Relatório Experimental linhas de transmissão

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Linhas de transmissa˜o
Augusto Lassen
Professora:Cilaine Veronica Teixeira
22 de Agosto de 2015
Resumo
O experimento buscava medir experimentalmente a capacitaˆncia,
indutaˆncia e impedaˆncia de um cabo de transmissa˜o, bem como estu-
dar a natureza da propagac¸a˜o e reflexa˜o das ondas eletromagne´ticas
em cabos desse tipo. Apesar da defasagem em alguns dados, num as-
pecto geral o experimento mostrou sucesso, corroborando as previso˜es
teo´ricas.
Introduc¸a˜o
As linhas de transmissa˜o sa˜o um dos exemplos do uso pra´tico proveniente
do estudo do eletromagnetismo. As linhas de transmissa˜o esta˜o presentes no
nosso dia-a-dia e sa˜o indispensa´veis para a sociedade moderna. Estudar suas
propriedades e como as ondas eletromagne´ticas se comportam nessas linhas
de transmissa˜o pode ser satisfatoriamente esclarecedor e importante.
As linhas de transmissa˜o sa˜o formadas por cabos coaxiais, compostos por
uma camada exterior isolante, fios(usualmente cobre) e mais uma camada
de material isolante.Vemos que o cabo possui dois raios que nos interessam,
que denominamos r1 e r2.Na figura 1 vemos uma representac¸a˜o de um desses
cabos coaxiais exposto a um potencial V0.
Figura 1: Representac¸a˜o cabo coaxial
1
Sabemos que capacitaˆncia e´ um conceito definido como a quantidade de
carga que um capacitor consegue armazenar em suas duas placas dada uma
certa diferenc¸a de potencial entre estas. Matematicamente, esse conceito
pode ser exibido como na forma abaixo:
C ≡ q
V
A expressa˜o pode ser adaptada para um capacitor cil´ındrico, que e´ o caso
do cabo coaxial, partindo do pressuposto de que o campo ele´trico entre as
placas seja dado pela equac¸a˜o 1 e que o potencial ele´trico seja definido como
na expressa˜o 2:
~|E| = σ
ε0
(1)
Onde σ representa a densidade superficial de cargas [3]
V ≡ V+ − V− =
∫ −
+
E.dl (2)
Combinando ambas expresso˜es, obtemos que a capacitaˆncia de um capacitor
cil´ındrico por unidade de comprimento pode ser dada pela expressa˜o 3:
C ′ =
2piε
ln( r2
r1
)
(3)
Nota-se que, tendo medido o comprimento do cabo, e medindo os raios in-
terno e externo do cabo, ja´ podemos medir um valor de capacitaˆncia para
o cabo.Usando a lei de Biot-Savart e o fato de que que o fluxo por unidade
de comprimento e´ dado por Φ = L′i onde L′ e´ a indutaˆncia por unidade de
comprimento, temos a expressa˜o 4:
L′ =
µ0
2pi
ln(
r2
r1
) (4)
Constata-se que facilmente obte´m-se o valor de indutaˆncia por unidade de
comprimento medindo-se os raios interno e externo do cabo coaxial.
Importante notar que, uma vez que os cabos das linhas de transmissa˜o
constituem dois condutores e estes transmitem pulsos ele´tricos, sabemos que
ha´ transporte na˜o so´ de energia ele´trica, como magne´tica tambe´m. E´ conve-
niente, portanto, representar o fio, de uma extremidade a outra, como uma
sucessa˜o de capacitores e indutores, que podem ser representados por um
circuito como o da figura 2.
