Aula 10 - Binômio de Newton e Expansão Multinomial

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Aula 10 
 
 
 
BINÔMIO DE NEWTON e EXPANSÃO MULTINOMIAL 
 
 
 
Objetivos 
Comparar os coeficientes do Triângulo de Pascal com os coeficientes da expansão 
do binômio (x + y)n. 
Enunciar e demonstrar o teorema binomial. 
Enunciar e demonstrar a expansão multinomial. 
Utilizar o teorema binomial e a expansão multinomial em alguns problemas. 
 
 
 No ensino fundamental aprendemos a desenvolver potências de binômios, como 
por exemplo, (x + y)2 e (x + y)3, conhecidas como produtos notáveis. 
 
 Comparemos os elementos do triângulo de Pascal com as expansões de (x + y)n, 
sendo n inteiro positivo. Observemos que o desenvolvimento de (x+y)n possui n + 1 
termos. 
 
 1 
 1 1 
 1 2 1 
 1 3 3 1 
 1 4 6 4 1 
 1 5 10 10 5 1 
 1 6 15 20 15 6 1 
 1 7 21 35 35 21 7 1 
 ........................................................... 
 
 
 (x + y)0 = 1 
 (x + y)1 = 1x + 1y 
 (x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 
 (x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 
 (x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 
 (x + y)5 = 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5 
 (x + y)6 = 1x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y2 + 15x2y4 + 6xy5 + 1y6 
 (x + y)7 = 1x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + 1y7 
 
 
Verificamos que os coeficientes do desenvolvimento de (x + y)n são os elementos 
da linha n do Triângulo de Pascal. 
 
 Antes de enunciarmos e provarmos o teorema binomial, usemos o seguinte 
diagrama para recordarmos como desenvolvíamos o produto notável (x + y)4. 
 
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(x + y)4 = (x + y). (x + y). (x + y). (x + y) 
 
 
 
 
 
 
Cada produto acima foi obtido escolhendo-se um x ou um y em cada um dos 4 
parênteses (x + y). 
 
Observe que o produto x.x.x.x = x4 aparece uma única vez, pois só há uma 
maneira de se escolher x em cada um dos 4 parênteses. 
 
O produto x3y aparece 4 vezes, pois há 4 maneiras de se permutar o x três vezes e 
o y uma vez. Isto é, 4 é o número de permutações com repetição desses elementos, ou 
seja, P 1,34 = 4. 
 
O produto x2y2 aparece 6 vezes, pois há 6 maneiras de se permutar o x duas vezes 
e o y duas vezes, isto é, 6 = P 2,24 = !2.!2
!4 . Temos também que 6 é o número de 
maneiras de se escolher dentre os 4 lugares possíveis no produto _ . _ . _ . _ dois 
deles para colocar o x, ou seja, 6 é o número de combinações simples de 4 elementos 
tomados 2 a 2. 
 
 Logo, 
 
 (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 (1) 
 
 
 
Vamos, agora, ao caso geral. 
 
 
 
 
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Teorema binomial 
 
Sejam n um número inteiro positivo e x e y números reais. Então 
(x + y)n = ∑
=
−n
k
kkn yxknC
0
..),( = 
 
 = C(n, 0)xny0 + C(n, 1)xn-1y1 + C(n,2)xn-2y2 + ... + C(n, n)x0yn. (2) 
 
Demonstração: 
 
4444 34444 21
vezesn
n yxyxyxyx )(.....)(.)()( +++=+ 
 
Escolhe-se um x ou um y em cada um dos n parênteses. Multiplicamos estas n 
escolhas, formando um termo do produto. 
 
Cada termo é da forma xn-k.yk, pois escolhemos y em k parênteses, com 0 ≤ k ≤ n, 
e x nos n – k restantes. 
 
O coeficiente de xn-k.yk é igual ao número de maneiras de escolher k posições 
dentre as n possíveis para colocar a variável y. Como a ordem em que vamos escolher 
os y`s não é importante, temos C(n, k) maneiras de fazê-lo. 
 
