Aula 02 - Permutações Arranjos e Combinações Simples

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Aula 2 
 
 
ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
 
Objetivos 
Distinguir a diferença entre um arranjo, permutação ou combinação simples. 
Calcular o número de arranjos, permutações ou combinações simples. 
 
 
Exemplo 1 
 
 Considere um grupo com 6 pessoas. Quantas filas com 3 pessoas podem ser 
formadas? 
 
 Observemos, inicialmente, que a posição que uma pessoa ocupa numa fila é 
importante. Para ocupar a primeira posição na fila temos 6 possibilidades (uma das 6 
pessoas); uma vez ocupada a primeira posição temos 5 possibilidades para a segunda 
posição e, finalmente, para a terceira posição na fila temos 4 possibilidades pois as duas 
outras posições já estão ocupadas. 
 
 Pelo princípio multiplicativo temos 6.5.4 = 120 filas distintas. 
 
 
Exemplo 2 
 
 Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de 4 algarismos distintos 
podemos formar? 
 
 Como os algarismos são distintos, para a ordem das unidades de milhar temos 9 
possibilidades, para o das centenas simples temos 8 possibilidades, para o das dezenas 
simples temos 7 possibilidades e para o das unidades simples temos 6 possibilidades. 
 
 Pelo princípio multiplicativo temos 9.8.7.6 = 3024 números com 4 algarismos 
distintos. 
 
 Observe que no exemplo 1 escolhemos 3 das 6 pessoas e no exemplo 2 
escolhemos 4 dos 9 algarismos disponíveis e a ordem dos elementos na fila ou no 
número é importante. Chamamos estas ordenações de arranjos simples. 
 
 
Definição 2.1 
 Seja A um conjunto com n elementos distintos. Chamamos de arranjo simples de 
k elementos distintos de A, com k ≤ n, a uma seqüência ou ordenação desses k 
elementos. 
 Denotamos por A(n, k) ou An, k o número de arranjos dos n elementos, tomados k 
a k. 
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No exemplo 1, encontramos A(6,3) = 120 e no exemplo 2, A(9,4) = 3024. 
 
Calculemos o número de arranjos dos n elementos do conjunto A, tomados k a k. 
 
Etapa 1 – escolher o 1º elemento da seqüência. Temos n possibilidades. 
Etapa 2 – escolher o 2º elemento da seqüência. Como um elemento já foi escolhido, 
temos n –1 possibilidades. 
Etapa 3 – escolher o 3º elemento da seqüência. Como 2 elementos já foram escolhidos, 
temos n -2 possibilidades. 
 
E assim por diante até a 
Etapa k – escolher o k-ésimo elemento da seqüência. Como n – (k –1) elementos já 
foram escolhidos, temos n-k+1 possibilidades. 
 
 Pelo princípio multiplicativo encontramos 
 
A(n, k) = 44444 344444 21
fatoresk
1)k-(n . ...2).-1).(n-n.(n + 
 
 
 
Exemplo 3 
 
Quantas palavras de 2 letras distintas poderíamos formar com as vogais do 
nosso alfabeto? 
 
A troca na ordem das letras de uma palavra forma uma outra palavra (exemplo: ai – 
ia). Temos A(5,2) = 5.4 = 20 palavras. 
 
 
 
Exemplo 4 
 
Usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 6 algarismos 
distintos podemos escrever? 
 
 Como os algarismos têm que ser distintos, para a ordem das centenas de milhar 
temos 6 possibilidades, para a ordem das dezenas de milhar temos 5 possibilidades e 
assim por diante, até que para a ordem das unidades simples temos só 1 possibilidade. 
_ _ _ _ _ _ 
 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 
 6 5 4 3 2 1 
 
Pelo princípio multiplicativo temos 6.5.4.3.2.1= 720 números. 
 
Neste exemplo tivemos k = n = 6, ou seja, A(6, 6). 
 
 
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Exemplo 5 
 
 Quantos são os anagramas da palavra LUTA? 
 