2
Figura 2: Representac¸a˜o do circuito formado pelo cabo
Como C ′ representa a capacitaˆncia por unidade de comprimento e L′ a
indutaˆncia por unidade de comprimento, vemos que para um comprimento
∆x, temos uma diferenc¸a de potencial ∆V tal que:
∆V = −L′∆x∆I
∆t
Quando ∆x→ 0 e ∆t→ 0 temos que:
∂V
∂x
= −L′∂I
∂t
(5)
Que nada mais e´ do que a equac¸a˜o anterior na forma diferencial, isto e´,
prevendo valores infinitamente pequenos.De maneira semelhante tem-se que
∆I∆t = q. Novamente fazendo x e t tenderem a zero, teremos que:
∂I
∂x
= −C ′∂V
∂t
(6)
Derivando a expressa˜o 6 em relac¸a˜o a x teremos que:
∂
∂x
(
∂I
∂x
) = −C ′ ∂
∂x
(
∂V
∂t
)
∂2I
∂x2
= −C ′ ∂
∂t
(
∂V
∂x
)
A partir da expressa˜o 5 podemos denotar que:
∂2I
∂x2
= L′C ′
∂2I
∂t2
(7)
Que se assemelha a` equac¸a˜o da onda:
∂2Ψ(x, t)
∂x2
=
1
v2
∂2Ψ(x, t)
∂t2
Onde Ψ(x, t) e´ uma func¸a˜o de onda qualquer.
3
Isso mostra, portanto, que a onda concernente a` propagac¸a˜o de corrente
ele´trica obedece a` equac¸a˜o da onda. Se iniciarmos a operac¸a˜o efetuada acima
derivando em relac¸a˜o ao tempo, obteremos resultado igual para a func¸a˜o de
onda de V(x,t). Na equac¸a˜o da onda, o termo que multiplica a diferencial
temporal, e´ o termo 1
v2
. Comparando a` equac¸a˜o 7, temos que:
v =
1√
L′C ′
(8)
Isso nos fornece a velocidade de propagac¸a˜o da onda eletromagne´tica no cabo
coaxial. A corrente ele´trica e o potencial ele´trico percorrem o cabo coaxial
de tal maneira que possamos representa´-los por uma func¸a˜o de x e t [3]. As
func¸o˜es sa˜o tais que:
V (x, t) = V0(t− x
v
)
I(x, t) = I0(t− x
v
)
Substituindo essas func¸o˜es na equac¸a˜o 5 podemos demonstrar que a relac¸a˜o
abaixo e´ va´lida:
V (x, t) = vL′I(x, t)
Visto que a resisteˆncia interna do cabo esta´ sendo desconsiderada, a im-
pedaˆncia do circuito e´ a pro´pria reataˆncia indutiva deste.Obte´m-se, portanto,
as seguintes relac¸o˜es:
Z =
V (x, t)
I(x, t)
Z = vL′ =
√
L′
C ′
=
ln( r1
r2
)
2piε0c
(9)
Em que c e´ a velocidade de propagac¸a˜o da luz no va´cuo. Como o pulso sera´
refletido, veremos que as func¸o˜es de onda representadas para o potencial
e a corrente no cabo tera˜o um sentido positivo e um sentido negativo de
deslocamento. Para o sentido de deslocamento negativo, temos uma alterac¸a˜o
no sinal do termo x
v
:
I− = I0(t+
x
v
)
V− = V0(t+
x
v
)
Ja´ que a onda reflete na ponta do cabo por conta de sua extremidade ser
uma resisteˆncia considerada infinita, denotamos que:
V (x, t) = V− + V+ = V0(t+
x
v
) + V0(t− x
v
) (10)
4
I(x, t) =
[V0(t− xv ) + V0(t+ xv )]
Z
(11)
Claramente podemos utilizar a expressa˜o 10 para reformular a expressa˜o 11.
Fazendo a substituic¸a˜o, considerando que, ao fim do percurso x = l, e que
V (l, t) = RI(l, t) tem-se que:
V0(t+
l
v
) = [
R− Z
R + Z
]V0(t− l
v
) (12)
Onde R e´ a resisteˆncia de uma das extremidades do cabo. Nota-se que se
R = 0 o pulso refletido sera´ o inverso do pulso anterior. Se R = ∞ vemos
que o pulso refletido e´ exatamente igual ao pulso original.
Materiais utilizados
1. Cabo coaxial com sa´ıda bnc
2. Oscilosco´pio de 100 MHz
3. Gerador de pulso 50 ns
4. Cabo coaxial curto para ligar o gerador ao oscilosco´pio
5. 2 ou mais jacare´s
6. Potencioˆmetro linear de 100 Ω
7. Paqu´ımetro
8. Trena
9. Mult´ımetro
10. Ponte RLC
11. T com sa´ıda bnc
Procedimentos
As primeiras medidas realizadas foram as necessa´rias para se obter L′ e
C ′, ou seja, medir os raios interno e externo do cabo coaxial. Para isto, foi
utilizado um paqu´ımetro graduado com uma incerteza de ±0, 005 cm.
