PROBABILIDADE E ESTATISTICA - Aula_08

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
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Taxa de juros
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Aula 08 – Axiomas
AULA 08 
Axiomas
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Taxa de juros
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Axiomas da Probabilidade
	Os conceitos básicos a partir dos quais se constrói a definição de probabilidade são conhecidos como os axiomas da probabilidade, sendo o seu conhecimento importante para compreender claramente as condições necessárias à sua aplicação.
http://www.oderson.com/educacao/estatistica/axiomas.htm
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Axiomas de Kolmogorov
 
	Em 1933 o matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903 - 1982) lançou as bases axiomáticas da probabilidade e desenvolveu toda uma teoria que constituiu um enorme avanço, estabelecendo um marco histórico. 
Os seus princípios básicos são relativamente simples e intuitivos, permitindo que se tenha uma boa compreensão dos conceitos e suas aplicações práticas.
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Axiomas de Kolmogorov
1°) Em um experimento aleatório, existe sempre um espaço amostral e uma álgebra de eventos.
2°) Para todo evento existe um número não-negativo chamado de probabilidade.
3°) A probabilidade do espaço amostral é igual a 1.
4°) Para quaisquer dois eventos disjuntos a probabilidade da união deles é igual à soma das suas probabilidades.
5°) O 4° Axioma é verdadeiro para infinitas uniões, desde que todos os pares de eventos sejam disjuntos.
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Propriedades Fundamentais da Probabilidade (P)
P de qualquer evento é sempre um número maior ou igual a zero e menor ou igual a um. 
P de um evento impossível é zero. 
Se a ocorrência de um evento implica na ocorrência de um segundo, então P do primeiro < P do segundo. 
P da união de dois eventos = P do primeiro + P do segundo – P da ocorrência simultânea dos dois. 
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Importância do Conceito de Partição
 
	A partição de um conjunto é uma coleção de conjuntos tal que a sua união é igual ao conjunto original, e que a interseção de quaisquer dois deles é vazia. 
Ao se particionar um evento, é possível calcular a sua probabilidade (P) somando-se P dos eventos da partição. Para isso é necessário apenas dispor da P dos elementos da partição (vide Axiomas 4° e 5°).
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Importância do Conceito de Partição
 
Através do particionamento de conjuntos, é possível não apenas calcular a probabilidade de eventos a partir de outras probabilidades já conhecidas mas também deduzir diversas propriedades e implicações do próprio conceito de probabilidade.
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Evento Complementar 
Consideremos um evento E relativo a um 
espaço amostral Ω. 
Chamamos evento complementar de ao evento que ocorre quando E não ocorre. 
Observe o seguinte diagrama: 
E ∩ = ∅
E ∪ = Ω 
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Exemplo 
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso, uma bola. Se E é o evento “ocorre múltiplo de 3”, então será? 
 
Temos: Ω = {1, 2, 3, ..., 10} e E = {3, 6, 9}; logo: 
 
 = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} evento “não ocorre múltiplo de 3”. 
E ∪ = Ω 
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Probabilidades em 
Espaços Amostrais Equiprováveis 
 
	Consideremos o espaço amostral Ω formado por k pontos amostrais: Ω = {a1, a2, a3, ..., ak } 
Vamos associar a cada um desses pontos amostrais um número real, p{ai }, ou simplesmente pi, chamado probabilidade do evento {ai }, ou seja, probabilidade de ocorrência do ponto amostral ai, tal que: 
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Probabilidades em 
Espaços Amostrais Equiprováveis 
 
	Consideremos o espaço amostral Ω formado por k pontos amostrais: Ω = {a1, a2, a3, ..., ak } 
Vamos associar a cada um desses pontos amostrais um número real, p{ai }, ou simplesmente pi, chamado probabilidade do evento {ai }, ou seja, probabilidade de ocorrência do ponto amostral ai, tal que: 
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(I) 0 ≤ pi ≤ 1
 
(II) = = 1 , isto é:
 
p1 + p2 + ... + pk = 1 
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Consideremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos amostrais de Ω, temos, em (II): 
K vezes
p + p + p + ... + p = 1  k . p = 1  p = 
K vezes
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A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos amostrais E = {a1, a2, a3, ..., ar } , com r ≤ k, é dada por: 
 
p (E) = p1 + p2 + ... + Pr  p(E) = + + + ... +
 
 p (E) = 
 
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Como E ⊂ Ω, temos que n(E) ≤ n(Ω). 
Assim:
 
p(E) = | 0 ≤ p(E) ≤ 1
A probabilidade de ocorrer determinado evento é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o 
número de casos possíveis.
 
