das  superfícies  planas  (não  se  trata  de  algo  complexo  como  vem 
referido  em  muitos  livros!  É  apenas  diferente!).  O  procedimento  é  diferente  devido  aos 
seguintes factos: 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐14 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
1) as forças que actuam sobre áreas elementares (porções da superfície) não são todas 
paralelas; 
2) como  as  forças  não  são  paralelas  a  simples  soma  algébrica  das  respectivas 
grandezas não tem significado; 
3) apenas podem ser somadas as componentes das forças actuantes, segundo direcções 
especificadas,  separadamente  de  modo  a  calcular  as  componentes  da  força 
resultante; 
4) é  necessário  determinar  as  componentes  horizontal  e  vertical  da  força  resultante 
(total). 
Analisemos  os  casos  ilustrados  nas  figuras  seguintes  (Figura  3.13,  3.14)  para  melhor 
compreender a situação. 
   
 
 
(a) Impulsão sobre superfície curva   (b) Componente vertical e 
horizontal da impulsão 
(c)  Volume  vertical  (∀L)  e  a  projecção 
ortogonal da área (Apo) 
Figura 3.13 – Impulsão hidrostática sobre superfície curva. 
A impulsão vertical (πv) 
A componente vertical da  impulsão  é  igual  ao peso do volume de  líquido  (∀L) delimitado 
pela  superfície premida, pelas projectantes verticais  tiradas pelo  contorno da  superfície e 
pela superfície livre (vide equação de πv na Figura 3.13b). 
Lv ∀=γπ (3.11)
A impulsão horizontal (πh) 
A  componente  horizontal  da  impulsão  é  igual  à  impulsão  hidrostática  exercida  sobre  a 
superfície  plana  correspondente  à  projecção  ortogonal  da  superfície  curva  num  plano 
perpendicular (vide equação de πh na Figura 3.13b). 
∀L Apo 
 α+β = 90 ºC 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐15 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
poCGh Ahγπ = (3.12)
onde:  hCG  é  altura  da  coluna  do  líquido  até  a  centro  da  gravidade  da  superfície  plana 
correspondente à projecção ortogonal da superfície curva, Apo é a área da superfície plana 
correspondente à projecção ortogonal da superfície curva, conforme indica a Figura 3.13b. 
A impulsão resultante ( força total ou global, π) 
A  impulsão  resultante,  quando  as  componentes  horizontal  e  vertical  da  força  são 
coplanares3, obtém‐se através da equação: 
22
hv πππ += (3.13)
A direcção da  impulsão é determinada através do ângulo  formado com o plano horizontal 
(ver Figura 3.13a): 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
h
vtg π
πβ , sendo ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
h
varctg π
πβ    (3.14)
O caso anterior (representado na Figura 3.13) refere‐se à uma comporta côncava. Iremos 
agora  analisar  uma  situação  correspondente  à  impulsão  exercida  sobre  uma  superfície 
cilíndrica convexa. 
 
3 Forças que actuam no mesmo plano. 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐16 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
 
 
 
(a) Impulsão sobre superfície cilíndrica   (b) Forças actuantes 
   
(c) Volume (∀L1) correspondente a força vertical πv1  (d) Volume (∀L2) correspondente a força vertical πv2 
Figura 3.14 – Impulsão hidrostática sobre superfície curva. 
A impulsão vertical (πv) 
De acordo com a Figura 3.14c, d: 
   21 vvv πππ −= , com  11 Lv ∀= γπ e  22 Lv ∀= γπ   (3.15)
A impulsão horizontal (πh) 
De acordo com a Figura 3.14b: 
21 hhh
πππ −= , com   111 poCGh Ahγπ =  e  222 poCGh Ahγπ =   (3.16)
onde:  hCG  é  altura  da  coluna  do  líquido  até  a  centro  da  gravidade  da  superfície  plana 
correspondente à projecção ortogonal da superfície curva, Apo é a área da superfície plana 
correspondente à projecção ortogonal da superfície curva. 
Nota: resolva os exercícios da Fichas 2B. Após a resolução poderá considerar‐se um expert 
no assunto ☺. 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐17 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
3.2.3. Impulsão sobre corpos mergulhados 
Conceitos a saber sobre impulsão sobre corpos mergulhados num líquido em repouso: 
ƒ um corpo total ou parcialmente mergulhado num líquido fica sob a acção de uma força 
global para cima (designada por impulsão); 
ƒ a  impulsão,  para  cima,  é  exercida  pelo  líquido  e  deve‐se  ao  facto  da  pressão  nas 
regiões inferiores do corpo (Finf) ser superior à pressão nas regiões superiores (Fsup) – 
ver Figura 3.15b; 
ƒ a impulsão não tem componente horizontal porque as forças exercidas pelo fluído em 
cada lado do corpo são iguais (equilibram‐se) – Figura 3.15b; 
 
(a) Corpo mergulhado com contorno ABCD   (b) Forças actuantes 
Figura 3.15 – Impulsão sobre corpo mergulhado. 
ƒ a força para cima (representada na Figura 3.15b por Fin, DAB) corresponde ao peso 
do volume do líquido delimitado pela linha DABX’XD; 
ƒ a  força  para  baixo  (exercida  na  superfície DCB)  corresponde  ao  peso  do  líquido  na 
região DCBX’X; 
ƒ o líquido exerce sobre o corpo uma força resultante para cima que é: 
( ) ( )( ) ( )( )X'DCBXlíquidopesoX'DABXlíquidopesoABCDemlíquidoPeso −=   (3.17a) 
ABCDABCD g∀= ρπ   (3.17b) 
 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐18 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
ƒ a impulsão é a resultante da força ascendente (para cima) exercida pelo líquido sobre 
o corpo ( corpog∀= ρπ ). De acordo com o “princípio de ARQUIMEDES”4, a impulsão 
exercida sobre um corpo mergulhado é igual ao peso do volume do líquido deslocado. 
Quando a impulsão é maior que o peso do corpo, este flutua; 
ƒ se o corpo estiver parcialmente mergulhado a impulsão será igual ao peso do volume 
da parte mergulhada (Figura 3.16); 
 