Logo o coeficiente de cada um dos xn-k.yk é C(n,k). 
 
Segue, então, que 
 
(x + y)n = C(n, 0)xny0 + C(n, 1)xn-1y1 + C(n,2)xn-2y2 + ... + C(n, n)x0yn = 
 
 = ∑
=
−n
k
kkn yxknC
0
..),( 
 
 
 
O termo C(n, k).xn-k.yk é chamado de termo geral do binômio de Newton. Este 
termo é de ordem k+1. Fazendo k = 0, 1, 2, 3, ... , n obtemos todos os termos do 
desenvolvimento do binômio. 
 
 
 Temos, por exemplo, em (1) que o termo 4xy3 é de ordem 4 e pode ser obtido 
fazendo k = 3 e n = 4 no termo geral do binômio de Newton. 
 
 
Observemos que (2) está desenvolvido em potência decrescente do primeiro termo 
do binômio. Poderíamos ter também o desenvolvimento em potência decrescente do 
segundo termo do binômio: 
 
(x + y)n = C(n, 0)x0yn + C(n, 1)x1yn-1 + C(n,2)x2yn-2 + ... + C(n, n)xny0 
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Observação 
 O teorema binomial é válido para (x – y)n, bastando para isto escrevermos 
(x – y)n = [x + (-y)]n e aplicarmos o teorema. 
 
 
Exemplo 1 
 
 Desenvolver usando o teorema binomial 
a) (2a + 3)4 b) ( b - 2 )3 
 
a) O primeiro termo do binômio é 2a, o segundo termo é 3 e n = 4. Desenvolvendo em 
potências decrescentes do primeiro termo temos 
 
(2a + 3)4 = 
 
= C(4, 0).(2a)4.30 + C(4, 1).(2a)3.31 + C(4, 2)(2a)2.32 + C(4, 3)(2a)1.33 + C(4, 4)(2a)0.34 = 
 
= 16a4 + 96a3 + 216a2 + 216a + 81 
 
 O termo 81 é chamado de termo independente de a. 
 
b) O primeiro termo do binômio é b , o segundo termo é - 2 e n = 3. Desenvolvendo 
em potências decrescentes do primeiro termo temos 
 
( b - 2 )3 = [ b + (- 2 ) ]3 = C(3, 0).( b )3.(- 2 )0 + C(3, 1).( b )2.(- 2 )1 + 
 
+ C(3, 2).( b )1.(- 2 )2 + C(3, 3).( b )0.(- 2 )3 = b b - 3 2 b + 6 b - 2 2 
 
 Observe a alternância dos sinais dos termos. 
 
 
Exemplo 2 
 
 Mostre que C(n, r +1) = ).,(.
1
rnC
r
rn
+
− 
 
 Vamos usar a fórmula do cálculo do número de combinações simples e algumas 
simplificações: 
 
),(.
1
rnC
r
rn
+
− = 
!.)!(
!.
1 rrn
n
r
rn
−+
− = 
!.)!1(.)(
!.
1 rrnrn
n
r
rn
−−−+
− = 
 
 = 
)!1(.)]!1([
!
++− rrn
n = C(n, r + 1) 
 
Mostramos que cada coeficiente do desenvolvimento do binômio de Newton, a 
partir do segundo termo, pode ser obtido usando o termo anterior pela fórmula acima. 
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Exemplo 3 
 Qual o termo geral do desenvolvimento de 
101 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
x
x e o coeficiente de x8? 
 
 Neste caso, n = 10. O termo geral do desenvolvimento do binômio dado é 
C(10, k).x10 –k. 
k
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 1 = C(10, k). k
k
x
x −10 = C(10, k).x10 – k – k = C(10, k).x10 – 2k 
 
 Para encontrarmos o coeficiente de x8 temos que fazer 10 – 2k igual a 8. 
 
10 – 2k = 8 ⇒ k = 1 
 
Logo, o coeficiente de x8 é C(10, 1) = 10. 
 
