Resumo 3 - Sistemas lineares

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA 
E TECNOLOGIA DE RORAIMA - IFRR
PROFESSOR: JOERK OLIVEIRA
DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
ASSUNTO: SISTEMAS LINEARES
EQUAÇÃO LINEAR
• Observe o problema: 
• Luiza foi ao caixa eletrônico sacar R$ 100,00 de sua
conta. Se no caixa havia apenas notas de R$ 10,00,
R$ 20,00 e R$ 50,00 , mostre algumas maneiras
dela efetuar o saque.
Equação linear
• Vamos representar por:
x o número de notas de R$ 10,00.
y o número de notas de R$ 20,00.
z o número de notas de R$ 50,00.
Assim temos:
10.x + 20.y + 50.z = 100
Esta equação é chamada de equação linear.
Solução da equação linear
• 10.x + 20.y + 50.z = 100,
x y z solução
10 0 0 10.10 + 20.0 + 50.0 = 100 + 0 + 0 = 100 (10, 0, 0)
0 5 0 10.0 + 20.5 + 50.0 = 0 + 100 + 0 = 100 (0, 5, 0)
0 0 2 10.0 + 20.0 + 50.2 = 0 + 0 + 100 = 100 (0, 0, 2)
1 2 1 10.1 + 20.2 + 50.1 = 10 + 40 + 50 = 100 (1, 2, 1)
2 4 0 10.2 + 20.4 + 50.0 = 20 + 80 + 0 = 100 (2, 4, 0)
3 1 1 10.3 + 20.1 + 50.1 = 30 + 20 + 50 = 100 (3, 1, 1)
4 3 0 10.4 + 20.3 + 50.0 = 40 + 60 + 0 = 100 (4, 3, 0)
5 0 1 10.5 + 20.0 + 50.1 = 50 + 0 + 50 = 100 (5, 0, 1)
6 2 0 10.6 + 20.2 + 50.0 = 60 + 40 + 0 = 100 (6, 2, 0)
Equação linear
• Equação linear é toda equação do tipo
• 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ... + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = b 
• Em que 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ..., 𝑥𝑛 são incógnitas.
• Os números 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ... , 𝑎𝑛 são os coeficientes.
• O número b é o termo independente.
Equação linear
• Exemplos: 
• 2𝑥 − 𝑦 = 4 é uma equação linear
• 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 8 é uma equação linear
• −𝑥 + 6𝑦 = 0 é uma equação linear homogênea
• 𝑥2 + 𝑥𝑦 = 3 não é equação linear
• 𝑥 − 𝑦2 + 𝑧 = 2 não é equação linear
Equação linear
• Exemplo1: 
• Dê três soluções para a equação linear 𝑥 + 𝑦 = 5.
Para 𝑥 = 1 temos 𝑦 = 4, pois:
1 + 𝑦 = 5 ⟹ 𝑦 = 5 − 1 ⟹ 𝑦 = 4 ⟹ solução (1, 4)
Para 𝑥 = 2 temos 𝑦 = 3, pois:
2 + 𝑦 = 5 ⟹ 𝑦 = 5 − 2 ⟹ 𝑦 = 3 ⟹ solução (2, 3)
Para 𝑥 = −3 temos y = 8, pois:
−3 + 𝑦 = 5 ⟹ 𝑦 = 5 + 3 ⟹ 𝑦 = 8 ⟹ solução (−3, 8)
Equação linear
• Exemplo2: 
• Verifique se os pares (2, 0), ( 3, − 1) e (3, 2) são 
solução da equação linear 2 𝑥 − 𝑦 = 4.
• 𝑥 = 2 e 𝑦 = 0 ⟹ 2.2 − 0 = 4 − 0 = 4, é solução.
• 𝑥 = 3 e 𝑦 = −1 ⟹ 2.3 −(−1) = 6 + 1 = 7, não é 
solução.
• 𝑥 = 3 e 𝑦 = 2 ⟹ 2.3 − 2 = 6 − 2 = 4, é solução.
Sistemas de equações lineares
• Definição: 
• Um conjunto de 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 
..., 𝑥𝑛 é chamado sistema linear 𝑚 x 𝑛.
• Exemplos:
• 
𝑥 − 2𝑦 = 4
3𝑥 + 𝑦 = 5
é um sistema linear 2 por 2;
• 
𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −2
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
é um sistema linear 3 por 3;
• 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 1
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2𝑤 = 7
é um sistema linear 2 por 4.
Sistemas de equações lineares
• Solução de um sistema linear: 
• Dizemos que conjunto de números reais (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3, … , 𝛼𝑛)
é solução de um sistema linear de 𝑛 incógnitas se é
solução de cada uma das equações do sistema.
• Exemplos:
• A tripla (5, 3, 2) é solução do sistema 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
pois fazendo 𝑥 = 5, 𝑦 = 3 e 𝑧 = 2
• temos: 5 + 3 + 2 = 10;
• 5 − 3 + 2 = 4 e 
• 5 − 3 − 2 = 0.
Sistemas de equações lineares
• Sistemas homogêneos: 
• Um sistema linear é chamado homogêneo quando todos os 
termos independentes são iguais a zero.
• Exemplos:
• 
𝑥 − 𝑦 = 0
𝑥 + 𝑦 = 0
• 
4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0
7𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
• 
8𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 + 𝑤 = 0
𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 + 2𝑤 = 0
• Todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução 
trivial (0, 0, 0, … , 0).
Sistemas de equações lineares
Sistemas equivalentes: Dois sistemas lineares são
equivalentes se possuem o mesmo conjunto de
soluções.
Exemplos:
• 
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑥 + 2𝑦 = 1
e 
𝑥 − 𝑦 = 4
3𝑥 + 2𝑦 = 7
São equivalentes pois ambos admitem (3, -1) como
solução única.
Aplicações de sistemas lineares
Observe o problema:
Tina e Marcos foram em um quiosque que vendia
sanduíches e água de coco. Tina tomou 3 águas de coco e
comeu 2 sanduíches e pagou R$ 14, 00. Marcos tomou 2
águas de coco e comeu 1 sanduíche e pagou R$ 8,00. Qual
o preço unitário da água de coco e do sanduíche?
Sistemas de equações lineares
Resolução:
• Vamos representar por:
𝑥 o preço da água de coco e 𝑦 o preço do
sanduíche.
Logo temos as seguintes equações:
 
