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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA LUIZ ROBERTO 1 Taxa de juros 1 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial AULA 10 Teorema de Bayes e Função Binomial 2 Taxa de juros Objetivos da AULA 10 - Independência de eventos - Teorema de Bayes Função de Probabilidade Binomial 3 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. P(E1 E2 E3 E4) = P(E1).P(E2).p(E3).P(E4) 4 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS Um evento A é considerado independente de outro evento B se a probabilidade de A é igual a probabilidade condicional de A dado B: p(A) = p(A/B) Da mesma forma, se A é independente de B, B é independente de A: P(B) = P(B/A) Considerando o Teorema do Produto, pode-se afirmar que se A e B são independentes, então: P(A B) = p(A) . p(B) 5 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS Exemplo: Uma caixa tem 10 bolas, sendo 4 vermelhas e 6 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na caixa, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? 6 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros Solução: Como os eventos são independentes: p(A B) = p(A) . p(B) A probabilidade de sair vermelha na 1ª retirada é 4/10 e a de sair azul na segunda retirada 6/10. Logo: 4/10. 6/10 = 6/25 = 0,24 = 24%. Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, p(B/A) = p(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda. 7 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros Exercício 1 Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças, uma após a outra, com reposição. Calcular a probabilidade de ambas serem boas. Notem: A e B são independentes, pois p(B) = p(B/A) p(A B) = p(A) . p(B) = 8 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros INDEPENDÊNCIA DE 3 EVENTOS A, B, C ⊂ Ω são independentes se são dois a dois independentes: (1) A independente de B; p(A B) = p(A) . p(B) B independente de C; p(B C) = p(B) . p(C) A independente de C; p(A C) = P(A) . p(C) (2) e, também, CONJUNTAMENTE INDEPENDENTES: P(A B C) = P(A) . P(B) . P(C) 9 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros Exercício 2 : Seja Ω = {1, 2, 3, 4} um espaço amostral equiprovável. São dados três eventos: A = {1, 2} B = {1, 3} C = {1, 4} Verificar se os eventos A, B e C são independentes. 10 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros Solução: Ω = {1, 2, 3, 4} Para A e B: A = {1, 2} B = {1, 3} p (A) = ; p (B) = ; p(A B) = Logo: p(A B) = p(A) . p(B) = Os eventos A e B são independentes. 11 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros Ω = {1, 2, 3, 4} Para A e C: A = {1, 2} C = {1, 4} p (A) = ; p (C) = ; p(A C) = Logo: p(A C) = p(A) . p(C) = Os eventos A e C são independentes. 12 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros Ω = {1, 2, 3, 4} Para B e C: B = {1, 3} C = {1, 4} p (B) = ; p (C) = ; p(B C) = Logo: p(B C) = p(B) . p(C) = Os eventos B e C são independentes. 13 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros Ω = {1, 2, 3, 4} Para A, B e C: A = {1, 2} B = {1, 3} C = {1, 4} p (A) = ; p (B) = ; p (C) = ; p(A B C) = Logo: p(A B C) ≠ p(A) . p(B) . p(C) = Os eventos A, B e C não são independentes. 14 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros Exercício: Uma carta é selecionada de um baralho com 52 cartas. Seja A o evento “a carta selecionada é um ás”, e B o evento “a carta selecionada é de espadas”. A e B são independentes? SIM, pois P(A B) = 1/52 (uma carta) e P(A) = 4/52 ; P(B) = 13/52 Logo: 4/52 . 13/52 = 1/52 = P(A B) 15 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros TEOREMA DE BAYES Thomas Bayes (pronunciado /ˈbeɪz/ ou "bays") O Teorema de Bayes mostra a relação entre uma probabilidade condicional e a sua inversa: a probabilidade de uma hipótese dada a observação de uma evidência e a probabilidade da evidência dada pela hipótese. 16 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros TEOREMA DE BAYES Thomas Bayes (pronúncia: beɪz) Seja A1, A2, A3, ... An, n eventos mutuamente exclusivos tais que Ω = {A1 A2 A3, ... An} Sejam p(Ai ) as probabilidades dos vários eventos e B um evento qualquer de Ω tal que são conhecidas todas as probabilidades condicionais p(A/B). 