 Um anagrama é qualquer ordenação das letras da palavra LUTA com ou sem 
significado. 
 
 Observemos que as letras que compõem a palavra LUTA são distintas. 
 
Para ocupar a 1ª posição no anagrama temos 4 possibilidades, para a 2ª posição 
temos 3 possibilidades, para a 3ª posição temos 2 possibilidades e para a última posição 
temos 1 possibilidade. 
_ _ _ _ 
 ↑ ↑ ↑ ↑ 
 4 3 2 1 
 
 Pelo princípio multiplicativo temos 4.3.2.1 = 24 anagramas, ou seja, A(4, 4) = 24. 
 
 
 
 Nos exemplos 4 e 5 ordenamos todos os elementos distintos. Cada uma dessas 
ordenações é chamada de permutação simples ou permutação linear simples. 
 
 
 Pela definição 2.1, concluímos que uma permutação simples é um caso 
particular de arranjo, onde k = n. 
 
 No caso de uma permutação simples, pelo princípio multiplicativo, temos 
n . (n-1) . (n-2) . ... . 2 . 1 
maneiras de se ordenar os n elementos distintos. 
 
 
O número n . (n-1) . (n-2) . ... . 2 . 1 recebe um nome especial: fatorial de n. 
 
 
Definição 2.2 
 
Seja n um número inteiro não negativo. 
Definimos fatorial de n, e indicamos por n!, o produto n.(n-1).(n-2). ... .2.1 se n ≥ 1 
e 0! = 1. 
 
 
 Notemos por Pn o número de permutações simples de um conjunto com n 
elementos distintos. Logo Pn = n! 
 
 
Podemos escrever A(n, k) da seguinte forma 
 
 
 
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A(n, k)=n.(n-1). ... . (n-k+1)= 
1.2....).1).((
1.2....).1).().(1(....)1.(
−−−
−−−+−−
knkn
knknknnn = 
)!(
!
kn
n
− 
 
 
A(n,k) = 
)!(
!
kn
n
− (1) 
 
 
 
Exemplo 6 
 
Uma agência de propaganda deve criar o nome de um sabonete a partir de 5 
sílabas significativas, definidas previamente. Qualquer uma destas 5 sílabas, 
sozinha ou combinada com uma ou mais das outras quatro, poderá formar um 
nome. Qual o número de nomes diferentes possíveis que podem ser formados, 
sem repetir sílaba? 
 
O nome do sabonete poderá ter uma única sílaba, duas sílabas, três, quatro ou as 
cinco sílabas. 
 
Para formar um nome com uma única sílaba temos 5 possibilidades. 
 
Cada nome com duas sílabas é um arranjo simples, pois vamos escolher 2 das 5 
sílabas, sem repetir sílaba e observando que a troca de posição de sílaba constitui novo 
nome. Temos, então, A(5,2) = 20 nomes possíveis com duas sílabas. 
 
Usando o mesmo raciocínio anterior, temos A(5,3) = 60 nomes possíveis com três 
sílabas, A(5,4) = 120 nomes possíveis com quatro sílabas e P5 = 120 nomes possíveis 
com as cinco sílabas. 
 
Pelo princípio aditivo temos 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325 nomes diferentes para o 
sabonete. 
 
 
 
Exemplo 7 
 
 Com os pontos A, B, C, D e E da figura abaixo, quantos triângulos com 
vértices nesses pontos podemos construir? 
 
A 
. 
B . . C 
 
D . . E 
 
 
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 Para construirmos um triângulo precisamos de 3 pontos. Para escolhermos o 
primeiro ponto temos 5 possibilidades. Uma vez escolhido o primeiro ponto temos 4 
possibilidades e, já escolhidos dois pontos, temos 3 possibilidades para escolhermos o 
terceiro ponto. Pensaríamos, então, que podemos construir A(5,3) = 5.4.3 = 60 triângulos 
distintos. 
 
