Equações+Algébricas+e+Trancedentes

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FACCI - FACULDADE DE CIÊNCIAS ADMINISTRATIVAS E CONTÁBEIS DE ITABIRA
CREDENCIADA PELO DECRETO DE 30/12/1994 - D.O.U. 31/12/1994
	Curso: Engenharia Ambiental/ Engenharia de Produção
	Tipo de atividade:Teoria/Exercícios
	Disciplina: Cálculo Numérico
	Professor: Maria Auxiliadora Lage
	Período/turma: 4º
	Data: --/---/2015
	Aluno(a):
	
	
Assunto: Equações Algébricas e Transcendentes
Introdução
Se a função f (x) só contém operações algébricas repetidas um número finito de vezes, a equação é dita algébrica. Ex: 
Dizemos que 
é uma raiz, ou zero de uma função 
se 
.
Seja 
. Encontre as raízes da equação algébrica 
.
Dada a função real
. Trace o gráfico da função destacando:
O ponto de interseção da parábola com os eixos cartesianos;
As coordenadas do vértice.
O conjunto imagem da função.
Encontre as raízes ou zeros das funções: 
Utilize a aritmética com arredondamento para quatro dígitos e as fórmulas do exercício acima para encontrar os valores aproximados mais precisos para as raízes das equações quadráticas a seguir:
Resolva a equação 
Equações Transcendentes são aquelas em que a variável independente x está submetida a uma operação não algébrica um número finito de vezes. Ex: 
Nestes casos precisamos de um método numérico para encontrar uma estimativa para a raiz da função estudada, ou seja, um valor tão aproximado quando se deseje.
Isolamento de raízes (etapa I)
Teorema de Bolzano : Seja 
 uma função contínua num intervalo 
. Se 
 então existe pelo menos um ponto 
 entre 
 e 
 que é zero de 
.
Seja a função
. Podemos calcular o valor de f(x) para valores arbitrários de x, como mostrado na tabela abaixo:
	x
	1
	2
	3
	4
	f(x)
	
	
	
	
A raiz 
 será definida e única se a derivada 
 existir e preservar o sinal dentro do intervalo 
.
Graficamente:
Uma forma de se isolar as raízes de 
 usando resultados anteriores é tabelar 
 para vários valores de 
 e analisar as mudanças de sinal de 
 e o sinal da derivada nos intervalos em que 
 mudou de sinal.
Localização das raízes: Método gráfico
	Para localizar uma vizinhança para a raiz de f(x), traçamos o gráfico de f(x); assim, os pontos em que este corta o eixo das abscissas nos informam a raiz (as raízes) e f(x).
	Podemos ainda transformar a equação f(x)=0 na forma equivalente, na igualdade de outras funções 
. Os pontos de interseção dos gráficos 
 serão as raízes procuradas, conforme o exemplo abaixo.
Considere a equação 
, podemos escrever a equação da forma equivalente 
, isto é 
, com 
, conforme gráfico abaixo.
Observando a figura vemos que a raiz se encontra na interseção dos gráficos de 
.
Métodos numéricos para resolução de equações 
Método da bisseção 
Considere a unção f:R(R uma função contínua. Desejamos resolver a equação 
, isto é, determinar uma solução 
real tal que 
.
O método da Bisseção é baseado no Teorema do Valor Intermediário, o qual afirma que se uma função é contínua no intervalo [a,b], e satisfaz a condição 
, valores de 
e 
com sinais opostos, então existe 
tal que 
, isto é, existe ao menos uma raiz no intervalo [a,b], conforme ilustrado na figura a seguir.
	Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a; b] e tal que f (a) .f (b) < 0, ou seja, f satisfaz as condições do
Teorema 1.
Suponha que o intervalo (a; b) contenha uma única raiz da equação f (x) = 0. O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida, neste caso (b - a) <
, usando para isto a sucessiva divisão de [a; b] ao meio.
A sequencia de intervalos será calculada, até que a amplitude do intervalo seja menor do que a tolerância 
 preestabelecida.
Essa sequência de iterações aproximadas é convergente para a solução desejada, uma vez que os intervalos são divididos pelos pontos médios correspondentes e são renomeados de forma que a raiz permaneça dentro do intervalo. 
	
O número de iterações necessárias para se obter uma raiz 
 da equação 
, pelo Método da Bisseção com precisão 
, previamente fixada é : 
Algoritmo da Bisseção:
Calcule estimativa de iterações
.
Entre com os valores iniciais numa tabela a e b e calcular as imagens para verificar se a raiz está no intervalo.
	a
	b
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Dado f (x), a e b tais que f (a) .f (b) < 0, max, 
1. Para k = 0 até k = max faça
2. 
3. Se f (a) . f (xk ) < 0 então
4. b = xk
5. Caso contrário
6. a = xk
7. Fim do condicional
8. Se 
 então
9. PARE, 
é a raiz aproximada de f (x)
10. Fim do condicional
Participe da Resolução
Aplique o método da Bisseção para encontrar a raiz de f (x) = x3 - 9x + 3 no intervalo I = [0; 1],para 
Usando o método da bisseção resolva a equação
 com uma precisão 
. Localize graficamente uma vizinhança para a raiz.	R: n= 5,6 e 
=0,3574
Ache uma raiz da equação 
, 
, 
por bisseção. R: -0,1132
Método de Newton ou Método das Tangentes
O método de Newton combina duas ideias comuns nas aproximações numéricas: linearização e iteração. A linearização substitui a curva y = f (x) por sua reta tangente.
Seja x0 uma aproximação inicial da raiz, como ilustra a Figura. Aproximando a curva y = f (x) por sua reta tangente traçada no ponto (x0; f (x0)) obtemos a aproximação linear. Encontrando o ponto de interseção desta reta com o eixo x, obteremos uma nova aproximação para a raiz, o ponto x1 da figura.
A equação da reta que passa pelos pontos de abscissa
é obtida por meio da equação 
(1), onde 
 representa o coeficiente angular da reta ou a derivada da função no ponto, então 
A nova aproximação
 é obtida fazendo y = 0 na equação (1) e substituindo o valor de 
. Logo, 
 desenvolvendo essa equação encontraremos 
 para qualquer k=1,2,3,4,...
A escolha da aproximação inicial se dá pelo teorema:
Se 
e 
não forem nulas e preservarem o sinal em [a,b], então partindo-se de uma aproximação inicial 
tal que 
 é possível gerar pelo método de Newton, uma sequência 
que convirja para a raiz 
de 
.
Algoritmo do Método de Newton:
Definir as funções f(x); f’(x) e f”(x).
Calcular f’(a) . f”(a) ; f’(b) . f”(b). Verifique qual valor de x permite que
 e escolha 
 uma solução inicial. 
Entrar com os valores iniciais numa tabela a e b e calcular as imagens.
	xk
	f( xk)
	f’(x)
	