17 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros TEOREMA DE BAYES Então, para cada “i ” temos: O resultado acima é importante, pois relaciona probabilidades a priori p(Ai ) com probabilidades a posteriori p(Ai / B), ou seja, probabilidade de Ai depois que ocorrer B. 18 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros TEOREMA DE BAYES Suponha os eventos A1 e A2. De acordo com o Teorema de Bayes, a probabilidade do evento A1 ocorrer dado que o evento B ocorreu é: São dados: P(A1) = 2/3 p(A2) = 1/3 p(B/A1) = 1/5 p(B/A2) = 1/2 19 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros Solução: São dados: P(A1) = p(A2) = p(B/A1) = p(B/A2) = 20 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Taxa de juros Exercício: Suponha a seguinte situação. 21 Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial U1 U2 U3 PRETAS 3 4 2 BRANCAS 1 3 3 VERMELHAS 5 2 3 Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso. Verificou-se que a bola é branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo: a) da urna 2? b) da urna 3? Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Solução a) da urna 2: p(U1) = p(U2) = p(U3) = p(br/U1) = p(br/U2) = p(br/U3) = P(U2 /br) = 22 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Conclusão: A probabilidade a priori de U2 era Dada a informação que saiu uma bola branca, a probabilidade a posteriori de U2 será 23 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Solução b) da urna 3: p (U3/br) = Como = 1 Temos: p (u1/br) = 1 - 24 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Função de Probabilidade Binomial Experimentos binomiais Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de cada tentativa pode ser reduzida a dois resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador de futebol ao bater uma penalte, das duas, uma: ou ele marca o gol ou não. Experimentos probabilísticos como esse são chamados binomiais. 25 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Função de Probabilidade Binomial Um experimento é binomial quando: É repetido por um número fixo de tentativas, sendo uma independente de todas as outras. Há dois resultados possíveis em cada tentativa: sucesso (S) ou fracasso (F). A probabilidade de um sucesso é a mesma em cada tentativa. A variável aleatória “x” = n° de tentativas com sucesso. 26 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Função de Probabilidade Binomial n Número de vezes que uma tentativa é repetida p = p(S) Probabilidade de sucesso em uma única tentativa q = p(F) Probabilidade de fracasso em uma única tentativa (q = 1 - p), onde 1 significa 100% x A variável aleatória representa a contagem do número de sucessos emntentativas (x= 1, 2, 3, 4, ...,n) 27 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Exercício 1: Escolha uma carta de um baralho e veja se o naipe é ouros ou não e recoloque-a no baralho. Repita a experiência cinco vezes. Assim, n = 5. S = tirar uma carta de ouros F = tirar uma carta de outro naipe. As probabilidades de sucesso e fracasso são: p = p(S) = q = p(F) = valores possíveis da variável aleatória x são: 0, 1, 2, 3, 4 e 5 28 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Exercício 2: Um determinado procedimento cirúrgico tem 85% de chance de sucesso. Esse procedimento é realizado em dez pacientes. Determine se o experimento é binomial. Se sim, especifique os valores de n, p e q e enumere os valores possíveis da variável aleatória x. Solução: n = 10 p = 0,85 q = 1 – 0,85 = 0,15 x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 29 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Probabilidades Binomiais Existem diversos meios de calcular a probabilidade de x sucesso em n tentativas em um experimento binomial. Uma delas é a fórmula da probabilidade binomial. p(x) = Cn,x px qn-x = . px qn-x 30 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Probabilidades Binomiais Exercício 1: Um dado honesto é jogado três vezes. Obtenha a probabilidade de sair exatamente o número 6 uma única vez. 31 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial 32 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Solução: Há três resultados que dão exatamente 6. Cada um tem a probabilidade de Assim, a probabilidade de obter exatamente um “6” é: 3 . = 0,347 33 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial 34 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial Probabilidades Binomiais Exercício 2: Três dados honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é igual a probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. 35 Taxa de juros Aula 10 – Teorema de Bayes/Função Binomial 36 Taxa de juros
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