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Prova 2 de Ca´lculo III SMA-0333 - 16-06-2011 Professor Marcelo Jose´ Saia QUESTO˜ES NOTAS 1.a 2.a NOME: 3.a 4.a N.o USP: Total 1. (Valor 3,0) a) Determine a forma complexa da se´rie de Fourier da func¸a˜o: f(x) = x, para −L < x ≤ L e perio´dica de per´ıodo 2L. b) Determine os valores de x para os quais esta se´rie converge para a func¸a˜o f(x). De- termine os limites de convergeˆncia para os outros valores de x. 2. (Valor 2,5) a) Dada a func¸a˜o f(x) = x 2 2 , para −L < x ≤ L e perio´dica de per´ıodo 2L, mostre que a sua se´rie de Fourier e´ dada por L2 6 + 2L2 pi2 ( ∞∑ n=1 (−1)n n2 cos npix L ) . b) Use a identidade de Parseval nesta se´rie de Fourier para descrever uma se´rie nume´rica que converge para pi4. 3. (Valor 3,0) a) Escreva a func¸a˜o f(x) = 1− x, definida no intervalo [0, 1], como uma se´rie de cossenos. b) Determine a se´rie de Fourier da soluc¸a˜o y(x) da equac¸a˜o diferencial {y′ − y = 1− x, com y(0) = 1. 4. (Valor 1,5) a) Mostre que pi2 12 = ∞∑ n=1 (−1)n+1 n2 . 1
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