 Mas, escolhendo ABC ou BCA ou CAB ou ACB ou BAC ou CBA teremos o mesmo 
triângulo. Portanto, o triângulo ABC foi contado 6 vezes em A(5, 3); o mesmo ocorre para 
todos os demais triângulos formados por 3 desses pontos. Logo, não teremos 60 
triângulos distintos. A ordem em que estamos escolhendo os pontos não é importante, 
logo não pode ser A(5,3). 
 
 Mas veja que ABC, BCA, CAB, ACB, BAC e CBA são as permutações simples de 
A, B e C que correspondem a um único triângulo. 
 
Seja x o número de triângulos distintos formados. Por uma regra de 3 simples 
 
6 permutações de 3 pontos - 1 triângulo distinto 
 A(5,3) - x triângulos distintosobtemos x = 
!3
)3,5(
6
)3,5( AA = = 10 triângulos distintos. 
 
Cada escolha de 3 dos 5 pontos, sem levar em conta a ordem em que são 
escolhidos, é chamada de combinação simples. 
 
 
 
Definição 2.3 
 
 Dado um conjunto A com n elementos distintos, chamamos de combinação 
simples com k dos n elementos de A, a qualquer subconjunto de A que tenha k 
elementos distintos. 
 
 
 Denotamos por Cn, k , C kn , ( )nk ou C(n,k) o número de combinações simples dos 
n elementos distintos de A, tomados k a k. 
 
 
No exemplo 7 encontramos C(5,3) = 10 triângulos distintos. 
 
 
 Calculemos o número de combinações simples com k elementos de um conjunto 
com n elementos distintos. 
 
 Temos A(n, k) arranjos possíveis com k elementos distintos de A. 
 
Cada combinação simples com k elementos corresponde a k! arranjos. 
 
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Como 
1 combinação simples corresponde a k! arranjos e 
 x combinações simples corresponderão a A(n, k) arranjos 
temos 
x = C(n, k) = 
!
),(
k
knA 
 
 Usando (1), C(n, k) também pode ser escrito como 
 
C(n, k) = 
!)!.(
!
!
),(
kkn
n
k
knA
−= (2) 
 
 É importante observar que numa combinação simples (subconjunto) não 
importa a ordem em que os elementos figuram, enquanto que num arranjo simples 
esta ordem é importante. Só com uma análise cuidadosa do enunciado do 
problema, veremos se a ordem é importante ou não. 
 
 
Exemplo 8 
 
 Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos 
de 10 frutas diferentes? 
 
 A ordem em que vamos escolher as frutas para colocar na salada não é 
importante, logo temos C(10,4) = 
!4
)4,10(A = 210 tipos de saladas. 
 
 
Exemplo 9 
 
 Uma comissão de 6 pessoas é formada por membros de um departamento 
composto de 10 homens e 7 mulheres. 
a) Quantas comissões podem ser formadas? 
b) Quantas comissões contendo exatamente 2 homens e 4 mulheres podem ser 
formadas? 
 
 
a) São ao todo 17 pessoas. A ordem em que as pessoas vão ser escolhidas não é 
importante, temos, portanto, C(17, 6) = 
!6
)6,17(A =12376 comissões. 
 
b) Temos que dividir a tarefa de formar comissões com exatamente 2 homens e 4 
mulheres em duas etapas. 
 
Etapa 1 – escolher dois homens dentre os 10 disponíveis. Isto pode ser feito de 
C(10,2)=45 maneiras distintas. 
Etapa 2 – escolher quatro mulheres dentre as 7 disponíveis. Isto pode ser feito de 
C(7,4)=35 maneiras distintas. 
 
 Pelo princípio multiplicativo temos 45.35 = 1575 comissões contendo exatamente 2 
homens e 4 mulheres. 
 
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Exemplo 10 
 
 Uma empresa distribui a cada candidato a emprego um questionário com 3 
perguntas. Na primeira, o candidato deve declarar sua escolaridade escolhendo 
uma das 5 alternativas. Na segunda, deve escolher, em ordem de preferência, três 
de seis locais onde gostaria de trabalhar. Na última deve escolher os dois dias da 
semana em que quer folgar. Quantos questionários, com conjuntos diferentes de 
respostas, pode o examinador encontrar? 
 