5
Para medir o comprimento do cabo, o grupo utilizou-se da mesa. Com
a trena (precisa˜o de 0,05 cm), medimos quanto a mesa tinha de uma extre-
midade a` outra e enta˜o utilizamos esta como refereˆncia de medida para o
cabo.Os valores medidos para diferentes cabos encontram-se em uma tabela
situada na sec¸a˜o Ana´lise de dados.
Com o mult´ımetro e os jacare´s, liga-se o cabo e realiza-se a medida de
sua capacitaˆncia. Tendo a capacitaˆncia, os valores dos raios envolvidos e o
comprimento do cabo, e´ poss´ıvel isolar o termo ε na equac¸a˜o 3 e descobrir seu
valor atrave´s dos valores ja´ mensurados. Nota-se que ε 6= ε0, uma vez que ε0
e´ a constante de permissividade do va´cuo, que certamente na˜o corresponde
ao interior do cabo. De forma parecida, e´ poss´ıvel realizar uma mensurac¸a˜o
do valor de indutaˆncia do cabo, uma vez que os termos da equac¸a˜o 4 sa˜o
todos conhecidos.
Para testar a veracidade da expressa˜o 8, o grupo ligou o cabo ao os-
cilosco´pio, de maneira que o cabo fosse percorrido por uma onda eletro-
magne´tica proveniente do gerador de pulsos em uma frequeˆncia bem defi-
nida.Atrave´s das imagens do oscilosco´pioe´ poss´ıvel definir o tempo de fase
da onda, que chamaremos de tprop. Dessa maneira, a velocidade de pro-
pagac¸a˜o da onda da´-se pela distaˆncia percorrida pela onda (2l) em um certo
tempo:
v =
2l
tprop
E´ poss´ıvel, portanto, comparar o resultado obtido com o outro valor de ve-
locidade obtido pela expressa˜o 8.
E´ poss´ıvel determinar o valor de impedaˆncia atrave´s da expressa˜o 9, onde
ε0 deve ser substitu´ıdo pelo valor de ε encontrado anteriormente.Ao refletir
sobre a natureza da propagac¸a˜o das ondas no cabo, pore´m, observa-se que,
com o mult´ımetro e o potencioˆmetro, e´ poss´ıvel ”zerar”o sinal do pulso re-
fletido. Atrave´s da expressa˜o 12 vemos que a condic¸a˜o para isto acontecer e´
a de que R = Z. Supo˜em-se, portanto, que, nesse momento, a resisteˆncia do
circuito seja igual a` impedaˆncia. Com o mult´ımetro ligado ao potencioˆmetro,
portanto, realiza-se a medida da resisteˆncia. Nota-se que o fato de ”zerar”o
sinal da onda refletida e´ algo bem subjetivo, e que certamente sera´ uma das
fontes de erro da medida. Os resultados das medidas seguem na pro´xima
sec¸a˜o.
Ana´lise de dados
Segundo os procedimentos detalhados na etapa anterior, foi poss´ıvel cons-
truir duas tabelas contendo os valores obtidos nas medidas, que seguem logo
6
abaixo.
