Questão resolvida - Qual a área da região sob a curva yx senx e o eixo x no intervalo [0,]_ - área entre curvas - Cálculo I

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• Qual a área da região sob a curva e o eixo no intervalo ?y = xsen x( ) x 0,π[ ]
 
Resolução:
 
Vamos definir a região graficamente, substituindo valores dos ângulos notáveis;
 
Relação 
trigonométrica/
ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
 
Se x = 0 y = 0 ⋅ sen 0 y = 0 Ponto 0, 0→ ( ) → → ( )
 
Se x = ≅ 0, 52 y = ⋅ sen y = ⋅ = y ≅ 0, 26 Ponto 0, 26; 0, 52
𝜋
6
→
𝜋
6
𝜋
6
→
𝜋
6
1
2
𝜋
12
→ → ( )
 
Se x = ≅ 0, 79 y = ⋅ sen y = ⋅ = y ≅ 0, 56 Ponto 0, 56; 0, 79
𝜋
4
→
𝜋
4
𝜋
4
→
𝜋
4 2
2 𝜋
8
2
→ → ( )
 
 
 
Se x = ≅ 1, 05 y = ⋅ sen y = ⋅ = y ≅ 0, 91 Ponto 0, 91; 1, 05
𝜋
3
→
𝜋
3
𝜋
3
→
𝜋
3 2
3 𝜋
6
3
→ → ( )
 
Se x = ≅ 1, 57 y = ⋅ sen y = ⋅ 1 = y ≅ 1, 57 Ponto 1, 57; 1, 57
𝜋
2
→
𝜋
2
𝜋
2
→
𝜋
2
𝜋
2
→ → ( )
Com esses pontos, podemos traçar a região que devemos saber a área, como visto na 
sequência;
Essa área é dada pela seguinte integral;
 
A = xsen x dx
0
∫
𝜋
2
( )
 
Agora, vamos aplicar integral por partes na integral em sua forma indefinida, a definição de 
integral por partes é;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
 
igualamos então:
u = x du = dx e dv = sen x dx v = sen x dx v = -cos x→ ( ) → ∫ ( ) → ( )
 
 
 
Substituindo : xsenxdx = x -cos x - -cos x dx = - xcos x + cos x dx∫ ( ( )) ∫( ( )) ( ) ∫ ( )
 
xsenxdx = - xcos x + senx + c∫ ( )
 
Voltando para a integral em sua forma deifinida, temos que a área que desejamos encontrar 
é;
 
A = xsenxdx = -xcos x + senx = - cos + sen - -0 ⋅ cos 0 + sen 0
0
∫
𝜋
2
( ( ) )
0
𝜋
2 𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
( ( ) ( ))
 
A = - ⋅ 0 + 1 - 0 = 0 + 1
𝜋
2
 
A = 1 u. a.
 
 
(Resposta )