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Prova2AeroCalc3-16-06-11

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Prova 2 de Ca´lculo III SMA-0333 - 16-06-2011
Professor Marcelo Jose´ Saia
QUESTO˜ES NOTAS
1.a
2.a
NOME: 3.a
4.a
N.o USP: Total
1. (Valor 3,0) a) Determine a forma complexa da se´rie de Fourier da func¸a˜o: f(x) = x, para
−L < x ≤ L e perio´dica de per´ıodo 2L.
b) Determine os valores de x para os quais esta se´rie converge para a func¸a˜o f(x). De-
termine os limites de convergeˆncia para os outros valores de x.
2. (Valor 2,5) a) Dada a func¸a˜o f(x) = x
2
2
, para −L < x ≤ L e perio´dica de per´ıodo 2L,
mostre que a sua se´rie de Fourier e´ dada por
L2
6
+
2L2
pi2
( ∞∑
n=1
(−1)n
n2
cos
npix
L
)
.
b) Use a identidade de Parseval nesta se´rie de Fourier para descrever uma se´rie nume´rica
que converge para pi4.
3. (Valor 3,0) a) Escreva a func¸a˜o f(x) = 1− x, definida no intervalo [0, 1], como uma se´rie
de cossenos.
b) Determine a se´rie de Fourier da soluc¸a˜o y(x) da equac¸a˜o diferencial
{y′ − y = 1− x, com y(0) = 1.
4. (Valor 1,5) a) Mostre que
pi2
12
=
∞∑
n=1
(−1)n+1
n2
.
1

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