Lei de Gauss

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Fluxo Elétrico eFluxo Elétrico e
 Lei de GaussLei de Gauss
E

nˆ
θ
nˆ
E

nˆ
E

θ
1
2
3
SuperfícieSuperfície
gaussianagaussiana associando dS a associando dS a nˆ
ˆdS dS n=

fluxo do vetor fluxo do vetor 
através de dSatravés de dS
E

d E dSφ =  g
como o módulo decomo o módulo de
dá a densidade dedá a densidade de
linhas de forçalinhas de força
dará o número totaldará o número total
de linhas de forçade linhas de força
através da superfícieatravés da superfície
dS.dS.
E

E dS

g
E

nˆ
θ
nˆ
E

nˆ
E

θ
1
2
3
SuperfícieSuperfície
gaussianagaussiana fluxo do vetor fluxo do vetor 
através de dSatravés de dS
E

S
E dSφ = ∫  g
fluxo total em todafluxo total em toda
a superíciea superície
d E dSφ =  g
para uma superfíciepara uma superfície
fechadafechada
S
E dSφ = ∫  gÑ
E

nˆ
θ
nˆ
E

nˆ
E

θ
1
2
3
SuperfícieSuperfície
gaussianagaussiana para uma superfíciepara uma superfície
fechadafechada
S
E dSφ = ∫  gÑ
fluxo positivofluxo positivo
Linhas de força saemLinhas de força saem
da superfícieda superfície
fluxo negativofluxo negativo
Linhas de força entramLinhas de força entram
na superfíciena superfície
Lei de GaussLei de Gauss
E

nˆ
θ
nˆ
E

nˆ
E

θ
1
2
3
SuperfícieSuperfície
gaussianagaussiana
“ “ O fluxo elétrico para qualquerO fluxo elétrico para qualquer
 superfície fechada é igual àsuperfície fechada é igual à
 carga resultante encerrada pelacarga resultante encerrada pela
 superfície , dividida por “superfície , dividida por “oε
N
i 1
oS
i
q
E dS ==
ε
∑∫  gÑ
Lei de GaussLei de Gauss para uma carga +q no interior de um 
volume limitado por uma superfície S.
dS
+q
O
P
dr
S
1
V
θ
E

dS

E
S
E dSΦ = ∫  gÑ
E
S
E dS cosΦ = θ∫Ñ
 mas :mas : 2
o
1 qE
4 r
=
pi ε
“ “ Campo elétrico em P , umCampo elétrico em P , um
 ponto da superfície S , devidoponto da superfície S , devido
 a carga +q localizada em O “a carga +q localizada em O “
dS
+q
O
P
dr
S
θ
E

dS

E 2
So
q dS cos
4 r
Φ = θ
pi ε ∫Ñ
“ “ ângulo sólido “ângulo sólido “
E
So
q d
4
Φ = Ω
pi ε ∫
1 2 3
Ñ
4 pi
E
o o
q q4
4
Φ = pi =
pi ε ε E
o
qΦ =
ε
“ “ uma carga nouma carga no
 interior de S “interior de S “
dS
+q
O
P
dr
S
θ
E

dS

Para várias cargas no interior de SPara várias cargas no interior de S
N
i 1
oS
i
q
E dS ==
ε
∑∫  gÑ
N
i 1
i
q
=
∑ - distribuição discreta - distribuição discreta 
 de cargasde cargas
O que acontece se a carga não for
 envolvida pela superfície?
� cada linha de força
 corta a superfície
 duas vezes.
Para uma carga no exterior de SPara uma carga no exterior de S
+q
E

dS

dS

E

 
S
E dS I II= +∫  gÑ
E

E

- aponta para
 fora
- aponta para
 dentro
mesmo ângulo sólido, mas com sinais opostos,
 na soma dá zero.
Lei de Gauss para uma distribuição contínuaLei de Gauss para uma distribuição contínua
oS
1E dS dV= ρ
ε∫ ∫ gÑ
Aplicações da Lei de GaussAplicações da Lei de Gauss
 Talvez, uma das maiores dificuldades que encontramos 
quando queremos aplicar a Lei de Gauss numa certa situação 
resida na determinação de uma superfície conveniente 
envolvendo as cargas que produzem o campo elétrico que 
desejamos calcular. 
� distribuição
 contínua de
 cargas.
A citada superfície deverá acompanhar a simetria do
 problema em mãos e deverá conter o ponto no 
qual queremos conhecer o campo.
superfície
gaussiana
+q
r
P
Para uma carga puntiformePara uma carga puntiforme
eˆ
dS

E
 N
i 1oS
i
1E dS q
=
=
ε
∑∫  gÑ
oS
qE dS cos θ =
ε∫ 142 43Ñ
� Lei de GaussLei de Gauss
� Como só temos uma cargaComo só temos uma carga
oS
qE dS =
ε∫Ñ
1
oS
qE dS =
ε∫
142 43
Ñ
2
o
qE 4 rpi =
ε 2o
1 qE
4 r
=
pi ε
oS
qE dS =
ε∫Ñ
 O módulo do vetor é
 constante em todos os
 pontos da superície gaussiana
E

24 rpi
Que é o campo elétrico
 devido a uma carga
puntiforme.
superfície
gaussiana
+q
r
P
eˆ
dS

E

Campo de uma linha infinita uniformimente carregadaCampo de uma linha infinita uniformimente carregada
superfície 
gaussiana
dS
S
linha 
carregada 
uniformemente
h
dS
 E

N
i 1oS
i
1E dS q
=
=
ε
∑∫  gÑ
� Lei de GaussLei de Gauss
total
oS
q
E dS =
ε∫  gÑ
totalo
oS
q
E dS cos 0 =
ε∫ 142 43Ñ
1
� Como temos uma distribuiçãoComo temos uma distribuição
uniformeuniforme
total
oS
q
E dS =
ε∫Ñ
total
oS
q
E dS =
ε∫
142 43
Ñ
2 r hpi
total
o o
q hE 2 r h λpi = =
ε ε o
E
2 r
λ
=
pi ε
superfície 
gaussiana
dS
S
linha 
carregada 
uniformemente
h
dS
 E

� continuandocontinuando
 O módulo do vetor é
 constante em todos os
 pontos da superície gaussiana
E

� entãoentão
Campo devido a um plano infinitoCampo devido a um plano infinito
+
plano
carregado
uniformemente
superfície 
gaussiana
E

+
+
+ ++++
2dS

3dS

1dS

E

� da figura vemos :da figura vemos :
3E dS⊥

S
E dS 0=∫  gÑ
S
� para a área A, superiorpara a área A, superior
e inferior :e inferior :
1 2
1 2
S S
E dS E dS=∫ ∫  g gÑ Ñ
1 2E S E S E S= =
� então :então :
o oS
total
q1E dS ds= σ =
ε ε∫∫  gÑ
� Lei de GaussLei de Gauss
o
S2E S σ=
ε
o
E
2
σ
=
ε
+
plano
carregado
uniformemente
superfície 
gaussiana
E

+
+
+ ++++
2dS

3dS

1dS

E

S
1 2
1 2
S S
E dS E dS 2E S+ =∫ ∫  g gÑ Ñ
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