 
 
Exemplo 4 
 
Calcule, se existir, o termo independente de x no desenvolvimento de 
121 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
n
x
x com n inteiro positivo. 
 
 
O termo geral do desenvolvimento do binômio é 
 C(2n + 1, p) x 2n + 1 - p . 1
p
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = C(2n +1, p).
2 1n p
p
x
x
+ −
 = C(2n + 1, p). 2 1 2n px + − , com p є Z+ . 
 Caso exista termo independente de x no desenvolvimento de 
2 11 nx
x
+⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ , este 
termoterá o expoente de x igual a 0; logo teríamos que ter 
2n + 1 – 2p = 0 ⇒ 2p = 2n + 1 ⇒ p = n + 1
2
 
 Como p = n + 1
2
 ∉ Z+ , não existe o termo independente de x no desenvolvimento 
de 
2 11 nx
x
+⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
 
 
Exemplo 5 
 
Qual é a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de 
50
3 2
35
2 xx
y
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
? 
 
 
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Observe em (2) ou em cada um dos produtos notáveis que estão na primeira 
página desta aula, que se fizermos x = 1 e y = 1 obteremos a soma dos coeficientes dos 
termos do desenvolvimento do binômio. 
 
 Logo, substituindo x = 1 e y = 1 em 
50
3 2
35
2 xx
y
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
 obtemos a soma dos 
coeficientes do seu desenvolvimento. 
 
50
3 2
5 3
12 1
1
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
 = (2 – 1)50 = 150 = 1 
 
Exemplo 6 
Sabendo-se que o 5º termo do desenvolvimento de 
n
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 12x 2 , segundo as 
potências decrescentes de x, é 1120 x4, podemos afirmar que n é um cubo perfeito? 
 
Desenvolvendo o binômio em potências decrescentes de 2x2 temos 
 
n
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 12x 2 = 2 0
1º
1( ,0).(2 ) .( )n
termo
C n x
x144424443
 + 2 1 1
2º
1( ,1).(2 ) .( )n
termo
C n x
x
−
144424443
 + .... + 2 0
( 1)º
1( , ).(2 ) .( )n
n termo
C n n x
x
+
144424443
 
 
O quinto termo do desenvolvimento do binômio é 
C(n, 4).(2x2)n-4.
41
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = C(n, 4).2
n-4. x2n - 8 - 4 = C(n, 4). 2n-4 .x2n - 12 
 
Pelo enunciado da questão, o quinto termo é 1120x4. 
 
Igualando os expoentes de x, obtemos 2n - 12 = 4 ou seja, n = 8 = 23 . Portanto 
podemos afirmar que sendo n igual a 8 é um cubo perfeito. 
 
 
Expansão multinomial 
 
Vamos, agora, obter o desenvolvimento de produtos tais como (x + y +z)n e 
(x1 + x2+ x3 + x4 + x5)n , com n ∈ N. 
 
Exemplo 7 
 
 Usando o diagrama da página 2 encontre o desenvolvimento de (x + y + z)3. 
 
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Os fatores x3, y3 e z3 aparecem uma única vez. 
 
Quando escolhemos duas vezes o x e uma vez o y obtemos o fator x2y. Esse fator 
aparece 3 vezes, pois há 3 maneiras de permutarmos as letras x e y, com x repetindo 2 
vezes, ou seja, 3
!1.!2
!31,2
3 ==P . 
 
(x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3xy2 + 3x2z + 3xz2 + 3y2z + 3yz2 + 3xyz 
 
 
No caso geral temos o teorema da expansão multinomial. 
 
Teorema 
 Sejam n e k números inteiros positivos e x1, x2, x3, ..., xk números reais. 
Então 
(x1 + x2 + x3 + ... + xk )n = ∑ kakaaa
k
xxxx
aaaa
n ........
!.....!.!.!
!
321
321
321
 (3) 
 
onde ai é um número inteiro tal que 0 ≤ ai ≤ n e a1 + a2 + a3 + ... + ak = n. 
 