3𝑥 + 2𝑦 = 14
2𝑥 + 𝑦 = 8
O conjunto dessas duas equações lineares é um
exemplo de um sistema linear de duas equações e
duas incógnitas (2x2).
Sistemas de equações lineares
Resolução:
 
3𝑥 + 2𝑦 = 14
2𝑥 + 𝑦 = 8
 
3𝑥 + 2𝑦 = 14
−4𝑥 − 2𝑦 = −16
. (−2)
−𝑥 = −2
𝑥 = 2
2𝑥 + 𝑦 = 8
2.2 + 𝑦 = 8
4 + 𝑦 = 8
𝑦 = 8 − 4
𝑦 = 4
Logo, o preço da água de coco é R$2,00 e o preço do
sanduíche é R$4,00. Isto é, a solução do sistema é (2, 4).
Sistemas de equações lineares
• Interpretação geométrica e classificação: 
• Exemplo:
• 
𝑥 + 2𝑦 = 7
3𝑥 − 𝑦 = 0
• 𝑦 = 3𝑥
• 𝑦 = −
𝑥
2
+
7
2
• O ponto de interseção (1, 3) das duas retas é a 
solução do sistema acima. 
Sistemas de equações lineares
Interpretação geométrica e classificação: 
• Um sistema linear 2 por 2 é:
• Possível e determinado (SPD): quando possui 
única solução (retas são concorrentes);
• Possível e indeterminado (SPI): quando possui 
infinitas soluções as duas (retas coincidentes);
• Impossível (SI): quando não possui solução (retas 
paralelas).
Sistemas de equações lineares
• Exemplo: Resolver e classificar os sistemas 
lineares 
• a) 
𝑥 + 2𝑦 = 3
2𝑥 + 4𝑦 = 6
• b) 
−𝑥 + 5𝑦 = 1
3𝑥 − 15𝑦 = 7
• c) 
−2𝑥 + 𝑦 = −2
𝑥 + 4𝑦 = 19
Sistemas de equações lineares
Resolução: a)
 
𝑥 + 2𝑦 = 3
2𝑥 + 4𝑦 = 6
 
𝑥 + 2𝑦 = 3
−𝑥 − 2𝑦 = −3
÷ (−2)
0. 𝑥 + 0. 𝑦 = 0
Logo, como houve uma indeterminação (0 = 0), o sistema é
possível e indeterminado (SPI).
0 = 0
Sistemas de equações lineares
Resolução: b)
 