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No lançamento de um dado, se o evento A consiste em obter um “5”, o número de casos favoráveis será 1, pois num dado honesto só existe um “5”, e o número de casos possíveis é 6, portanto o espaço amostral é: 
 Ω = {1,2,3,4,5,6} 
E a probabilidade do evento A será: p (A) = 1/6.
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Quando dizemos que a probabilidade do evento A é 1/6, isto não significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas sairá o número “5”. 
Pode ser que o número “5” não saia nenhuma vez ou que saia mais de uma vez. 
A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse experimento um número grande de vezes, o evento A vai ocorrer em aproximadamente 1/6 do total de jogadas. 
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Exemplo 1
 Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11? 
Temos: Ω = {1, 2, 3, ..., 15} 
 Seja o evento E: “número da bola sorteada ≥ 11”. 
Logo: E = {11, 12, 13, 14, 15}. 
 
p(E) = = = = 33,3%
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Exemplo 2: Um dado é lançado. Qual a probabilidade de dar: a) menor que 3? b) Maior ou igual a 3? 
 a) Temos Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 E = {1, 2}. Então, p(E) = = 
 
b) Podemos usar o evento complementar: = {3, 4, 5, 6}
Assim, p ( ) = = = 
Obs: p( E ) + p( ) = 1 = 100% 
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Exemplo 3: Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos: 
a) exatamente uma cara? b) No máximo duas caras? 
Diagrama de Árvore
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O espaço amostral é formado pelas oito sequências indicadas no Diagrama de Árvore. 
 
a) Exatamente uma cara: E1 = {(K,C,C), (C,C,K), (C,K,C)} 
 
 p(E1) = = = 37,5% 
 
b) No máximo duas caras
 
E2 = {(C,C,C),(K,C,C),(C,K,C),(C,C,K),(K,K,C),(K,C,K),(C,K,K)} 
p(E2) = = 87,5%. 
 
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Exemplo 4: Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de cinco alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade dessa comissão vir a ser formada exclusivamente por meninos? 
 
Solução:
 
Comissões total: n(Ω) = C45,5
Comissões só de meninos = C20,5
P(E) = = 0,0126 = 1,26%
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Exemplo 5: Nos anagramas da palavra XADREZ, qual a probabilidade da palavra escolhida começar por XA? 
Solução:
O número de elementos de Ω é o número de permutações da palavra XADREZ. 
Então, n(Ω) = P6 = 6! = 720. 
O evento E = X A __ __ __ __ 
Definidas as duas primeiras letras, há P4 = 4! = 24
Logo: p(E) = = 3,33% 
 
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Exemplo 6: Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa comunidade revelou que: 
• 25 pessoas consomem carnes e verduras 
• 83 pessoas consomem verduras 
• 39 pessoas consomem carnes
Qual é a probabilidade de uma pessoa: 
a) Consumir exclusivamente
carne? 
b) De não comer nem carne nem verdura?
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Solução:
Diagrama de Venn Euler: carne (C) e verdura (V). 
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Solução:
1°) Há 25 pessoas na interseção de C e V. 
2°) Consomem exclusivamente verduras: 83 – 25 = 58 
3°) Consomem exclusivamente carnes: 39 – 25 = 14 
4°) 25 + 58 + 14 = 97 (3 que não comem carnes nem verduras. 
a) Exclusivamente carne
 = 0,14 = 14% 
 
b) Não comer nem carne nem verdura
 = 0,03 = 3% 
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