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Demonstração: 
 
Temos que 
(x1 + x2 + x3 + ... + xk )n = 4444444444 34444444444 21
vezesn
kkk xxxxxxxxx )....(....)...(.)...( 212121 +++++++++ 
 
Para efetuarmos o produto do segundo membro da igualdade acima, escolhe-se 
um xi , 1 ≤ i ≤ k, em cada um dos parênteses. 
 
Multiplicamos as n escolhas formando um termo do produto. 
 
Cada termo do produto é da forma kak
aaa xxxx ....... 321 321 , onde ai é o número de vezes 
em que escolhemos xi, com 0 ≤ ai ≤ n. 
 
O número de maneiras de escolhermos nos n parênteses a1 vezes x1, a2 vezes x2, 
e assim por diante, é igual ao número de permutações com repetição dos elementos x1, 
x2, ..., xk . Já vimos na aula 6 que este número é igual a !.....!.!.!
!
321 kaaaa
n . 
 
Portanto, cada produto kak
aaa xxxx ....... 321 321 aparece no desenvolvimento de 
(x1 + x2 + x3 + ... + xk )n exatamente 
!.....!.!.!
!
321 kaaaa
n vezes, logo 
(x1 + x2 + x3 + ... + xk )n = ∑ kakaaa
k
xxxx
aaaa
n ........
!.....!.!.!
!
321
321
321
 
 
 
Exemplo 8 
 
Encontre o desenvolvimento de (x2 + y – 1)4. 
 
 Usando (3), podemos escrever 
(x2 + y - 1)4 = ( ) 321 )1(..
!.!.!
!4 2
321
aaa yx
aaa
−∑ , com a1 + a2 + a3 = 4. 
 
Inicialmente, temos que encontrar as possíveis escolhas de a1, a2 e a3 observando 
que a1 + a2 + a3 = 4. A seguir, encontraremos os termos ligados a essas escolhas. Para 
facilitar, usemos uma tabela. 
 
a1 
 
a2 a3 Termo 
4 0 0 ( ) 842.
!0.!0.!4
!4 xx = 
3 1 0 ( ) yxyx 632 4..
!0.!1.!3
!4 = 
3 0 1 ( ) 632 4)1(..
!1.!0.!3
!4 xx −=− 
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 9
 
 
 
a1 
 
a2 a3 Termo 
2 2 0 ( ) 24222 6..
!0.!2.!2
!4 yxyx = 
2 0 2 ( ) 4222 6)1(..
!2.!0.!2
!4 xx =− 
2 1 1 ( ) yxyx 422 12)1(...
!1.!1.!2
!4 −=−
1 3 0 3232 4..
!0.!3.!1
!4 yxyx = 
1 0 3 ( ) 232 41..
!3.!0.!1
!4 xx −=− 
1 2 1 2222 12)1(...
!1.!2.!1
!4 yxyx −=− 
1 1 2 yxyx 222 12)1(...
!2.!1.!1
!4 =− 
0 4 0 44.
!0.!4.!0
!4 yy = 
0 0 4 
1)1(.
!4.!0.!0
!4 4=− 
0 3 1 33 4)1(..
!1.!3.!0
!4 yy −=− 
0 1 3 yy 4)1(..
!3.!1.!0
!4 3 −=− 
0 2 2 222 6)1(..
!2.!2.!0
!4 yy =− 
 
 
Logo 
(x2 + y - 1)4 = 8x + 4x6y - 4x6 + 6x4y2 + 6x4 - 12x4y + 4x2y3 - 4x2 - 12x2y2 + 12x2y + 
+y4 + +1 - 4y3 - 4y + 6y2 
 
 
Exemplo 9 
 
Qual o coeficiente de xy2z em (x + y + z)4? 
 
O termo geral do desenvolvimento da potência dada é 321
!!!
!4
321
aaa zyx
aaa
⋅⋅⋅⋅⋅ , 
com a1 + a2+ a3 = 4. 
 
Comparando xy2z com o termo geral, devemos ter 11 =a , a2 = 2 e a3 =1. 
 
