Questão resolvida - Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um lado com uma cerca de três fios e, nos outros lados, por uma cerca elétrica com um fio Com 800 m de fio - Otimização - Cálcul

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• Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um lado com uma cerca de 
três fios e, nos outros lados, por uma cerca elétrica com um fio. Com 800 m de fio à 
disposição, determine quais as dimensões da maior área que poderá ser cercada e 
calcule o valor dessa área.
 
Resolução:
 
Um esboço dessa cerca, com representando a altura e o comprimento da área y x
retângular é visto na sequência;
 
A área dessa região é dada por;
 
A = x ⋅ y
 
Já que em um dos lados teremos 3 fios e nos outros restantes 1 fio, a representação disso 
pode ser vista a seguir;
 
 
y y
x
x
3y y
x
x
(1)
Contabilizando a quantidade de fios em cada lado, o perímetro deve ter comprimento P:
 
P = 3y + x + x + y P = 4y + 3x→
 
Esse perímetro deve ter comprimento de 800 metros, dessa forma temos a relação;
 
800 = 4y + 3x 4y + 2x = 800 ÷ 2 2y + x = 400→ ( ) →
 
Isolando x na equação acima, temos;
 
2y + x = 400 x = 400 - 2y →
 
Substituindo a relação encontrada para x na equação 1, temos;
 
A = 400 - 2y ⋅ y( )
Desenvolvendo o termo, temos;
 
A = 400 - 2y ⋅ y A = 400y - 2y( ) → 2
 
Perceba que se trata de uma parábola com concavidade voltada para baixo ( ), assim, a < 0
derivando A e igualando a zero, chegamos à coordenada x do ponto de máximo de A, como 
feito na sequência;
 
A = 400y - 2y A' = 400 - 2 ⋅ 2y A' = 400 - 4y2 → →
 
igualando a zero e resolvendo;
 
400 - 4y = 0 -4y = -400 × -1 4y = 400→ ( ) ( ) →
 
y = y = 100 m
400
4
→
Assim, a altura para que a área seja máxima deve ser de 100 metros, substiutindo o valor da 
altura na equação 2, encontramos o valor do comprimento da área;x
x = 400 - 2y x = 400 - 2 ⋅ 100 x = 400 - 200→ →
 
x = 200 m
 
 
 
(2)
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)
Com os valores da altura ( ) e comprimento ( ) que fornecem a área máxima, podemos y x
substituir na equação 1 e encontrar essa área;
 
A = 200 ⋅ 100Máx
 
 
A = 20.000 mMáx
2
 
 
(Resposta - 3)