 
 Para realizar a tarefa de encontrar o número de questionários com conjuntos 
diferentes de resposta, vamos dividir em 3 etapas. 
 
Etapa 1 – declarar a escolaridade. Isto pode ser feito de 5 maneiras diferentes. 
 
Etapa 2 – escolher 3 de 6 locais para trabalhar. Como deverá ser em ordem de 
preferência, temos A(6,3) = 120 escolhas possíveis. 
 
Etapa 3 – escolher 2 dos 7 dias da semana para folgar. Como a ordem não é importante 
(escolher segunda e sábado para folgar é a mesma coisa que escolher sábado e 
segunda) temos C(7,2) = 21 respostas. 
 
 Pelo princípio multiplicativo temos 5.120.21 = 12600 conjuntos diferentes de 
respostas. 
 
 
 Esteja sempre atento, pois, num mesmo exercício, poderemos encontrar arranjos 
e combinações. É preciso acabar com aquela pergunta costumeira dos nossos alunos “É 
um problema de permutação, arranjo ou combinação?” Precisamos sempre ler o 
problema com atenção. 
 
 
Exemplo 11 
 
Dezessete livros distintos serão distribuídos entre 5 estudantes. De quantas 
maneiras diferentes estes livros podem ser distribuídos de modo que dois destes 
estudantes recebam 4 livros cada um e os outros 3 estudantes recebam 3 livros 
cada um? 
 
 Vamos realizar a tarefa de distribuir os livros em etapas. 
 
1ª etapa: escolher os dois estudantes que receberão 4 livros cada um. 
 Há C(5,2) = 10 modos de fazermos esta escolha. 
 
2ª etapa: escolher os estudantes que receberão 3 livros cada um. 
 Uma vez escolhidos os que ganharão 4 livros, está automaticamente determinado 
quem ganhará 3 livros pois sobraram exatamente 3 estudantes; portanto há uma única 
maneira de escolhê-los. 
 
3ª etapa: escolher os livros de um dos estudantes que receberá 4 livros. 
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 Como a ordem desta escolha não importa, então temos C(17,4) = 2380 maneiras 
de escolher estes 4 livros. 
 
4ª etapa: escolher os livros do segundo estudante que receberá 4 livros, já tendo sido 
escolhidos os livros do outro estudante que receberá 4 livros. 
 Como a ordem desta escolha não importa, então temos C(17 - 4,4) = C(13, 4) = 
715 maneiras de escolher estes 4 livros. 
 
5ª etapa: escolher os livros do primeiro estudante que receberá 3 livros, já tendo sido 
escolhidos os livros dos estudantes que receberão 4 livros. 
 Como a ordem desta escolha não importa, então temos C(13 – 4,3) = C(9, 3) = 84 
maneiras de escolher estes 3 livros. 
 
6ª etapa: escolher os livros do segundo estudante que receberá 3 livros, já tendo sido 
escolhidos os livros dos estudantes que receberão 4 livros e um dos que receberá 3 
livros. 
 Como a ordem desta escolha não importa, então temos C(9-3,3) = C(6, 3) = 20 
maneiras de escolher estes 3 livros. 
7ª etapa: escolher os livros do terceiro estudante que receberá 3 livros, já tendo todos os 
outros estudantes escolhidos os livros. 
 Como a ordem desta escolha não importa, então temos C(6-3,3) = C(3, 3) = 1 
maneira de escolher estes 3 livros. 
 
 Pelo princípio multiplicativo temos: 
C(5, 2) . 1. C(17, 4) . C(13, 4) . C(9, 3) . C(6, 3) . C(3, 3) = 28.588.560.000 maneiras 
diferentes de distribuir os 17 livros pelos 5 estudantes, recebendo 2 deles 4 livros e os 
demais 3 livros. 
 