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 10
 
 
Logo, o coeficiente de xy2z é 
!1.!2.!1
!41,2,1
4 =P = 6 
 
 
Exemplo 10 
Calcule, se existir, o termo independente de x em 
5
2 1
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
x
x . 
 
O termo geral do desenvolvimento do trinômio é 
3
2
1 1.1..
!.!.!
!5
2
321
a
a
a
x
x
aaa
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ = 21 2
321
.
!.!.!
!5 aax
aaa
− , para a1 + a2 + a3 = 5 
 
Para que o expoente de x seja igual a 0 devemos ter a1 – 2a2 = 0, ou seja, a1 = 2a2. 
Isto ocorrerá quando a1 = a2 = 0 ou a2 = 1 e a1 = 2. 
 
Se a1 = a2 = 0, a3 será igual a 5, logo teremos 21 2
321
.
!.!.!
!5 aax
aaa
− = 1. 
Se a1 = 2 e a2 = 1, a3 será igual a 2, logo teremos 21 2
321
.
!.!.!
!5 aax
aaa
− = 
!2.!1.!2
!5 = 30. 
 
Portanto, existe termo independente de x e é igual a 30 + 1 = 31. 
 
 
Exercícios propostos 
1) Em relação a (3x + 2)4 responda: 
a) quantos termos tem o seu desenvolvimento? 
b) qual o 4º termo, segundo potências decrescentes de x? 
R.: a) 5; b)96x 
 
2) Desenvolva usando o teorema binomial 
a) (x3 + 3y)3 
b) (3x – 2)6 R.: 729x6 – 2916x5 + 4860x4 – 4320x3 + 2160x2 – 576x + 64 
c) (cosθ + senθ ) 4 
3) No desenvolvimento de 
6
3
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
x
x , qual a ordem e o coeficiente do termo em x2, 
segundo potências decrescentes do primeiro termo do binômio? R.: 4º e 20. 
 
4) Qual o 300º termo do desenvolvimento de (x + 1)500, se o desenvolvimento for feito em 
potências de expoente decrescente de x? R.: C(500, 299).x201. 
5) Calcule, se existir, o termo independente de x no desenvolvimento de 
2 1
13
n
x
x
+⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ com 
n inteiro positivo. 
R.: Desenvolvendo em potências decrescentes do primeiro termo do binômio, existirá 
termo independente quando n for igual a 1, 4, 7, 11, ... ou seja n for um múltiplo positivo 
de 3 mais 1. 
Calculando alguns termos independentes temos: 
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Quando n = 1, k = 2, o termo independente é C(3, 2).3 = 9. 
Quando n = 4, k = 6, o termo independente é C(9, 6).33 = 2268 . 
Quando n = 7, k = 10, o termo independente é C(15, 10).35 = 729729.6) Considere o desenvolvimento de 
6 6
2 21 12 . 2x x
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . 
a)Calcule, se existir, o termo independente; 
b)Calcule a soma dos coeficientes dos seus termos. 
R.: 240; b) 729 
Obs.: O termo independente de 
6 6
2 21 12 . 2x x
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ não é igual ao produto do 
termo independente de cada um dos fatores. Por quê? 
 
 
7) Mostre que C(n,0) + C(n,1) + C(n, 2) +... + C(n, n) = 2n usando o teorema binomial. 
 
8) Qual o termo independente de y no desenvolvimento de 
3
21 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + y
y
? R.: 3 
 
9) Qual o valor de m, sabendo-se que a soma dos coeficientes do desenvolvimento de 
(2x + 3y)m é 3125? R.: 5 
 
10) No desenvolvimento de 
10
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
x
kx , qual deve ser o valor de k para que coeficiente do 
termo x4 seja 15? R.: 
2
1 
 
11) Qual é o desenvolvimento de (2m – 6n + 1 - 2 )3 ? 
 
12) Diga qual é o coeficiente de x8 no desenvolvimento de (x2 – x3 + 1)9. R.: 378 
 
13) Qual o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (x2 + x + 1)10 ? R.: 1452 
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