−𝑥 + 5𝑦 = 1
3𝑥 − 15𝑦 = 7
 
−3𝑥 + 15𝑦 = 3
3𝑥 − 15𝑦 = 7
.3
0. 𝑥 + 0. 𝑦 = 10
Logo, como houve uma falsidade ( 0 = 10 ), o sistema é
impossível (SI).
0 = 10
Sistemas de equações lineares
Resolução: c)
 
−2𝑥 + 𝑦 = −2
𝑥 + 4𝑦 = 19
 
−2𝑥 + 𝑦 = −2
2𝑥 + 8𝑦 = 38
.2
9𝑦 = 36
Logo, como o sistema possui única solução (3, 4), o sistema é
possível e determinado (SPD).
y = 4
𝑥 + 4𝑦 = 19
𝑥 + 4.4 = 19
𝑥 + 16 = 19
𝑥 = 19 − 16
𝑥 = 3
Sistemas de equações lineares
Matrizes associadas a um sistema linear
Podemos associar a um sistema linear duas
matrizes cujos elementos são os coeficientes das
equações que formam o sistema.
Exemplo:
 
5𝑥 + 4𝑦 = 1
3𝑥 + 7𝑦 = 2
Podemos associar as matrizes:
5 4
3 7
, chamada de matriz incompleta;
5 4 1
3 7 2
, chamada de matriz completa.
Sistemas de equações lineares
Representação matricial de um sistema:
Lembrando o processo de multiplicação de matrizes
e utilizando a matriz incompleta de um sistema, é
possível representa-lo na forma matricial.
Exemplo: o sistema
 
5𝑥 + 4𝑦 = 1
3𝑥 + 7𝑦 = 2
Pode ser inscrito na forma matricial:
5 4
3 7
.
𝑥
𝑦
=
1
2
Sistemas de equações lineares
Sistemas escalonados:
Um sistema está escalonado se:
• Em cada equação existe pelo menos um coeficiente não
nulo (de alguma incógnita);
• O numero de coeficientes nulos, antes do 1º coeficiente
não nulo, aumenta de equação para equação.
Exemplos:
 
4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
𝑦 − 3𝑧 = 4
2𝑧 = −4
 
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 4𝑤 = 3
𝑦 + 3𝑤 = 2
 
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −4
3𝑦 − 𝑧 = 7
 
−3𝑥 + 𝑦 = 3
−4𝑦 = 8
Sistemas de equações lineares
Resolução de sistemas escalonados:
• Resolve-se um sistema escalonado partindo da
última equação até chegar na primeira equação.
Exemplo:
 
4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
𝑦 − 3𝑧 = 4
2𝑧 = −4
𝑦 − 3𝑦 = 4
𝑦 − 3. −2 = 4
𝑦 + 6 = 4
𝑦 = −2
2𝑧 = −4
𝑧 = −2
4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
4𝑥 − −2 + 2. −2 = 5
4𝑥 + 2 − 4 = 5
4𝑥 = 7
𝑥 =
7
4
7
4
, −2, −2
Sistemas de equações lineares
Classificação de sistemas escalonados:
• Para classificar um sistema escalonado, basta observar a
ultima linha (enésima linha).
Seja 𝑎𝑛. 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 os termos da ultima linha:
• Se 𝑎𝑛 ≠ 0,então o sistema possui solução única (SPD);
• Se 𝑎𝑛 = 0 e 𝑏𝑛 = 0 , então o sistema possui infinitas
soluções (SPI);
• Se 𝑎𝑛 = 0 e 𝑏𝑛 ≠ 0, então o sistema não possui solução
(SI).
.
Sistemas de equações lineares
Classificação de sistemas escalonados:
• Exemplos:
• 
4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
𝑦 − 3𝑧 = 4
2𝑧 = −4
Sistema possível e determinado
• 
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −4
3𝑦 − 𝑧 = 7
Sistema possível e indeterminado
• 
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 8
𝑦 − 𝑧 = 2
0𝑧 = 5
Sistema impossível
Escalonamento
Exemplos: Resolver os sistemas pelo método do 
escalonamento e classificar.
a) 
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 1
4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 3
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 6
b) 
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
c) 
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1
−5𝑥 − 20𝑦 − 15𝑧 = 11
3𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 3
EXERCÍCIOS!!!