 
Exemplo 12 
 
Em um colégio há 5 professores de Língua Portuguesa, 4 de Matemática e 2 
de Química. 
Quantas comissões com 4 desses professores podem ser formadas: 
a)sem restrições; 
b)havendo em cada comissão exatamente um professor de Química e pelo menos 
dois professores de Matemática? 
 
a) Como não é importante a ordem de escolha das pessoas que participarão da 
comissão, temos C(11, 4) = 330 comissões. 
 
b) Temos que dividir o problema em 2 casos. 
. fixando um professor de Química e 2 de Matemática precisamos para completar uma 
comissão de 1 professor de Língua Portuguesa. Temos, então, 
C(2,1) . C(4,2) . C(5,1) = 2.6.5 = 60 comissões 
 
. fixando um professor de Química e 3 de Matemática não teremos professor de 
Matemática na comissão: 
C(2,1).C(4,3) = 2.4 = 8 comissões 
 
Pelo princípio aditivo temos 60 + 8 = 68 comissões 
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Exemplo 13 
 
Uma lanchonete oferece “sanduíches personalizados” de carne e queijo. 
Para montar seu sanduíche você escolhe um dos 4 tipos de carne, um dos 3 tipos 
de queijo e, se quiser, pode escolher no máximo 3 acompanhamentos dentro dos 
seguintes: pickles, tomate, ketchup, cebola, alface e mostarda. 
Quantos sanduíches diferentes de carne e queijo, com ou sem 
acompanhamentos, poderão ser feitos? 
 
 Como o sanduíche é de carnee queijo sem acompanhamento ou até o máximo de 
3 acompanhamentos, temos que fazer a contagem separadamente. 
 
 Número de sanduíches só com carne e queijo é igual a 4. 3 = 12, pois temos 4 
opções de carne e 3 de queijo. 
 
 
 Número de sanduíches com carne e queijo e um acompanhamento é igual a 
4.3.6 = 72, pois temos 4 opções para a carne, 3 para queijo e 6 opções de 
acompanhamento. 
 
 Número de sanduíches com carne e queijo e dois acompanhamentos é igual a 
4.3.C(6,2) = 4.3.15 =180 pois temos 4 opções de carne, 3 de queijo e das 6 opções de 
acompanhamentos podemos escolher 2 delas. 
 
 Número de sanduíches com carne e queijo e três acompanhamentos é igual a 
4.3.C(6,3) = 4.3.20 =240 pois temos 4 opções de carne, 3 de queijo e das 6 opções de 
acompanhamentos podemos escolher 3 delas. 
 Total = 12 + 72 + 180 + 240 = 504 sanduíches personalizados. 
 
Neste exercício, a ordem de escolha de 2 ou 3 acompanhamentos não é 
importante. 
 
 
 
Exemplo 14 
 
 De um grupo de sete crianças, de quantas maneiras distintas posso escolher 
3 delas para uma visita ao Zoológico? De quantas maneiras posso escolher as 4 
crianças que não irão ao Zoológico? 
 
 Como a ordem em que as crianças serão escolhidas não é importante, temos 
C(7,3) = 35 maneiras de se escolher as 3 crianças que irão visitar o Zoológico. 
 
 Observemos que cada escolha de 3 crianças que irão visitar o Zoológico, está 
determinado de forma automática e única, as 4 crianças que não irão. Logo, temos 
C(7,4) = 35 maneiras de escolher as que não irão. Ou seja, C(7,3) = C(7,4) 
 
 Estas combinações são chamadas de combinações complementares. 
 
 
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Generalizando, sendo A um conjunto com n elementos, cada combinação de k 
elementos determina, de forma única, uma combinação com os n-k elementos restantes. 
 
Logo, 
C(n,k) = C(n, n-k) (3) 
 
 
 
Observação 
 
 Na relação (3) se fizermos k = n teremos C(n,n) = C(n,0). 
 
 Temos que C(n,n) = 1, pois o único subconjunto com n elementos que se pode 
obter de um conjunto com n elementos é o próprio conjunto. 
 
 Logo, C(n,0) = 1 (4) 
 De (2), C(n, 0) = 
!0
1
)!0!.(0
! =−n
n (5) 
 
Para que (4) seja igual a (5), teremos que ter 0!=1. Isto justifica ter sido escolhido 1 
para 0! na definição 2.2. 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
1 - Qual é o conjunto solução da equação (x!)2 = 36? R.: 3 
 
2 – Qual é a soma e o produto das raízes da equação (x+1)! = x! + 6x ? R.: 3 e 0 
 
3 – Demonstre a relação (3) da página 9 a partir da relação (2). 
 
4 - De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário 
para um conselho que tem 12 membros? R.: 132 
 
5 – (MACK) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. Qual o número de modos distintos 
de as pessoas ocuparem as cadeiras ? R.: 1680 
 
6 – De quantas maneiras distintas posso distribuir 10 pessoas em 3 grupos onde um terá 
5 pessoas, o outro 3 e o terceiro 2 pessoas? R.: 2520 
 
7 – Em relação à palavra CEBOLA, 
a) quantos são os anagramas? R.: 720 
b) quantos anagramas começam com a letra O? R.: 120 
c) quantos anagramas começam por vogal? R.: 360 
d) quantos anagramas começam e terminam por vogal? R.: 144 
e) quantos anagramas têm as letras L e A juntas e em qualquer ordem? R.: 240 
f) quantos anagramas têm as letras L e A separadas? R.: 480 
 
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8 - (FUVEST) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao 
acaso, entre os números 1, 2, 3,..., 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) 
de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4 
(quadra), 5 (quina) ou todos os 6 (sena). 
Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz 
todos os C(20, 6) = 38.760 jogos possíveis de serem realizados com esses 20 números. 
Realizado o sorteio, ele verifica que todos os 6 números estão entre os 20 que ele 
escolheu. Além de uma aposta premiada com a sena: 
a) quantas apostas premiadas com a quina este apostador conseguiu? R.: 84 
b) quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu? R.: 1.365 
 
9 – Uma loteria esportiva consiste em marcar corretamente num cartão os resultados de 
13 jogos de futebol. Para cada jogo o apostador deverá escolher uma das 3 opções: 
vitória do primeiro time, empate ou vitória do terceiro time. Um prognóstico duplo 
consiste da escolha num jogo de 2 das 3 opções e um prognóstico triplo consiste da 
escolha das 3. De quantos modos se pode preencher o cartão da loteria esportiva com 
quatro prognósticos duplos e dois triplos? R.: 311C(13, 4).C(9,2). 
 
10 - (FUVEST) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos 
distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas 
elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os 
trabalhos? R.: 36 
 
11 – (FUVEST) Participam de um torneio de voleibol, 20 times distribuídos em 4 chaves, 
de 5 times cada. 
 Na 1ª fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), 
todos contra todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de cada chave passam para 
a 2ª fase. 
 Na 2ª fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor 
permanece no torneio. Qual o número de jogos necessários até que se apure o campeão 
do torneio? R.: 47 
 
12 - Um examinador dispõe de 6 questões de álgebra e 4 de geometria para montar uma 
prova de 4 questões. Quantas provas diferentes ele pode montar, escolhendo 2 questões 
de álgebra e 2 de geometria, não importando a ordem das questões? R.: 90 
 
13 - Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo 
de 8 homens e 5 mulheres. 
a) Quantas comissões podem ser formadas? R.: 560 
b) Qual seria a quantidade de comissões formadas se um dos homens não aceitasse 
participar da comissão se nela estivesse determinada mulher? R.: 434 
 
14 - (PUC) Uma função f está definida no conjunto A = { 1,2,3...,10 } e associa, a cada 
elemento x ∈ A, o número f (x) de subconjuntos de A, aos quais x pertence e que 
possuem x elementos. Qual o valor máximo de f (x)? R.: 126 
 
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