 
 
(a) Corpo parcialmente mergulhado  (b) Parte mergulhada 
Figura 3.16 – Impulsão sobre corpo parcialmente mergulhado. 
ƒ quando um corpo mergulhado não está apoiado, o equilíbrio apenas ocorre quando a 
impulsão sobre o corpo for rigorosamente equivalente ao seu peso. Se a impulsão for 
superior ao peso (e.g. o caso do balão no ar, bolha de ar na água) o corpo sobe até que 
a sua massa volúmica média seja equivalente a do fluído envolvente. 
3.2.4. Equilíbrio de corpos flutuantes 
Um  corpo  flutuante  apresenta,  necessariamente,  o  peso  inferior  ao  peso  do  volume  do 
líquido que pode deslocar.  
Portanto, para que o corpo flutue a sua massa volúmica tem que ser inferior a do líquido. 
Nesse caso, o peso total do corpo vai ser  igualao produto do volume submerso pelo peso 
volúmico (ou específico) do corpo. A porção submersa do corpo é designada, na literatura 
brasileira, por carena ou querena. 
É ainda comum designar‐se o centro de gravidade da parte submersa por centro de carena 
que corresponde ao ponto de aplicação da impulsão. 
Existem três estados possíveis de equilíbrio: 
i. Equilíbrio  estável  –  quando  sujeito  a  um  deslocamento  o  corpo  retoma  a  posição 
original; 
 
4 Site com ilustrações do princípio de Arquimendes: http://www.grow.arizona.edu/Grow‐‐GrowResources.php?ResourceId=197 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐19 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
ii. Equilíbrio instável – nesse caso o corpo não regressa a posição inicial, afastando‐se 
cada vez mais; 
iii. Equilíbrio  neutro  ou  indiferente  –  quando  sujeito  a  um  deslocamento  e  depois 
abandonado, permanece na nova posição (não regressa à posição original e nem se 
afasta). 
Para  garantir  o equilíbrio estável  dum  corpo  flutuante  é  necessário  que  se  cumpram  as 
seguintes condições: 
ƒ o centro de gravidade (CG) do corpo deve situar‐se abaixo da posição do metacentro 
(MC), i.e. CG < MC; 
m
'GGIMC ∀=  
(3.18)
onde:  MC  é  a  posição  do  metacentro,  IGG’  o  momento  de  inércia  da  área  que  a 
superfície do líquido intercepta no flutuante relativo ao eixo sobre o qual se supõe 
que  o  corpo  possa  virar,  ∀m  o  volume  da  parte  submersa  do  corpo  (volume  de 
carena). 
Quando o CG e MC coincidem o equilíbrio é neutro/indiferente. 
Nota:  para  ângulos  pequenos  (inferiores  a  15º,  fraca  inclinação  do  corpo)  a  variação  da 
posição  do  metacentro  não  é  significativa  podendo‐se  considerar  a  altura  metacéntrica 
constante  (a  variação  da  distância  entre  CG  e  MC)  (Azevedo  Neto  et  al.,  1998:  41‐44, 
Massey, 2002: 118‐131). 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐20 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
Exercício 1 
Considere um prisma rectangular de madeira com as dimensões  indicadas na Figura e de 
densidade 0,82. Verifique se o prisma flutuará em condições estáveis na posição indicada. 
 
 
Figura 3.17 – Corpo flutuante. 
Resolução: 
 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐21 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
Exercício 2 
Pretende‐se  colocar  uma  bóia  cilíndrica  de  80  kg,  com  1,50  m  de  altura  e  1,0  m  de 
diâmetro,  a  flutuar  com  o  eixo  na  vertical,  em  água  do  mar  com  massa  volúmica  1026 
kg/m3.  Agarrado  ao  centro  da  superfície  de  topo  da  bóia  está  um  corpo  com  10  kg  de 
massa.  Pretende‐se  mostrar  que  haverá  instabilidade  inicial,  com  a  bóia  a  flutuar 
livremente. 
 
 
Figura 3.18 – Corpo flutuante. 
Resolução: 
 
 
 
Ficheiro: Hidrostatica.doc           Pág. 3‐22 de 3‐22       ©Herlander MATA-LIMA, PhD 
REFERÊNCIAS 
AZEVEDO  NETTO,  J.M.,  FERNANDEZ  Y  FERNANDEZ,  M.,  ARAUJO,  R.,  ITO,  A.E.  (1998). 
Manual de Hidráulica. 8ª Edição, Editora Edgar Blücher, São Paulo. 
DAUGHERTY,  R.L.,  FRANZINI,  J.B.  &  FINNEMORE,  E.J.  (1985).  Fluid  Mechanics  with 
Engineering Applications. 8th Edition, McGraw‐Hill, New York. 
MASSEY, B.S. (2002). Mecânica dos Fluidos. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa. 
QUINTELA, A.C. (2005). Hidráulica. 9ª Edição, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa.