PROBABILIDADE E ESTATISTICA - Aula_06

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
LUIZ ROBERTO
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Taxa de juros
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AULA 06 – Análise Combinatória
AULA 06 
Análise Combinatória
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Taxa de juros
AULA 06 – Análise Combinatória
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ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória é um ramo da matemática que estuda coleções finitas de objetos e se preocupa com a contagem de objetos, ou seja, o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. 
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Exemplo:
Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches: hot dog e hambúrger. Como sobremesa, há três opções: sorvete, torta ou salada de frutas. 
Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição incluindo um sanduíche e uma sobremesa? 
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Podemos ter as seguintes refeições: 
 
1) hot dog e sorvete 
2) hot dog e torta 
3) hot dog e salada de frutas 
4) hamburger e sorvete 
5) hamburger e torta 
6) hambuger e salada de frutas 
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Diagrama de árvore
1ª coluna: possibilidades de escolha do sanduíche 
2ª coluna: possibilidades de escolha da sobremesa. 
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Fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de duas etapas sucessivas: 
1ª) Tipo de sanduíche: há duas possibilidades. 
2ª) Sobremesa: para cada um dos sanduíches há três escolhas de sobremesa. 
Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita assim:
2 x 3 = 6 maneiras distintas de se escolher uma refeição. 
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Princípio Fundamental da Contagem - PFC 
 
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas. Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por 
p x q. 
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Princípio Fundamental da Contagem – PFC
 
 Este princípio vale para mais de duas etapas sucessivas. 
Se a primeira etapa ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total de maneiras de ocorrer o acontecimento é: 
T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
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Exemplo 1: Placas dos veículos: 3 letras e 4 algarismos. 
Quantos veículos poderão ser licenciados? 
São 26 letras e o 10 algarismos possíveis:
1ª posição: 26 alternativas (pode haver repetição)
2ª e 3ª posições: 26 alternativas (pode haver repetição). 
Algarismos: 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Então, podem ser licenciados: 
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000 veículos. 
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Exemplo 2 
Nos anos 60 as placas dos veículos tinham 2 letras e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado? 
O número total de veículos que podiam ser licenciados: 
26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000. 
Obs: A inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados a mais quase 170 milhões de veículos. 
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Fatorial
n! = n . (n-1) . (n-2) ... 4 . 3 . 2 . 1 para n ≥ 2. 
 n! = n . (n-1)! | n ∈ ℕ e n ≥ 2
a) 1! = 1. 
b) 0! = 1.
b) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 
c) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 
d) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 
e) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
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Arranjo
 
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se Arranjo dos n elementos, tomados k a k, a qualquer sequência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. 
Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus elementos. 
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Exemplo: Formar centenas com os algarismos 1,3,5,7,9.
135; 137; 139; 153, 157 e assim sucessivamente. 
 
Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas conseguiremos outra centena diferente: 135 e 351. 
Temos um ARRANJO de 5 elementos tomados 3 a 3. 
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Exemplo 1 
 
Dado o conjunto C = (1, 2, 3, 4), escreva todos os arranjos desses quatro elementos tomados dois a dois. 
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); 
(4, 1); (4, 2); (4, 3) 
Notamos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos gera um agrupamento diferente. Neste caso é ARRANJO.
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Exemplo 2 
 
O segredo de um cofre é marcado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? 
 
Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8 (lembrando que são dígitos distintos, ou seja, diferentes). 
Pela fórmula de arranjos pelo PFC: 10.9.8 = 720. 
 
A10,3 = 720 
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Cálculo do número de Arranjos 
 
Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para o número de arranjos dos n elementos tomados k a k: (An,k). 
A fórmula do Arranjo é:
An,k = | n ≥ k
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Exemplo 3 
Obter o valor de A4,2 + A7,3. 
 
A4,2 = = = = 12 
 
A7,3 = = = = 210
 
Logo:
A4,2 + A7,3 = 12 + 210 = 222 
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Permutações simples 
 
Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. 
É um caso especial de arranjo, onde n = k, ou seja: 
An,k = = = = n! 
 
Fórmula da Permutação: Pn = n!
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Exemplo 1 
Escrever todos os anagramas da palavra MAR. 
Um anagrama da palavra MAR é qualquer permutação das letras M, A, R de modo que se forme uma palavra com ou sem sentido. 
Assim, temos: 
MAR, MRA, AMR, ARM, RMA, RAM. 
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Exemplo 2 
De quantas maneiras cinco pessoas: 
João, Luiz, Carlos, Maria e Joana 
podem ser dispostas em fila indiana? 
Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois qualquer fila obtida é uma sequência na qual comparecem sempre as cinco pessoas. 
Assim, o resultado esperado é: 
 
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2. 1 = 120 
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Exemplo 3 
Com as cinco pessoas, quantas filas podem ser compostas começando por Maria ou por Joana? 
A 1ª posição da fila pode ser escolhida de duas maneiras (tanto Maria como Joana pode iniciá-la). 
Definido o início da fila, restarão sempre quatro lugares para serem preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de:
P4 = 4! = 24 possibilidades. 
 Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48. 
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Permutação com elementos repetidos 
 
Se entre os n elementos de um conjunto, existem 
a elementos repetidos
b elementos repetidos
c elementos repetidos 
e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos formar é dado por:
Pn(a,b,c) = 
 
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 Exemplo 1:
 Determine o número de anagramas da palavra MATEMATICA. 
 
São 10 elementos com repetições. 
A letra M repete duas vezes, a letra A três, a letra T, duas. 
n = 10 a = 2 b = 3 c = 2 
P10(2,3,2) = = 151200 
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Exemplo 2 
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA? 
 
Temos:
n = 5 (cinco letras)
a = 2 (a letra A se repete duas vezes) 
 
P5(2) = = = 5.4.3 = 60 
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Combinações
Dado
um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por k elementos.
Ex: de cinco pessoas desejamos formar grupos de três; o grupo formado por João, Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por Luís, Pedro e João. 
Temos uma COMBINAÇÃO quando os agrupamentos conseguidos permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos. 
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A fórmula da Combinação é dada por:
 
 
 Cn,k = 
 
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Exemplo 1: Em uma turma de 10 alunos, quantos grupos de três alunos podemos formar? 
 
Como ao trocar a ordem das pessoas em cada grupo não altera o grupo, temos que trabalhar com combinação. 
n = 10
k = 3
 Cn,k = 
 
C10,3 = = = 120 
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Exemplo 2: Faça todas as combinações dos cinco elementos de M = {a, e, i, o, u} tomados dois a dois. 
 
{a, e} = {e, a}; portanto é combinação. 
 
Cn,k = = = = 10
 
As combinações pedidas são: 
 
{a, e}; {a, i}; {a, o}; {a, u}; {e, i}; 
{e, o}; {e, u}; {i, o}; {i, u}; {o, u}
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Exemplo 3: Três livros serão sorteados entre Pedro, Luís, José, Claudia e Márcio. Quais os possíveis resultados? 
 
Cada resultado do sorteio é uma combinação dos cinco alunos tomados três a três. 
n = 5
k = 3
Cn,k = = = = 10
 
Os possíveis resultados do concurso são: 
 
{P, J, M}; {P, J, A}; {P, M, A}; {P, L, J}; {P, L, M}; {P, L, A}; {L, J, A}; {L, J, M}; {J, A, M}; {L, A M}
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Quando é Arranjo e quando é Combinação?
 
Arranjo: quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se inverter a ordem dos elementos.
 
Combinação: quando os agrupamentos conseguidos não se alteram ao inverter a ordem dos elementos.
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Exercícios de revisão
 1) Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? 
 
Viagem de A a C é constituída de duas etapas sucessivas: 
1ª ir de A até B: são quatro possibilidades 
2ª ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três maneiras de chegar a C, a partir de B. 
Assim, o resultado procurado é 4 x 3 = 12. 
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2) Um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, China, Holanda e Itália. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados? 
Holanda (campeã), Brasil (2°) e Itália (3°)
Brasil (campeão), Itália (2°) e Holanda (3°)
Cada resultado do torneio é um arranjo de 4 três a três. 
An,,k =
 
A4,3 = = = 4 . 3 . 2 = 24 
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3) Quantas possibilidades de agrupamentos há com os elementos A,B,C? 
 
São possíveis as seguintes permutações:
 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 
 
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
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Uma prova de 15 questões, o aluno deve resolver 10. 
De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? 
 
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos, 10 a 10. 
Cn,k = = = = 3003
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5) Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? 
 C7,3 = = = = 35 
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