Tabela 1: Dados e dimenso˜es experimentais
Cabo 1 Cabo 2 Cabo 3
l(m) 12, 937(±0, 007) 18, 161(±0, 005) 37, 1(±0, 01)
2r1(mm) 0, 95(±0, 03) 0, 80(±0, 05) 0, 90(±0, 05)
2r2(mm) 2, 95(±0, 03) 2, 90(±0, 05) 3, 70(±0, 05)
C(nF) 1, 2(±0, 1) 1, 9(±0, 1) -
C′(pF/m) 92(±8) 105(±6) 333(±88)
�R(pF/m) 16(±1) 21(±1) 39(±11)
L′(µH/m) 0, 227(±0, 004) 0, 256(±0, 006) 0, 15(±0, 01)
v(108m/s) 2, 2(±0, 1) 1, 93(±0, 06) 1, 4(±0, 2)
Z(Ω) 50(±2) 49(±2) 46(±14)
Tabela 2: Resultados obtidos utilizando o oscilosco´pio
Cabo 1 Cabo 2 Cabo 3
tprop.(ns) 131, 0(±0, 1) 182, 0(±0, 1) 150
v(108m/s) 1, 975(±0, 002) 1, 996(±0, 001) 4, 64± 0, 05
R = Z(Ω) 48, 6(±0, 1) 62, 3(±0, 1) 44, 2(±0, 1)
(a) (b)
(c) (d)
Figura 3: Sinais obtidos no oscilosco´pio para o cabo 1
7
No oscilosco´pio, o grupo observou o pulso e a reflexa˜o deste. Quando a
resisteˆncia e´ infinita, conforme ja´ comentado anteriormente, o pulso refletido
e´ exatamente igual ao pulso emitido(caso das imagens a e c). Quando a
extremidade do cabo foi ligada, e tornamos a resisteˆncia da extremidade
igual a 0, ja´ se previa, pela equac¸a˜o 12, que a onda refletida voltaria oposta
a` onda normal. E´ poss´ıvel observar esse caso na imagem d. Percebe-se que
ha´ um ana´logo mecaˆnico: as cordas presas a uma extremidade fixa ou soltas
na extremidade, que tambe´m sa˜o ondas transversais.
Posteriormente, o grupo tentou setar o potencioˆmetro de maneira que a
onda refletida fosse praticamente 0, como e´ o caso da figura b. Isso possibilita
uma nova estimativa do valor de impedaˆncia a partir do valor de resisteˆncia
medido.
Conclusa˜o
O experimento mostrou resultados muito satisfato´rios, num aspecto geral,
mesmo estando os procedimentos vulnera´veis a va´rias fontes de erro. Apoi-
ados sobre a teoria cla´ssica, os grupos realizaram medidas ba´sicas acerca do
formato do cabo, e foi poss´ıvel, a partir disso, descobrir muitas outras in-
formac¸o˜es sobre este. Como ja´ comentado anteriormente, a onda refletida
reage de maneira muito bem determinada a casos onde o cabo tem sua ex-
tremidade livre (R =∞) ou para quando o cabo esta´ em curto (R = 0). Isso
foi observado atrave´s do oscilosco´pio, que corrobora as previso˜es teo´ricas.
Alguns resultados, no entanto, na˜o se mostraram ta˜o satisfato´rios, anali-
sados individualmente.O experimento, realizado com 4 cabos (um dos grupos
deixou de apresentar os dados) mostrou convergeˆncia, em certos resultados,
por exemplo, para 2 cabos, mas na˜o para o outro.O caso mais gritante certa-
mente diz respeito aos resultados do cabo 3, que resultam numa velocidade
de propagac¸a˜o no cabo superior a` velocidade da luz.Os resultados mais co-
erentes indicam que a velocidade de propagac¸a˜o das ondas eletromagne´ticas
no cabo convergem para 2
3
da velocidade da luz no va´cuo.
A impedaˆncia e a resisteˆncia medidas encontram-se, nos casos gerais,
dentro da incerteza uma da outra, o que corrobora, tambe´m, as previso˜es
teo´ricas apresentadas na introduc¸a˜o.
Obs.: O grupo 4 deixou de apresentar os dados, mesmo apo´s apo´s a prorrogac¸a˜o da
data de entrega, pelo menos ate´ a data e hora´rio da entrega do presente relato´rio (22 de
agosto, 00:30).
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Refereˆncias
[1] Halliday, David - Fundamentos de f´ısica, volume 3: Eletricidade
e magnetismo, 8a ed. Rio de Janeiro, LTC, 2009.
[2] Halliday, David - Fundamentos de f´ısica, volume 4: O´ptica e
f´ısica moderna, 8a ed. Rio de Janeiro, LTC, 2009.
[3] H. Nussenzveig, Moyse´s - Curso de f´ısica ba´sica, volume 3: ele-
tromagnetismo 4a ed.,Edgard Blu¨cher LTDA.,2003
9