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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LUIZ ROBERTO 1 Taxa de juros 1 Aula 09 – Axiomas da Probabilidade AULA 09 Probabilidade Condicional 2 Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade Objetivos da AULA 09 - Probabilidade de dois eventos. - Teorema do Produto - Probabilidade Condicional. 3 Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 4 Relembrando o que é Evento a) Lançar um dado e observar o número de cima. E = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um evento certo. b) Lançar um dado e observar a ocorrência de pares. E = Ω = {2, 4, 6} é um evento de números pares. c) Lançar um dado e observar a ocorrência de número maior que 8. E = Ø é um evento impossível. Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 5 PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral. Vamos encontrar uma expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a probabilidade da ocorrência do evento A B. Consideremos dois casos: Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 6 1°) Teorema da soma: eventos mutuamente exclusivos A B = Ø n(A B) = n(A) + n(B) Como n( Ω ) ≠ 0: Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 7 Da definição de probabilidade: a probabilidade da união de (A) com (B) é a soma da probabilidade de (A) com a probabilidade de (B). P( A B ) = p(A) + p(B) Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 8 2°) Eventos com ocorrências simultâneas: Aplica-se nas operações multiplicativas de probabilidades, que são aquelas que envolvem a expressão “e” e são representadas por “”. A B ≠ Ø p( A B ) = p(A) + p(B) - A B O evento A B representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B. Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 9 Exemplo 1 Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3? Consideremos os eventos: A “o número é múltiplo de 2” e B “o número é múltiplo de 3”. Queremos encontrar p(A B) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 10 Lembrando que: Podemos calcular a probabilidade da interseção: Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 11 A B = {6, 12, 18, 24} é o evento formado pelos múltiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo, isto é, pelos múltiplos de 6. Temos: p(A B) = Como p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) Temos p(A B) = Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 12 Exemplo 2: Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou de 7? A = {5, 10, 15, 20, 25} Logo: p(A) = B = {7, 14, 21} Logo: p(B) = Como A B = Ø temos: p(A B) = p(A) + p(B) - p(A B) = Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 13 Exemplo 3: A probabilidade de um policial aplicar quatro ou mais multas em um dia é de 63%; a probabilidade de ele aplicar quatro ou menos multas em um dia é de 56%. Qual é a probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro multas? Consideremos os eventos: A: “quatro ou mais multas”; p(A) = 0,63 B: “quatro ou menos multas”; p(B) = 0,56 Temos: Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 14 1°) A B é o evento “aplica exatamente quatro multas”. Queremos determinar p(A B). 2°) p(A B) = (o guarda aplica menos de quatro multas ou quatro multas ou mais de quatro multas). Assim, p(A B) = p(Ω) = 1 (pois A B é o evento certo). Então: p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) 1 = 0,63 + 0,56 - p(A B) p(A B) = 1 – 1,19 = 0,19 = 19% ≤ 4 4 ≥4 Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 15 Exemplo 4: Observe a roleta. a) Qual a probabilidade de cada evento elementar? P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 P(3) = 2/8 b) Qual a probabilidade do número ser par? P({2,4,6}) = 3/8 c) Qual a probabilidade de dar o número 3? P(3) = 2/8 = 1/4 Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 16 PROBABILIDADE CONDICIONAL Seja o evento E: lançar um dado Seja o evento A = {sair o nº 4} p (A) = 1/6 Seja o evento B = {sair um número par} = {2, 4, 6} É importante para o cálculo das probabilidades calcular a probabilidade condicional. Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 17 Estamos interessados em avaliar a probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B. A probabilidade condicionada é representada por: p(A/B) lê-se: probabilidade de A dado B Observe que uma vez dada a informação da ocorrência de um evento, teremos a redução do espaço amostral. Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 18 Sabemos que B = {2, 4, 6} Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para Ω = {2, 4, 6} e é nesse espaço amostral reduzido é que se avalia a probabilidade do evento. Dados dois eventos A e B, a p(A/B) é a probabilidade condicionada do evento A quando B tiver ocorrido: p(A/B) = Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 19 Podemos concluir: p(A/B) = = = Assim, para avaliar a probabilidade de A, dado B, basta contar o número de casos favoráveis ao evento (A B) e dividir pelo número de casos favoráveis ao evento B. Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 20 Exemplo: Dois dados são lançados. Consideremos os eventos: A = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 10} B = {( x1 , x2 ) | x1 > x2 } Onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 é o resultado do dado 2. Pede-se avaliar p(A); p(B); p(A/B) e p(B/A) Solução: Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 21 p(A) = p(B) = Lembrando A = {(x1 , x2 ) | x1 + x2 = 10} e B = {( x1 , x2 ) | x1 > x2 } Apenas (6,4) é favorável ao evento A B e que 15 pares são favoráveis a B. p(A/B) = p(B/A) = Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 22 TEOREMA DO PRODUTO “A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, é igual ao produto da possibilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro”. Logo: p(A B) = p(B) . p(A/B) Logo: p(A B) = p(A) . p(B/A) Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 23 TEOREMA DO PRODUTO Exemplo: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas são retiradas uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas? A = {a primeira peça é boa} p(A) = B = {a segunda peça é boa} p(B/A) = p(A B) = p(A) . p(B/A) = Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 24 Exercícios: 1) Calcule A B. São dados: p(A) = p(B) = P(A B) = Solução: Pela fórmula p(A B) = p(A) + p(B) – p(A B) Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 25 2) Dado p(A) = p(B) = p (A B) = Calcule p(A/B). Solução: Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 26 3) Dado p(A) = p(B) = p (A B) = Calcule p [(A B)/B]. Solução: Obs: A probabilidade de A B dado B é igual a 1, pois é um evento certo. Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 27 4) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de observarmos um múltipo de 3 ou um quadrado perfeito? Solução: p(Múltiplos de 3) = 2/6 = 1/3 (números 3 e 6) P(Quadrado perfeito) = 2/6 = 1/3 (números 1 e 4) Logo: P = 1/3 + 1/3 = 2/3 Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade 28 5) Dois dados, azul e vermelho, são lançados. Qual a probabilidade de sair 2 no azul e 6 no vermelho? Considerando os eventos: A: Tirar 2 no dado azul: p(A) = 1/6 B: Tirar 6 no dado vermelho: p(B) = 1/6 p(A B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 Taxa de juros Aula 09 – Axiomas da Probabilidade29 6) Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 7 ou um Ás? Eventos: Assim, p(A B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13 Note que p(A B) = 0, pois uma carta não pode ser 7 e Ás ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. A: sair 7 P(A) = 4/52 B: sair um Ás P(B) = 4/52 Taxa de juros
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