	Critério de parada 
	a
	
	
	
	
	b
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Dados 
, o intervalo inicial [a,b]que contenha a raiz, isto é,
. Faça Pare= Falso, k=0
Enquanto Pare= Falso faça: 
 
Se 
então Pare= Verdade. Se
Se 
então Pare = Verdade. Se não k=k+1
Participe da Resolução
Aplique o método de Newton-Raphson, para encontrar a raiz 
 tomando x0 = 0,5 para 
.
Determinar pelo método de Newton-Raphson, com precisão 
em no máximo de 10 iterações, a raiz da equação 
sendo que a raiz pertence ao intervalo [0,1].
A desvantagem do método de Newton está no fato de termos de calcular a derivada da função e, em cada iteraçãoo, calcular o seu valor numérico, pode ser muito caro computacionalmente. Além disso, a função pode ser não diferenciável em alguns pontos do domínio.
Método da Secante ou método das cordas
No método da Secante, tomamos a reta que passa pelos pontos (x0; f (x0)) e (x1; f (x1)) como uma aproximação linear da curva y = f (x).
Para estabelecermos a relação de recorrência do Método da Secantes, usamos a semelhança de triângulos ABC e AED:
onde x2 é o ponto denotado por A na Figura . Explicitando o valor da incógnita x2 teremos:
Ou 
Algoritmo do Método de Cordas:
Entra com os valores iniciais numa tabela a e b e calcular as imagens para verificar se a raiz está no intervalo.x
	F(xk)
	
	Critério de parada 
	a
	
	
	
	b
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Dados 
, i o intervalo inicial [a,b]que contenha a raiz, isto é
. Faça Pare= Falso, k=0
Enquanto Pare= Falso faça: 
 
Se 
então Pare= Verdade. Se
Se 
então Pare = Verdade. Se não k=k+1
Participe da Resolução
Aplique o método das Secantes para encontrar a raiz de 
tomando x0 = 0 e x1 = 1, para 
.
Use o método de cordas para determinar a raiz positiva da equação 
em 
 com 
.
Encontre a raiz da equação 
em 
 com 
.
Considere a equação 
. Usando o Método de Cordas com 
resolva a equação com 
.
Lista - Para entregar dia -----------
Use o método da bisseção para calcular a raiz da a equação 
, situada no intervalo (1,2), com 
.		R; 
=1,44
Calcular pelo menos uma raiz das equações abaixo, com 
, usando o método da bisseção:
,
, 
 R: 
= -2,000
,
, 
 R: 
=0,399
Calcular pelo menos uma raiz das equações abaixo, com 
, usando o método de Newton:
,
, 
 R: -2,3542
,
, (observe o gráfico da função abaixo e determine a menor raiz positiva da equação) R: 1,3063
,
, 
 R: -1,2711
,
, 
 R: -3,000
Use o método das cordas para determinar a raiz da equação:
 
, sendo que 
, aproximação de 0,0001 
,
 (observe o gráfico da função abaixo) 
 R: 
 =0,3161
,
, 
 R: 
=-1,0299
Encontre a raiz da equação 
, para 
 com tolerância de 
 usando o método que você julgar ideal.		Resposta: 
x~1,48
Você está projetando um tanque esférico para armazenar a água para uma pequena vila em uma região em desenvolvimento O volume do líquido que ele armazena pode ser calculado por: 
, onde V é o volume em m3, h é a profundidade da água no tanque (m) R é o raio do tanque (m). Se R=3m, até que profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene 30 m3? Use três iterações do método da secante para determinar sua resposta. 
Calcular pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com 
, usando o método das cordas:
,
, 
 R: 4,469
,
( observe o gráfico e determine a raiz positiva da equação) 		R:0,581 
,
, 
 R:0,8581
,
, 
(observe o gráfico abaixo)
R:2,2191
Referências Bibliográficas
BARROSO, L. C.; BARROSO, M. M. A.; CAMPOS FILHO, F. F.; CARVALHO, M. L. B.; FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: [s.n.], 2009. 505
Cantão, L. A. P. Cálculo Numérico e Computacional CNC. UNESP. Sorocaba, 2007.
Disponível em: < http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CNC/apostila.pdf>
Acesso em: 31jul 2015
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